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Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft
Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr 2013/2014
Fach Mathematik (A)
Prüfungstag 12. Juni 2014
Prüfungszeit 09:00 - 13:00 Uhr
Zugelassene Hilfsmittel
Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil; Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch
Allgemeine Arbeitshinweise
Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von einem Punkt (Malus-Regelung).
Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs!
Spezielle Arbeitshinweise
Aus den vier Aufgaben müssen Sie drei auswählen.
Die Aufgabe 1 (Exponentialfunktionen) und die Aufgabe 2 (Gebrochenrationale Funktionen) sind Pflichtaufgaben. Sie müssen von allen bearbeitet werden!
Zwischen Aufgabe 3 (Analytische Geometrie) und Aufgabe 4 (Wahrscheinlichkeitsrechnung) müssen Sie wählen.
Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt.
Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter
Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte
Aufgabe Nr. Soll % Ist Ist
(Zweitkorrektur) 1 34 2 33
3 oder 4 33
Summe: 100
Notenpunkte 15 __ /15 Punkte __ /15 Punkte
Maluspunkt -1 __ Punkt __ Punkt
Insgesamt __ Punkte __ Punkte
Datum,
Unterschrift:
Aufgabenvors
1 Ex
Gegeben
Stammfun
Der Grap
1.1 Be[T
1.2 Ze
1.3 Be
1.4 Er
1.5 Erdede
1.6 Bex-A
1.7
UnBe
1.8
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für die Funkellen.
Funktion aus
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rüfung BerufsobMathematik
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1,54 e7
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für →±∞x
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ule 2014
berschule 2014
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Seite
von 7
/34
/3
/2
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/2
/6
/4
/4
/4
Mathematik A Land Berlin
Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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Koordinatensystem zu Aufgabe 1.5:
Mathematik A Land Berlin
Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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2 Gebrochenrationale Funktionen /33
Für ein Schülerprojekt soll das Modell einer Hängebrücke entworfen werden. Zwei massive Stützpfeiler A und B halten die Tragseile, deren Verlauf durch die Funktion f mit
+=
− +4 2
2 ² 8( )8 16xf x
x x beschrieben wird. Die Fahrbahn liegt auf der x-Achse. 1 LE 1 m.
2.1 Zeigen Sie, dass die Funktion f keine Nullstellen besitzt. /2
2.2 Weisen Sie die Symmetrieeigenschaft der Funktion f nach. /2
2.3 Bestimmen Sie die Polstellen der Funktion f.
Bestimmen Sie auch das Verhalten des Graphen in deren Umgebung.
Geben Sie die Definitionsmenge von f an.
/8
2.4 Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Graph der Funktion f nur einen Extrempunkt besitzt. Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes an. Auf den Nachweis mittels 2. Ableitung bzw. Vorzeichenwechselkriterium kann verzichtet werden.
[Hinweis: Eine mögliche 1. Ableitung lautet: − − +=
− +
5 3
4 2 2
4 32 192´( )( 8 16)x x xf xx x
]
/9
2.5 Die Stützpfeiler A und B sollen so breit sein, dass die Tragseile genau in der Höhe 4 m an den Pfeilern befestigt werden können. Berechnen Sie die Breite des Stützpfeilers B auf mm genau, damit die Tragseile sie in dieser Höhe treffen.
/7
2.6 Das Tragseil wird an den Stellen = ±1/ 2 4x an einer Metallkonstruktion befestigt. Die obere schräg verlaufende Strebe soll dabei tangential zum Seil verlaufen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente im Punkt C.
/5
A B
C
Mathematik
Aufgabenvors
3 An
Die AbbildIn den Puund H wirdas Tribü1 LE 1 Eckpunkt
−(6 | 12E Eckpunkt
(54 |12C Hinweis:
3.1 C ReBeBeBe
3.2 Gein [m
3.3 Beei
A H
S1
k A
schlag A
nalytische
dung zeigt dunkten G unrd das Tribünendach inm.
e der Tribü|1), (54 |1F
e des Tribü| 22) , (6 |D
Die Abbildu
und D sindennstrecke estimmen Sestimmen Sestimmen S
eben Sie eiKoordinate
mögliches E
erechnen Snschließt.
Abb
D
E
Geometrie
die schemand H sind 13ünendach a den Punkte
ne: 2 |1), (48 |G
ünendachs: −12 | 22)
ung ist nicht
die vordereist an der o
Sie eine GleSie die LängSie die Läng
ine Gleichuenform an. rgebnis für
Sie den Wink
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M
Abschlusspr
e
atische Dars3 m hohe Mn den Masten D und C
| 24 |13), (H
t maßstabsg
en Eckpunkoberen Daceichung der ge der Lichtge des Seils
ng der Ebe
E2 in Koord
kel α, den d
Tribüne
Tribün
ibüne mit T
R
rüfung BerufsobMathematik
stellung eineMasten montten in den P
C über Seile
(0 | 0 |13)
gerecht.
kte des Tribhkante CDGeraden g
tleiste. s, das von d
ne E2 des T
dinatenform
die Ebene E
ndach
ne
Tribünenda
Lichtle
RennstreckeRenns
berschule 2014
er Tribüne etiert. In 3 m
Punkten A u in den Mas
bünendacheeine Lichtle
g, auf der die
der Mastspi
Tribünendac
: −2 : 2E x y
E2 (Tribünen
Fortsetzu
ach
eiste
estrecke
einer Forme Höhe über
und B veranstspitzen S1
es. Zur Beleeiste angebese Lichtleis
tze S1 zum
ches ABCD
− = −5 80y z
ndach) mit e
ung auf der
B
G
S2
el-1-Rennstr den Punkt
nkert. Zusätz1 und S2 ver
euchtung deracht. ste liegt.
Punkt D fü
D in Parame
0 ]
einem der M
r nächsten
C
F
Seil
Land Be
Seite 4 v
trecke. ten G zlich ist rankert.
er
ührt.
eter- und
Masten
Seite
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von 7
/33
/6
/7
/4
Mathematik A Land Berlin
Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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3.4 Das rechteckige Tribünendach ist mit Solarzellen belegt. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Dachkanten AD und CD senkrecht zueinander stehen. Bestimmen Sie den Gesamtflächeninhalt der Solarzellen.
/5
3.5 Die Tribüne liegt in der Ebene 1 : 2 4 5 65E x y z− + = . Für eine Videoüberwachung wird im Punkt (19 | 2 |19)M eine Kamera installiert. Aus Sicherheitsgründen ist ein Abstand von mindestens 9 m zur Tribüne vorgesehen.
Prüfen Sie, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird.
/6
3.6 Im Punkt D ist ein Scheinwerfer installiert. Ein Lichtstrahl verläuft parallel zum Vektor 00,31
s⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
und fällt auf die Rennstrecke, die in der x-y-Ebene liegt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Lichtpunktes D′ , den dieser Lichtstrahl auf der Rennstrecke bildet.
/5
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Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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4 Wahrscheinlichkeitsrechnung /33
Ein Verlag gibt eine Jugendzeitschrift in großer Auflage heraus. Die Anzeigenabteilung interessiert sich dafür, wie viele Jugendliche die Zeitschrift regelmäßig lesen. Deshalb beauftragt sie ein Umfrageinstitut. Das Umfrageinstitut befragt eine Anzahl von Jugendlichen, ob sie regelmäßige Leser der Zeitschrift sind. Die befragten Jugendlichen werden nach Alter und Geschlecht in vier Gruppen eingeteilt.
Die Ergebnisse der Umfrage sind in folgender Tabelle dargestellt.
Gruppe Anteil an den insgesamt befragten Jugendlichen
Anteil der regelmäßigen Leser in der jeweiligen Gruppe
I 27 % 70 % II 22 % 40 % III 28 % 30 % IV 23 % 5 %
4.1 Ein Jugendlicher wird zufällig ausgewählt. Welcher Gruppe er angehört und ob er die Zeitschrift regelmäßig liest oder nicht, kann als 2-stufiger Zufallsversuch aufgefasst werden.
Veranschaulichen Sie die Ergebnisse der Umfrage (siehe Tabelle) in einem Baumdiagramm. Wählen Sie eine geeignete Bezeichnung der Ereignisse und beschriften Sie das Baumdiagramm vollständig.
/4
4.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher aus Gruppe IV kommt und die Zeitschrift regelmäßig liest.
/1
4.3 Berechnen Sie den Anteil der regelmäßigen Leser der Zeitschrift unter allen Jugendlichen.
/2
4.4 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher, der die Zeitschrift regelmäßig liest, aus Gruppe IV kommt.
/3
4.5 Benny behauptet, dass die Ergebnisse aus 4.2 und aus 4.4 gleich sein müssen. Anna widerspricht ihm und sagt, dass es sich um zwei verschiedene Fragestellungen handelt und deshalb die Ergebnisse nicht gleich sind.
Begründen Sie, dass Anna Recht hat.
/4
4.6 Aus der Gruppe I sollen nacheinander zufällig Jugendliche ausgewählt werden. Es interessiert, ob sie regelmäßige Leser der Zeitschrift sind.
(1) Warum kann dieser Versuch als Bernoulli-Kette angesehen werden? Geben Sie auch die Trefferwahrscheinlichkeit der Kette an. [Hinweis: Sollten Sie p nicht bestimmt haben, rechnen Sie weiter mit 0,7p = .]
(2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 zufällig ausgewählten Jugendlichen der Gruppe I weniger als 7 die Zeitschrift regelmäßig lesen.
Fortsetzung auf der nächsten Seite
/8
Mathematik A Land Berlin
Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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4.7 5 Jugendliche der Gruppe IV sitzen in einer Reihe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) E1: Nur der erste und nur der vierte Jugendliche lesen die Zeitschrift regelmäßig. b) E2: Genau zwei der fünf Jugendlichen lesen die Zeitschrift regelmäßig und sitzen
nebeneinander.
/6
4.8 Berechnen Sie, wie viele Jugendliche der Gruppe IV man mindestens befragen muss, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens ein regelmäßiger Leser unter ihnen sein soll.
/5
Erwartung
Teil- aufgab
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Abschlu
Erwartu
shorizont A
e
Der Ans
1( 10)N −
Die y-Ac
Bilden d( ) (f x′ =
Der Ans''( ) (f x =
Nachwe''(0,535f''( 1,86f −
z. B. dur
ussprüfungMa
ungshorizon
atz (2 ² 2x −
), 2(10)N
chse wird in
er 1. Ableitu(3 ² 4 3x x+ −
atz ′ =( ) 0f x(4,5 ² 12x x+is der Extre52) 16,1= >69) 0,437= −
rch Testeins
f
g Berufsoathematiknt für Aufga
Absch
Erw
1,52) e 0x⋅ =
(0 2)yS −
ung mittels 1,53) e x⋅
0 liefert die1,50,5) e xx − ⋅
ema: 0 (0,53T⇒
7 0 (H< ⇒ −
setzungen:
x 4−
( )x 0,07
oberschulek abenvorschl
hlussprüfung BeMathe
wartete Teille
liefert die L
geschnitten
Produkt- un
Lösungen x
352 | 3,185−1,869 | 0,30−
lim ( )x
f x→+∞
=
3−
7 0,18
e 2014
ag A
erufsoberschuleematik
eistung
Lösungen x
n.
nd Kettenre
1 0,5352x =
5) 02)
+∞ und limx→
0,5−
-0,71
2014
1/ 2 1= ±
egel:
2 und 2x =
m ( ) 0f x−∞
=
1,2
5,32
1,869− .
Seite 1 vo
BE in AB
I II
3
2
3
6
2
3
3
on 8
B
III
Erwartungshorizont Mathematik A Land Berlin
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Teil- aufgabe
Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
1.6 11 1,5
11
4 16 4( ) dx ² e 3,317, also 3,317 FE3 9 27
xf x x x A−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ⋅ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
4
1.7 Der Ansatz ( ) ( )f x f x′= liefert die Gleichung 2 1,5 2 1,5(2 2) e (3 4 3) ex xx x x− ⋅ = + − ⋅ , vereinfacht:
2 4 1 0x x+ − = mit den Lösungen 1 0,236 x = und 2 4,236x = − . An den Stellen 1x und 2x sind die Funktionswerte und die Werte der Steigungen gleich.
4
1.8 Als erste Ableitung ergibt sich '( ) (4 2 ² 2 ) ekxkh x x kx k= + − ⋅ .
Die Bedingung für eine waagerechte Tangente ergibt die Gleichung 2 ² 4 2 0kx x k+ − = . Daraus entsteht durch Einsetzen von 2 x = 8 8 2 0k k+ − =
mit der Lösung: 43
k = − .
4
Summe (Aufgabe 1) 12 18 4
Mögliche BE 34
Erwartungshorizont Mathematik A Land Berlin
Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
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Teil- aufgabe
Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
2.1 Der Ansatz 2 ² 8 0x + = liefert keine Lösungen. 2
2.2 ( ) ( )f x f x− = wird nachgewiesen, damit Achsensymmetrie zur y-Achse. 2
2.3 Da der Zähler stets ungleich Null ist, sind die Nullstellen der Nennerfunktion zu bestimmen: 4 28 16 0x x− + = Durch Substitution erhält man die Gleichung 2 8 16 0z z− + = mit der Doppellösung 1/ 2 4z = , nach Resubstitution 1/ 2 2x = ± . ID = IR\{ 2;2}− Die Umgebung von 1 2x = ergibt mit (1,9) (2,1) 100,05f f≈ = eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wegen der Symmetrie desgleichen bei 2− . 8
2.4 Bestimmung der ersten Ableitung
4 3 5 3
4 2 4 24 ( 8 ² 16) (2 ² 8)(4 16 ) 4 32 192'( )
( 8 ² 16) ( 8 ² 16)x x x x x x x x xf x
x x x x− + − + − − − +
= =− + − +
Notwendige Bedingung für lokale Extrema: '( ) 0f x = :
5 34 32 192 0x x x− − + = , durch Ausklammern in 4 24 ( 8 48) 0x x x− + − = kann die erste Lösung 1 0x = abgelesen werden.
Der Term in der Klammer hat die Lösungen 2 / 3 2x = ± , dies sind allerdings die Polstellen. Die Koordinaten des Extrempunktes lauten also (0 | 0,5)E . 6
3
2.5 Der Ansatz: 42 ² 84
8 ² 16x
x x+
=− +
ergibt nach Umstellen die Gleichung
4 17 ² 14 02
x x− + = mit den Lösungen nach Substitution 1 6,265z = und
2 2,234z = , nach Resubstitution 1/ 2 3 / 42,507 und 1,495x x= ± = ± , somit beträgt die
Breite eines Pfeilers 2,507 1,495 1,012b = − = .
7
2.6 Die Koordinaten des Befestigungspunktes liegen bei C(4|0,2778) .
An dieser Stelle beträgt die Steigung des Graphen 7'(4) 0,259327
f = − ≈ − .
Durch Einsetzen in die Gleichung y mx n= + erhält man 70,2778 4
27n= − ⋅ + . Somit ist 1,315n = .
Die Gleichung der Tangente lautet 7 1,31527
y x= − + .
5
Summe (Aufgabe 2) 10 18 5
Mögliche BE 33
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Teil- aufgabe
Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
3.1 : ; IR54 6 54 54 48
: 12 12 12 12 24 ; IR22 22 22 22 0
g x OC rCD r
g x r r r
= + ∈
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − − = + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4824 2880 53,70
CD−⎛ ⎞⎜ ⎟= − = ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Die Länge der Lichtleiste beträgt 53,7 m.
1
6 0 612 0 12 196 14
22 26 4l S D
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die Länge der Seils beträgt 14 m.
2
2 2
3.2 Eine Parameterform:
2
2
: ; , IR0 6 48
: 0 12 24 ; , IR16 6 0
E x OA r AD tCD r t
E x r t r t
= + + ∈
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bestimmung eines möglichen Normalenvektors 6 48 14412 24 2886 0 720
n AD CD−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= × = − × − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
und d mit
144 0288 0 11520720 16
d n OA⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Eine Gleichung in Koordinatenform: 2 : 2 5 80E x y z− − = −
3
4
3.3 Der Winkel zwischen der Ebene des Tribünendachs und dem Mast entspricht dem Winkel zwischen den Vektoren 1HS und AD .
1
0 60 ; 12
13 6HS AD
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
1
0 60 12
13 6cos 0,408 65,9 .
0 60 12
13 6
HS ADHS AD
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ≈ ⇒ ≈ °⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α α
4
Erwartungshorizont Mathematik A Land Berlin
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Seite 5 von 8
Teil- aufgabe
Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
3.4
6 4812 24 06 0
AD CD−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − = ⇒ ⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 4812 . 24 216 2880 788,726 0
gesamtA AD CD−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = − − = ⋅ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Der Gesamtflächeninhalt der Solarzellen beträgt 788,72 m2. alternativ mit:
6 48 14412 24 288 788,726 0 720
gesamt
gesamt
A AD DC
A
= ×
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − × = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3
3.5 1 : 2 4 5 65E x y z− + = 2
2 4 5 654 4545 45 45 455
x y zn n⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⇒ = ⇒ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
245
445
545
19652 8,944519
d OM n k −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ − = ⋅ − ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Abstand von Punkt M zur Tribünenebene: 8,94 md ≈ . Der Abstand wird nicht eingehalten.
2 4
3.6 Berechnung des Schnittpunkts der Geraden des „Lichtstrahls“ durch den Punkt D mit der Ebene 0z = .
6 0: 12 0,3 ; IR
22 10 22 ; 6 ; 18,6
m x r r
z r x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⇒ = = = −
Der Punkt ist (6 | 18,6 | 0)D′ − .
5
Summe (Aufgabe 3) 12 12 9
Mögliche BE 33
Erwartungshorizont Mathematik A Land Berlin
Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
Seite 6 von 8
Teil-
aufgabe Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
4.1 Gi … Zugehörigkeit zur Gruppe i mit i = I, II, III, IV rL … regelmäßiger Leser 4
4.2 ( )GIV rL 0,23 0,05 0,0115 1,15 %P ∩ = ⋅ = = 1
4.3 (rL) 0,27 0,7 0,22 0,4 0,28 0,3 0,01150,3725 37,25 %
P = ⋅ + ⋅ + ⋅ += =
2
4.4 ( )rL(GIV rL) 0,0115GIV 0,031 3,1%
(rL) 0,3725PP
P∩
= = ≈ =
alternativ: Inverses Baumdiagramm (auch auf interessierenden Pfad reduziert)
= ≈ =0,0115 0,031 3,1%0,3725
x
3
rL
rL
rL
rL
0,7
0,4
0,3
0,05
0,95
0,7
0,6
0,3 0,27
0,28
0,22
0,23
GI
GII
GIII
GIV
x
0,3725
GI
GII
GIII
GIV
rL
0,0115
Erwartun
Erwartung
Teil- aufgab
4.5
4.6
ngshorizont M
shorizont A
e
• 4.2: Wah„JugSchn
• 4.4: WahMerkWah
Daher e alternatGraphisc 4.2: Verh4.4: Verh
(1) Es hgroßeineabhäJugeregeDie zu erege
(2) (P X(P E
alternatiRichBinoTafe
Mathematik A
Grundmenghrscheinlichendlicher anittwahrschGrundmeng
hrscheinlichkmal „Jugehrscheinlichrgeben sich
tiv mit: che Darstel
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Erwartungshorizont Mathematik A Land Berlin
Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule 2014 Mathematik
Seite 8 von 8
Teil- aufgabe
Erwartete Teilleistung BE in AB
I II III
4.7 a) Dies entspräche genau einem Pfad in einem 5-stufigen Binärbaum mit 2 Treffern.
2 31(E ) 0,05 0,95
0,00214 0,214 %P = ⋅
= =
b) Dies entspräche jedem Pfad in einem 5-stufigen Binärbaum mit 2 Treffern, die aufeinanderfolgen. Es gibt genau 4 Pfade mit zwei aufeinanderfolgenden Treffern.
2 32(E ) 4 0,05 0,95
0,008574 0,8574 %P = ⋅ ⋅
= =
3 3
4.8 E: Es wurde mindestens ein regelmäßiger Leser befragt. (E) 1 (E) 0,99 (E) 0,01P P P= − ≥ ⇒ ≤
( ) 0 00(E) ( ; 0,05; 0) 0,05 0,95 0,95 0,01n n nP B n −= = ⋅ ⋅ = ≤
ln0,01 89,8ln0,95
n⇒ ≥ ≈
Man muss mindestens 90 Jugendliche aus Gruppe IV befragen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens einen regelmäßigen Leser befragt hat. 5
Summe (Aufgabe 4) 12 12 9
Mögliche BE 33
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