Lineare Algebra

11. Matrizen

Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.

= (aij)

mnmm

n

n

aaa

aaaa...aa

...

...

21

22221

11211

............

Addition von MatrizenA = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.

elementweise

A + B = C mit cij = aij + bij

A - B = C mit cij = aij – bij

Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.

Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.

654321

7-1-0021

1-44342

= +

Addition von MatrizenA = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.

elementweise

A + B = C mit cij = aij + bij

A - B = C mit cij = aij – bij

Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.

Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.

654321

7-1-0021

= -0 0

6 13

3 4

Man kann nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt:

A = mn-Matrix, B = np-Matrix

=

Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.

A B C

Multiplikation von Matrizen

cij =

n

kkjikba

1

1 2 3

4 5 6

a bc de f

1a + 2c + 3e

a bc de f

1a + 2c + 3e

, 1b + 2d + 3f

a bc de f

1a + 2c + 3e

, 1b + 2d + 3f4a + 5c +

6e

a bc de f

1a + 2c + 3e

, 1b + 2d + 3f4a + 5c +

6e , 4b + 5d + 6f

( )

cij =

n

kkjik ba

1

Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.

mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix

=

cij =

n

kkjik ba

1

Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.

mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix

=

Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen

A B ≠ B A

0001

0010

=

0010

cij =

n

kkjik ba

1

Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.

mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix

=

Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen

A B ≠ B A

0001

0010

=

0010

aber

0010

0001

=

0000

1 2 3

4 5 6

a bc de f

1a+2c+3e

1b+2d+3f

4a+5c+6e

4b+5d+6f

210321

2310

21=

210321

2310

21=

410600622901

=

36610

210321

2310

21=

410600622901

=

36610

(a1, a2)

2

1bb

= (a1b1 + a2b2)

210321

2310

21=

410600622901

=

36610

(a1, a2)

2

1bb

= (a1b1 + a2b2)

11.1 Erklären Sie folgendes Schema:

2 2 3 5 2 1 1 2 3 14 15 4 5 6 35 39 1 1 2 9 9

Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C)

Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die n n-Einheitsmatrix,

I =

1...00............0...100...01

= (ij) (11.4)

so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A.

Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die n n-Einheitsmatrix,

I =

1...00............0...100...01

= (ij) (11.4)

so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A. Eine 11 Matrix ist eine Zahl. Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor. Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.

11.2 A =

987654321

, B =

65

43

21

, C =

03-2-

1-01-

A A A B C A B C C B

11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe der inversen Matrix kann man bestimmte lineare Gleichungssysteme lösen.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (S)am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1.

I =

1...00............0...100...01

= (ij) (11.4)

Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I

I =

1...00............0...100...01

= (ij) (11.4)

Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A L A = I und R das Rechtsinverse A R = I

Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechts-inverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L

A =

1-561-34

021 I =

100010001

1-7-01-5-0

021

106-014-001

1-7-01/510021

106-01/5-4/5001

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

A =

1-561-34

021 I =

100010001

1-7-01-5-0

021

106-014-001

1-7-01/510021

106-01/5-4/5001

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

A =

1-561-34

021 I =

100010001

1-7-01-5-0

021

106-014-001

1-7-01/510021

106-01/5-4/5001

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

A =

1-561-34

021 I =

100010001

1-7-01-5-0

021

106-014-001

1-7-01/510021

106-01/5-4/5001

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

1001/510021

5/27/2-1-01/5-4/5001

100010021

5/27/2-1-1/2-1/21001

Ergebnis:

I =

100010001

A-1 =

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

Probe: A A-1 = I = A-1 A.

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

1001/510021

5/27/2-1-01/5-4/5001

100010021

5/27/2-1-1/2-1/21001

Ergebnis:

I =

100010001

A-1 =

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

Probe: A A-1 = I = A-1 A.

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

1001/510021

5/27/2-1-01/5-4/5001

100010021

5/27/2-1-1/2-1/21001

Ergebnis:

I =

100010001

A-1 =

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

Probe: A A-1 = I = A-1 A.

2/5001/510021

17/5-2/5-01/5-4/5001

1001/510021

5/27/2-1-01/5-4/5001

100010021

5/27/2-1-1/2-1/21001

Ergebnis:

I =

100010001

A-1 =

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

Probe: A A-1 = I = A-1 A

1-561-34

021

11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.

11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.

11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.

11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren

hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren

hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.

1-561-34

021

3

2

1

xxx

=

321

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren

hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.

1-561-34

021

3

2

1

xxx

=

321

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren

hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.

1-561-34

021

3

2

1

xxx

=

321

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren

hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.

1-561-34

021

3

2

1

xxx

=

321

Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich

3

2

1

xxx

=

5/27/2-1-1/2-1/2111-1-

321

=

1/2-1/20

d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.

Bei einem Wechsel von B =

321

zu B' =

001

kann die neue Lösung

mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1

schnell gefunden werden: A-1 B' =

1-11-

.

1-561-34

021

3

2

1

xxx

=

321

11.5 Invertieren Sie die Matrix

4213

.

11.6 Versuchen Sie, die Matrix

2613

zu invertieren.

246

xyz

A A-1 =

2 3 12 0 00 4 1

1 1

2 224 46 22

A A A

x xy yz z

Schreiben Sie das Gleichungssystem 2x + 4y = 1 x + 3y = 1 als Matrixgleichung

2 4 11 3 1

xy