Simulation von Würfeln, Münzen,… Referat am 18.12.2006 von Nadja Ullmann

Simulation von Simulation von Würfeln, Münzen,…Würfeln, Münzen,…

Referat am 18.12.2006Referat am 18.12.2006

von Nadja Ullmannvon Nadja Ullmann

GliederungGliederung

SimulationenSimulationen Stabilisierung der relativen Stabilisierung der relativen

HäufigkeitHäufigkeit AufgabenAufgaben ZusammenfassungZusammenfassung

WürfelMit einem Würfel:Mit einem Würfel:

Würfeln:Würfeln:> w<-floor(runif(10,1,7))> w<-floor(runif(10,1,7))> w> w [1] 6 6 2 4 3 6 3 1 5 1[1] 6 6 2 4 3 6 3 1 5 1

Tabelle:Tabelle:> t<-table(w)> t<-table(w)> t> tww11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 11 2 2 1 1 1 1 3 3

Mit zwei Würfeln:Mit zwei Würfeln:

> wu<-floor(runif(10,1,7))> wu<-floor(runif(10,1,7))> wu2<-floor(runif(10,1,7))> wu2<-floor(runif(10,1,7))

> zu<-cbind(wu,wu2)> zu<-cbind(wu,wu2)> zu> zu wu wu2wu wu2 [1,] 5 1[1,] 5 1 [2,] 6 3[2,] 6 3 [3,] 6 6[3,] 6 6 [4,] 1 1[4,] 1 1 [5,] 4 3[5,] 4 3 [6,] 3 4[6,] 3 4 [7,] 4 6[7,] 4 6 [8,] 3 1[8,] 3 1 [9,] 3 5[9,] 3 5[10,] 1 4[10,] 1 4

MünzenMünzen

Werfen einer Münze:Werfen einer Münze:> m<-floor(runif(10,1,3))> m<-floor(runif(10,1,3))> m> m [1] 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2[1] 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

Tabelle:Tabelle:> mu<-table(m)> mu<-table(m)> mu> mumm1 2 1 2 4 6 4 6

UrnenUrnenMit Zurücklegen:Mit Zurücklegen:

1=rote Kugel1=rote Kugel2=blaue Kugel2=blaue Kugel3=gelbe Kugel3=gelbe Kugel

Anzahl der Kugeln in der Urne:Anzahl der Kugeln in der Urne:

k<-c(1,1,2,2,2,3)k<-c(1,1,2,2,2,3)Zuordnung: k<-c(1,2,3,4,5,6)Zuordnung: k<-c(1,2,3,4,5,6)

10-maliges Ziehen aus der Urne:10-maliges Ziehen aus der Urne:

> l<-floor(runif(10,1,7))> l<-floor(runif(10,1,7))> l> l [1] 6 3 1 4 4 4 2 4 2[1] 6 3 1 4 4 4 2 4 2 66

Rücksubstitution:Rücksubstitution:

> zo<-l> zo<-l> zo[l==1]<-1> zo[l==1]<-1> zo[l==2]<-1> zo[l==2]<-1> zo[l==3]<-2> zo[l==3]<-2

> zo[l==4]<-2> zo[l==4]<-2

> zo[l==5]<-2> zo[l==5]<-2

> zo[l==6]<-3> zo[l==6]<-3

Ergebnis:Ergebnis:

> zo> zo[1] 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3[1] 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3

Ohne Zurücklegen:Ohne Zurücklegen:

e<-c(1,1,1,1,2,2,2,3)e<-c(1,1,1,1,2,2,2,3)

8-maliges Ziehen aus der Urne:8-maliges Ziehen aus der Urne:

> s<-sample(8)> s<-sample(8)

> s> s

[1] 1 4 3 6 5 8 7 2[1] 1 4 3 6 5 8 7 2

Ergebnis:Ergebnis:

> zu<-e[s]> zu<-e[s]

> zu> zu

[1] 1 1 1 2 2 3 2 1[1] 1 1 1 2 2 3 2 1

LottoLotto

> x<-c(1:49)> x<-c(1:49)

Zufälliges Erzeugen von sechs Zahlen von 1 bis 49:Zufälliges Erzeugen von sechs Zahlen von 1 bis 49:

> s<-sample(x,6)> s<-sample(x,6)

> s> s

[1] 37 4 12 5 21 30[1] 37 4 12 5 21 30

RouletteRouletteEine einzelne Zahl:Eine einzelne Zahl:

> r<-floor(runif(1,0,37))> r<-floor(runif(1,0,37))> r> r[1] 2[1] 2

Eine Farbe:Eine Farbe:

0=00=01=rot1=rot2=schwarz2=schwarz

d<-c(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, d<-c(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2,2) 2,2,2,2,2,2)

> z<-floor(runif(1,0,37))> z<-floor(runif(1,0,37))> z> z[1] 7 (=rot)[1] 7 (=rot)

KritikKritik

Sehr umständliche BefehleSehr umständliche Befehle Vor allem bei Simulation von zwei Würfeln, Vor allem bei Simulation von zwei Würfeln,

Münzen,… sehr aufwändig Münzen,… sehr aufwändig Urnen sind sehr schwierig zu simulierenUrnen sind sehr schwierig zu simulieren Lotto einfach Lotto einfach Beim Roulette kann man einzelne Zahlen Beim Roulette kann man einzelne Zahlen

leicht erzeugen, Farben komplizierterleicht erzeugen, Farben komplizierter

Würfel mit anderer Würfel mit anderer SeitenanzahlSeitenanzahl

Tetraeder:Tetraeder:

> t<-floor(runif(20,1,5))> t<-floor(runif(20,1,5))

> t> t

[1] 4 2 4 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 2 1[1] 4 2 4 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 2 1 2 22 2

Ikosaeder: (20 Dreiecksflächen)Ikosaeder: (20 Dreiecksflächen)

> j<-floor(runif(30,0,20))> j<-floor(runif(30,0,20))

> j> j

[1] 19 6 18 16 3 13 13 4 5 18 15 2 12 0 1 10 [1] 19 6 18 16 3 13 13 4 5 18 15 2 12 0 1 10

[16] 13 3 13 14 7 19 1 18 18 19 15 14 15 16[16] 13 3 13 14 7 19 1 18 18 19 15 14 15 16

Gleichzeitiges Werfen von Gleichzeitiges Werfen von Würfel und MünzeWürfel und Münze

Werfen der Münze:Werfen der Münze:

> m<-floor(runif(20,1,3))> m<-floor(runif(20,1,3))> m> m [1] 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2[1] 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

Werfen des Würfels:Werfen des Würfels:

> w<-floor(runif(20,1,7))> w<-floor(runif(20,1,7))> w> w [1] 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 4 3 2 4 5 5 5 6 6 4[1] 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 4 3 2 4 5 5 5 6 6 4

Zusammenfügen:Zusammenfügen:

> r<-rbind(m,w)> r<-rbind(m,w)> r> r [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14][,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]m m 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2w w 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 4 4 3 3 2 2 4 4 [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20][,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]m 2 m 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2w 5 w 5 5 5 5 5 6 6 6 6 4 4

Tabelle:Tabelle:

> t<-table(m,w)> t<-table(m,w)> t> t wwm 1 2 3 4 5 6m 1 2 3 4 5 6 1 0 2 1 0 0 21 0 2 1 0 0 2 2 2 1 3 3 3 32 2 1 3 3 3 3

Stabilisierung der relativen Stabilisierung der relativen HäufigkeitHäufigkeit

Würfeln:Würfeln:

> c<-floor(runif(100,1,7))> c<-floor(runif(100,1,7))cc

[1] 6 5 5 3 6 6 2 1 4 3 2 5 2 1 2 4 1 2 2 1 3 2 2 6 5 3 6 6 5 5 3 6 2 6 6 5 1[1] 6 5 5 3 6 6 2 1 4 3 2 5 2 1 2 4 1 2 2 1 3 2 2 6 5 3 6 6 5 5 3 6 2 6 6 5 1

[38] 2 2 5 4 3 1 1 6 4 1 6 1 6 5 4 2 4 5 6 1 1 3 3 6 1 1 3 4 4 2 1 1 2 2 6 1 3[38] 2 2 5 4 3 1 1 6 4 1 6 1 6 5 4 2 4 5 6 1 1 3 3 6 1 1 3 4 4 2 1 1 2 2 6 1 3

[75] 3 2 3 4 4 6 6 1 6 6 3 4 4 6 3 4 1 3 4 5 5 2 3 5 4 5[75] 3 2 3 4 4 6 6 1 6 6 3 4 4 6 3 4 1 3 4 5 5 2 3 5 4 5

Absolute Häufigkeiten:Absolute Häufigkeiten: Relative HäufigkeitenRelative Häufigkeiten

> t<-table(c) > t<-table(c) > k<-t/sum(t)> k<-t/sum(t)> t> t > k> k

c c cc

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

18 17 16 15 14 20 18 17 16 15 14 20 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.200.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.20

500 Würfe:500 Würfe:d<-table(floor(runif(500,1,7)))d<-table(floor(runif(500,1,7)))> d> d 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 72 88 98 79 69 9472 88 98 79 69 94

> l<-c/sum(c)> l<-c/sum(c)> l> l 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0.144 0.176 0.196 0.158 0.138 0.1880.144 0.176 0.196 0.158 0.138 0.188

5000 Würfe:5000 Würfe:> n<-f/sum(f)> n<-f/sum(f)> n> n 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0.1606 0.1650 0.1724 0.1680 0.1662 0.16780.1606 0.1650 0.1724 0.1680 0.1662 0.1678

100000 Würfe:100000 Würfe:

> p<-h/sum(h)> p<-h/sum(h)> p> p

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

0.16505 0.16543 0.16639 0.16792 0.16721 0.16800 0.16505 0.16543 0.16639 0.16792 0.16721 0.16800

1000000 Würfe:1000000 Würfe:

> q<-i/sum(i)> q<-i/sum(i)> q> q

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

0.166552 0.166689 0.166694 0.166377 0.167116 0.1665720.166552 0.166689 0.166694 0.166377 0.167116 0.166572

Diagramm zeichnenDiagramm zeichnen

> c<-table(floor(runif(100,1,7)))> c<-table(floor(runif(100,1,7)))> d<-table(floor(runif(500,1,7)))> d<-table(floor(runif(500,1,7)))> e<-table(floor(runif(1000,1,7)))> e<-table(floor(runif(1000,1,7)))> f<-table(floor(runif(5000,1,7)))> f<-table(floor(runif(5000,1,7)))> g<-table(floor(runif(10000,1,7)))> g<-table(floor(runif(10000,1,7)))> h<-table(floor(runif(100000,1,7)))> h<-table(floor(runif(100000,1,7)))> i<-table(floor(runif(1000000,1,7)))> i<-table(floor(runif(1000000,1,7)))> k<-c/sum(c)> k<-c/sum(c)> l<-d/sum(d)> l<-d/sum(d)> m<-e/sum(e)> m<-e/sum(e)> n<-f/sum(f)> n<-f/sum(f)> o<-g/sum(g)> o<-g/sum(g)> p<-h/sum(h)> p<-h/sum(h)> q<-i/sum(i)> q<-i/sum(i)

> zu[1]<-k[6]> zu[1]<-k[6]> zu[2]<-l[6]> zu[2]<-l[6]> zu[3]<-m[6]> zu[3]<-m[6]> zu[4]<-n[6]> zu[4]<-n[6]> zu[5]<-o[6]> zu[5]<-o[6]> zu[6]<-p[6]> zu[6]<-p[6]> zu[7]<-q[6]> zu[7]<-q[6]

DiagrammeDiagramme

> plot(zu)> plot(zu)

> x<-c(100,500,1000,5000,10000,100000,1000000)> x<-c(100,500,1000,5000,10000,100000,1000000)> plot(x,zu)> plot(x,zu)

KritikKritik

Zeigt anschaulich die Annäherung an die Zeigt anschaulich die Annäherung an die relative Häufigkeit 1/6relative Häufigkeit 1/6

Im ersten Diagramm sieht man die Im ersten Diagramm sieht man die Annäherung sehr gut, aber die Skalierung Annäherung sehr gut, aber die Skalierung der x-Achse ist falschder x-Achse ist falsch

Im zweiten Diagramm stimmt die Im zweiten Diagramm stimmt die Skalierung der x-Achse, aber man erkennt Skalierung der x-Achse, aber man erkennt nicht mehr vielnicht mehr viel

Das d´Alembertsche Das d´Alembertsche MünzproblemMünzproblem

Zwei nicht unterscheidbare Münzen werden Zwei nicht unterscheidbare Münzen werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf erscheint?Kopf erscheint?

Sind die Ereignisse (K,K), (Z,Z), (K,Z) Sind die Ereignisse (K,K), (Z,Z), (K,Z) gleichberechtigt oder nicht?gleichberechtigt oder nicht?

Unterstützung durch R?Unterstützung durch R?

Werfen von zwei Münzen:Werfen von zwei Münzen:

> m<-floor(runif(20,1,3))> m<-floor(runif(20,1,3))> o<-floor(runif(20,1,3))> o<-floor(runif(20,1,3))

Zusammenfügen:Zusammenfügen:

> rbind(m,o)> rbind(m,o) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14][,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]m 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2m 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2o 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2o 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] m 2 2 2 2 1 2m 2 2 2 2 1 2o 2 2 2 2 2 2o 2 2 2 2 2 2

Bilden der Summe:Bilden der Summe:

> zu<-m+o> zu<-m+o

Tabelle:Tabelle:

> ta<-table(zu)> ta<-table(zu)

> ta> ta

zuzu

2 3 4 2 3 4

6 8 6 6 8 6

Zuordnung der Merkmale:Zuordnung der Merkmale:

> wk<-zu> wk<-zu

> wk[zu==2]<-"KK"> wk[zu==2]<-"KK"

> wk[zu==3]<-"ZK"> wk[zu==3]<-"ZK"

> wk[zu==4]<-"ZZ"> wk[zu==4]<-"ZZ"

Tabelle mit Merkmalen:Tabelle mit Merkmalen:

> table(wk)> table(wk)

wkwk

KK ZK ZZ KK ZK ZZ

6 8 6 6 8 6

Aufgespaltene Tabelle:Aufgespaltene Tabelle:

> t<-table(m,o)> t<-table(m,o)

> t> t

oo

m 1 2m 1 2

1 6 61 6 6

2 2 62 2 6

Graphische DarstellungGraphische Darstellung

> barplot(ta)

100 Münzwürfe100 MünzwürfeZweifacher Würfelwurf:Zweifacher Würfelwurf:

> n<-floor(runif(100,1,3))> n<-floor(runif(100,1,3))> p<-floor(runif(100,1,3))> p<-floor(runif(100,1,3))

Summe bilden:Summe bilden:

> zus<-n+p> zus<-n+p

Tabelle:Tabelle:

> tab<-table(zus)> tab<-table(zus)> tab> tabzuszus 2 3 4 2 3 4 26 50 24 26 50 24

Tabelle mit Merkmalen:Tabelle mit Merkmalen:

> wz<-zus> wz<-zus> wz[zus==2]<-"KK"> wz[zus==2]<-"KK"> wz[zus==3]<-"KZ"> wz[zus==3]<-"KZ"> wz[zus==4]<-"ZZ"> wz[zus==4]<-"ZZ"

> table(wz)> table(wz)wzwzKK KZ ZZ KK KZ ZZ 26 50 24 26 50 24

Aufgespaltene Tabelle:Aufgespaltene Tabelle:

> ta<-table(n,p)> ta<-table(n,p)> ta> ta pp n 1 2n 1 2 1 26 181 26 18 2 32 242 32 24

Graphische DarstellungGraphische Darstellung> barplot(tab)

KritikKritik

Unterstützung durch R sinnvollUnterstützung durch R sinnvoll Simulation auch bei größerer Simulation auch bei größerer

Zahlenmenge möglichZahlenmenge möglich Nur sehr schwer möglich, zwei nicht Nur sehr schwer möglich, zwei nicht

unterscheidbare Münzen zu werfen, wie unterscheidbare Münzen zu werfen, wie hier eigentlich nötighier eigentlich nötig

Würfel-ParadoxonWürfel-Paradoxon

Wenn man zwei nicht unterscheidbare Würfel wirft, sind Wenn man zwei nicht unterscheidbare Würfel wirft, sind sowohl die 9 als auch die 10 auf zwei verschiedenen sowohl die 9 als auch die 10 auf zwei verschiedenen Wegen erhältlich. Wegen erhältlich.

Wenn man drei nicht unterscheidbare Würfel wirft, können Wenn man drei nicht unterscheidbare Würfel wirft, können sich die 9 und die 10 auf jeweils sechs verschiedenen sich die 9 und die 10 auf jeweils sechs verschiedenen Arten ergeben.Arten ergeben.

Wieso erhält man bei zwei Würfeln häufiger 9 als 10, bei Wieso erhält man bei zwei Würfeln häufiger 9 als 10, bei

drei Würfeln 10 öfter als 9?drei Würfeln 10 öfter als 9?

Unterstützung durch R?Unterstützung durch R?Zweifacher Würfelwurf:Zweifacher Würfelwurf:

> w<-floor(runif(100,1,7))> w<-floor(runif(100,1,7))

> v<-floor(runif(100,1,7))> v<-floor(runif(100,1,7))

Bilden der Augensumme:Bilden der Augensumme:

> zu<-w+v> zu<-w+v

Tabelle:Tabelle:

> ta<-table(zu)> ta<-table(zu)

> ta> ta

zuzu

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 10 5 16 10 15 10 2 10 5 16 10 15 10 1616 6 6 7 3 7 3

Aufgespaltene Tabelle:Aufgespaltene Tabelle:

> t<-table(w,v)> t<-table(w,v)

> t> t

vv

w 1 2 3 4 5 6w 1 2 3 4 5 6

1 2 3 2 5 1 41 2 3 2 5 1 4

2 7 1 7 2 0 02 7 1 7 2 0 0

3 2 1 1 3 3 3 2 1 1 3 3 55

4 3 4 4 4 4 3 4 4 4 6 6 11

5 2 1 1 5 2 1 1 44 22 3 3

6 3 2 6 3 2 11 33 4 3 4 3

Dreifacher Würfelwurf:Dreifacher Würfelwurf:

> a<-floor(runif(100,1,7))> a<-floor(runif(100,1,7))> b<-floor(runif(100,1,7))> b<-floor(runif(100,1,7))> c<-floor(runif(100,1,7))> c<-floor(runif(100,1,7))

Bilden der Augensumme:Bilden der Augensumme:

> zus<-a+b+c> zus<-a+b+c

Tabelle:Tabelle:

> tabl<-table(zus)> tabl<-table(zus)> tabl> tablzuszus 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 3 11 9 3 3 11 9 99 12 12 11 17 8 8 6 2 1 11 17 8 8 6 2 1

> tab<-table(a,b,c)> tab<-table(a,b,c)> tab> tab, , c = 1, , c = 1

bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 1 2 01 0 0 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 0 00 3 1 0 1 0 3 1 0 1 0 00 00 4 1 0 0 4 1 0 0 00 0 0 11 5 1 1 5 1 1 1 1 22 0 2 0 2 6 0 6 0 11 00 0 1 0 0 1 0

, , c = 2, , c = 2 bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 11 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 00 11 3 0 0 1 3 0 0 1 11 11 0 0 4 0 0 4 0 0 00 00 0 1 0 1 5 1 5 1 11 11 0 0 2 0 0 2 6 6 00 00 0 2 0 1 0 2 0 1

, , c = 3, , c = 3

bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 00 00 2 0 0 0 2 0 0 0 00 00 1 1 3 2 0 3 2 0 00 00 0 0 0 0 4 0 4 0 00 00 1 0 0 1 0 0 5 5 22 0 0 0 1 1 10 1 1 1 6 6 00 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1

, , c = 4, , c = 4 bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 0 0 2 1 0 0 2 11 00 2 2 2 0 0 2 0 0 00 11 0 1 0 1 3 1 3 1 00 00 0 0 1 0 0 1 4 4 1 1 22 0 1 0 0 0 1 0 0 5 5 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 06 0 0 1 0 0 0

, , c = 5, , c = 5

bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 1 0 1 1 0 00 00 0 0 0 0 2 1 2 1 00 00 0 1 0 0 1 0 3 3 00 1 1 0 0 0 00 0 0 0 4 4 11 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 5 1 2 0 0 1 05 1 2 0 0 1 0 6 1 1 1 1 1 06 1 1 1 1 1 0

, , c = 6, , c = 6 bba 1 2 3 4 5 6a 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 0 0 22 1 0 0 1 0 0 2 2 00 00 0 1 0 0 0 1 0 0 3 3 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 1 4 2 2 0 1 0 04 2 2 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 15 0 0 1 0 1 1 6 1 0 2 0 0 06 1 0 2 0 0 0

Graphische DarstellungGraphische Darstellung

Mit zwei Würfeln: > plot(ta)

Mit drei Würfeln: > plot(tab)

KritikKritik

Kann zeigen, dass bei zweimaligem Kann zeigen, dass bei zweimaligem Würfeln die 9, bei dreimaligem Würfeln die Würfeln die 9, bei dreimaligem Würfeln die 10 öfter vorkommt10 öfter vorkommt

Die graphische Darstellung verdeutlicht Die graphische Darstellung verdeutlicht dies nochdies noch

Die aufgespaltenen Tabellen sind Die aufgespaltenen Tabellen sind besonders bei dreimaligem Würfelwurf besonders bei dreimaligem Würfelwurf sehr unübersichtlichsehr unübersichtlich

Augensummen bei zwei WürfelnAugensummen bei zwei Würfeln

100 mal würfeln:100 mal würfeln:

> d<-floor(runif(100,1,7))> d<-floor(runif(100,1,7))> e<-floor(runif(100,1,7))> e<-floor(runif(100,1,7))

Augensumme:Augensumme:

> z<-d+e> z<-d+e

Tabelle:Tabelle:

> t<-table(z)> t<-table(z)> t> tzz 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 11 10 13 18 12 16 6 4 4 3 3 11 10 13 18 12 16 6 4 4

DiagrammDiagramm> plot(t)

1000000 mal würfeln:1000000 mal würfeln:

> f<-floor(runif(1000000,1,7))> f<-floor(runif(1000000,1,7))> g<-floor(runif(1000000,1,7))> g<-floor(runif(1000000,1,7))

Augensumme:Augensumme:

> zu<-f+g> zu<-f+g

Tabelle:Tabelle:

> ta<-table(zu)> ta<-table(zu)> ta> tazuzu 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8

28078 55718 83552 110740 139410 166052 138318 28078 55718 83552 110740 139410 166052 138318 9 10 11 129 10 11 12 111122 83539 55718 27753 111122 83539 55718 27753

Angaben in Prozent:Angaben in Prozent:

> pr<-100*ta/sum(ta)> pr<-100*ta/sum(ta)> pr> przuzu 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

2.8078 5.5718 8.3552 11.0740 13.9410 16.60522.8078 5.5718 8.3552 11.0740 13.9410 16.6052 8 9 10 11 12 8 9 10 11 12 13.8318 11.1122 8.3539 5.5718 2.7753 13.8318 11.1122 8.3539 5.5718 2.7753

Gerundet:Gerundet:

> ro<-round(pr,2)> ro<-round(pr,2)> ro> rozuzu 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 2.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.612.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.61 8 9 10 11 128 9 10 11 12 13.83 11.11 8.35 5.57 2.78 13.83 11.11 8.35 5.57 2.78

> rb<-rbind(ta,ro)> rb<-rbind(ta,ro)> rb> rb 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 ta 28078.00 55718.00 83552.00 110740.00 139410.00 166052.00 ta 28078.00 55718.00 83552.00 110740.00 139410.00 166052.00 ro 2.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.61ro 2.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.61

8 9 10 11 128 9 10 11 12ta 138318.00 111122.00 83539.00 55718.00 27753.00ta 138318.00 111122.00 83539.00 55718.00 27753.00ro 13.83 11.11 8.35 5.57 2.78ro 13.83 11.11 8.35 5.57 2.78

> t(rb)> t(rb) ta rota ro2 28078 2.812 28078 2.813 55718 5.573 55718 5.574 83552 8.364 83552 8.365 110740 11.075 110740 11.076 139410 13.946 139410 13.947 166052 16.617 166052 16.618 138318 13.838 138318 13.839 111122 11.119 111122 11.1110 83539 8.3510 83539 8.3511 55718 5.5711 55718 5.5712 27753 2.7812 27753 2.78

DiagrammDiagramm> plot(ta)

KritikKritik

Zeigt sehr anschaulich die Annäherung an Zeigt sehr anschaulich die Annäherung an die verschiedenen Wahrscheinlichkeitendie verschiedenen Wahrscheinlichkeiten

Besonders das Diagramm verdeutlicht Besonders das Diagramm verdeutlicht diesdies

WürfelspielWürfelspiel

Man hat einen Laplace-Würfel, dessen Flächen die Man hat einen Laplace-Würfel, dessen Flächen die Ziffern 1,1,1,1,2,2 tragen.Ziffern 1,1,1,1,2,2 tragen.

Mit diesem Würfel wird dreimal gewürfelt. Mit diesem Würfel wird dreimal gewürfelt. Erscheint dabei die Eins öfter als die Zwei, dann Erscheint dabei die Eins öfter als die Zwei, dann gewinnt A, sonst gewinnt B.gewinnt A, sonst gewinnt B.

Wenn A gewinnt, bekommt er eine Geldeinheit. Wenn A gewinnt, bekommt er eine Geldeinheit. Gewinnt B, so erhält er zwei Geldeinheiten.Gewinnt B, so erhält er zwei Geldeinheiten.

Kann B mit dieser Vereinbarung zufrieden sein?Kann B mit dieser Vereinbarung zufrieden sein?

Unterstützung durch R?Unterstützung durch R?Ziffern der Seiten des Würfels:Ziffern der Seiten des Würfels:

w<-c(1,1,1,1,2,2)w<-c(1,1,1,1,2,2)

Zuordnung: Zuordnung:

w<-c(1,2,3,4,5,6)w<-c(1,2,3,4,5,6)

> ww<-floor(runif(100,1,7))> ww<-floor(runif(100,1,7))> wx<-floor(runif(100,1,7))> wx<-floor(runif(100,1,7))> wy<-floor(runif(100,1,7))> wy<-floor(runif(100,1,7))

Zusammenfügen:Zusammenfügen:

> r<-rbind(ww,wx,wy)> r<-rbind(ww,wx,wy)> r> r [,1] [,1] [,2] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14][,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]ww 3 3 ww 3 3 2 2 4 6 1 6 6 4 4 6 1 6 6 4 1 1 6 6 2 2 4 4 6 6wx wx 5 2 5 2 1 1 4 5 2 2 6 1 4 5 2 2 6 1 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2wy wy 1 2 1 2 2 6 1 3 4 1 2 2 6 1 3 4 1 2 2 2 6 6 6 6 2 2 1 1

Rücksubstitution:Rücksubstitution:

> tt<-r> tt<-r> tt[r<5]<-1> tt[r<5]<-1> tt[r>4]<-2> tt[r>4]<-2

> tt> tt [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14][,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]ww 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2ww 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2wx 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1wx 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1wy 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 wy 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1

Zählen der Würfe mit mindestens zweimal Zahl:Zählen der Würfe mit mindestens zweimal Zahl:

> Ag<-apply(tt,2,sum)> Ag<-apply(tt,2,sum)> T<-sum(Ag>4)> T<-sum(Ag>4)> T> T[1] 17 [1] 17

KritikKritik

Unterstützt die Aufgabe nicht sehrUnterstützt die Aufgabe nicht sehr Man kann die Lösung nur bestätigenMan kann die Lösung nur bestätigen

FazitFazit

Für Schule nicht sehr sinnvoll, da die Befehle sehr Für Schule nicht sehr sinnvoll, da die Befehle sehr umständlich sind und es keine expliziten Befehle für umständlich sind und es keine expliziten Befehle für Simulationen gibtSimulationen gibt

Nur wenige Aufgaben, die für die Schule relevant sind, Nur wenige Aufgaben, die für die Schule relevant sind, können durch R unterstützt werdenkönnen durch R unterstützt werden

Für Stabilisierung der relativen Häufigkeit ist R nützlich, Für Stabilisierung der relativen Häufigkeit ist R nützlich, da man eine hohe Anzahl von Versuchen simulieren da man eine hohe Anzahl von Versuchen simulieren kannkann

Für Schüler selbst sind die Befehle zu kompliziert, Lehrer Für Schüler selbst sind die Befehle zu kompliziert, Lehrer kann R zur Veranschaulichung im Unterricht verwenden kann R zur Veranschaulichung im Unterricht verwenden