CRAPS

-altes englisches Glücksspiel mit zwei Würfeln

-eines der beliebtesten Würfelspiele in den USA

Craps-Regeln

-Shooter wirft 2 6-seitige Würfel von einer Seite des Craps-Tisches zur anderen

- Augensumme 7 oder 11 bedeutet sofortigen Gewinn

- Augensumme 2,3 oder 12 bedeutet sofort verloren

- beliebige andere Zahl wird zur „Punktzahl“

- erneutes Würfeln dieser Zahl, bevor eine 7 gewürfelt wird = gewonnen

- würfeln einer 7 = verloren

Zählt man die Würfelpaare          und         als zwei verschiedene Paare, obwohl in beiden je ein Würfel eine     und einer eine     zeigt, dann gibt es in Würfelpaaren ausgedrückt 36 verschiedene, mögliche Würfe.

Die möglichen Würfe

Manche Würfe sind also wahrscheinlicher als andere.

Siegeswahrscheinlichkeit nach dem ersten Wurf

Sofort gewonnen hat man bei einer 7 oder einer 11. Es gibt :      2 verschiedene Möglichkeiten eine 11 zu würfeln:        und        6 verschiedene Möglichkeiten eine 7 zu würfeln:          und

Teilt man nun diese acht "günstigen" Möglichkeiten durch die Anzahl aller möglichen Wurfergebnisse (36) so erhält man die Gewinnwahrscheinlichkeit P beim ersten Wurf: 

Psofort = 2/36 + 6/36 = 2/9 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, sofort zu verlieren  Es gibt insgesamt

1 Möglichkeit eine 2 zu würfeln2 verschiedene Möglichkeiten eine 3 zu würfeln1 Möglichkeit eine 12 zu würfelnDie Gesamtwahrscheinlichkeit sofort zu verlieren beträgt also:

P = 1/36 + 2/36 + 1/36 = 1/9

Mit dem ersten Wurf erreicht man also

- das Ereignis "gewonnen" mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/9- das Ereignis "verloren" mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/9.

Durch den Wurf der Augensummen 4, 5, 6, 8, 9 oder 10 hätte man aber auch weitere Ereignisse erreichen können.  Beim ersten Wurf fällt "4" oder "10“

Die Augensumme "4" erhält man auf drei verschiedene Arten:

oder

Eine "10" ergibt sich ebenfalls auf drei verschiedene Weisen: 

oder

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Wurf das Ereignis "4 oder 10" zu erreichen, beträgt also:

3/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6

Daher fasst man diese beiden Fälle zu dem gemeinsamen Ereignis “4 oder 10" zusammen.

Beim ersten Wurf fällt "5" oder "9" Die Augensumme "5" erhält man auf vier verschiedene Arten:

oder

Eine "9" ergibt sich ebenfalls auf vier verschiedene Weisen: 

oder

Daher fasst man diese beiden Fälle zu dem gemeinsamen Zustand "5 oder 9" zusammen.

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Wurf in den Zustand "5 oder 9" einzutreten, beträgt also:

4/36 + 4/36 = 8/36

Beim ersten Wurf fällt "6" oder "8" Schließlich kann man noch die Augensummen "6" und "8" zu einem gemeinsamen Zustand "6 oder 8" zusammenfassen, denn die Augensumme "6" erhält man auf 5 verschiedene Arten:

oder

und eine "8" ergibt sich ebenfalls auf fünf verschiedene Weisen: 

oder

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Wurf in den Zustand "6 oder 8" einzutreten, beträgt also:

5/36 + 5/36 = 10/36

Dies war die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit beim ersten Wurf.

Um die Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:

- die Pfadregel

- die Markoff-Ketten

Pfadregel

Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt

Hat man beim ersten Wurf weder gewonnen noch verloren, so kann man immer noch durch den Wurf der Augensumme gewinnen, die bereits beim ersten Wurf erzielt wurde, bzw. durch den Wurf einer "7" verlieren:  

Beim ersten Wurf fällt "4" oder "10"

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine "4" oder "10" zu würfeln, wurde bereits zuvor berechnet:

1/6         

Ergebnis nach dem zweiten Wurf :

Man erhält erneut die zuvor gewürfelte Augensumme mit einer Wahrscheinlichkeit von       1/12

Die Wahrscheinlichkeit, eine "7" zu würfeln, und damit zu verlieren, beträgt:       1/6 In allen anderen Fällen muss man noch einmal würfeln. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt  1 - 1/12- 1/6 = 3/4 

Die Wahrscheinlichkeit nach dem zweiten Würfeln mit einer "4 oder 10" zu gewinnen beträgt also nach der Pfadregel  1/6 · 1/12.

Die Wahrscheinlichkeit nach dem dritten Würfeln mit einer "4 oder 10" zu gewinnen beträgt also  1/6 · 3/4 · 1/12 usw.

Also erhält man für die Wahrscheinlichkeit, mit einer "4" oder "10" zu gewinnen:

P4,10= 

1/6·1/12+ 1/6 ·3/4 · 1/12+ 1/6 · 3/4 · 3/4 · 1/12+1/6 · 3/4 · 3/4 · 3/4 · 1/12+ 1/6 · 3/4 · 3/4 · 3/4 · 3/4 · 1/12+...

Verwendet man für die unendliche Summe das Summenzeichen, so lässt sich dies schreiben als

= 1/18

Eine Summe der Form                                  nennt man geometrische Reihe

Für p  ≠ 1 lässt sich der Wert dieser Reihe wie folgt berechnen:

Multipliziere die Reihe mit (1-p).

Die zweite Summe wird umskaliert

Beim Durchführen der Subtraktion ...

bleibt von jeder Summe nur ein Summand übrig.

Daraus ergibt sich ...

Wenn p   1 ist, darf man die Gleichung durch (1-p) teilen.

Summenformel für die geometrische Reihe

Für unendliche Reihen muss man den Grenzfall        betrachten:

Für die geometrische Reihe heißt das:

Damit kann der Wert einer unendlichen geometrischen Reihe nach der folgenden Formel berechnet werden :

Berechnung der Siegeswahrscheinlichkeit, wenn im ersten Wurf eine "4" oder "10“geworfen wurde:

Berechnung der Summe mit der Summenformel für die unendliche geometrische Reihe :

Damit erhalten wir:

Konkretes Beispiel:

Eine weitere Methode zum berechnen der Gesamtwahrscheinlichkeit sind die Markoff-KettenMarkoff-Ketten

Definition:Eine Markoff-Kette ist ein stochastischer Prozess, d.h. eine Folge von Zufallsversuchen, die durch verschiedene Ereignisse beschrieben werden. Dabei ist die Übergangswahrscheinlichkeit pij, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von Ej in das Ereignis Ei gewechselt wird, eindeutig festgelegt.

Ereignisse Das Spiel Craps kann man also in fünf verschiedene Ereignisse E1, E2, E3, E4 und E5 einteilen.

Nr. 1 2 3 4 5Ereignis gewonnen 4 oder 10 5 oder 9 6 oder 8 verloren

Wir haben zu Anfang die Wahrscheinlichkeiten ai, mit denen das Spiel zu Beginn in eines der fünf möglichen Ereignisse eintritt, berechnet:

Ereignis-Nr. 1 2 3 4 5Wahrscheinlichkeit

a1=2/9 a2=1/6 a3=2/9 a4=5/18 a5=1/9

Diese fassen wir nun zum so genannten Anlaufvektor zusammen.

Nr. Ereignis P nach 1. Wurf

1 gewonnen

2 4 oder 10

3 5 oder 9

4 6 oder 8

5 Verloren

Der Anlaufvektor

Wahrscheinlichkeit, nach mehrmaligem Würfeln bzw. am Ende des Spiels gewonnen oder verloren zu haben:

Diese Übergangswahrscheinlichkeiten werden in der sogenannten Übergangsmatrix zusammengefasst:

Ereignis vorher

1 2 3 4 5

1 P11 P12 P13 P14 P15

2 P12 P22

P23 P24 P25

3 P31 P32 P33 P34 P35

4 P41 P42 P43 P44 P45

5 P51 P52 P53 P54 P55

Zum Beispiel bezeichnet p53 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler der sich im Ereignis E3 ("5 oder 9") befindet mit dem nächsten Wurf in das Ereignis E5 ("verloren") übergeht.

Ere

igni

s na

chhe

r

Ab dem zweiten Wurf verliert der Spieler, wenn er die Augensumme "7" würfelt.

Es gibt insgesamt:

6 verschiedene Möglichkeiten ein 7 zu würfeln

Damit ist die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis E3 ("5 oder 9") in das Ereignis E5 ("verloren") zu wechseln:

                 

, , , , und

P53 = 6/36 = 1/6

1 2 3 4 5

1 P11

P12

P13

P14

P15

2 P21

P22

P23

P24

P25

3 P31

P32

P33

P34

P35

4 P41

P42

P43

P44

P45

5 P51

P52

1/6

P54

P55

Damit haben wir einen neuen Eintrag in die Übergangsmatrix

Ereignis vorher

Ere

ign

is n

ach

he

r

Absorbierende Ereignisse

Wer einmal gewonnen hat, braucht nicht mehr zu würfeln. Der Spieler kommt dann aus dem Ereignis E1 ("gewonnen") nicht mehr heraus. Daher ist die Übergangswahrscheinlichkeit p11 = 1.

Entsprechend sind p21 = p31 = p41= p 51 = 0, denn wenn man einmal gewonnen hat, kann man kein anderes Ereignis mehr erreichen.

Ereignis vorher

  1 2 3 4 5

Ereignis   nachher      

1 1 p12 p13 p14 p15

2 0 p22 p23 p24 p25

3 0 p32 p33 p34 p35

4 0 p42 p43 p44 p45

5 0 p52 1/6 p54 p55

Auch das Ereignis E5 ("verloren") ist ein absorbierender Zustand. Wer einmal verloren hat, darf nicht mehr würfeln. Es ist also auch

p55   =   1

und   p15   =   p25   =   p35   =   p45   =  0   

                       

Ereignis vorher

  1 2 3 4 5

Ereignis      nachher      

1 1 p12 p13 p14 0

2 0 p22 p23 p24 0

3 0 p32 p33 p34 0

4 0 p42 p43 p44 0

5 0 p52 1/6 p54 1

Übergänge vom Ereignis 2 "4 oder 10“

Befindet sich der Spieler nach dem ersten Wurf im Ereignis E2 ("4 oder 10"), gibt es drei Möglichkeiten in ein anderes Ereignis zu wechseln: -erneutes Würfeln der Augensumme des 1. Wurfs gewonnen -würfeln einer "7" verloren -verweilt ansonsten im selben Ereignis. Ein Übergang aus dem Ereignis E2 in das Ereignis E3 oder E4 ist also nicht möglich. Deshalb gilt:

p32 = p42 = 0

                          

Ereignis vorher

  1 2 3 4 5

Ereignis      nachher      

1 1 p12 p13 p14 0

2 0 p22 p23 p24 0

3 0 0 p33 p34 0

4 0 0 p43 p44 0

5 0 p52 1/6 p54 1

Spaltenregel

Die Summe der Übergangswahrscheinlichkeiten in einer Spalte der Übergangsmatrix muss gleich 1 sein:

Es fehlt die Wahrscheinlichkeit p22 für das Verweilen im Ereignis E2.

- Wahrscheinlichkeit, durch Würfeln ein beliebiges anderes Ereignis zu erreichen oder im gleichen Ereignis zu verweilen = 1 (eine dritte Möglichkeit gibt es nicht)

Daraus ergibt sich:

Für das Ereignis 2 gilt also:

1/12 + p22 + 0 + 0 + 1/6 = 1

und damit

p22 = 1 - 1/6 - 1/12 = 3/4

 

Ereignis vorher

  1 2 3 4 5

Ereignis      nachher      

1 1 1/12 p13 p14 0

2 0 3/4 p23 p24 0

3 0 0 p33 p34 0

4 0 0 p43 p44 0

5 0 1/6 1/6 p54 1

Vervollständigte Tabelle

Ereignis vorher

  1 2 3 4 5

Ereignis      nachher      

1 1 1/12 1/9 5/36 0

2 0 3/4 0 0 0

3 0 0 13/18 0 0

4 0 0 0 25/36 0

5 0 1/6 1/6 1/6 1

Die soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten werden in der Übergangsmatrix M zusammengefasst:

Im Folgenden die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die fünf Ereignisse nach dem zweiten, dritten, ..., n-ten Wurf.

Je länger das Spiel dauert, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass man sich in einem der beiden absorbierenden Zustände ("gewonnen" bzw. "verloren") befindet. Die Häufigkeit von gewonnenen und verlorenen Spielen gleicht sich dabei immer mehr an.

Nach zwei Würfen kann man auf verschiedenen Wegen in das Ereignis E1 ("gewonnen") gelangt sein, nämlich mit Zwischenstation in jedem der fünf Ereignisse:

Wenn man die Übergangsmatrix M mit dem Anlaufvektor a multipliziert, erhält man den Wahrscheinlichkeitsvektor a2 für die Ereigniswahrscheinlichkeiten nach dem zweiten Wurf :

M · a = a2

Multipliziert man die komplette Übergangsmatrix M mit dem Anlaufvektor a, so erhält man folgenden Wahrscheinlichkeitsvektor a2 :

Die Übergangswahrscheinlichkeiten mit dem dritten Wurf sind dieselben wie zuvor mit dem zweiten Wurf. Erneutes Multiplizieren der Übergangsmatrix M mit dem Wahrscheinlichkeitsvektor a2 liefert also den Wahrscheinlichkeitsvektor a3 nach dem dritten Wurf:

M · a2 = a3

a2 entsteht bereits durch einmaliges Multiplizieren der Matrix M mit dem Anlaufvektor a. Daher gilt:

M · a2 = M · (M · a) = M² · a

Es ist also M² · a = a3 der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem dritten Wurf

M³ · a = a4 der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem vierten Wurf...

Mn-1 · a = an der Wahrscheinlichkeitsvektor nach dem n-ten Wurf

Um die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, sich nach unendlich vielen Würfen im Ereignis E1 ("gewonnen ") zu befinden, zu bestimmen, muss die Matrix M unendlich oft mit dem Anlaufvektor a multipliziert werden:

M∞ · a = aGesamt

Die Einträge p∞ ij der Matrix M∞ entsprechen den Wahrscheinlichkeiten, mit denen man durch unendlich häufiges Würfeln vom Ereignis Ej in das Ereignis Ei gelangt.

Spätestens nach unendlich vielen Wurfwiederholungen muss man in einen der beiden Endzustände ("gewonnen" bzw. "verloren") übergehen. Daher sind nach unendlich vielen Würfen die Übergangswahrscheinlichkeiten in die Ereignisse E2, E3 oder E4 gleich Null:

p ∞ 2j = p ∞ 3j = p ∞ 4j = 0

Die Ereignisse E1 ("gewonnen") und E2 ("verloren") sind nach wie vor absorbierende Ereignisse. Daher gilt:

p ∞ 11 = p ∞ 55 = 1p ∞ 51 = p ∞ 15 = 0      

Wer nach dem ersten Wurf im Ereignis E2, E3 oder E4 startet, gewinnt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit nach i = 1, 2, 3, ... oder eben erst nach unendlich vielen weiteren Würfen.

Insgesamt gewinnt man also mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

p°°12 =

p °°13 =

p °°14 =

Hat man nach unendlich vielen Würfen nicht gewonnen, so hat man verloren haben. In einem Zwischenereignis kann man sich nicht mehr befinden.

Daher berechnen sich die Gesamtübergangswahrscheinlichkeiten in das Ereignis E5 ("verloren") für einen Spieler, der nach dem ersten Wurf im Ereignis E2, E3 oder E4 startet, wie folgt:

p∞52 =

p∞53 =

p∞54 =

Multipliziert man also die Übergangsmatrix M unendlich oft mit sich selbst, so erhält man die folgende Endform der Übergangsmatrix :

Multipliziert man die Endform der Übergangsmatrix mit dem Anlaufvektor, so kann man sofort die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten nach unendlich vielen Würfen ablesen :

M∞ · a = = a Gesamt

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für den Ereignis E1 ("gewonnen") ist also 244/495, und für den Ereignis E5 ("verloren") 251/495.

Das Glücksspiel Craps fällt also immer ganz leicht zu Gunsten der Spielbank aus.