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Stahlbau Grundlagen
Der Grenzzustand der Stabilität nach Theorie II. Ordnung
Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2
Geometrisch perfektes System: keine Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht im Nachbarzustand führt auf das Stabilitätsproblem „Systemknicken“
Leitbauwerk Halle
Geometrisch imperfektes System: Schiefstellung liefert Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht am verformten System führt auf das Spannungsproblem „Zugkraft in der Diagonalen“
hz
z
1
Z ist von δ abhängig, aber δ ist auch von Z abhängig (elastische Verformung der Diagonalen) nicht sofort geschlossen lösbar
( ) 2322Diagonale
2
crLa4
LEAaN
+⋅
⋅⋅=
aLa
LP4Z
aLaZZ
P4LZ :0M
22
22
h
h1
+⋅
⋅⋅=
+⋅=
⋅⋅=⋅=∑
δ
δ
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Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel
• anfängliche Federkraft aus Gleichgewicht:
Anfangsschiefstellung δ0 und Ersatz der Zug-diagonalen durch Feder mit der Steifigkeit K
LP4H :0M 001
δ⋅⋅==∑
• daraus folgt die zusätzliche Verformung der Feder:
00
00 q
LkP4
kLP4
kH δδ
δδ ⋅=⋅
⋅⋅
=⋅⋅
==∆
• zusätzliche Federkraft L
P4H ∆∆ ⋅⋅=δ
• neue Federkraft ∆+= HHH 0• daraus folgt weitere Verformung:
02qq
LkP4
kH δδδδ ⋅=⋅=⋅
⋅⋅
== ∆∆∆
∆∆
• und erneuter Zuwachs der Federkraft….
dies sind Reihen mit immer kleiner werdenden Zuwächsen!
...HHHH ... 00ges +++=+++= ∆∆∆∆∆∆∆ δδδδ
• neue Schiefstellung ∆δ+δ=δ 0ges
...LKP4
LKP4
LKP4
0
3
0
2
00ges +δ⋅
⋅⋅
+δ⋅
⋅⋅
+δ⋅
⋅⋅
+δ=δ
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Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel
δ0
geometrische Reihe
( )
q11
...qqq1
0ges
320ges
−⋅δ=δ
++++⋅δ=δ
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Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel
δ0• Analog lässt sich die Federreaktion H entwickeln
cr
0:hier
0
0
2000
0
00
0
0
PP1
1H
LP
k41
1H
q11H
...qHqHH
:folgt LP
k4q mit
...LP
kLP
kH4
4LP
kH4H
...LP4
LP4H
...HHHH
−⋅= →
⋅−⋅=
−⋅=
+⋅+⋅+=
⋅=
+⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅+=
+⋅⋅+⋅⋅+=
+++=
∆∆∆
∆∆∆
δδ
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Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel
δ0 dabei ist:
oder auch:
Zusammenhang mit Systemknicken!
damit stehen 2 einfache Wege zur Berechnung eines imperfekten Systems zur Verfügung: 1. Steigerung über die Knicklast 2. Steigerung über den 1. Verformungs- bzw.
Lastzuwachs
crPP
Lk41
Pq =⋅⋅
=
00 HHq ∆∆ ==
δδ
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Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel
Elastizitätstheorie 2. Ordnung
umstellen liefert:
Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken) aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!
Plastizitätstheorie 2. Ordnung
plastische Grenze:
PR wahre Traglast δR Grenzverformung
plastische Grenzlast der Feder
−⋅=
δδ0
crel 1PP
δ⋅⋅
=LP4
H plpl
δ1
4LH
P plpl ⋅⋅
=
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• Werkstoff
Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung zusätzliches Moment aus N am
verformten Stab: • Gleichgewicht am verformten Stab:
mit M0: Anfangsmoment aus w0(x)
( ) ( ) ( )( )xwxwNxM :0M0V :0H
0H :0H
0H :0M
0
h
1
21
+⋅==
==
==
==
∑∑∑∑
wNMM 0 ⋅+=
''wEIM ⋅−=
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Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung
• DGL
• mit:
• folgt:
Da die Biegelinie aus der Lösung der DGL die Form: hat, wird für die Anfangsverformung der afine Ansatz gewählt:
0EIMw
EINw 0'' =+⋅+
0EIMww 02'' =+⋅+ α
EIN2 =α
⋅⋅⋅=
LxsinaNM0
π
⋅⋅=
Lxsinfw0
π
cr
0max
cr
NN1
1MM
Lxsin
NN1
1aNL
xsinfNM
−⋅=⇒
⋅⋅
−⋅⋅=
⋅⋅⋅=
ππ
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Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung
• Einsetzen
• es folgt:
cr
crges
cr2
2
cr
22
2
NN1
1aNN
N1afaf
aNN
Nf rd wiL
EIN mit
0L
xsinEI
aN...
...L
xsinfL
xsinfL
−+=
−
+⋅=+=
⋅−
=⋅
=
=
⋅⋅
⋅+
+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
π
π
παππ
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• Ansatz für den Verlauf der Vorverformung:
• Moment w0: Verformung:
• Hinweis: Die Norm geht von einem parabelförmigen Verlauf aus!
Verformter el. Einzelstab – Lösung mit Laststeigerung
hier als Knickform angenommen:
• 1. Zuwachs
• 2. Zuwachs
00 wNM ⋅= ( ) ( )EI
xMxw '' =
00
2
20
00
wM
ML
xsinaEI
LNdxEIwNw
LxsinaNwNM
⋅∆
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
=⋅
−=∆
⋅⋅⋅=⋅=
∫∫π
π
π
0
2
0
0
0
00
0
wM
MdxEIwN
MMdx
EIwNw
MMMw
MMNwNM
⋅
∆=
⋅⋅
∆−=
∆⋅−=∆∆
∆⋅∆=⋅
∆⋅=∆⋅=∆∆
∫∫∫∫
( )xw~aw0 ⋅=
( )L
xsinxw~ ⋅= π
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• mit
Verformter Einzelstab – Näherungslösung
( )q1
1w...qqq1w
...wM
MwM
MwM
Mww
0
Reihe hegeometrisc unendliche
320
0
3
00
2
00
00
−⋅=++++⋅=
+⋅
∆+⋅
∆+⋅
∆+=
cr2
200 N
N
Lxsina
LEI
LxsinaN
ww
MMq =
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=∆
=∆
=ππ
π
cr
0
NN1
1w−
⋅= δ
−⋅=⇒
w1NN 0cr
δ
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Falsche Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,2
Richtige Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,1
Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten • Nur exakt, wenn q=konst, d.h. ∆M, ∆∆M, ∆∆∆M alle affin
• Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!
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Bisher: ideal elastisches Werkstoffverhalten => was passiert, wenn plastische Gelenke auftreten? • Mpl,N – plastisches Moment
im Gelenk unter Berücksichtigung der M-N-Interaktion
• Plastizitätstheorie II. Ordnung Gleichgewicht an der verformten Fließgelenkkette
Vorverformter Einzelstab: Inelastisches Verhalten
Gleichgewicht:
Instabil! Größere Verformungen bedeuten kleinere Tragfähigkeiten !!!
wM
N0
N,pl
+=
δ
( )
wM
N
MwN
0
N,pl
N,pl0
+=⇒
=+⋅⇒
δ
δ
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Vorverformter Einzelstab: Reales Verhalten
= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung ohne Ansatz von strukturellen Imperfektionen
= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung mit Ansatz von strukturellen Imperfektionen
reales Verhalten: instabil
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Vorverformtes System
elastisches Verhalten
plastische Kette
reales Verhalten
[P=q∙l]
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 17
Vorverformtes System – reales Verhalten
• Einfluss der Eigenspannungen:
– Sukzessive Reduktion der Steifigkeiten durch früheren Fließbeginn
– Eigenspannungen beeinflussen auch den Ort, wo das plastische Gelenk entsteht und damit die Form der Gelenkkette – Es kommt bei bestimmten Systemen zu einem Versagen, bevor sich die gesamte plastische Kette gebildet hat
• Streuung der Eigenspannungen führt zu einer Streuung von Ptrag
[P=q∙l]
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 18
• Spannungsproblem, kein Eigenwertproblem mehr, wie bei der Stabilität!
• 1/(1-q) –Verfahren als einfache Näherung (geometrische Reihe)
• Elastische Theorie II. Ordnung: Ncr ist Grenzwert, der asymptotisch erreicht wird
• Gewählte Vorverformung muß in 1. Näherung der Knickform entsprechen
• Plastische Theorie II. Ordnung: plastische Gelenkketten sind instabil!
• Eigenspannungen und andere lokale Imperfektionen haben großen Einfluß auf die Traglast, sie werden durch eine entsprechende Vorverformung berücksichtigt
-> nach Elastizitätstheorie ll. Ordnung rechnen und mit plastischem Grenzzustand vergleichen (siehe DIN EN 1993-1-1)
• Einzelstäbe und Stabsysteme verhalten sich ähnlich
-> Grundlage des Ersatzstabverfahrens
Zusammenfassung
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 19
[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau
Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983
[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten
Beuth Verlag, 2005
[3] Petersen – Stahlbau
Vieweg, 3. Auflage, 2001
[4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen
Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982
Referenzen
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