Kapitel II Die Verformungsmethode Unverschiebliche Systeme · 2018. 3. 24. · unbestimmter Stabwerke. Die Näherung besteht darin, dass die Stäbe als dehnstarr angesehen und nur

Institute of Structural Engineering

Baustatik II, Prof.

Baustatik II

Kapitel II

Die VerformungsmethodeUnverschiebliche Systeme

Dr. E. Chatzi


Baustatik II

Lernziele dieses Kapitels

Die Verformungsmethode

• Die Slope/Deflection Methode

• Ableitung

• Lösungsschritte

• Das Drehwinkleverfahren

• Ableitung

• Äquivalenz zur Slope/Deflection Methode

• Verschiebliche Systeme

Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi



Eine Reihe von gleichwertigen Formulierungen der Verformungsmethode wurde eingeführt. Diese bieten ein Näherungsverfahren zur Berechnung ebener, statisch unbestimmter Stabwerke. Die Näherung besteht darin, dass die Stäbe als dehnstarr angesehen und nur Biegeverformungen berücksichtigt werden. Die Verformungsmethode stellt demnach ein Weggrößenverfahren dar.

Im Unterschied zur Kraftmethode, bei der aus dem Gleichungssystem der Formänderungsbedingungen unbekannte Kraftgrößen ermittelt werden, treten bei der Verformungsmethode Verformungen (bzw. Formänderungen) als Unbekannte auf, die aus Gleichgewichtsbedingungen zu berechnen sind.




Achtung! Vorzeichenkonvention Verformungsmethode für die Schnittgrössen M und V an den Stabenden und Knoten:

an den Stabenden:

Gegenuhrzeigersinn



Kommentar Wichtig ist zu wissen, welche die Vorzeichenkonvention für die Schnittgrössen sind. Im Gegensatz zu der Kraftmethode werden hier die Momente an den Stabenden im Gegenuhrzeigersinn als positiv definiert. An den Knoten dagegen gilt als positive Richtung für die Momente der Uhrzeigersinn. Auch für die Querkräfte an den Stabenden gilt der Gegenuhrzeigersinn als positiv. An dieser stelle muss allerdings betont werden, dass dies nur eine Konvention ist. Einer Grund warum wir den Gegenuhrzeigersinn als positiv betrachten ist, dass auch die Verdrehungen bei der Verformungsmethode im Gegenuhrzeigersinn als positiv gelten.



Welchen Einfluss hat der Blickwinkel im Fall von 3D Strukturen? Vorzeichenkonvention Verformungsmethode für die Schnittgrössen M:

B P B

B

A A

Fazit: Die Orientierung der Schrittgrößen hängt vom Blickwinkel ab, und nicht von der Position der gestrichelten Linie



Kommentar Bei der Verformungsmethode, dass der Blickwinkel entscheidend ist und konkreter: Der Moment beispielsweise im Punkt A lässt sich als positiv definieren, im ersten Fall (linke Figur) wenn die obere Seite des Balkens-, in zweiten Fall (rechte Figur) die untere Seite des Balkens gespannt ist.


Achtung! Schnittkörperdiagramme für 3D Strukturen sollten immer nach der klassischen Konvention gezeichnet werden

Klassische Vorzeichenkonvention für die Schnittgrösse M:

B

P B P B

C B

A [M]

C A

A [M]

Pl/4 B A

Pl/4

Äquivalent! (gespiegelt)

Fazit: [M] hängt nicht vom Blickwinkel ab, aber von der Position der gestrichelten Linie

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Kommentar Auf der anderen Seite gilt in den klassischen Betrachtung, dass der positive Moment nicht vom Blickwinkel sondern von der Position der gestrichelte Linie abhängt. Für die Zeichnung der Schnittdiagrame wird immer die klassische Konvention verwendet.

Page


Achtung! Schnittkörperdiagramme sollten für 3D Strukturen immer nach der klassischen Konvention gezeichnet werden

Klassische Vorzeichenkonvention für die Schnittgrösse V:

B

P B B

C C

A

[Q]

A

P/2 B

C

P/2

A [Q]

B

A

C

auch Äquivalent!

(gespiegelt & umgekehrten Vorzeichen)

Fazit: [Q] hängt sowohl vom Blickwinkel, als auch von der Position der gestrichelten Linie, ab.

Page


Kommentar Für die Querkräfte in der klassischen Konvention spielt der Blickwinkel wieder eine Rolle.

Page


Die Verformungsmethode – Slope/Deflection Methode

Die Knotengleichungen der Verformungsmethode verknüpfen die Kräfte mit den Verformungen (Translation und Rotation in den Knoten)

Positive Verschiebung

VAB A´

υA

Positive Drehung im Gegenuhrzeigersinn

φA

B´ φB MBA

υB

VBA B

MAB A

Beidseitig eingespannter Balken: Verformungen Infolge Translation und Rotation.

Page



Die Verformungsmethode – Slope/Deflection MethodeDie Gleichungen für die Verformungsmethode für einen beidseitig eingespannten EB Balken (ohne axiale Effekte) ist unten gegeben.

B

A´

B´

υA

υB

MAB

VABVBA

MBA

φB

φA

A

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB A A B B

AB A A B B

BA A A B B

BA A A B B

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

= − − + −

= + − +

Page



Herleitung: Die Slope/Deflection Methode Gleichungen

x

z

( ) ( ) EB beamAB AB AB ABM x M V x EIw x M V x′′= − − →− = − −


Institute of Structural Engineering Page 12



( )2

1( ) 2dx

AB AB AB ABxEIw x M V x EIw x M x V c∫′′ ′− = − − → = + +

dingungen ergeben Folgendes:2

01 1

0( ) 02

xA AB AB AEIw x M V c c EIϕ

= ′→ = ⋅ + + ⇒ = −

( ) ( )0 , A Bw x w x Lϕ ϕ′ ′= − = = − =

2 2

( )2 2

x LB AB AB A B AB AB A

L LEIw x M L V EI EI M L V EIϕ ϕ ϕ= ′→ = ⋅ + − ⇒ = − ⋅ − +





( )2 2 3( )

2( ) ( ) 2 2 6

II dxAB AB A AB AB A

x x xI EIw x M x V EI EIw x M V EI x cϕ ϕ∫′⇒ = + − → = + − +

( ) ( )0 , A Bw x w x Lυ υ= − = = − =2 3

02 2

0 0 02 6

xA AB AB A AEI M V EI c c EIυ ϕ υ

=→− = + − ⋅ + ⇒ = −

2 3

2 6x L

B AB AB A AL LEI M V EI L EIυ ϕ υ=→− = + − −





Aus den Gleichungen (III), (V) ergeben sich 2 Gleichungen für die Unbekannten VAB, MAB

2 2 3

2 3 2 3

3

3 2 3

2 2 2 4 2( ), ( )

2 6 2 6

2 12 212 6 12

B AB AB A B AB AB A

B AB AB A A B AB AB A A

B B AB A A AB A AEI EI E

L L L L LEI M L V EI EI M V EIIII V

L L L LEI M V EI L EI EI M V EI L EI

IVL L

L L LEI EI V EI EL

I

ϕ ϕ ϕ ϕ

υ ϕ υ υ ϕ υ

υ υ ϕϕ ϕ υ

= − ⋅ − + = − ⋅ − + ⇒ ⇒

− = + − − − = + − −

⇒ − + = − − − +− − ⇒ = 26

B BEIL

υ ϕ−

( )& 2AB AB A BL EIM V

Lϕ ϕ= − + −





Daher gilt es:

x

zφA

VBA

MBA

M(x)

V(x) BφB

V(x)

M(x)

MAB

VAB

A

Herleitung der Last-Verformungsgleichungen für ein dehnstarres Euler-Bernoulli Balkenelement in der xz-Ebene.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB

AB

BA

BA

EI EI EI EIL L L L

V EI EI EI EIM L LL LV EI EI EI EI

L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − −

−

A

A

B

B

υϕυϕ

Steifigkeitsmatrix



Die Verformungsmethode – Slope/Deflection MethodeDie Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ), können isoliert werden und umfassen die Spalten der folgenden Matrix.

B

A´

B´

υA

υB

MAB

VABVBA

MBA

φB

φA

A

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB

AB

BA

BA

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

A

A

B

B

υϕυϕ


Kommentar Die gesamte Schrittgrößen an den Enden des Balkens können durch Überlagerung erhalten, der einzelnen Effekten jeder einzelnen wirkenden Verschiebung und Verdrehung.



Die Verformungsmethode – Slope/Deflection Methode Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) können superponiert werden.



Die Verformungsmethode – Slope/Deflection MethodeDie Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) diese können aus den vorherigen Matrix berechnet werden

υA

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB

AB

BA

BA

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

A

A

B

B

υϕυϕ


Kommentar Hier fokussieren wir uns auf den Fall von wirkenden Verschiebungen an jedem Ende. Die erste und dritte Spalte der Matrix, die im Wesentlichen eine Steifigkeitsmatrix ist, entsprechen die Endmomente und Querkräfte, die sich aus einer Verschiebung am linken bzw. rechten Ende ergeben.




* φA

Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) diese können aus den vorherigen Matrix berechnet werden

φA

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB

AB

BA

BA

EI EI EI EIL L L L


L L L LMEI EI EI EI

L LL L

− − − − = − − − −

A

A

B

B

υϕυϕ

BφBA


Kommentar In der gleichen Weise entsprechen die zweite und die vierte Spalte die Schrittgrößen die wegen Verdrehungen am Ende des Balkens auferlegt werden.



4 2

2 4AB A

BA B

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

=

4 2

2 4AB A

BA B

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

= ⇒

( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.( 1) : Moment in , das entsteht, wenn in ein Knotendrehwinkel 1 wirkt.

ik ik k k

ki ki i i

t M i kt M k i

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =

( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.( 1) : Moment in , das erforderlich ist, um in einen Knotendrehwinkel 1 zu erzeugen.

ik ik i i

ki ki k k

s M i is M k k

= ϕ = ϕ =

= ϕ = ϕ =


Kommentar Wenn wir die Komponenten der Matrix isolieren, die Momenten und Verdrehungen entsprechen, erhalten wir diese zwei mal zwei Submatrix, wobei

• die diagonalen Begriffe die Stabsteifigkeiten bezeichnen. • die nicht diagonalen Begriffe die Kreuzsteifigkeiten bezeichnen.



4 2

2 4AB A

BA B

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

=

4 2

2 4AB A

BA B

EI EIM L LM EI EI

L L

ϕϕ

= ⇒




* φB

* φA

* υΑ

* υB

Die Beiträge von jedem Freiheitsgrad (φΑ, φΒ, υΑ, υΒ ) können superponiert werden.

BφBA



Zeichnung der Momente Die tatsächliche Orientierung der Momente ist einfach zu definieren, entsprechend den Deformationen und diesen grundlegenden Regeln:

Knotendrewinkel

Moment am Stabende festes Ende

Moment am Knoten

Richtung der Pfeile: von der unverformten zurverformten Struktur

φA

gedrehtes Ende Moment am Knoten Moment am Stabende

Richtung der Pfeile: von der verformten zurunverformten Struktur


Kommentar Wie können wir uns an die tatsächlichen Richtungen erinnern, ohne die positive Vorzeichenkonvention zu benutzen? Für den Fall von Momenten ist dies sehr einfach zu erreichen, wenn wir die deformierte Form der Struktur zeichnen. Zeichnensregel: Für eine angewendete Drehung an einem Ende wählen Sie eine beliebige Rotationsrichtung. Zeichnen Sie das gedrehte Balkenende und dann die entsprechende verformte Form. In der nähe von einem eingespannten Ende, wird die verformte Linie als Tangente an die ursprüngliche undeformierte Struktur zeichnen. Zeichnen Sie dann zwei Momentpaare an jedem Ende des Balkens. Jedes Paarbesitzt zwei Pfeile. Der äußere Pfeil bezeichnet das Moment auf dem Knoten und ein interner Pfeil bezeichnet den Moment auf dem Stabende. Die Drehrichtung dieser Pfeile ist spezifisch. Bei gedrehten Enden zeigt die Spitze des Pfeils auf die unverformte Struktur. Bei festen Enden zeigt die Spitze des Pfeils auf die verformte Struktur. Auf diese Weise können wir die tatsächliche Richtung von Momenten zeichnen, die durch eine spezifische Rotation induziert werden. Die Querkräfte können dann einfach über das Gleichgewicht berechnet werden, um den Momenten entgegenzuwirken. Ein ähnlicher Prozess gilt für Endmomente, die durch eine Verschiebung an einem Ende des Balkens verursacht werden.


Die Verformungsmethode – Slope/Deflection Methode Das Lösungsvorgehen ist für Balken und Fachwerke gleich und ist folgendermassen gegliedert:

1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.

2. Das Superpositionsprinzip wird im Folgenden angewandt:

• Zustand “0”- Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehalten

sind. Bestimmen Sie die Stabendmomente für jedes Element infolge der aufgebrachten Last. Hierzu können die nachfolgenden Tabellen beigezogen werden.

• Zustand “i”, i=1…,k : Lösen Sie jeden einzelnen kinematischen Freiheitsgrad in Folge und

berechnen Sie die infolge Einheitsverschiebung entstehenden Momente und Querkräfte.



Die Verformungsmethode – Slope/Deflection Methode 3. Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten als Summe der

superponierten Momente aller Zustände. Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen entspricht der Anzahl der unbekannten Knotenrotationen.

4. Im Falle von verschieblichen Systemen müssen Bedingungen für die translatorischen

Freiheitsgrade (Verschiebungen) hinzugefügt werden. Diese werden typischerweise mittels Prinzip der virtuellen Arbeit oder Querkraftgleichgewichtsbedingung für Teile der Struktur formuliert.

5. Lösen Sie die obigen Gleichgewichtsbedingungen für die unbekannten Freiheitsgrade.

6. Substituieren Sie die Knotenrotationen in die Last-Verformungsgleichungen. Evaluieren

Sie die Stabendmomente und die dazugehörigen Querkräfte.




Festeinspannmomente für beidseitig eingespannte Stäbe - Tabelle I

P

L/2 L/2P/2

PL/8

P/2

PL/8

P

a bPb2(3a+b)/L3

Pab2/L2

Pa2(a+3b)/L3

Pa2b/L2

M

L/2 L/2

6Mab/L3

M/4 M/4

a b

Mb(2a-b)/L2

6Mab/L3

M

3M/2L 3M/2L

Ma(2b-a)/L2

q

L/2 L/2qL/2

qL2/12

qL/2

a b

L/2 L/2

a b

qd/L2[ab2+(a-2b)d2/3]

qL2/12

qL/4

5qL2/96

qL/4

5qL2/96q

q

3qL/20

qL2/30

7qL/20

qL2/20

qd d qd/L2[a2b+(b-

2a)d2/3]

qd/L3 [(2a+L)b2+(a-b) b2/4 qd/L3 [(2a+L)b2+(a-b) b2/4



Festeinspannmomente für einseitig eingespannte Stäbe - Tabelle II

P

L/2 L/211P/16

3PL/16

5P/16

P

a b

Pab(L+b)/2L2

M

L/2 L/2

a b

M

q

L/2 L/2

qL2/8

a b

L/2 L/2

a b

q

q

qd d

5qL2/64

qL2/15

M/2(1-3b2/L2)

M/8

A=Pa^2(b+2L)/(2L^3)

B=P-A

3/8qL5/8qL



Stabendmomente infolge Verformungen - Tabelle IIIDie Herleitung dieser Begriffe wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert.

φA

2EI L

26EI L4EI L

26EI L

υA26EI L

26EI L

312EI L

312EI L

Beidseitig eingespannt

3EI L

3EI L

23EI L

υA23EI L

33EI L

33EI L

Einseitig eingespannt

* υA


Kommentar Die Momente und Querkräfte für den Fall eines beidseitig eingespannten Balkens ergeben sich direkt aus der Matrixformulierung der Folie 18. Wir können eine ähnliche Herleitungsprozedur für den Fall eines einseitig eingespannten Balkens befolgen, um die in Tabelle 3 aufgeführten Werte zu erhalten.



Stabendmomente infolge Verformungen - Tabelle IIIDie Herleitung dieser Begriffe wurde früher anhand der EB-Theorie demonstriert.

Zum Beispiel für ein beidseitig eingespannt Balken, der einer Drehung am linken Ende auferlegt wird:

φA

2EI L

26EI L4EI L

26EI LφB =0

Beidseitig eingespannt

Rotation

* φA

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

AB A A B B

AB A A B B

BA A A B B

BA A A B B

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

EI EI EI EIVL L L L

EI EI EI EIML LL L

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

υ ϕ υ ϕ

= − − + −

= + − +

= − − + −

= + − +


Beispiel - einfacher Balken mit gleicher Spannweite

1. Bestimmen Sie die kinematischen Freiheitsgrade der Struktur und den Grad der kinematischen Unbestimmtheit k. Eine Zeichnung der Verformungsfigur der Struktur hilft hierbei.

φ2 ist der einzige Freiheitsgrad dieses Systems, folglich; k=1


z,w 1 φ2

2

3



x,u

z,w

F

l l/2

12

3

• a) Zustand“0” - Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgradegehalten sind. Bestimmen Sie die Festeinspannmomente für jedes Element infolgeder aufgebrachten Last. (vgl. Tabellen in vorherigen Folien)

x,u

z,w1

2 3keine

Beanspruchung11F/16

3Fl/16

5F/16

Alternativ können die Festeinspannmomente für den Stab 2-3 durch die Kraftmethode ermittelt werden.

l/2

Beispiel



2. a) Zustand“0”: Die resultierenden Festeinspannmomente und Querkräfte sind:

x,u

z,w1

2 3keine

Beanspruchung11F/16

3Fl/16

5F/16

0 0 0 012 21 23 32

30 & , 016FlM M M M= = = =

nquerkräfte

0 0 0 012 21 23 32

11 50 & , 16 16

F FV V V V= = = − =

Respektiere die dazugehörige Vorze


Beispiel

2. b) Zustand“1” : Lösen des kinematischen Freiheitsgrads φ2, und Berechnung der Stabendmomente und Stabendquerkräfte infolge φ2=1.

Baustatik II,

z,w 1 φ2

2 3

l l

3EI l 3EI l

z,w 1 2 3

Prof. Dr. E. Chatzi



x,u

z,w1 2 3

1 1 1 112 21 23 32

3 30, & , 0EI EIM M M Ml l

= = = =

kräfte

1 1 1 112 21 23 322 2

3 3 & EI EIV V V Vl l

= = − = = −

3EI l

23EI l23EI l 23EI l23EI l

3EI l



x,u

z,w

l l

12

3

3. Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen um Knoten 2 (wo φ2 gelöstwurde) mittels Superposition der Momente aus allen Zuständen.

φ2

Beispiel

2 21 230 0M M M= ⇒ + =∑21M 23M

( ) ( )0 1 0 121 21 23 232

0

3 3 3 6 30 016 16 32

M M M M

EI Fl EI EI Fl Fll l l EI

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ ⋅ + + ⋅ = →

+ ⋅ + + ⋅ = ⇒ = − ⇒ = −

(1),(3)



x,u

z,w

l l

12

3

5. Mittels Substitution der ermittelten Knotenrotationen in die Superpositions-gleichungen können die Endmomente und Querkräfte ermittelt werden.

φ2

Beispiel

20 1

21 21 21 21

20 1

23 23 23 23 21

3 3032 32

3 3 316 32 32

EI Fl FlM M M Ml EI

Fl EI Fl FlM M M M Ml EI

ϕ

ϕ

= + ⋅ = + ⋅ ⇒ =

= + ⋅ = + ⋅ − ⇒ = =

dmomente

dquerkräfte2

0 121 21 21 212

20 1

23 23 23 232

3 3032 32

11 3 1916 32 32

EI Fl FV V V VEIl

F EI Fl FV V V VEIl

ϕ

ϕ

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

= + ⋅ = − − ⋅ − ⇒ = −



x,u

z,w

l l

12

3

Gleichgewicht im Knoten 2 ermöglicht die Berechnung der vertikalen Kraftkomponente,

φ2

Beispiel

21V 23V

23 21 2 2110 016z

FF V V R R↑+

= ⇒ − + = ⇒ =∑

2R rtikale Reaktion in den Knoten 1,3 via Superposition b

20 1

12 12 12 122

20 1

32 32 32 322

3 3032 32

5 3 1316 32 32

EI Fl FV V V VEIl

F EI Fl FV V V VEIl

ϕ

ϕ

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

= + ⋅ = − ⋅ − ⇒ =

1332

F

31332

FR =

332F

1332FR =


Beispiel

Nun können die Schnittkräftediagramme für das Biegemoment und die Querkraft gezeichnet werden. Vergewissern sie sich, dass sie hierzu die klassische Vorzeichenkonvention benutzen.


z,w 1 φ2

2 3

l l


φ ψij

ψij φj

Das Drehwinkelverfahren

Hier sehen wir eine äquivalente Formulierung der Verformungsmethode, die auf der Verwendung des Drehwinkels der Stabachse beruht.

q(x)

Wenn sich die Länge eines Stabes nicht ändert, lassen sich dessen Knotenverschiebungen senkrecht zur Stabachse gemäß:

i j ψ ij =

wj − wi

lij

wi lij wj

j

i


durch eine Stabsehnenverdrehung ausdrücken.

Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke


Das Drehwinkelverfahren Deshalb treten als Unbekannte nur Verdrehungen auf, und zwar Knotendrehwinkel φ und Stab-drehwinkel ψ. Um das Verfahren zu systematisieren, wird für diese Winkel die angegebene Vorzeichenregelung getroffen (s.u.).

q(x)

i j

wi lij

j

i


Positive Vorzeichenkonvention

wj φ j ψ ij

φ i ψij

ψij φj


Das Drehwinkelverfahren Das Gleichungssystem zur Berechnung der Drehwinkel besteht aus Gleichgewichtsbedingungen. Es beinhaltet:

• N Knotengleichungen durch Formulierung der Momentensumme an den Knoten der unbekannten Knotendrehwinkel

• Bei elastisch verschieblichen Systemen müssen zusätzlich entsprechend dem Grad der Verschieblichkeit ψ „Verschiebungsgleichungen“ formuliert werden. Dies geschieht zweckmäßig in Form von Arbeitsgleichungen.

ψ = 1 ψ = 2 ψ = 3

Ein System wird als elastisch verschieblich bezeichnet, wenn sich die Knoten nicht nur verdrehen, sondern auch infolge einer Biegebeanspruchung verschieben können.

Baustatik II, Prof. Dr. E. Chatzi Source: K. Meskouris, E. Hake, Statik der Stabtragwerke

O


Kommentar Unter Annahme von axial nicht dehnbaren Stäben, gibt es in der ersten Figur nur eine unabhängige Verschiebung. In den zweiten gibt es zwei unabhängige Verschiebungen, eine für jedes Stockwerk. In der dritten Figur gibt es drei unbhängige Verschiebungen da es auch eine vertikale Verschiebung am Punkt O möglich ist.


q(x)

ij

Das Drehwinkelverfahren Das Drehwinkelverfahren dient der Berechnung der Stabendmomente. Ein Stabendmoment Mij setzt sich im Allgemeinen aus drei Anteilen zusammen: • dem Festspannmoment M 0 des Grundstabs, • den Einflüssen der Knotenverdrehungen φi und φj • dem Einfluss des Stabdrehwinkels ψij

Die Festeinspannmomente können mit Hilfe der Kraftmethode berechnet oder für ausgewählte

i j Lastfälle den Tabellen I und II entnommen werden.

wi lij wj

ψij j i

ψij φj i

Nach der Ermittlung der unbekannten Drehwinkel und der Stabendmomente ergibt sich der Momentenverlauf über die Stablänge entsprechend der Querbelastung durch Superposition mit den Momenten des gelenkig gelagerten Einfeldträgers.

Positive Vorzeichenkonvention


φj ψij


φ


Das Drehwinkelverfahren Damit sich die Knoten- und Verschiebungsgleichungen in allgemeiner Form schreiben lassen, muss für die Stabendmomente eine Vorzeichenregelung getroffen werden, die von der normalen Definition positiver Stabmomente abweicht (siehe Bild rechts).

Beim Drehwinkelverfahren drehen alle Stabendmomente positiv im Gegenuhrzeigersinn, die Knotenmomente im Uhrzeigersinn.

q(x)

i j

wi lij wj

ψij j i

ψij φj i Positive Vorzeichenkonvention

φj ψij



φ



Stabendmomente bei stabweise konstantem Trägheitsmoment

Als Grundstäbe, deren Endmomente zu berechnen sind, treten (1) der beidseitig und (2) der einseitig eingespannte, gerade Stab auf. Deren Festeinspannmomente können mit Hilfe des Kraftgrössenverfahrens berechnet werden. In den Tabellen I und II sind diese für Standardlastfälle angegeben.


Grundstab: Festeinspannmomente

Gemäss Tabelle III für die Stabendmomente infolge ϕi , gilt demnach:

Stabendmomente infolge Knotenverdrehung

bei eingespannter Gegenseiteφii j4 2, ij i ji i

EI EIM Ml l

φ φ+ +

= =

3ij iEIMl

φ+

=

i

i

φi

φi 4 2

2 4

ij i j

ji i j

EI EIMl lEI EIMl l

φ φ

φ φ

+

+

= +

= +



Stabendmomente bei stabweise konstantem TrägheitsmomentGrundstab: Festeinspannmomente

Stab- und Kreuzsteifigkeiten

bei eingespannter Gegenseite (ϕi)4 2, ij ji

EI EIs tl l

= =

3

ij iEIsl

φ=

4 2,

2 4,

ij ij

ji ji

EI EIs tl lEI EIt sl l

= =

= =

iφi

φ


Stabendmomente

Stabsteifigkeiten sik = Mik (ϕi = 1) : Moment in i, das erforderlich ist, um in i einen Knotendrehwinkel ϕi = 1

zu erzeugen. ski = Mki (ϕk = 1) : Moment in k, das erforderlich ist, um in k

zu erzeugen. einen Knotendrehwinkel ϕk = 1

Kreuzsteifigkeiten

tik = Mik (ϕk = 1) : Moment in i, das entsteht, wenn in k ein Knotendrehwinkel ϕk = 1 wirkt.

tki = Mki (ϕi = 1) : Moment in k, das entsteht, wenn in i ein Knotendrehwinkel ϕi = 1 wirkt.



Stabendmomente bei stabweise konstantem TrägheitsmomentStabendmomente infolge Stabverdrehung

Einseitige Einspannung (i) : 3ij ij ij ijEIM sl

ψ ψ+

= − = −

ψij ( )6ij ji ij ij ij ijEIM M s tl ψ ψ

+

= = − = − +

3

ji ji ji jiEIM sl

ψ ψ+

= − = − i


Kommentar Nun wollen wir die Stabendmomente infolge Stabverdrehung berechnen. Die Verformung wegen Stabverdehung ist äquivalent zu der Verformung die sich durch zwei umgekehrten Knotenverdrehungen erfolgt. Demzufolge sind mittels Tabelle III und dieser Äquivalenz die Stabendmomente infolge Stabverdrehung zu berechnen. Diese resultierende Konstanten bezeichnen die Verschiebesteifigkeiten.


Stabendmomente

Verschiebesteifigkeiten

vik = − (sik + tik ) = Mik (ψik = 1) : Moment in i, das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel ψik = 1 wirkt.

vki = − (ski + tki ) = Mki (ψki = 1) : Moment in k, das entsteht, wenn ein Stabdrehwinkel ψki = 1 wirkt.


sik ≠ ski tik = tki ψik = ψki

→ nicht zwingend; abhängig von der Lagerung des betrachteten Stabes → zwingend (Maxwell)



Gegenüberstellung der vereinfachten Variante und des Drehwinkelverfahrens

j

i

ψij

ψij

( ) 6ij ji ij ij ij ijEIM M s t lψ ψ+

= = − + = −

2

66

where

ij jiij ji ij

ij

EIM M EIM Mlll

ψψ

++

= = − ∆ ⇒ = = −∆ =

ind äquivalent!




Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:


Zusammenfassung

( )0ij ij ij i ij j ij ij ijM M s t s tϕ ϕ ψ= + + − +

0 Festeinspannmoment Stabsteifigkeit Kreuzsteifigkeit

, Knotendrehwinkel Stabdrehwinkel

ij

ij

ij

i j

ij

Mstϕ ϕ

ψ


Kommentar Diese Gleichung drückt die Superposition der Endmomente aus, die erstens durch die äußeren Lasten, zweitens durch die Knotenrotationen und schließlich durch den Drehwinkel verursacht werden.




Die vollständigen Gleichungen der Stabendmomente erhält man durch Zusammenfassungder drei einzeln behandelten Einflüsse:


Zusammenfassung

bei einseitiger Einspannung (i) :

( )

( )

0

0

2 2 3

2 2 3

ij ij i j ij

ji ji i j ij

EIM MlEIM Ml

φ φ ψ

φ φ ψ

= + + −

= + + −i

( )

0 3ji ji j ji

EIM Ml

φ ψ= + − i

( )0 3ij ij i jiEIM M l φ ψ= + −


Das Drehwinkelverfahren Verschiebliche Systeme - Grad ψ der Verschieblichkeit feststellen

Bei verschieblichen Systemen treten zusätzlich Stabdrehwinkel ψ als Unbekannte auf, für welche in gleicher Anzahl Verschiebegleichgewichtsbedingungen aufzustellen sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Stabdrehwinkel ψ lässt sich wie folgt ermitteln:

Durch das Einführen von fiktiven Gelenken an allen Knoten wird das System in einen Mechanismus überführt. Zur Stabilisierung sind demnach Festhaltekräfte einzuführen, deren Anzahl der Anzahl linear unabhängiger Stabdrehwinkeln entspricht.

Stockwerkrahmen

3 4 3

2 5 6 2

4

ψ = 3

5 6

1 7 1 Festhaltekräfte



Verschiebliche Systeme

3 4

2 5

ψ1

1 7

3 4 3

4 ψ3

ψ2 5 6

2 6 2 5

1 7 1 7



Das Drehwinkelverfahren Lösungsverfahren

1. Bestimmen ob ein verschiebliches oder unverschiebliches System vorliegt. Wenn ja, Grad ψ der Verschieblichkeit feststellen.

2. Stabtragwerk in einzelne Stäbe unterteilen, Knoten nummerieren sowie

Knotendrehwinkel bestimmen; falls ein verschiebliches System vorliegt: linear unabhängige Stabdrehwinkel bestimmen.

3. Das Prinzip der Superposition wird angewandt: • Zustand“0”- Grundstab: Der Fall bei dem alle kinematischen Freiheitsgrade gehalten sind.

Bestimme die Stabendmomente für jedes Element infolge der aufgebrachten Last. Hierzu können die vorherigen Tabellen beigezogen werden.

• Zustand“i”, i=1…,k : Lösen jedes einzelnen kinematischen Freiheitsgrades und

Berechnung der infolge Einheitsverschiebung entstehenden Momente und Querkräfte.



ij


4. Koeffizienten der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen (Festeinspannmomente, Stab- und Kreuzsteifigkeiten).

M 0 Festeinspannmoment

sij tij ϕi ,ϕ j ψ ij

Stabsteifigkeit

Kreuzsteifigkeit

Knotendrehwinkel

Stabdrehwinkel


( )0ij ij ij i ij j ij ij ijM M s t s tϕ ϕ ψ= + + − +



5. Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten als Summe der superponierten Momente aller Zustände. Die Anzahl Gleichgewichtsbedingungen entspricht der Anzahl unbekannter Knotenrotationen.

wobei: Mi

für Mi

= am Knoten i

= 0 ⇒ ∑ Mik k

angreifendes äusseres Moment

Mik = Stabendmoment in i für den Stab i − k

Mi − 4 ∑

k =1 Mik = 0 → Mi1 + Mi2 + Mi3 + Mi4 = Mi


Mi − ∑ Mik = 0 k




6. Formulierung der Verschiebungsgleichgewichtsbedingungen mithilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit (eine Gleichung pro Freiheitsgrad der Verschieblichkeit).

Prinzip der virtuellen Arbeiten: δW=δWi+δWe=0

4. Nach den unbekannten Knoten- und Stabdrehwinkeln auflösen.5. Substitution der Knotenrotationen in die Last-Verformungsgleichungen. Evaluation der

Stabendmomente und der dazugehörige Querkräfte.

( )

( )

12 21

12 21

12 21

0

2

(negativ, da und , entgegengesetzt drehen)

02

e i

e

i

e i

W WlW ql

W M M

M MlW W ql M M

− + +

+ =ω= ⋅

= −ω⋅ +

ω

ω+ = ⋅ − ω⋅ + =

Beispiel


Kommentar Im Fall von verschieblichen Systemen, nutzen wir zusätzliche Verschiebungsgleichgewichtsbedingungen. Das kann mithilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit erfolgt werden. Für dien Rahmen des obigen Beispiels ist die externe Arbeit gleich die Arbeit der verteilten Last, während die innere Arbeit sich aus dem Drehwinkel ω ergibt. Die weiteren Lösungsschritte sind genau so wie im Slope-Deflection Verfahren.



Unverschiebliches System mit Belastung


dargestellten Beispiel soll nach dem Drehwinkelverfahren berechnet werden. elastischen Unverschieblichkeit treten nur die drei Knotendrehwinkel ϕ2, ϕ3 und ϕ4

nte auf. Die Festeinspannmomente lauten:

φ2φ3 φ4

20 0 034 4534 43 45

0 0 034 43 452 2

34 45

3: 64 , 67infolge infolge :

infolge :

.512 16

6 345 , 40

pl PlM M kNm M kNm

EI EIM M s kNm M s kNml

P

l

p

s

= − = = = =

= = ∆ = = − ∆ = −∆


Kommentar Nun möchte ich das Drehwinkelverfahren anhand eines einfachen Beispiels zeigen. Es handelt sich im ein Unverschiebliches System mit Belastung, nämlich eine verteilte Last im Felder 23, eine konzentrierte Last im Felders 45, und eine vorgeschriebene Verschiebung Δs im Knoten 4. Wegen der axialen Unverformbarkeit treten nur die drei Knotendrehwinkel ϕ2, ϕ3 und ϕ4 als Unbekannte auf. Wir zeichnen die Knotenrotationen gemäss der positiven Vorzeichenkonvention. Aus die Tabellen I und II können wir die Endmomente infolge der externen Lasten bestimmen. Aus Tabelle III können wir die Endmomente infolge der gegebenen Δs bestimmen.





φ2 φ3 φ4

( ) ( )

( ) ( )

12 2 21 2 23 2 3 32 2 312 12 23 23

34 3 4 43 3 4 45 423 23 23

2 4 2 2, , 2 , 2

2 2 32 , 2 ,

i i i iS S R R

i i iR R R

EI EI EI EIM M M Ml l l lEI EI EIM M Ml l l

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

= = = + = +

= + = + =

Durch Superposition: 0 iij ij ijM M M= + +


Kommentar In Zustand i haben wir die Einwirkung von den Knotenverdrehungen. Diese können infolge Tabelle III berechnet werden. In diesem Beispiel, haben wir ein unverschiebliches System, daher ist der Drehwinkel null.





φ2 φ3 φ4

2 21 23 2 2 3

12 243 32 34 3 2 3 4

4 43 45 4 3 4

2 3 4

0 28 8 0

0 109 8 28 6 0

0 8.5 6 24 0

1.2611, 4.4137, 0.7493

S RI sei gleich I

M M M M

M M M M

M M M M

φ φ

φ φ φ

φ φ

φ φ φ

⇒ =

= + = = + = = + = → = + + + =

= + = = + + =

⇒ = = − =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑


Kommentar Bevor die Knotengleichungen aufgestellt werden können, sind die Stabendmomente mit den noch unbekannten Knotendrehwinkeln zu formulieren. Zur diesen Berechnung kommt es nur auf die Verhältnisse der Steifigkeiten an. Deshalb dürfen die Stabsteifigkeiten mit einer beliebigen Vergleichsbiegesteifigkeit ermittelt werden. Hier wird, um glatte Zahlenwerte zu erhalten, EIs = 12 gesetzt, woraus EIr = 24 folgt. Diese Werte werden in die Gleichungen der Stabendmomente eingesetzt, was zur Berechnung der Knotenverdrehungen führt.



- Unverschiebliches System mit Belastung


φ2 φ3 φ4

Momentenfläche infolge p, P und s


Kommentar Nach der Berechnung der Endmomente kann das Momentdiagramm gezeichnet werden, wobei es wichtig ist, sich daran zu erinnern, dass wir dieses Diagramm mit der klassischen Definition der positiven Notation zeichnen. Jeweils am rechten Stabende stimmen die Vorzeichen des Drehwinkelverfahrens mit denen der normalen Stabstatik überein, währen am linken Stabende sind die entgegengesetzt. Zwischen den Knoten 3 und 4 sind die Feldmomente des Einfeldträgers wegen der verteilten Last mit den Ordinaten ql^2/8 einzuhängen.

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Kapitel II Die Verformungsmethode Unverschiebliche Systeme · 2018. 3. 24. · unbestimmter Stabwerke. Die Näherung besteht darin, dass die Stäbe als dehnstarr angesehen und nur