AbbescheAbbildungstheorie / Fourieroptik Holographie ... · Inhalte E3-V25 –24. Jan‘19 AbbescheAbbildungstheorie / Fourieroptik Holographie Geometrische Optik als Näherung der

Inhalte

E3-V25 – 24. Jan‘19

Abbesche Abbildungstheorie / Fourieroptik

Holographie

Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik

Gauß‘sche Lichtbündel – Laseroptik

• Ausbreitung Gauß‘scher Lichtbündel

• Gauß‘sche Bündel und abbildende Elemente

• Laser-Resonatoren

Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel .

E3 Optik W.Zinth PhysikLMU 1

4.5.4. Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel Fragen:

Ist das Licht aus einem Laser ein Lichtstrahl? Wie gut lässt sich Licht aus einem Laser fokussieren?

Behandlung im Rahmen der Wellenoptik: Annahme eines Ausgangsbündelprofils (Feldamplitudenverlauf U0, Gaußprofil) mit ebener Wellenfront. Ausdehnung in Querdimension sei klein, Wellenzahl k.



W0 ist der Bündelradius bei dem die Feldstärke auf 1/e abgefallen ist. W0 ist nur ca. 20% kleiner als die volle Halbwertsbreite der Intensi-tät! Lichtausbreitung nach der Fresnel-Kirchhoffschen Behandlung ergibt nach Ausbrei-ten über eine Distanz z wieder einen Gaußförmigen Feldverlauf (längere Rechnung):



Beachte: Nach der Ausbreitung ergibt sich Feldverlauf als komplexe Gaussfunktion q(z) ist der komplexe Bündelradius z0 nennt man den Konfokalparameter oder die Rayleigh-Länge

Der Verlauf von (4.100) lässt sich umschreiben unter Verwendung physikalisch ein-leuchtender reeller Größen:

W(z) ist der Bündelradius, R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfront, φ(z) ist die Gouy-Phase, die Phasenverschiebung am Ort z.

Man sieht, dass der Feldverlauf Gaußförmig ist, die Wellenfront aber gekrümmt ist. Die Interpretation, dass R(z) der Krümmungsradius ist kann man durch Vergleich mit einer Kugelwelle (im paraxialen Fall) bestätigen.



Für eine Kugelwelle, die sich vom Koordinatenursprung ausbreitet erhält man:

E(r)! 1rexp(ikr)

Betrachtet man nun das Feld in der Nähe der z-Achse, für große Abstände z >>x, y so besitzt die Wellenfront den Krümmungsradius RK = z und der Feldverlauf wird:

E(z,!)" exp(ikr) = exp(ikz + i k!2

2RK)

da gilt: r = x2 + y2 + z2 = !2 + z2 " z(1+ 12!2

z2)

D. h. Ein entsprechender Phasenverlauf ~ρ2 ist ein Hinweis auf Wellenfront mit Krümmungsradius RK



Für Bündelradius des Feldes W(z), Krümmungsradius R(z) der Wellenfront und Gouy-Phase erhält man einfache Beziehungen:

!(z) = arctan( zz0)

mit der Rayleighlänge z0 = k W02

2

Damit kann man den komplexen Bündelradius auch schreiben als: 1q(z)

= 1R(z)

+ i 2k !W(z)2



Veränderung des Lichtbündels bei der Ausbreitung Bündelradius:

Für große Abstände vom Konfokalbereich z >> z0 wächst Bündelradius linear an. Voller Divergenzwinkel ϑ ≈ 2 W(z)/z = 2λ/(π W0)



Lichtintensität: Lichtintensität nimmt mit wachsendem Abstand z von der Bündeltaille ab.

Für große Abstände erfolgt die Abnahme proportional zu 1/z2.

Aufgabe: Bestätigen Sie die Energieerhaltung bei der Ausbreitung! Krümmungsradius:

Bei kleinen |z|-Werten divergiert der Krümmungsradius: ebene Wellenfront. Bei großen |z|-Werten wächst der Radius linear an: R(z) ≈ z (wie bei einer Kugelwelle!) Der asymptotische Bereich wird um so schneller erreicht je kleiner der Bündeldurch-messer in der Strahltaille ist.



Kleines W0 – große Divergenzund umgekehrt



Gouy-Phase: Beim Durchgang von Licht durch einen Fokalbereich ändert sich die Phase der Welle um π . Bei einer fokussierten klassischen Welle würde ein Phasensprung direkt am Ursprung auftreten. (Feld kehrt an Ursprung das Vorzeichen um, Gouy-Phase). Bei einem Gaußschen Bündel ist diese Vorzeichenumkehr über den Fokalbereich verteilt.

Gaußsche Bündel & abbildende Elemente

Kleines W0 – große Divergenzund umgekehrt

.


4.5.5 Gaußsche Bündel und abbildende Elemente Wirkung einer dünnen Linse auf ein Gaußsches Bündel:

• Querschnittsverteilung unmittelbar hinter der Linse unverändert!

• Linse verändert den Krümmungsradius der Wellenfront. Hinter der Linse gibt es ein Gaußsches Bündel, den ungeänderten Bündelradius WL und einem geänderten Krümmungsradius RL. Daraus kann man die Lage der Taille des neuen Bündels und seinen Konfokalpara-meter berechnen! Grundidee bei der Ableitung: Wie ändert sich der Krümmungsradius der Wellenfront beim Durchgang durch eine Linse der Brennweite f? Wie schaut damit das neu Bündel aus? Kugelwelle startet in Gegenstandsweite g vor Linse und läuft im Bildpunkt (Abstand b hinter der Linse) wieder zusammen: Krümmungsradius vor der Linse: RLV = g, hinter der Linse: RLH = -b. Wenn man als Krümmung K den reziproken Krümmungsradius R definiert (K = 1/R) verändert eine Linse die Krümmung um

!K= 1RLH

" 1RLV

= "1b

" 1g= "1f

Dieses ΔK setzt man in die Formeln für W(z) und R(z) ein und berechnet damit die neuen Bün-delradien W02 und Konfokalparameter z02 und die Lage p der neuen Bündeltaille.

Gaußsche Bündel & abbildende Elemente.


Für eine Linse der Brennweite f die sich im Abstand g von der Strahltaille eines Gaußbündels mit Parametern z01 und W01 befindet, erhält man die Lage der neuen Strahltaille (Bündelradius W02, Konfokalparameter z02) im Abstand p hinter der Linse:

Gaußsche Bündel & abbildende Elemente

.


Typische Fälle: 1. Wenn die ursprüngliche Bündeltaille sehr weit von der Linse entfernt ist, g >> f, z01, so liegt die bildseitige Bündeltaille in der bildseitigen Fokalebene: p ≈ f 2. Liegt die ursprüngliche Taille in der gegenstandseitigen Brennebene, g = f, so ergibt sich wieder p = f. Jedoch ändert sich der Bündelradius W02:

3. Kennt man Ort und Größe der ursprünglichen Strahltaille nicht genau, so lässt sich unter der Bedingung g >> f, z01 (das kann man einfach verifizieren), der Bündelradius in der bildseitigen Taille aus dem Bündelradius am Ort der Linse, WL abschätzen:

Gaußsche Bündel & abbildende Elemente.


4. Will man Licht mit definiertem z01 möglichst gut fokussieren (z.B. für die Mate-rialbearbeitung) so muss man eine kurzbrennweitige Linse verwenden und das Lichtbündel vor der Linse soweit wie möglich aufweiten. Als Grenze kann man in etwa den Linsendurchmesser D ≈ 2 WL verwenden und erhält:

Da es in der Regel keine qualitativ guten Objektive mit f/D < 1 gibt, zeigt (4.122), dass der minimale Bündelradius im Bereich von 2 λ/ π ≈ 0.63 λ liegt. Laserlicht lässt sich also bestenfalls auf einen Fleckdurchmesser von ca. 0.8 λ fokussieren.



Anwendungen: Ein Laser Pointer (λ = 630 nm) erzeuge ein Gaußsches Bündel mit Bündelradius W0 = 1mm. (a) Wie groß ist dieses Lichtbündel an der Hörsaalwand in 20m Entfernung oder am Mond (380000 km Abstand)? (b) Wie groß müsste W0 gewählt werden, damit der Bündelradius am Mond 1 km be-trägt? Wie könnten sie dies erreichen? (c) Bei einem Experiment misst man die Divergenz des Gauß-Bündels eines grünen Lasers (λ = 500 nm) von ϑ = 0.5mrad. Wie groß war der minimale Bündelradius? Welchen minimalen Bündelradius findet man für Licht der doppelten Wellenlänge bei gleicher Divergenz?

Transformation eines Gaußschen Bündels durch eine ABCD Matrix

.

W.Zinth PhysikLMU 1

Transformation eines Gaußschen Bündels durch eine ABCD-Matrix Man kann einfach die Änderung des komplexen Bündelradius durch eine Transfor-mationsmatrix (Übergang von Ort a mit qa zum Ort b mit qb) berechnen, wenn bei der Transformation der Brechungsindex unverändert bei na = nb = 1 bleibt:

qb =C +D !qaA +B !qa

Optischesystemelittbeämaten

Definition eines Strahlenrektors zur Beschreibungdes strahlenverlaufs

j µxx

2 dein VektorWinkel und Abstanddes Strahls von opt Achse4an Grenzfläche

ma b Smell nada bdb

c Brechung an ebener Genzfläche Ja

ja Transformationdurch Einheitsmatrix

ii Propagation um Länge d

Mda mag

tat Eid Filmband

Sa Sb

F Translation

Wiederholung ABCD Matrix der geometrischen Optik

Wiederholung ABCD Matrix der geometrischen Optik

Optischesystemelittbeämaten

Definition eines Strahlenrektors zur Beschreibungdes strahlenverlaufs

j µxx

2 dein VektorWinkel und Abstanddes Strahls von opt Achse4an Grenzfläche

ma b Smell nada bdb

c Brechung an ebener Genzfläche Ja

ja Transformationdurch Einheitsmatrix

ii Propagation um Länge d

Mda mag

tat Eid Filmband

Sa Sb

F Translation

iii Brechende Kugelfläche

ab

Ma b

La t 180 Sa t ß 180 Ya dat ß

Yb t 180 ß Lb 180 Lb fb ß

Sb Mb MbYu Mj ß Ya biß

Ida t Hua un a kann II

BP brechende

Kugelfläche

mit Pa naja BuchtraftKugelfläche

v dünne Linse

L

5 Y Transformations matrixder dünnen Linse

BlobildendesysternbindenStrahl am Ort des Gegenstands mit Bild

Äh 5 g Gegenstand b Bildg

Sb M Sgs t Mrz5gSbz Muss tu IIAbbildung Bildpunkt Sbz unabhängig von

Emissions Winkel Sgs

füabliedendestaußerdem Mz 0 VT

gNzz

iii Brechende Kugelfläche

ab

Ma b

La t 180 Sa t ß 180 Ya dat ß

Yb t 180 ß Lb 180 Lb fb ß

Sb Mb MbYu Mj ß Ya biß

Ida t Hua un a kann II

BP brechende

Kugelfläche

mit Pa naja BuchtraftKugelfläche

ABCD Matrix des sphärischen Spiegels

Sphärischer Spiegel

s06 6 Geometrische Optik: Weircrführende Themen I

___l_

Bild 6.12: Die Geometrie der Refle-xion an einem Spiegel. Die Strahl-winkel ot und o. sind bezüglich deroptischen Achse gemessen.

Damit ist die Spiegelmatrix M für einen sphärischen Spiegel gegeben durch

r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)

wobei wir uns an Gleichun g 6.a» erinnern, die besagX, dass / : -21 R ist.

Planspiegel und optische ResonatorenFür einen in Luft (n : 7) befindlichen Planspiegel (.R -+ oo) ist die Matrix

rr, :i-l E.---r L0 11,wobei das Minuszeichen im ersten Element den Strahl bei der Reflexion umkehrt.Abbildung 6.13 zeigt zwei Planspiegel, die einander gegenüberstehen und einenoptischen Resonator bilden (siehe Abschn. 13.1.3). Licht, das Punkt O verlässt,durchläuft den Zwischenraum in positiver Richtung, wird von Spiegel I reflektiert,durchläuft den Zwischenraum in negativer Richtung und wird von Spiegel 2 reflektiert.Die Systemmatrix ist

A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]


___l_



r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)




A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]


___l_



r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)




A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]

Planspiegel

Plan Spiegel und optischer Resonator


___l_



r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)




A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]

Planspiegel

e Themen

: der Refle-)ie Strahl-züglich der1.

(6.4s)

mkehrt.d einenrerlässt,lektiert,lektiert.

6.3 Aberrationen 507

Bild 6.13: Eine schematische Darstel-lung eines optischen Resonators. derdurch die Spiegel I,/r und Mz gebildetwird.

wobei wieder die Determinante der Systemmatrix gleich 1 ise lAl : 1. Ist dereinfallende Strahl axial (o : 0), bringt ihn die Systemmatrix zurück an seinen Aus-gangspunkt, sodass der resultierende Stratrl r1 gleich dem ursprünglichen Srahl 16 ist.Dies bedeutet, dass

Ar1 :r"f:riist. Diese spezielle mathematische Beziehung nennt man Eigenwertgleichung, etwasallgemeiner geschrieben lautet sie

Ari: q7'

(a ist eine Konstante). Anders ausgedrückt ist

Ist at : 0 und verläuft der einfallende Strahl axial, so ist y/ - ayl, woraus a : 1 folgt.Die Systemmatrix wirkt wie eine Einheitsmatrix, die 16 nach zwei Reflexionen wiederin r2 überführt. Axiale Lichtstrahlen laufen in dem so genannten Hohlraumresonatorhin und her ohne zu entweichen.Hohlraumresonatoren können auf vielf?iltige Weise mit den verschiedensten Spiegelnkonstruiert werden (Abb. 13.16). Wenn Licht nach mehrmaligem Durchqueren einesHohlraums wieder zu seinem Ursprungsort und seiner ursprünglichen Orientierungzurückkehrt, so ist es ,,eingefangen", und der Hohlraum heißt stabil. Den l<onfolcalenHohlraum, der von zwei einander gegenüberstehenden konkaven Hohlspiegeln gebil-det wird, werden wir in Aufgabe 6.28 analysieren.

6.3 AberrationenWir wissen, dass die Theorie erster Ordnung nicht mehr als eine gute Näherung ist- eine genaue Strahlendurchrechnung oder Messungen an einem Prototypen brächten

"=[; ?] ,

l;, ?l [;,] = "W,l

l


___l_



r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)




A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]


___l_



r r _2nlR],o:Lo -';''"), (6.4s)




A: MlzT21Ml1Trz

lIitIklzLd,

6s

Es ist

": [? ?] [_,, ?] h, ?] t] ?]

e Themen


(6.4s)






Ari: q7'




"=[; ?] ,

l;, ?l [;,] = "W,l

le Themen


(6.4s)






Ari: q7'




"=[; ?] ,

l;, ?l [;,] = "W,l

l

Eigenwert-Gleichung

e Themen


(6.4s)






Ari: q7'




"=[; ?] ,

l;, ?l [;,] = "W,l

l

Lösung (paralleler Strahl)

e Themen


(6.4s)






Ari: q7'




"=[; ?] ,

l;, ?l [;,] = "W,l

l

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 2

4.5.6 Laserresonatoren Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Laser ist ein Licht-Oszillator: Aufbau wie bei jedem Oszillator:

Kombination aus Verstärker und Rückkopplung Beim Laser:

Lichtverstärker und optischer Resonator Lichtverstärker: Atomphysik

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 3

Optischer Resonator: Wie müssen Spiegel angeordnet sein, damit Licht (beliebig oft) in Resonator hin- und her-reflektiert werden kann? Für genügend kleine Wellenlängen gibt es offene Resonatoren, bei denen die Wellen nicht in 3 Dimensionen eingeschränkt werden müssen (es werden keine Hohlraumresonatoren (wie in der Mikrowellentechnik) benötigt!). Bedingung nach geometrischer Optik: Lichtstrahlen die paraxial verlaufen, sollen immer in der Nähe der Achse bleiben. Bedingung nach Wellenoptik: Der Resonator ermöglicht stabile, stehende Wel-len.

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 4

Eine Weg zur Lösung 1. An den Resonatorspiegeln wird Licht in sich zurückreflektiert (d.h. die Spiegel stehen senkrecht zu den Wellenfronten). 2. Die Resonatorlänge ist ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2

Aus dem Abstand der Spiegel (d = z2 - z1) und den beiden Krümmungsradien kann man die Eigenschaften eines Gaußschen Bündels berechnen, das die Resonanzbe-dingungen erfüllt. Ein Ansatz mit Radien und Abstand liefert eine Beziehung für den Bündelradius in der Strahltaille W0. bzw. für den Konfokalbereich z0. Die Bedingung, dass W0 und z0 reell sein müssen, kann nur für gewisse Kombinationen von Radien und Spiegelabstand erfüllt werden: Stabilitätsbedingung des Resonators.

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 5

Rechnung:

Beziehungen: z0 = k W02

2; k = 2!

"; R(z) = z0

2 + z2

z= z + z0

2

z; d = z2 - z1

R(zi) = zi +z02

zi für i = 1 und 2

Abkürzungen 1: R1 = -R(z1) und R2 = R(z2) Dabei ist die Vorzeichenkonvention offensichtlich: Ri > 0 wenn die hohle Seite des Spiegel zum Inneren des Resonators zeigt.

Abkürzungen 2: g1 = 1!dR1

und g2 = 1!dR2

Damit berechnet man (einfache aber längere Rechnung):

z1 =!g2(1! g1)

g1 + g2 ! 2g1g2d und z2 =

g1(1! g2 )g1 + g2 ! 2g1g2

d

und z02 = g1g2(1! g1g2 )

(g1 + g2 ! 2g1g2 )2 d

2 Daraus lässt sich direkt die Strahltaille berechnen

Da z0 eine reelle Zahl sein muss, folgt: Stabilitätsbedingung für Zweispiegelresonator g1g2(1! g1g2 ) > 0 oder 0 ≤ g1g2 ≤ 1

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 6

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 7

Für Resonatoren mit mehreren Elementen kann man die ABCD-Matrix für einen Umlauf aufstellen. Die Forderung, dass die Strahlen nach vielfachem Durchlauf sich nicht beliebig von der Achse entfernen dürfen, ergibt:

!1" A +D2

" 1

Diese Bedingung ist für einen Zweispiegelresonator gleich der oben angegebe-nen Stabilitätsbedingung. Dieselbe Beziehung ergibt sich aus der Forderung, dass die Feldverteilung eines Gaußschen Bündels an einer Stelle des Resona-tors sich bei der Ausbreitung nicht ändern soll. Beispiel: In der Praxis häufig verwendet: Halbsymmetrischer Resonator: R1 = ∞; oder g1 = 1; g2 = g =1 - d/R2 Die Strahltaille muss auf den ebenen Spiegel liegen!

z02 = g1g2(1! g1g2 )

(g1 + g2 ! 2g1g2 )2 d

2 = g(1! g)

d2 und W02 =

2z0

k= d!

"g

(1# g)

Stabil für 0 < g ≤ 1; Divergenz ! = 2"#W0

Laser-Resonatoren.

W.Zinth PhysikLMU 8

HeNe-Laserresonator: λ = 632,8nm; R2 = 4m; d = 0,1m oder 1m ergibt: d [m] g W0 [mm] ! "103 [rad] Z0 [m]

0,1 0,97 0,35 1,14 0,62 1 0,75 0,59 0,68 1,73

Häufig kann man die Emission eines Lasers in der Form eines Gaußschen Bün-dels erhalten. Man spricht dann von einer TEM00 Mode. Den Betrieb in der TEM00 Mode kann man durch geeignete Wahl des Resonators und durch Blenden erreichen. Ohne spezielle Maßnahmen kann die Emissionen in höheren Moden erfolgen:

Documents

AbbescheAbbildungstheorie / Fourieroptik Holographie ... · Inhalte E3-V25 –24. Jan‘19 AbbescheAbbildungstheorie / Fourieroptik Holographie Geometrische Optik als Näherung der