Synchronisation Vortrag von Johannes Dörr und Thomas Wanschik Fachpraktikum Nichtlineare Dynamik,...

Synchronisation

Vortrag von Johannes Dörr und Thomas WanschikFachpraktikum Nichtlineare Dynamik, Universität Göttingen

Beispiele Metronome Orgelpfeifen Glühwürmchen Millennium Bridge Tagesrhythmus

Gegenbeispiel Wolf-Hase-System

Was ist Synchronisation?

Globale Synchronisation (all-to-all)

Einseitige Synchronisation (Master/Slave)

Was ist Synchronisation?

Voraussetzungen Selbsterregte Schwingungen

Dissipation Stabilität, Nichtlinearität

Keine zu starke Kopplung Gegenbeispiel:

Was ist Synchronisation?

Relevante Größen

Phase frei bei selbsterregten Schwingungen Anschaulich: Schiefe Ebene

Amplitude Stabil Anschaulich: Minimum

Was ist Synchronisation?

Relevante Größen

Frequenzen Eigenfrequenzen (ohne Kopplung): Frequenzdifferenz: Beobachtete Frequenz (mit Kopplung):

Definition von Synchronisation „Feste“ Phasendifferenz (Phase Locking) „Festes“ Frequenzverhältnis (Frequency Locking)

...,, )2(0

)1(0

)2(0

)1(0

...,, )2()1(

Einseitige Synchronisation

Mathematische Beschreibung:

Periodische, externe Kraft mit Periodendauer T

)...,,,(),,()(d

d21 Mxxxt

t xxpxf

x

Externe Kraft

klein

Einseitige Synchronisation

Definition der Phase

Problem: System nie genau auf Limit Cycle Lösung: Isochronen definieren Phase an

jedem Ort

Eigenfrequenz:

0}*)(lim|{*))((

)()()()(

0

xxxx

xxxn

n

I

Ttt

0d

)(d

t

x

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Man erhält für Änderung der Phase:

Es folgt für die Phasendifferenz:

),(d

d0 tQ

t

tqt

,mit)(

d

d000

2π-periodisch, T-periodisch

2π-periodisch

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

sin

d

d

t

Einfachster Fall: Störung q Sinus-förmig Adler-Gleichung:

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Wenn gilt: Phasendifferenz wird konstant (Phase Locking)

)(d

d q

t

maxmin qq

0

stabil instabil

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Arnold-Zunge

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Übergang zur Synchronisation

Beat Frequency:

Einseitige Synchronisation

Phasendynamik

Vorstellung als Potential Ohne Kopplung

Synchronisation

Kopplung zu schwach

Synchronisation höherer Ordnung

Stroboskopische Beobachtung

Bisher: Synchronisation auf selbe Frequenz Auch möglich: rationales Verhältnis Betrachtung: Stroboskopisch

Zeitintervall wie Periode T des antreibenden Systems

)(01 nnn FT

Synchronisation höherer Ordnung

Impulsanregung

Synchronisation höherer Ordnung

Arnoldzungen für höhere Ordnungen

Synchronisation höherer Ordnung

„Teufelstreppe“

Synchronisation höherer Ordnung

Genauere Definition von Synchronisation

Frequency Locking:

Phase Locking:

mn

const. mtn

Globale Synchronisation

Eigenschaften Oszillatoren „einigen“ sich auf gemeinsame

Frequenz Quenching möglich: „Tod der Oszillationen“

Globale Synchronisation

Kuramoto-Modell Für zwei Oszillatoren:

Änderung der Phase für N Oszillatoren:

),()(d

d),,()(

d

d )1()2()2()2()2()2(

)2()1()1()1()1()1(

xxpxfx

xxpxfx

tt

N

jkjk

k

Nt 1

)sin(d

d

Globale Synchronisation

Änderung der Phase bei N Oszillatoren ergibt sich zu:

Oszillator wird von einem „mittlerem Feld“ getrieben Mittlere Amplitude: Mittlere Phase:

)sin(d

dkk

k Kt

K

Chaotische Oszillatoren

Phasensynchronisation

Problem: Wie führen wir die Periodendauer ein?

/)(20 N

Chaotische Oszillatoren

Ähnelt einem Oszillator überlagert mit Rauschen Potentialbild:

Kraft darf nicht zu groß aber auch nicht zu klein sein!

Chaotische Oszillatoren

Complete Synchronization

Betrachte zwei identische Systeme

ixx ii 21