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Uni NürnbergJahrestagung GDM Berlin 2007Mutfried Hartmann
Analogisieren……am Beispiel des Satzes des Pythagoras
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM
Uni Nürnberg
Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Was ist Analogie?
• „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967)
Was ist Analogisieren?
• Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.
Uni Nürnberg
Kurzer Überblick
• Heuristik– Archimedes, Pappos– Descartes, Leibniz
• Mathematikunterricht (Polya 1949)• Zentrales Lernziel (Winter 1972)• Verallgemeinerung (Deschauer 1999)• Kreative Begriffsbildung (Weth 2000)• Variation (Schupp 2002)• Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003)• Von Ebene zum Raum
– Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003)– Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992)
• Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005)• MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006)
– Computereinsatz (Schumann)
Uni Nürnberg
Satz von Pappos
Uni Nürnberg
Pythagoras in Vierecken
a² + c² = b² + d²
ab
cd
a² - c² = d² - b²
a b
cd
Uni Nürnberg
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Uni Nürnberg
Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Uni Nürnberg
Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder
Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche
zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?
Uni Nürnberg
Dreiecksprisma
Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma
Uni Nürnberg
Faulhaber-Tetraeder
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
Uni Nürnberg
Faulhaber-Tetraeder
Johannes Faulhaber(1622)
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
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Bubeck-Tetraeder (1992)
Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder
Uni Nürnberg
Schiefes Tetraeder
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
Uni Nürnberg
Schiefes Tetraeder (Beweis)
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²
B² = A² + C‘² + D‘²
Faulhaber
Dreiecksprisma
C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²
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Auf Kantenlängen bezogene Analogien
Pythagoras im Raum / Kanten
a‘²a ²+ b= ² b‘² c ² c‘+ ²=+
ca ²a‘² - = b ²b‘ ²c‘=-² ²- a‘a b b‘- = +²² ² ²
b b‘ cc‘²²
-²
=²
-a‘a c c‘²²
+²+
²=
Uni Nürnberg
Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
Uni Nürnberg
Wie findet man solche Zerlegungen?
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
Uni Nürnberg
Analyse des Analogisierungsprozesses
Zerlegung der Katheten-quadrate
Sonderfall Allgemeinfall
Schnittführung AnalogeTeilstücke
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Übertragung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
2. Beispiel
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
2. Diagonale
1. Diagonale
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
d
C
c
d Verlängerung von Seite d
Parallele zu c durch C
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
C
c
Parallele zu d durch D
Parallele zu c durch C
d
D
d
D
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
M
c
d
M
c
d Parallele zu d durch M
Parallele zu c durch M
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
B
C E
D
c
d
B
C
E
D
Parallele zu d durch B und D
Parallele zu c durch C und E
c
d
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analyse des Analogisierungsprozesses
Zerlegung der Katheten-quadrate
Sonderfall Allgemeinfall
Schnittführung AnalogeTeilstücke
Zerlegung des Hypotenusen-
quadrats
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Abbildung der Teile
unvollständigeLösung
endgültigeLösungProbieren
Übertragung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierung der Teileabbildung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Perigal
Ihre Lösung in der Hausaufgabe
Uni Nürnberg
Beispiele von Studenten
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Bedeutung für den Unterricht• Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe
Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken• Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten
unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren
• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar
• Präzises verbales Beschreiben wird geübt• Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder
Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt• Beweisbedürfnis wird geweckt
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Forderungen
• Analogisieren sollte– als Methode im Unterricht explizit thematisiert
werden– in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden
• Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden
Uni NürnbergJahrestagung GDM Berlin 2007Mutfried Hartmann
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM
Uni Nürnberg
Wie findet man solche Zerlegungen?
Schnitt
Lage
2. Säule: Vernetzung – Entdecken durch Analogisieren
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