W.Seyboldt1 SFZ 14/15

Dreieckssätze

Pythagoras und Co

Pythagoras 300 v.Chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher

(Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen, deshalb redet man oft von den 13 Büchern des Euklid.

Alexandria, 332 von Alexander gegründet, war 500 Jahre lang Zentrum der Wissenschaft und Kultur

Die Elemente sind sehr trocken, undidaktisch im heutigen Sinn, waren über Jahrhunderte das Lehrbuch.

Internet auf Englisch Band 1: Proposition 47: Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite gleich den Quadraten über den Seiten zusammen, die ihn einschließen.

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ hier findet man 111 Beweise. Klassischer Beweis (proof 1): http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/morey.shtml

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Chinesischer Beweis (200 v.Chr) / Variante siehe, (Proof 9)

Mit binomischer Formel und vier Dreiecken Variante siehe, (Proof 10)

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22

2 2

2 2

142

2 2

c a b ab

a ab b ab

a b

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Höhensatz / Kathetensatz

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22

22 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

c p q

a b p q

h p h q p pq q

h pq

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Reziproker Pythagoras

Seien a und b die Katheten, h die Höhe über c

Beweis: Multipliziere die Seiten des Dreiecks a, b, c mit 1/ab. Jetzt sind die Seitenlängen a‘= 1/b, b‘=1/a und c‘=c/ab Ursprüngliche Dreiecksfläche auf zwei Arten berechnen

– Halbes Produkt der Katheten: – Halbes Produkt der Höhe mal Grundseite:

Ergibt nach Umformung:

Pythagoras für liefert nun

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2 2 21 1 1a b h

2 2 2' ' 'a b c 2 2 21 1 1

b a h

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Satz von Höhn 2000 In einem gleichschenkligen Dreieck sei c die

Länge der Schenkelseiten. Wir zeichnen eine Strecke der Länge a von der Dreiecksseite zur Basisseite, sodass diese in Abschnitte der Längen b und d unterteilt wird, siehe (a)

Dann gilt

Beweis: Die Höhe h unterteilt die Stecke d in y und x, siehe (b)zweimal Pythagoras:

2) auflösen nach und Einsetzen in 1)

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2 2c a bd

2 2 2c h x 2 2 2a h y

2 2 2 2 2 2c a x y a x y x y a bd

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Satz von Eddy 1991 Die innere Winkelhalbierende des

rechten Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck teilt das Quadrat über der Hypothenuse in seiner Mitte.

Beweis: Ergänze die Skizze (a) durch drei Dreiecke zu (b)Die Diagonale geht durch die Mitte des äußeren und inneren Vierecks.

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Ein „simpler Beweis“ des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Höhe h sind die

beiden Teildreiecke kongruent zum ursprünglichen. Also gilt:

Oder

Und damit

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a pc a

b qc a

2a pc 2b qc

2 2 2a b pc qc p q c c

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Ein „trickreicher“ Beweis des Pythagoras Polya: Mathematik und plausibles Schließen, S. 38ff

Werden drei ähnliche Polygone auf den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks errichtet, so ist das auf der Hypotenuse errichtete an Fläche gleich der Summe der beiden anderen. Es genügt, dies für Dreiecke, für rechtwinklige Dreiecke zu zeigen.

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2 2 2a b c

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Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks In jedem Dreieck gilt:

Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt hat von allen Seiten denselben Abstand. (Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat von den beiden Schenkeln denselben Abstand)

Der Kreis mit dem Radius r = (Abstand von den Seiten) berührt alle drei Seiten.

Bez:

Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt:

und oder

Dreiecksfläche und Aufgabe: Zeige dass die letzten beiden Gleichungen äquivalent sind.

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2a b cr

abr

a b c

2a b cs

A rs s c r

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Beweis der beiden Formel der letzten Folie Der Abbildung rechts entnehmen

wir oder aufgelöst nach r:

Die zweite Formel entnehmen wir den folgenden beiden Abbildungen:

Die obere Abb. (c) besteht aus zwei Dreiecken (b). Die untere Abb. setzt sich aus den Teildreiecken der Abb. darüber zusammen. Die beiden Flächen sind also gleich, d.h. (also )

Lösen wir nach r auf, erhalten wir:SFZ 14/15

2c a b r

2a b cr

ab r a b c abr

a b c

12

A ab rs

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Fläche Dreieck und Inkreis Die Fläche A eines rechtwinkligen Dreiecks ist

gleich dem Produkt aus den Längen der Hypotenusenabschnitte, die durch den Berührungspunkt des Inkreises definiert sind.

Beweis: Siehe die beiden folgenden Skizzen

Aufgabe Nutze x = a-r und y = b-r, um die Aufgabe mit den Formeln der Folie 8 zu beweisen.

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