Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.)

Fourierreihen periodischer Funktionen

periodische Funktion:

Fourierkoeffizienten und

Fourier-Reihenentwicklungen

(3.7 - 3.8)

Cosinus-Reihe:

Exponentialreihe:

(3.10)

(3.12)

(3.11)

Bestimmung der Koeffizienten der Fourier-Reihe

(3.9) + (3.10)

Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation

(3.14)

(3.13)

(3.12)

Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.)

(3.13)

(3.16)

Fourier-Rücktransformation:

(3.15)

Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen ( ) :

(= Fourier-Transformierte)

Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.)

(3.18)

(3.19)

(3.17)

Bedingung für Fourier-Transformierbarkeit:

Nomenklatur:

Beispiel 1 zur Fourier-Transformation

(3.20)

(3.21)

Abb. 3.1.

(3.22)

(3.23)

Abb. 3.2.

(3.24)

(3.25)

Abb. 3.3.

Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken

(3.26)

(3.27)

(3.28) (DGL 1. Ordnung)

(Kondensatorgleichung)

Abb. 3.4.

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.29)

(3.30)

(homogene DGL)

(partkuläre Lösung)

Anfangswert

Gesamtlösung:

(homogene Lösung)

(3.34)

Gesamtlösung:

Abb. 3.5.

Die Laplace-Transformation

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.35)

(3.36)

(einseitige Fouriertransformation)

(Fourier-Rücktransformation

= inverse Fouriertransformation)

Definition einer komplexen Frequenz:

(Laplace-Variable = komplexe Frequenz)

(3.42)

(3.43)

(3.40)

(3.41)

(Fourier-Transformierbarkeit)

(Laplace-Transformierbarkeit)

(3.41)

Die Umkehrung der Laplace-Transformation

(3.45)

(3.46)

(3.44)

Gl. (3.36) liefert mit

Laplace-Ebene (s-Ebene)

Abb. 3.6.

(3.48)

(3.49)

(3.47)

Symbolische Darstellungen der Laplace-Transformation

(3.52)

(3.53 – 3.54)

(3.50)

(3.51)

Darstellung der exponentiell anwachsender bzw. abfallender Sinusschwingungen

3.4 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Sprungfunktion

(3.55)

(3.56)

(3.57)

Rampenfunktion

(3.58)

(3.59)

(3.60)

Parabelfunktion

(3.62)

(3.61)

Exponentialfunktion

(3.63)

(3.64)

(3.65)

Hyperbelfunktionen

(3.66)

(3.67)

(3.68)

(3.69)

sin- und cos-Funktionen

(3.70)

(3.71)

(3.72)

(3.73)

Mit folgt aus (3.66) und (3.67)

Delta-Impuls

(3.74)

(3.75)

(3.76)

Abb. 3.7.

Überlagerung

(3.77)

(3.78)

(3.79)

Integration

(3.80)

(3.81)

Differentiation

(3.82)

(3.83)

(3.84)

Produkt zweier Laplace-Funktionen - Faltung

(3.85)

(3.86)

(3.87)

(3.88)

Variablensubstitution und

Faltung (cont.)

(3.90)

(3.91)

(3.92) (Faltung ist kommutativ)

Faltung (cont.)

Abb. 3.8.

Faltung (cont.)

(3.93)

(3.94)

(3.95)

Multiplikationssatz

(3.96)

(3.97)

Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39)

durch Differenzieren nach

Multiplikationssatz (cont.)

(3.98)

(3.99)

n-malige Ableitung ergibt Multiplikationssatz

Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich)

(3.100)

Abb. 3.9.

Verschiebung im Zeitbereich (cont.)

(3.103)

(3.101)

(3.102)

Variablensubstitution

(3.104)

Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich)

(3.105)

(3.106)

(3.107)

(3.108)

Dehnung bzw. Stauchung

(3.109)

Anfangswert-Theorem

(3.110)

Endwert-Theorem

(3.111)

Tabelle 3.1: Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

Tabelle 3.1: Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen (cont.)

Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation

(3.112)

(3.113)

(3.114)

Abb. 3.4.

wobei gilt

(3.117)

(3.118)

(3.120)

(3.115)

(3.116)

Auflösen von (3.110) nach

(Anfangswert)

(Anregung)

Die Rücktransformation der Laplace-Transformierten in den Zeitbereich

(3.122)

(3.123)

(3.121)

Rücktransformationsintegral (3.46):

Laplace-Rücktransformation (cont.) Strategie: geschickte Zerlegung

(3.125)

(3.124)

Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

(3.128)

(3.126) = (3.112)

(3.127)

Gleichung (3.109):

Laplace-Transformation ( )

(3.132)

(3.130)

(3.131)

(3.129) (Anregung)

Mit folgt aus (3.125)

Koeffizientenvergleich

Partialbruchzerlegung:

Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen

Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen (cont.)

(3.133)

(3.134)

Tabelle 3.2.

Abb. 3.5.

Lösung für eingeschaltete Sinusspannung

(3.137)

(3.135)

(3.136)

(3.138)

Tabelle 3.2.

Partialbruchzerlegung:

Einsetzen in (3.125):

Tiefpaß aus Abb. 3.4.

(3.139)

(3.141)

(3.142)

(3.140)

Rücktransformation nach Tab. 3.2.

(3.143)

(3.144)

Abb. 3.10.

Analyse von elektrischen Netzwerken mittels Laplace-Transformation

Abb. 3.11.

Berechnung von Einschwingvorgängen in elektrischen Netz-werken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen

Kirchhoffschen Gleichungen

Spannungs-Strom-Beziehungen der Netzwerkelemente

(3.145)

(3.146)

Transformation der Kirchhoffschen Gleichungen

(3.147)

Widerstandsgleichung

(3.148)

Abb. 3.12.

Kondensatorgleichung

(3.149)

(3.150)

Abb. 3.13.

Kondensatorgleichung (cont.)

(3.149)

(3.151)

(3.152)

(3.150)

Kondensatorgleichung (cont.)

(3.152)

Abb. 3.14.

Spulengleichung

(3.153)

(3.155)

(3.156)

(3.154)

Spulengleichung (cont.)

(3.156)

Abb. 3.15.

Laplace-Transformation der elektrischen Impedanzen

(3.154)

(3.156)

(3.157)

(3.155)

Beispiel: Analyse eines Serienschwingkreises

Abb. 3.16.

Ersatzschaltbild des Serienschwingkreises im Laplace-Bereich

(3.161)

Abb. 3.17.

Serienschwingkreis im Laplace-Bereich (cont.)

(3.161)

(3.163)

(3.164)

(3.162)

Anregung mit eingeschalteter Gleichspannung (Sprunganregung):

(Anfangswerte)

Serienschwingkreis im Laplace-Bereich (cont.)

(3.165)

(3.166)

Einsetzen in (3.159):

Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades

(3.168)

(3.169)

(3.167)

Polstellen s und s 1 2

Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (cont.)

(3.171)

(3.172)

(3.170)

( : Kreisfrequenz bei Dämpfung)

(3.174)

(3.172)

(3.173)

Tabelle 3.1.:

(3.176)

(3.177)

(3.175)

Anwendung des Verschiebungssatzes auf (3.170) und (3.171) liefert für (komplexwertige Pole)

(3.180)

(3.181)

(3.179)

Pole im Reellen :

(3.178)

Äquivalenz der beiden Lösungen

(3.183)

(3.182)

Aperiodischer Grenzfall

(3.186)

(3.184)

(3.187)

(3.185)

(3.188)

Grenzübergang von (3.177) für

(keine Schwingungen mehr!)

Laplace-Rücktransformation - Serienschwingkreis

(3.191)

(3.189)

(3.192)

(3.190)

(3.193)

(3.166)

Laplace-Rücktransformation - Serienschwingkreis

komplexwertige Pole:

reellwertige Pole:

(3.195)

(3.194)

(3.196)

Serienschwingkreis - Sprungantwort

Kreisfrequenz des gedämpften Schwingkreises:

aperiodischer Grenzfall:

(3.198)

(3.197)

Strom im Serienschwingkreis nach Spannungssprung

Pole im Komplexen:

Abb. 3.18.

Strom im Serienschwingkreis nach Spannungssprung

Pole im Reellen:

Abb. 3.19.

Heaviside-Entwicklungssatz

(3.201)

(3.199)

(3.200)

Beispiel für die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes

(3.202)

(3.203)

Abb. 3.20.

Pol-/Nullstellen-Verteilung eines Allpasses

Abb. 3.21.

x: Polstellen

o: Nullstellen

Heaviside-Beispiel (cont.)

(3.204)

(3.205)

(3.206)

(3.207)

Fallunterscheidung:

(3.209)

(3.210)

(3.211)

(3.212)

(3.208)

(3.216)

(3.217)

(3.215)

(3.214)

(3.213)

a) für folgt

b) für folgt

c) aperiodischer Grenzfall

(3.220)

reelle Werte für , und

konjugiert komplexe Werte , und rein imaginär

(3.218)

(3.219)

Impulsantwort des Allpasses für verschiedene Werte von

Abb. 3.22.

3.11. Vierpol-Übertragungsfunktion in Zeit- u. Frequenzbereich Berechnung der Systemantwort mittels Faltung

(3.221)

(3.222)

Abb. 3.23.

(3.223)

Impulsantwort eines linearen Übertragungssystems

Abb. 3.24.

Übertragungsfunktion

(3.224)

(3.225)

(3.227)

Beispiel: (Abb. 3.25)

(3.226)

(3.231)

(3.228)

(3.229)

(3.230)

Amplitudengang:

(3.232)

Phasengang:

Pol-Nullstellen-Diagramm Übertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

Abb. 3.25.

Abb. 3.26.

Bestimmung von Betrag und Phase einer Übertragungs-funktion anhand der Einzelbeiträge aller Nullstellen und Pole

(3.233)

(3.234)

Beschreibung von linearen Netzwerken durch Sprungantwort

Abb. 3.27.

Bode-Diagramme

(3.235)

(3.236)

(3.238)

Amplitudengang (linear)

Abb. 3.28.

Amplitudengang (logarithmisch)

Abb. 3.29.

Phasengang

(3.239)

Abb. 3.30.

Tabelle 3.3. Analyse der Übertragungsfunktion

Bode-Diagramme (cont.)

Abb. 3.31.

Abb. 3.32.

Abb. 3.33.

Abb. 3.34.

Amplitudengang

Phasengang

Bode-Diagramme für Beispielfunktionen

(3.241)

(3.243)

(3.244)

Mit reeller Pol-/Nullstellenverteilung

Für komplexe Polpaare

Bode-Diagramm für Beispielfunktion a)

Abb. 3.35.

Bode-Diagramm für Beispielfunktion a)

Abb. 3.35.

Konjugiert-komplexe Polstellen für schwach gedämpftes sowie stark gedämpftes System

Abb. 3.36.

Systeme mit mittlerer Dämpfung

(3.242)

Bode-Diagramm für Beispielfunktion b)

Abb. 3.37.

Bode-Diagramm für Beispielfunktion b)

Abb. 3.37.

Pol-Nullstellen-Diagramm: Beispiel c)

(3.244)

Abb. 3.38.

Bode-Diagramm für Beispielfunktion c)

Abb. 3.39.

Bode-Diagramm für Beispielfunktion c)

Abb. 3.39.

http://www.springer.com/978-3-642-22608-3

Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.)

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