Widersprüche in Gesprächen, im Leben, im Menschen in Systemen,

Widersprüche in Gesprächen,im Leben, im Menschenin Systemen, ...

Folgendes wird hier vorausgesetzt

(vieeeeeleicht aus der Realschule ???):

a * b = a b*

Warum sind Widersprüche unerwünscht?

Angenommen in der Hausordnung steht auf S.10, daß man rauchen darf und auf S.20, daß dies nicht erlaubt ist.Wer hat nun recht?

Muß der beim Rauchen erwischte Schüler eine

Strafarbeit machen oder nicht?

Die Forderung der Widerspruchsfreiheit

nimmt nicht nur z.B. das Gesetzbuch für sich in

Anspruch, sondern auch die Mathematik.

Was folgt z.B. aus der folgenden Aussage?

9 = +- 3

9 = +- 3

bedeutet

9 = +- 3

bedeutet

9 = + 3

9 = +- 3

bedeutet

9 = + 3und

9 = +- 3

bedeutet

9 = + 3und

9 = - 3

9 = +- 3

bedeutet

9 = + 3und

9 = - 3also

9 = +- 3

bedeutet

9 = + 3und

9 = - 3also

+ 3 = - 3

Also ist dieser "Ansatz" widersprüchlich (inkonsistent).Deswegen probieren wir etwas

anderes:

Die Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst

multipliziert die Ausgangszahl ergibt.

Also folgt sofort aus dieser Definition:

Die Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst

multipliziert die Ausgangszahl ergibt.

Also folgt sofort aus dieser Definition:

a * a

Die Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst

multipliziert die Ausgangszahl ergibt.

Also folgt sofort aus dieser Definition:

a * a = a

Die Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst

multipliziert die Ausgangszahl ergibt.

Aber aufgepaßt: Was ist an dieser Formulierung

unsauber?

Es gibt nicht die EINE Zahl, die mit sich selbst multipliziert

die Ausgangszahl ergibt.Beispiel:

Es gibt nicht die EINE Zahl, die mit sich selbst multipliziert

die Ausgangszahl ergibt.Beispiel:

9 = + 3 oder

Es gibt nicht die EINE Zahl, die mit sich selbst multipliziert

die Ausgangszahl ergibt.Beispiel:

9 = + 3 oder 9 = - 3

Es gibt nicht die EINE Zahl, die mit sich selbst multipliziert

die Ausgangszahl ergibt.Beispiel:

9 = + 3 oder 9 = - 3

für eine Definition müssen wir uns entscheiden

Nehmen wir mal die folgende Definition:

9 = - 3

Angenommen, wir würden unter der Wurzel aus einer Zahl

die negative Zahl definieren, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt. Also

z.B:

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

81

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 =

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

9 * 9 =

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

9 * 9 = - 3 * - 3 =

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

9 * 9 = - 3 * - 3 = 9

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

9 * 9 = - 3 * - 3 = 9also:

81 =

Was hätte das für Konsequenzen?

Beispiel:

=- 9 9*9 =

9 * 9 = - 3 * - 3 = 9also:

=- 9 9

Wenn man also das Gesetz:

Wenn man also das Gesetz:

a * b = a b*

Wenn man also das Gesetz:

a * b = a b*

nicht aufgeben will, darf man für die Wurzel aus einer Zahl

nicht die negative Zahl verwenden.

Wir wollen hier (so wie in der Schule auch) deswegen für die

Wurzel aus einer Zahl die positive Zahl verwenden.

Beispiel:

Wir wollen hier (so wie in der Schule auch) deswegen für die

Wurzel aus einer Zahl die positive Zahl verwenden.

Beispiel:

9 = + 3

Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?

Beispiel:

Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?

Beispiel:

-9 = ?

Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?

Beispiel:

-9 = ?Welche Eigenschaft müsste per

Definition ? haben

Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?

Beispiel:

-9 = ?Welche Eigenschaft müsste per

Definition ? haben? * ? = -9

Was ist die Wurzel aus einer negativen Zahl?

Beispiel:

-9 = ?Welche Eigenschaft müsste per

Definition ? haben? * ? = -9Aber...

Es gibt keine negative Quadratzahl!!

Also gibt es den Term

Es gibt keine negative Quadratzahl!!

Also gibt es den Term

-9

Es gibt keine negative Quadratzahl!!

Also gibt es den Term

-9

NICHT !

Ist es schlimm, diesen Term überhaupt hinzuschreiben?

Was soll schlimm sein, wenn man z.B.

Ist es schlimm, diesen Term überhaupt hinzuschreiben?

Was soll schlimm sein, wenn man z.B.

-9

Ist es schlimm, diesen Term überhaupt hinzuschreiben?

Was soll schlimm sein, wenn man z.B.

auf ein Blatt Papier schreibt?

-9

Der Staatsanwaltschaft ist es vermutlich egal (kein Offizialdelikt, kein

Antragsdelikt). Was sagt aber Mathilde, die Göttin der

Mathematik? Wird sie wild oder mild?

Herr X schreibt also folgendes auf ein Stück Papier

(Mathilde sieht alles !!)

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9also mit obigem Wurzelgesetz:

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9also mit obigem Wurzelgesetz:

-9 -9* = -9

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9also mit obigem Wurzelgesetz:

-9 -9* = -9

81 = -9

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9also mit obigem Wurzelgesetz:

-9 -9* = -9

81 = -9-99 =

-9 dann ist aber auch erlaubt:

-9 -9= dann gilt per Definition:

-9 -9* = -9also mit obigem Wurzelgesetz:

-9 -9* = -9

81 = -9-99 =

Haben Sie den Donner gehört?Mathilde wurde wild !!

Die nächste Versuchung:Mit g wird die größte Zahl

bezeichnet.Aber die gibt es doch nicht!

Doch: Wenn man sie noch nicht gefunden hat, muss man eben

eine größere nehmen und dieses Verfahren immer wieder

anwenden.

Wer hat Recht?Welche Argumentation ist

korrekt?

Herr X schreibt also folgendes auf ein Stück Papier

(Mathilde sieht alles !!)

g Da g die größte Zahl ist, gilt für jede Zahl z:

z < g Also gilt dies auch für die spezielle Zahl z = g+1

g+1 < g Jetzt wird auf jeder Seite der Ungleichung g subtrahiert:

1 < 0 Es gilt aber auch (Grundschule)

0 < 1 also:

1 < 0 < 1 also:

1 < 1 und wieder hört man das Donnern von Mathilde...

Die nächste Versuchung:Was fehlt noch?

Endlich kommt's:

Die Division durch 0

Herr X schreibt also folgendes auf ein Stück Papier

(Mathilde sieht alles !!)

z---0

z sei eine Zahl ungleich 0: z0

z---0

dann ist aber auch erlaubt

z---0

= die 0 auf die andere Seite mit *

zz

---0

= * 0

z = 0

also

z 0 aber:und wieder hört man das Donnern:

Die nächste Versuchung:Dann wähle ich eben z = 0.

D.h. ich schreibe:

0---0

Herr X schreibt also folgendes auf ein Stück Papier

(Mathilde sieht alles !!)

0---00---0

dann ist aber auch erlaubt

0---0

=jetzt machen wir kurz einen

kleinen Ausflug (Zwischenüberlegung):

die 0 auf die rechte andere Seite mit : ergibt

60---0

= analog

6 * 0 = 0

70---0

=

die 0 auf die rechte, andere Seite mit : ergibt

7 * 0 = 0

Bitte die roten Formel merken, denn wir kehren

zurück zu:

0---0

0---0

=

also gilt:60---0

=

0---0

0---0

=6

also gilt:70---0

=

=

0---0

0---0

=6 = 7=

0---0

0---0

=6 = 7=

also gilt:

6 = 7und wieder hört man das Donnern:

Herr X liegt nachts wach und denkt fiebernd darüber nach,

wie er sich Mathilde – über eine rein platonische Beziehung

hinausgehend – nähern könnte. "Am besten mache ich es wie Pythagoras und mache eine mathematische Erfindung.

Damit schinde ich dann bei Mathilde Eindruck und kann mich über diesen Trick ihr so

nähern, wie ich mir es in meinen geheimsten Wünschen

vorstelle". Urplötzlich und ansatzlos krümmen sich die Finger von Herrn X zu einer Faust, die einen ca. 25 cm

langen

Bleistift umfasst, den er im Laufe der noch jungen Nacht verbrauchen ("verschaffen")

wird. Sein Hirn und seine Hände laufen auf Hochtouren.

Und hier die mathematische "Erfindung" von Herrn X:

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x2

=

x =22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x =22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x =22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x =22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x = 22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x = 22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x = 22

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x = 22 x*

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

x =2 x*2

Wann ist das Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl.

D.h. wann purzelt die 2 runter ?

Beispiele:

2 * 2 = 2 * 2

0 * 0 = 0 + 0

Von dieser Überlegung ausgehend definiert Herr X die

Purzel aus einer Zahl:

Die Purzel p einer Zahl ist die Quadratzahl einer Zahl, die zugleich dem Doppelten der

Zahl ist.

Also ein paar Beispiele:

Und ein paar Gesetze:

p(n) = n * np(n) = 2n

p(0) = 0

p(2) = 4

Voller Begeisterung in Erwartung auf das Kommende, schickt Herr X Mathilde einen

Brief, in dem er seine Erfindung schildert. Umgehend kommt ein

Brief zurück mit folgendem Inhalt:

p(8) Dann gilt aber auch:

p(8) = 8*8 und auch noch:

p(8) = 2*8 also

8*8

also

8*8 = 2 *8 also:

64 = 16und wieder hört man das Donnern ...

=

p(8) =

2*8

Aus einer Körperkontakt beinhaltenden Freundschaft von Mathilde mit Herrn X wird's so

nix: Die Trix von Herrn X bringen nix.

So wie es aussieht, bleibt Herr X momentan der Schreib- und Redefreund von Mathilde, was aber – mathematisch gesehen -

viel wertvoller ist ...wobei diese Erkenntnis der junge Mensch aber erst im gesetzten Alter zu schätzen

lernen weiß ...

Allerdings freut sich Mathilde, daß sich Herr X mit der

Mathematik beschäftigt hat. Damit Herr X mit diesen Trix

nicht allein bleibt - kein ewiger Trixer – verspricht ihm

Mathilde Nachhilfe zu geben.

Das Fach und die Inhalte darf Herr X sich aussuchen ...