Zahlen geschickt addieren Universität Kassel Wintersemester 2008/09 Prof. Bley Arithmetik als...

Zahlen geschickt addieren

Zahlen geschickt addieren

Universität KasselWintersemester 2008/09

Prof. BleyArithmetik als Prozess

Referentin: Madeleine FischerDatum: 17.11.2008

Durch geschicktes Addieren sollen Beziehungen zwischen Zahlen und

Summen betrachtet werden.

Gliederung

1. Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender Zahlen

2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge gerader aufeinander folgender Zahlen

2.2. Summengleiche Teilmengen einer Menge ungerader aufeinander folgender Zahlen

3. Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen4. 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen5. „Wer trifft die 50?“

1. Summengleiche Teilmengen einer Menge

aufeinander folgender Zahlen

• Summengleich: Die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge ist gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge.

• Bsp.: n=8 Sn={1,2,3,4,5,6,7,8}• Gesamtsumme ist 36• Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,4,8}

=18 {5,6,7} = 18

Allgemein• Gesamtsumme ist ungerade

keine Zerlegung in summengleiche Teilmengen möglich

• Gesamtsumme ist gerade Zerlegung eventuell möglich

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden

• Bsp.: n=8

1+2+3+4+5+6+7+8

• Pärchenanzahl = n/2, also hier 4• Pärchensumme = n+1, also hier 9• Gesamtsumme= Pärchenanzahl x Pärchensumme• Sn= n/2 x (n+1)• Hier: 8/2 x (8+1) = 36 summengleiche Teilmengen: {1,8,2,7} und {3,6,4,5}

Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden

Bsp.: n=10

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Sn= n/2(n+1) Sn= 10/2 (10+1) = 55Gerade Anzahl von Summanden aber

ungerade Gesamtsumme keine summengleichen Teilmengen möglich

D.h. n/2 muss gerade sein

Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden

• Bsp.: n=7 Sn={1,2,3,4,5,6,7}

1+2+3+4+5+6+7

• Mittelzahl= (n+1)/2, hier also 4• Summandenanzahl= n, hier also 7• Gesamtsumme= Summandenanzahl x Mittelzahl• Sn= n x (n+1)/2 Hier: 7x (7+1)/2= 28• Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,7} und

{3,5,6}

• Summe aufeinanderfolgender Zahlen: Addition von abwechselnd geraden und ungeraden Summanden

• Gesamtsumme ist ungerade: ungerade Anzahl von ungeraden Summanden

n= 1,2,5,6,9,10…• Gesamtsumme ist gerade: gerade Anzahl von

ungeraden Summandenn= 3,4,7,8,11,12…

Für Vielfache von 4 und Zahlen die um 1 kleiner sind als die Vielfachen von 4 (also n=4k und n=4k-1)

n= 4k• Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von Summanden• Sn= 4k/2 x (4k+1)

= 2k x (4k+1) Gerade Gesamtsumme

• Bsp.: n= 12 Sn= 78

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

• Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,10,11,12} und {4,5,6,7,8,9}

n= 4k-1• Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl von Summanden• Sn= (4k-1) x 4k/2

= (4k-1) x 2k Gerade Gesamtsumme

• Bsp.: n=15 Sn=120

• 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15

• Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,5,6,13,14,15} und {3,7,8,9,10,11,12}

Was ist mit n=2,6,10,14…?

• n= 4k+2• Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von

Summanden• Sn = (4k+2)/2 x (4k+3) = (2k+1)x(4k+3)Ungerade Gesamtsumme• Bsp.: n= 10• Sn= 55

Was ist mit n= 1,5,9,13…?

• n= 4k+1• Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl

von Summanden• Sn= (4k+1) x (4k+2)/2

= (4k+1) x (2k+1) Ungerade Gesamtsumme• Bsp.: n= 9• Sn= 45

2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge

gerader aufeinander folgender

Zahlen

• Menge der ersten n geraden Zahlen: {2,4,…,2n-2,2n}

• Bsp.: n=4 Sn={2,4,6,8} • Summengleiche Teilmengen: {2,8} und

{4,6}• Zurückzuführen auf aufeinander folgende

Zahlen• Also möglich bei n= 4k und n= 4k-1

2.2. SummengleicheTeilmengen

einer Menge ungerader

aufeinander folgender Zahlen

• Menge der ersten n ungeraden Zahlen: {1,3,…,2n-3,2n-1}

• Bsp.: n=4 Sn={1,3,5,7}• Entscheidend: Anzahl der ungeraden

Summanden• Also möglich bei n= 4k und n= 4k+2

n=4,6,8,10,12… gerade Anzahl von ungeraden Summanden

3. Summen aufeinander folgender natürlicher

Zahlen• Bsp.: Summe von 5 aufeinander

folgenden natürlichen ZahlenSn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)

= 5n + 10 Alle Vielfachen von 5, die ≥ 15

sind

3. Summen aufeinander folgender natürlicher

Zahlen• Bsp.: Summe von 2 aufeinander folgenden

natürlichen ZahlenSn = n+(n+1) = 2n+1 Alle ungeraden Zahlen die ≥ 3 sind

• Bsp.: Summe von 4 aufeinander folgenden natürlichen ZahlenSn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = (n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n+2 Alle Zahlen die durch 2 aber nicht durch 4 teilbar sind und ≥ 6 sind

3. Summen aufeinander folgender natürlicher

Zahlen

• Allgemeine Formel für k aufeinander folgende natürliche Zahlen:Sn = n+(n+1)+(n+2)+…+(n+k-1)

= kn + (1+2+…+(k-1)) = kn + (k-1) x k/2• Unterscheidung für k ist gerade und k

ist ungerade

1.Fall: k ist gerade

Sn = kn + (k-1) x k/2 = kn + k x k/2 – k/2 = k (n + k/2) – k/2Bsp.: k=6Sn = 6n + 18 – 3 = 6n + 15 Alle Zahlen die durch 3 aber nicht

durch 6 teilbar sind und ≥ 21

2.Fall: k ist ungerade

Sn = kn + (k-1)/2 x k = k (n + (k-1)/2)Bsp.: k=7Sn = 7 (n+3) = 7n + 21 Alle Zahlen die durch 7 teilbar

sind und ≥ 28

4. Die Zahl 100 als Summe aufeinander

folgender Zahlen• 100 lässt sich als Summe von 5 und 8

aufeinanderfolgenden natürlichen darstellen• Bsp.: k=5• Sn = k (n + k-1/2)• 100 = 5 (n+2)• 18 = n 18+19+20+21+22 = 100• Bsp.: k=8• Sn = k (n + k/2) – k/2• 100 = 8(n + 4)-4• 9 = n 9+10+11+12+13+14+15+16 = 100

5. Wer trifft die 50?

Wie findet man alle Lösungen?

• n n+k n+2k n+3k n+4k• Sn= n+(n+k)+(n+2k)+(n+3k)+

(n+4k)• Sn= 5n+10kBsp.: n=2• 50= 5x2+10k• 4= k

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit