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Zahlen geschickt addieren
Zahlen geschickt addieren
Universität KasselWintersemester 2008/09
Prof. BleyArithmetik als Prozess
Referentin: Madeleine FischerDatum: 17.11.2008
Durch geschicktes Addieren sollen Beziehungen zwischen Zahlen und
Summen betrachtet werden.
Gliederung
1. Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender Zahlen
2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge gerader aufeinander folgender Zahlen
2.2. Summengleiche Teilmengen einer Menge ungerader aufeinander folgender Zahlen
3. Summen aufeinander folgender natürlicher Zahlen4. 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen5. „Wer trifft die 50?“
1. Summengleiche Teilmengen einer Menge
aufeinander folgender Zahlen
• Summengleich: Die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge ist gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge.
• Bsp.: n=8 Sn={1,2,3,4,5,6,7,8}• Gesamtsumme ist 36• Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,4,8}
=18 {5,6,7} = 18
Allgemein• Gesamtsumme ist ungerade
keine Zerlegung in summengleiche Teilmengen möglich
• Gesamtsumme ist gerade Zerlegung eventuell möglich
Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden
• Bsp.: n=8
1+2+3+4+5+6+7+8
• Pärchenanzahl = n/2, also hier 4• Pärchensumme = n+1, also hier 9• Gesamtsumme= Pärchenanzahl x Pärchensumme• Sn= n/2 x (n+1)• Hier: 8/2 x (8+1) = 36 summengleiche Teilmengen: {1,8,2,7} und {3,6,4,5}
Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden
Bsp.: n=10
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Sn= n/2(n+1) Sn= 10/2 (10+1) = 55Gerade Anzahl von Summanden aber
ungerade Gesamtsumme keine summengleichen Teilmengen möglich
D.h. n/2 muss gerade sein
Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden
• Bsp.: n=7 Sn={1,2,3,4,5,6,7}
1+2+3+4+5+6+7
• Mittelzahl= (n+1)/2, hier also 4• Summandenanzahl= n, hier also 7• Gesamtsumme= Summandenanzahl x Mittelzahl• Sn= n x (n+1)/2 Hier: 7x (7+1)/2= 28• Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,7} und
{3,5,6}
• Summe aufeinanderfolgender Zahlen: Addition von abwechselnd geraden und ungeraden Summanden
• Gesamtsumme ist ungerade: ungerade Anzahl von ungeraden Summanden
n= 1,2,5,6,9,10…• Gesamtsumme ist gerade: gerade Anzahl von
ungeraden Summandenn= 3,4,7,8,11,12…
Für Vielfache von 4 und Zahlen die um 1 kleiner sind als die Vielfachen von 4 (also n=4k und n=4k-1)
n= 4k• Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von Summanden• Sn= 4k/2 x (4k+1)
= 2k x (4k+1) Gerade Gesamtsumme
• Bsp.: n= 12 Sn= 78
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
• Summengleiche Teilmengen: {1,2,3,10,11,12} und {4,5,6,7,8,9}
n= 4k-1• Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl von Summanden• Sn= (4k-1) x 4k/2
= (4k-1) x 2k Gerade Gesamtsumme
• Bsp.: n=15 Sn=120
• 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15
• Summengleiche Teilmengen: {1,2,4,5,6,13,14,15} und {3,7,8,9,10,11,12}
Was ist mit n=2,6,10,14…?
• n= 4k+2• Sn= n/2(n+1) da gerade Anzahl von
Summanden• Sn = (4k+2)/2 x (4k+3) = (2k+1)x(4k+3)Ungerade Gesamtsumme• Bsp.: n= 10• Sn= 55
Was ist mit n= 1,5,9,13…?
• n= 4k+1• Sn= n x (n+1)/2 da ungerade Anzahl
von Summanden• Sn= (4k+1) x (4k+2)/2
= (4k+1) x (2k+1) Ungerade Gesamtsumme• Bsp.: n= 9• Sn= 45
2.1. Summengleiche Teilmengen einer Menge
gerader aufeinander folgender
Zahlen
• Menge der ersten n geraden Zahlen: {2,4,…,2n-2,2n}
• Bsp.: n=4 Sn={2,4,6,8} • Summengleiche Teilmengen: {2,8} und
{4,6}• Zurückzuführen auf aufeinander folgende
Zahlen• Also möglich bei n= 4k und n= 4k-1
2.2. SummengleicheTeilmengen
einer Menge ungerader
aufeinander folgender Zahlen
• Menge der ersten n ungeraden Zahlen: {1,3,…,2n-3,2n-1}
• Bsp.: n=4 Sn={1,3,5,7}• Entscheidend: Anzahl der ungeraden
Summanden• Also möglich bei n= 4k und n= 4k+2
n=4,6,8,10,12… gerade Anzahl von ungeraden Summanden
3. Summen aufeinander folgender natürlicher
Zahlen• Bsp.: Summe von 5 aufeinander
folgenden natürlichen ZahlenSn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
= 5n + 10 Alle Vielfachen von 5, die ≥ 15
sind
3. Summen aufeinander folgender natürlicher
Zahlen• Bsp.: Summe von 2 aufeinander folgenden
natürlichen ZahlenSn = n+(n+1) = 2n+1 Alle ungeraden Zahlen die ≥ 3 sind
• Bsp.: Summe von 4 aufeinander folgenden natürlichen ZahlenSn = n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = (n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n+2 Alle Zahlen die durch 2 aber nicht durch 4 teilbar sind und ≥ 6 sind
3. Summen aufeinander folgender natürlicher
Zahlen
• Allgemeine Formel für k aufeinander folgende natürliche Zahlen:Sn = n+(n+1)+(n+2)+…+(n+k-1)
= kn + (1+2+…+(k-1)) = kn + (k-1) x k/2• Unterscheidung für k ist gerade und k
ist ungerade
1.Fall: k ist gerade
Sn = kn + (k-1) x k/2 = kn + k x k/2 – k/2 = k (n + k/2) – k/2Bsp.: k=6Sn = 6n + 18 – 3 = 6n + 15 Alle Zahlen die durch 3 aber nicht
durch 6 teilbar sind und ≥ 21
2.Fall: k ist ungerade
Sn = kn + (k-1)/2 x k = k (n + (k-1)/2)Bsp.: k=7Sn = 7 (n+3) = 7n + 21 Alle Zahlen die durch 7 teilbar
sind und ≥ 28
4. Die Zahl 100 als Summe aufeinander
folgender Zahlen• 100 lässt sich als Summe von 5 und 8
aufeinanderfolgenden natürlichen darstellen• Bsp.: k=5• Sn = k (n + k-1/2)• 100 = 5 (n+2)• 18 = n 18+19+20+21+22 = 100• Bsp.: k=8• Sn = k (n + k/2) – k/2• 100 = 8(n + 4)-4• 9 = n 9+10+11+12+13+14+15+16 = 100
5. Wer trifft die 50?
Wie findet man alle Lösungen?
• n n+k n+2k n+3k n+4k• Sn= n+(n+k)+(n+2k)+(n+3k)+
(n+4k)• Sn= 5n+10kBsp.: n=2• 50= 5x2+10k• 4= k
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit