8/8/2019 02_KIN

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LV 143.020, 143.021 ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 MB, VT, WI-MB

PHYSIK FR INGENIEURE

2. KINEMATIK

WS 2010/11 Vortragende:

N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

Dieses Dokument unterliegt dem Urheberrechtsgesetz. Vervielfltigungen, bersetzungen, Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Medien sind nicht erlaubt.

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2. KINEMATIK

2.1. Ort

Um einen Ort angeben zu knnen, mu zunchst ein Koordinatensystem festgelegt werden.Da sich mit Hilfe eines rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystems sehr vieleAufgabenstellungen gut lsen lassen, werden in diesem Skriptum ausschlielichrechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet . Wie der Name besagt, stehendie Koordinatenachsen senkrecht aufeinander. Die Richtungen der x-, der y- und der z-Achsesind durch die Einheitsvektorenr re e x , y und

r

e z gegeben und da es sich um ein Rechtssystemhandelt, mssen die vektoriellen Produkte

y x z

x z y

z y x

e=ee

e=ee

e=ee

rvr

rvr

rvr

Gl.01k

gelten. Der Ort (ein PunktP) wird dann durch seine Koordinatenx, y und z in der FormP = P(x,y,z) Gl.02k

oder aber durch den vom Ursprung des Koordinatensystems zum PunktP weisendenRadiusvektor rr

r r r r

r ye y= xe x ze z+ + Gl.03k beschrieben.

2.2. WegHngen die Ortskoordinaten von einem Parameter u ab, so entsteht durch eine Variation desParameters eine Mannigfaltigkeit von Punkten. Die Gesamtheit der mglichen Punkte beschreibt eineBahn . Es gilt

r r r r

r u x u e y u e z u e x y( ) ( ) ( ) ( )= z+ + . Gl.04k Sehr hufig ist fr den Parameter die Zeitt zu verwenden, wodurch jedem Punkt der Bahnzumindest ein bestimmter Zeitpunkt zugeordnet werden kann.

Verbindet man zwei sehr nahe nebeneinander liegende Punkte der Bahn miteinander, so ist

diese Verbindung als ein differentielles Bahnelementdr r

, oder besser als Wegstck dsr

, zu bezeichnen.

Das differentielle Bahnelementdr dsr r= stellt geometrisch gesehen die Differenz aus denRadiusvektoren zu den Zeitpunktent + dt und t dar.

ds r t dt r t r r r= + ( ) ( ) Gl.05k

Im allgemeinen Fall wird der Weg nicht durch eine Gerade zu beschreiben sein und mudeshalb durch eine Aneinanderreihung von Wegstcken dargestellt werden. DieKomponenten dx, dy und dz des Wegstckes dsr lassen sich ebenfalls als Differenz der Ortskoordinaten x, y und z zum Zeitpunktt+dt bzw. t darstellen.

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Kinematik

dx x t dt x t

dy y t dt y t

dz z t dt z t

= + = + = +

( ) (( ) (( ) (

))

)Gl.06k

Auf diese Weise lt sich das Wegstck dsr nicht nur als Differenz seiner Radiusvektoren

beschreiben, sondern auch durch seine Komponentendx, dy und dz. ds dxe dye dze x y zr r r r= + + Gl.07k

Der Betrag ds des Wegstckes errechnet sich unter Verwendung des pythagorischenLehrsatzes zu

ds dx dy dz= + +2 2 2 . Gl.08k

2.3. Geschwindigkeit

Ein Punkt bewegt sich gleichfrmig, wenn er auf einer geraden Bahn in gleichen Zeitengleiche Wege zurcklegt. Bezeichnet man mits die in der Zeitt zurckgelegte Wegstrecke, sowird der Quotients/t als Geschwindigkeitv definiert. Im allgemeinen Fall wird die Bahn - der Weg - nicht geradlinig durchlaufen und ebenso die Geschwindigkeit dem Betrage nachvernderlich sein. Das bedeutet fr die Definition der Geschwindigkeit, da diese jeweils nur fr einen differentiell kurzen Zeitraumdt hinsichtlich ihrer Richtung und ihres Betragesanwendbar ist -Momentangeschwindigkeit .

dsv

dt =

r

r Gl.09k

Drckt man die Geschwindigkeit in Komponentenform aus, so erhlt man, da im allgemeinenFall die Ortskomponenten x, y und z von der Zeit abhngen, die Komponentenv x, v y und v z des Vektors der Geschwindigkeit aus den Ableitungen der Ortskomponenten nach der Zeitt .

vdxdt

vdydt

vdzdt

x

y

z

=

=

=

Gl.10k

Damit kann die Geschwindigkeitrv in Komponentenform angeschrieben werdenr r r r

v v e v e v e x x y y z z= + + Gl.11k

und aus den Komponenten der Betragv der Geschwindigkeitv v v v x y z= + +

2 2 2 Gl.12k berechnet werden. Sollen aus der Geschwindigkeit die Komponenten des Wegesdsr errechnetwerden, so braucht man nur die jeweilige Komponente der Geschwindigkeit mit der Zeitdt zumultiplizieren.

dx v t dt

dy v t dt

dz v t dt

x

y

z

===

( )

( )

( )

Gl.13k

hnlich errechnet sich das whrend der Zeitspannedt zurckgelegte Wegstck ds zu

11

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ds = vdt = 2 2 2 x y zv v v d + + t . Gl.14k Ist die Bahnkurve rr (t) gesucht, dann sind die obigen Gleichungen fr dx, dy und dz zuintegrieren.

Gl.15k

x t v d x t

y t v d y t

z t v d z t

x

t

y

t

z

t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

0

0

=

=

=

Die additiven Konstanten x(t= 0), y(t= 0) und z(t= 0) geben den Ort zur Zeitt= 0 an. Da dieobere Integrationsgrenze gleicht ist, wird als Integrationsvariable verwendet. Gl.14k beschreibt das differentielle Wegelementds . Soll hingegen der innerhalb einer endlichen

Zeitspanne von t 1 bis t 2 zurckgelegte Weg s berechnet werden, so ist die nachstehendeGleichung zu verwenden.

s v v v d x y zt

t

= + + 2 2 21

2

t Gl.16k

Im Falle einer gleichfrmigen Bewegung reduziert sich die Berechnung des Weges auf den inGl.17k gezeigten Ausdruck.

)12( t t vs = Gl.17k

2.4. BeschleunigungBetrachtet man eine geradlinige ungleichfrmige Bewegung, so wird diese, je nachdem ob dieGeschwindigkeit bei der Bewegung in gleichen Zeitrument um gleiche Betrgev zu-oder abnimmt, als gleichfrmig beschleunigte oder verzgerte Bewegung bezeichnet. Stattvon Verzgerung kann auch von negativer Beschleunigung gesprochen werden. Der Quotientv/ t ist die Beschleunigung a . Im allgemeinen Fall ist auch fr die Beschleunigunganzunehmen, da diese sich sowohl dem Betrage als auch der Richtung nach ndert undsomit, hnlich den berlegungen zur Definition der Geschwindigkeit, die Angabe der Beschleunigung auf einen differentiell kurzen Zeitraumdt erstreckt werden mu -Momentanbeschleunigung

.r

r

advdt

= Gl.18k

Auch ra kann in Komponentenform dargestellt werden,r r r r

a a e a e a e x x y y z z= + + Gl.19k wobei sich die Komponenten der Beschleunigung zu

advdt

adv

dt

a dvdt

x x

y y

z z

=

=

=

Gl.20k

12

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Kinematik

errechnen und der Betrag der Beschleunigunga ausa a a a x y z= + +

2 2 2 Gl.21k folgt.

Bercksichtigt man, da die Geschwindigkeit bereits als Ableitung der Komponenten x, y und z des Ortes nach der Zeit errechnet wurde, so stellt die Beschleunigung die zweite Ableitungder Ortskomponenten nach der Zeit dar.

ad x

dt

ad y

dt

ad z

dt

x

y

z

=

=

=

2

2

2

2

2

2

Gl.22k

Soll bei gegebener Beschleunigungr

a die Geschwindigkeitr

v berechnet werden, so werdenanalog zur Berechnung der Wegkomponenten aus den Geschwindigkeitskomponenten, dieKomponenten v x , v y und v z der Geschwindigkeit durch Integration der Beschleunigungs-komponenten gefunden. Auch hier ist als Integrationsvariable anstelle vont zu whlen unddarber hinaus geben die Geschwindigkeitswertev x(t= 0), v y(t= 0) und v z(t= 0) Auskunft ber die Geschwindigkeit zur Zeitt= 0.

Gl.23k

v a d v t

v a d v t

v a d v t

x x x

t

y y y

t

z z z

t

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

0

0

0

=

=

=

Geht man von den Komponentena x , a y und a z der Beschleunigung aus, dann erhlt man dienderungdv x , dv y und dv z der Komponenten der Geschwindigkeit innerhalb einer Zeitspannedt aus den in Gl.24k zusammengestellten Gleichungen.

dv a t dt

dv a t dt

dv a t dt

x x

y y

z z

===

( )

( )

( )

Gl.24k

Die nderung des Betragesdv der Geschwindigkeit istdt aaadt adv z y x

222 ++== Gl.25k und unter Verwendung dieses Ausdruckes errechnet sich der Betrag der Geschwindigkeitv nach einer Zeitt zu

v a a a d v t x y z

t

= + + + ==

=

2 2 20

0

( ) . Gl.26k

v(t= 0) ist die Geschwindigkeit zur Zeitt= 0. Gl.26k gilt nur unter der Voraussetzung, dara parallel zu rv gerichtet ist und in der Zeitspanne= 0 bis =t keine Vorzeichenumkehr erfhrt,

also nicht von parallel zu antiparallel wechselt.

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2.5. Zusammenfassung

Wird, ausgehend von der Ortsgleichung ber die Geschwindigkeit bis zur Beschleunigung

hin, jeweils die Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in Anwendunggebracht, so lt sich die Reihenfolge in der gezeigten Form darstellen.r

r t ( ) .....................Ortr

r

v t dr t

dt ( ) ( )= ...............Geschwindigkeit Gl.27k

r

r

a t dv t

dt ( ) ( )= ...............Beschleunigung

In der umgekehrten Richtung, ausgehend von der Beschleunigung, ber die Geschwindigkeitzur Ortsgleichung zu gelangen, erfordert eine Integrationsrechnung und darber hinaus dasHinzufgen von Anfangsbedingungen, wie die Anfangsgeschwindigkeitrv (t= 0) und den Ortzu Zeit t= 0, nmlich rr (t= 0).

r

a t ( ) .....................Beschleunigung

...Geschwindigkeit Gl.28k r r rv t a d v t t

( ) ( ) ( )= +=

=

00

=

= ....Ortr r rr t v d r t t

( ) ( ) ( )= +=

=

00

2.6. Kreisbewegung

Ein Punkt mge sich in der x-y-Ebene auf einer Kreisbahn mit dem Radiusr um die z-Achse bewegen. Es lauten dann die Gleichungen fr den Ort

0===

)t ( z

)t (sinr )t ( y

)t (cosr )t ( x

Gl.29k

fr die Komponenten der Geschwindigkeitrv

sin

cos

0

x

y

z

dx d v r

dt dt

dy d v r dt dt dz

vdt

= =

= =

= =

Gl.30k

und fr den Betragv der Geschwindigkeitd

v r dt = . Gl.31k

Die Kreisbewegung mge mit einer dem Betrage nach konstanten Umlaufgeschwindigkeiterfolgen. Es mu dann

2

2 0d dt = Gl.32k

14

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Kinematik

gelten. Die Komponenten der Beschleunigung errechnen sich zu2 22

2

2 22

2

cos sin cos

sin cos sin

0

x x

y

y

z z

dv d d a r r r

dt dt dt dt

dv d d a r r r

dt dt dt dt dv

adt

d

d

= = =

= = + =

= =

Gl.33k

und schlielich der Betraga der Beschleunigung zu2

=

dt d

r a . Gl.34k

Die gezeigte Entwicklung vom Ort bis hin zur Beschleunigung setzt fr die Zeitabhngigkeitdes Winkels

( 0)t t = + = Gl.35k

voraus, da damit einerseits die Bedingungv=const erfllt ist und andererseits die zweiteAbleitung von nach der Zeitt verschwindet. Die in den Gleichungen 30k bis 34k enthalteneAbleitung d /dt errechnet sich mit Gl.35k zu .

ist die Winkelgeschwindigkeit.

Wird das oben skizzierte Modell des Bewegungsablaufes beibehalten, so wird der vomUrsprung des Koordinatensystems zum jeweiligen Punkt der Kreisbahn weisendeRadiusvektor rr innerhalb einer Sekunde/(2) -mal die Ausgangsposition durchlaufen.Diese Gre wird als Hufigkeit, oder besser als die Frequenz f bezeichnet. Es besteht daher

zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Frequenz f der Zusammenhang = 2 f Gl.36k Ein vollstndiger Umlauf auf der Kreisbahn entspricht einem Winkel2 . Da je Sekunde n Umlufe erfolgen, gibt den in der Zeiteinheit vom Radiusvektor berstrichenen Winkel,ausgedrckt in Vielfachen von2 , also dieKreisfrequenz an.

Die identischen Richtungen des Bahnelementesdsr =dr r und der Geschwindigkeit rv stehensenkrecht zum Radiusvektor rr und damit parallel zur Richtung der Tangente an dieKreisbahn. Obwohl der Betrag der Geschwindigkeitv des Umlaufes auf der Kreisbahnkonstant bleibt, mu zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung eine Beschleunigungra senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung vorhanden sein. Die Richtung der Beschleunigungra verluft antiparallel zum Radiusvektor in Richtung vom Punkt auf der Kreisbahn zumMittelpunkt M(0,0,0).

Die Beschleunigung heit Zentripetalbeschleunigung und ist gleich 2r.

Beim bergang zum allgemeinen Fall ist /d dt = nicht mehr konstant. DieWinkelgeschwindigkeit ist dann zeitabhngig, das heitd /dt 0. In Analogie zur translatorischen Bewegung wird die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit alsWinkelbeschleunigung bezeichnet. Als Symbol wird verwendet. Bei den bisherigen

berlegungen wurde in Fortsetzung der Herleitungen zur translatorischen Bewegung der vektorielle Charakter des Radiusvektors, des Bahnelements und der Geschwindigkeit

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verwendet. Die Winkelgeschwindigkeit war hingegen als eine skalare Gre inErscheinung getreten. Wird als vektorielle Gre in die berlegungen eingebunden, dannkann dies in Verbindung mit dem Modell einer Rechtsschraube einfach realisiert werden.Hier sind die Drehrichtung und die translatorische Bewegungsrichtung eindeutig miteinander verknpft.

Der Vektor der Winkelgeschwindigkeitr

weist in die Richtung der translatorischenBewegung einer Rechtsschraube, wenn die Drehrichtung mit der Richtung der Bewegung auf der Kreisbahn bereinstimmt.

Damit kann die Geschwindigkeit rv der Bewegung auf der Kreisbahn auch durch dasKreuzprodukt

r r r

v r = Gl.37k angegeben werden. Hngt die Winkelgeschwindigkeit von der Zeit ab, dann weist der Vektor der Winkelbeschleunigung

r

in die Richtung vonr

, wenn die Winkelgeschwindigkeit

zunimmt, und umgekehrt. Das heit,r

lt sich auch in der Formr

r

= d dt

Gl.38k

darstellen. Die dadurch verursachte Beschleunigung des Punktes in Tangentialrichtung seira T r r r

a r T = Gl.39k Bezeichnet man die Zentripetalbeschleunigung zur Unterscheidung mitra Z , so lt sich diesenach den obigen Ausfhrungen gem

r r

a r Z = 2 Gl.40k

beschreiben. Die resultierende Beschleunigung des betrachteten Punktes auf der Kreisbahn istdann gleich der Summe aus der Tangential- und der Radialkomponente der Beschleunigung.

r r r

a a aT Z = + Gl.41k

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Kinematik

Beispiele

k01Welche Bahn beschreibt die Parameterdarstellung u R z , yu, R x sin0cos === ?

k02Wie kann eine parabelfrmige Bahn beschrieben werden, deren Scheitel in (0,0,7) liegt undderen Durchstopunkte durch die Ebenez= 0 sich in y= 5 befinden?

k03 In der Bewegungslehre werden Begriffe wie Momentan-, Maximal-, Minimal-, mittlere undDurchschnittsgeschwindigkeit verwendet. Wie sind diese zu definieren? Wodurch zeichnetsich eine gleichfrmige Bewegung gegenber einer Bewegung mit einer dem Betrage nachkonstanten Geschwindigkeit aus? Inwieweit geht bei diesen Definitionen neben der Gre der Geschwindigkeit auch die Form der Bahn ein?

k04Auf einer Kreisbahn mge ein Punkt mit einer dem Betrage nach konstanten Geschwindigkeitumlaufen. Wie lautet die Bahngleichung fr eine Umlaufzeit von 10ms?

k05 Eine Bahn sei durch die folgenden Komponenten gegeben:

x= 532+21t, y= 72t, z= 739Gesucht sind die Geschwindigkeit in Komponentenform und der Betrag der Geschwindigkeit.Um welche Art von Bewegung handelt es sich?

k06Es mge die Geschwindigkeit eines Punktes P in Komponentendarstellung gegeben sein:

v x= 18cos17t, v y= 18sin17t, v z= 2 / 17 Der Ort zur Zeitt= 0 ist (2,3,0). Gesucht sind die Geschwindigkeit zur Zeitt= 1s, die Glei-chung der Bahn und die Bahnform. Wie gro sind x(t= 0), y(t= 0), z(t= 0)? Um den in der Zeit0

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Folge hat. Wird das Koordinatensystem mit der z-Achse entgegengesetzt zur Fallrichtung unddie xy-Ebene mit der Tangentialebene an der Erdoberflche zusammenfallend angenommen,dann mge die Bahngleichung unter der Annahme von Anfangsgeschwindigkeitv x(t= 0)=v x0 ,v y(t= 0)=v y0 , v z(t= 0)=v z0 und Ortskoordinaten x(t= 0)=x 0 , y(t=0)=y 0 , z(t=0)=z 0 desAusgangspunktes der Wurfbahn in der Formx(t), y(t), z(t) berechnet werden.Welche Beschleunigungswertea x , a y , a z sind anzunehmen? Welche Bahnform wird durch dieLsung beschrieben? Wie kann die Lsung in eine Form gebracht werden, da die Antwortauf die vorangegangene Frage leicht verstndlich erscheint? Welche Maximalhhe der Bahnber der Erdoberflche folgt aus der Rechnung? Welche Anfangswerte der vorliegendenBewegungsaufgabe mten gendert werden, um bei gleichbleibendem Betrag der Anfangsgeschwindigkeit die maximal mgliche Hhe der Bahn zu erreichen? Wie kann dieAufgabe in eine Extremwertaufgabe hinsichtlich der maximal erzielbaren Hhe umgeformtwerden? Wie gro ist die maximale Wurfweite? Mit Hilfe welcher Gleichung knnte dieLnge der Bahn berechnet werden?

k10 Die Kugel x2+ ( y-6)2+z 2= 100 wird von der Ebene y= 0 geschnitten. Der durch den Schnittdefinierte Kreis sei als Bahn fr die folgenden berlegungen verwendet. Wie lautet dieBahngleichung in Parameterdarstellung(u)? Ein Punkt bewegt sich, ausgehend von (0,0,8),mit einer vonv(t= 0)=0m/s zeitlich linear bis zuvmax= 10m/s anwachsenden Geschwindigkeitauf der Kreisbahn. Die Maximalgeschwindigkeit wird nach 10s erreicht und dieGeschwindigkeitv bleibt anschlieend konstant. Wie lautet die Bahngleichung fr 0

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Kinematik

Lsungen zu den Beispielen

k01

222222 )sin(cos

sin,0,cos

Ruu R z x

u R z yu R x

=+=+

===

d.h.: Kreisbahn mit dem Radius R um Ursprung (0,0,0) in xz-Ebene

k02 spezielle Lsung: Bahn befindet sich in der yz-Ebene.Ansatz fr Parabel: z a by cy= + + 2

S(0,0,7) 7007 =++= a cba P1(0,5,0) 25570 ++= cb P2(0,-5,0) 25)5(70 ++= cb

=

==+=

22577

0)(

025/750140

y

y yr

b

cc

r

k03 Momentangeschwindigkeit:

r

v t v t v t

v t

x

y

z

( )( )( )( )

=

Maximal- und Minimalgeschwindigkeit: Extremwerte des Betrages der Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit)

=e

a

t

t aem dt t vt t

v )(1

Bei der gleichfrmigen Bewegung sind Betrag und Richtung der Geschwindigkeit zeitlichkonstant. Die Momentangeschwindigkeit ist von der Form der Bahn abhngig. Maximal-,Minimal- und mittlere Geschwindigkeit lassen sich aus dem Betrag der Momentangeschwindigkeit berechnen.

k04Kreisbahn:

1s200201,0

)sin()cos(

===

=

t

t

t r r

19

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k05

r

r

r

r t

t

t

v t dr t

dt

v v v v x y z

( )

( ) ( ) const gleichfrmige Bewegung

m/ s

=+

= =

=

= + + =

532 2172739

21720

752 2 2

k06

ewegungSchraubenb

172

)17cos(1718

)17sin(1718

)(

37,0

31,1795,4

)1(

17/2

)17sin(18)17cos(18

)(

+

+

+

=

=

=

z

y

x

ct

ct

ct

t r

vt

t

t v

r

rr

=

=

=

=

==

=++=

==

=

=

=

+=

1

0

1

0

2222

m0038,180038,18

)17/2())17(sin)17((cos18s

P)0(0

17692

0

32

1718)0(

t

t

t

t

z

y

x

z

y

x

dt

dt t t

r

c

c

c

c

c

c

r

rr

r

Beschreibung durch Wegstckes. Erstellung eines Programms zur Aufsummierung der

Wegstckes und Vergleich mit dem exakten Ergebnis in Abhngigkeit von der Gres. k07

r r r

r t

kt

lt

m

v t

k

lt a t l( ) ( ) ( )=

=

=

2 20

020

gleichmig beschleunigte Bewegung

r r

v

k

l a l const ( ) ( )3 6

0

302

0

=

=

=

20

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Kinematik

k08

r r

r r

v t

d

et

ft

a t et

f

vd

e

f

a e

f

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

20

2

5 255

50

10

k09

r r r

r r

r t

x

y

z

v t

v

v

v

a t

g

v t

v

v

v gt

r t

x v t

y v t

z v t g

t

x

y

z

x

y

z

x

y

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= =

= =

= =

=

=++

+

0 0 000

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0 02

Koordinatentransformation:

tan ( )

( )

( )

= = =

= =+

= =

v

vr t

v t v v

v

a t

g

x

y

x y

z

0

0

02 02

0

0000

0 0

000

r

r

r

r r =+

=+

v t v v

v gt

r t v v

v t g

t

x y

z

x y

z

( ) ( )0

20

2

0

02

02

02

0 0

2

t

xvv

t t vv x y x

y x +

=+=2

02

0

20

20

1 .

21

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14/16

( )Parabel).(quadrat

.22

2

2

02

02

02

0

020

2

xb xa

xvv

g x

vv

vt

gt v z

y x y x

z z

=

=+

+

==

z zdzdxmax max

=

=folgt aus 0

20

20

20

20

20

20

220

y x zo y x

y x

zo

maxmax

vvg

vg

vv

vv

v

ba

x xba

+=+

+=

===

( ) ( ) gv

gv

gv

vvg

v

vv

g

vvg

v

vv

v z

z z z y x

z

y x

x z

y x

zmax

222

0

20

20

202

02

02

20

20

20

220

02

0

2

0

0

==++

++

=

Die grtmgliche Wurfhhe wird erzielt, wennv0=v z0 , d.h. wenn keine x- bzw. y-Kompo-nenten der Anfangsgeschwindigkeit vorhanden sind senkrechter Wurf nach oben.Die Wurfweitew ist gleich 2. xmax

.w x= 2. maxDie Horizontalkomponente v'h der Geschwindigkeit ist unabhngig von der Zeit

2

0

2

0 y xhvvv +=

die Vertikalkomponente zur Zeitt =0v0= v z0 v0

und die Anfangsgeschwindigkeit v0 = + +v v v v x y z0 0

20

20

2 .Damit kann bei gegebener Anfangsgeschwindigkeitv0 die Vertikalkomponente durch

= v v vv h0 02 2

und die Reichweite bei gegebenem v0 in Abhngigkeit von vh durch

w xvg v v g v v v z x y h= = + = 2 2

20 02 02 02 2. max h

ausgedrckt werden. Die maximale Reichweitewmax folgt aus

( )

dwdv

g v vv v

gv v

h

hh h h

=

=

+

0

02 1

22

2

02 2 0

2 2

max

max max max

.2

20

0

20

2220

2

max

maxmaxmax

vv

vvvvv

h

hhh

=

+=+=

22

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15/16

Kinematik

Der Wurf mu, wenn die Reichweite ein Maximum erreichen soll, unter 45 ausgefhrt wer-den

wg

vv v

gv v

gmax= = = 2

2 22

202 0

20 0

20

2.

Die Bahnlnge wird fr eine beliebige Zeitspannet 1, t 2 unter Verwendung der Gl.16k berech-net (Rechenprogramm).

k10 ( ) x y z

y

x z

2 2 2

2 2

6 1000

64

+ + ==

+ =

KugelEbene

Schnittkreis Ebene/ Kugel

Parameterdarstellung:

z.B.: rr u

u

=

80

8

cos

sin

zeitabhngige Darstellung:

( )

( )

r

r t

t

=

80

8

cos

sin

linearer Anstieg der Geschwindigkeit mit der Zeit = a+ bt

( )( )

( )( )

8cos0

8sin

a bt t

r

a bt t

+

= +

r

( )( )( )

( )( )( )

8sin 20

8cos 2

a bt t a bt

v

a bt t a bt

+ +

= + +

r

( )v a bt v t a

v t b

= + = = =

= = =

8 2 0 0

10 101

16

( )

( )

0

28)sin(80)cos(8

800

)0(

16sin8

0

16cos8

2

2

===

==

= t r

t

t

r rr

Ergebnis: rr

t

t

=

+

+

816 20

816 2

2

2

cos

sin

Kontrolle:rv

t t

t t

=

+

+

816 2

216

0

816 2

216

2

2

sin

cos

v = t v (t =0) = 0,v(t =10) = 10

23

8/8/2019 02_KIN

16/16

k11 Fahrzeug

v uv

r ur

ur

a r ur

r r

Z

= = = = =

= =

f 2 2

2

2

Turbomolekularpumpe

f

f

v r

a r Z

= = =

= =

= =

= =

60000 1000 0 04

2 2000

80

160000

1

1

2 2 2

U60s

Hz , m

s

ms

ms

r

Erde, Sonne

17

18

11

s1099,12

s1017,31m105,1

s31556926d24,365

==

==

=

==

f

T f

r

T

M

Erde

232

2

1

ms1095,5

ms29866

===

==

M M Z

M

r v

r a

r v

Elektron, Atomkern

e......Elementarladung M eMasse des Elektronsh......PLANCKsche Konstante 0..........Feldkonstante

Die Zahlenwerte dieser Konstanten entnehmen Sie bitte dem Kapitel 1.7.

m1029,5 112

20

1

==

eme

hr

416 1

12 30

4,13 10 s2

ee m

h

= =

22243

0

6

2

20

640

282

12

11

16

0

2

2

20

320

4

111

11532

0

41

1

ms1004,94

.4

ms1019,22

.2

s1058,642

====

====

===

h

me

me

h

h

mer a

he

me

h

h

mer v

h

me f

e

e

e Z

e

e

e

24