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Geostatistik
Räumliche Variabilität und Interpolationsverfahren
Inhalte
Ø Räumliche Variabilität
• Beispiele
• Bedeutung
• Messung
Ø Interpolationsverfahren
• Nicht - stochastische
Beispiele
Ø Räumliche Variabilität
Messung • Niederschlag
Niederschlagsmesser n. Hellmann
Messung • Niederschlag
Niederschlagsmesser n. Hellmann
Messung • Niederschlag
• Abfluss
Wehre - Ultraschallecholot
Messung • Niederschlag
• Abfluss • Bodenhydraulische
Eigenschaften
Säulenexperimente
Messung • Niederschlag
• Abfluss • Bodenhydraulische
Eigenschaften • Verdunstung
Meteorologischer Messtürme
Messung • Niederschlag
• Abfluss • Bodenhydraulische
Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, -
konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone
Lysimeter - Tensiometer
Messung • Niederschlag
• Abfluss • Bodenhydraulische
Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, -
konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone
• Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen
Messung • Niederschlag
• Abfluss • Bodenhydraulische
Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, -
konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone
• Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen
• Biologische Kenngrößen
Problem
Ø Räumliche Variabilität von biologischen, geologischen, hydrologischen, usw. …. Eigenschaften finden sich auf unterschiedlichen Skalen
Ø Sie steuern zum Teil entscheidend das Prozessgeschehen
Ø Messtechnische Erfassung ist oft extrem aufwendig und teuer bzw. gar nicht möglich
Interpolation
Interpolation
Interpolation
Interpolationsmethoden
Exakt/Approximiert
Exakt/Approximiert
Lokal/Global
Deterministisch/Stochastisch
Interpolationsmethoden
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Nearest Neighbor
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Nearest Neighbor
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Nearest Neighbor
Bedingte Verfahren =exakt
Interpolation 2D
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
Interpolation 2D
01
23
4
0
1
2
30
1
2
3
4
5
6
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Interpolation 2D
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
Interpolation 2D
Stützstelle (xi,yi)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
Interpolation 2D
Stützstelle (xi,yi)
X ???
Interpolation 2D Nearest Neighbor
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Interpolation 2D Nearest Neighbor
x [km]
y [k
m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Interpolation Nearest Neighbor
2D 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Nearest Neighbor
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Stützstelle ???
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Nichtbedingte Verfahren =approximiert
Beispiel Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt
auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in Geschäften ein Testverkauf durchgeführt, und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen :
Versuch 1 2 3 4 5 6
Flaschenpreis 20 16 15 16 13 10 verkaufte Menge 0 3 7 4 6 10
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
Beispiel
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
Lösung eines 2x2 Gleichungssystems
• Die inverse Matrix einer 2x2 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet
Linearer Zusammenhang zwischen den Daten
Ein linearer Zusammenhang zwischen den Daten liegt nur dann vor, wenn beide Regressionsgeraden (für x=a‘y+b‘ und für y=ax+b) aufeinander liegen!!
Regressionsgeraden für y=gx(x) [rot] und x=gy(y) [blau]
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Lineare Interpolation 1D Linear
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Lineare Interpolation 1D
(30,9.9)
(20,16.8)
(23,???)
Linear
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Lineare Interpolation 1D
(30,9.9)
(20,16.8)
(23,14.7)
Linear
( )( )1
12
112 yxx
xxyyy ii +
−
−−=
(xi,yi)
Lineare Interpolation 2D Linear
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
Lineare Interpolation 2D Linear
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x [km]
y [k
m]
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
P1
0 1 2 3 4
01
2302
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
P2
P1
P3
CByAx ++=
),( yxfT =
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
CBACBACBA
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2
Lösung eines 3x3 Gleichungssystems
• Die inverse Matrix einer 3x3 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet
Determinante einer 3x3 Matrix
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
CBACBACBA
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2
73.158.091.1
−=
=
=
CBA
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
CBACBACBA
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2
73.158.091.1
−=
=
=
CBA
73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
P1
0 1 2 3 4
01
2302
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
P2
P1
P3
73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT
Lineare Interpolation 2D
x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7
P1
0 1 2 3 4
01
2302
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
P2
P1
P3
73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT
x y T Pi 2.1 1.6 ????
22.373.16.158.01.291.1 =−⋅+⋅=T
Lineare Interpolation 2D Linear
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Lineare Interpolation Linear
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
2D 1D
Inverse Distance Weighting
Inverse Distance Weighting
Inverse Distance Weighting
Polynom Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynome
Polynom Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynome n-ten Grades
( ) nn
nn xaxaxaxaaxf +++++= −−
11
2210 …
Polynom Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynome n-ten Grades
0-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
0-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
1-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
2-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
3-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
4-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
5-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
6-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
7-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
8-ten Grades
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades
9-ten Grades
Polynom Interpolation 2D
Polynome n-ten Grades
0-ten Grades:
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d] aT =
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Polynom Interpolation 2D
Polynome n-ten Grades
1-ten Grades:
cybxaT ++=
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Polynom Interpolation 2D
Polynome n-ten Grades
2-ten Grades:
fyexdxycybxaT++
+++= 22
01
23
4
0
1
2
30
2
4
6
8
x [km]y [km]
Tran
smis
sivi
ty [m
×/d]
Polynom Interpolation 2D
Polynome n-ten Grades
3-ten Grades:
jyixhxygxfyxeyydx
cybxaT
++
+++
+++=2222
33
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
Interpolation 1D
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
0 10 20 30 40 50 60 70 800
5
10
15
20
25
Distanz [m]
Höhe
[m]
