Die spline-Interpolation

Gliederung

1. Hintergrundwissen

2. Die kubische spline-Interpolation

3. Grafische Darstellung an Scilab

4. Praktische Relevanz

1. Hintergrundwissen

Warum neues Verfahren?Problem der Interpolation:

starke Oszillation an Rändern bei

Polynomen hohen Gradeserkannt durch Carl David Tolmé Runge

(1856-1927) Runge – Funktion:

deshalb: spline-InterpolationWas ist ein spline?Begriff aus Schiffbau: elastische Holzlatten (engl: spline) so gebogen, dass gewisse Anzahl Knotenpunkte bedeckt wurden

Mathematisch: Kurve, die durch bestimmte Anzahl an Punkten verläuft und diese glatt verbindet

Kurve besteht aus Polynomen bei n Stützstellen: n-1 Polynome stückweise Polynom-Interpolationaber: welcher Grad?einfachste Interpolation: stückweise

linear Grad 1

• Problem?

daher wären Polynome vom Grad 2 die einfachste Lösung , aber:

Interpolationsfunktion nicht eindeutig bestimmt nicht genügend Parameter vorhanden, um praktisch relevante Bedingungen vorschreiben zu könnendeshalb: kubische Polynome

2. Die kubische spline-Interpolation

am häufigsten angewendete Interpolationsmöglichkeit

Vorteile:

a) 4 freie Parameter garantieren neben stetigen Differenzierbarkeit auch noch eine stetige 2. Ableitung

b) Ableitungen an den Stützstellen gehen nicht in Berechnung mit ein müssen nicht bekannt sein

c) geringes Schwingverhalten

Definition:Es seien eine auf dem Intervall [a,b] definierte Funktion f(x) sowie eine Menge von Stützstellen a=x0<x1<…<xn=b gegeben. Eine kubische Spline-Interpolationsfunktion S(x) für f(x) ist über folgende Bedingungen definiert:

a) jjj+1, ein kubisches Polynom. Es werde mit jb) Sjj , c) j+1j+1jj+1d) j+1j+1jj+1e) j+1j+1jj+1

f) Eine der folgenden Randbedingungen ist erfüllt: 0n natürlicher spline 00nn eingespannter spline

Ansatz:

jjjjjjjj³

gesucht sind freie Parameter aj, bj, cj, dj

aj ergeben sich sofort aus üblichen Interpolationsbedingungen:

restlichen Parameter ergeben sich aus den

Bedingungen der Definition

es ergeben sich für die anderen Parameter:-

-

- ,

- hj ≙ Schrittweite zwischen xj und xj-1

zur Berechnung der cj bei natürlichen splines muss das Gleichungssystem berechnet werden, mit:

Analoges gilt für eingespannten Rand

Warum dieser Ansatz?

folgender Ansatz auch möglich?

jjjj

Beispielaufgaben:Beispiel 1: Man bestimme den natürlichen kubischen spline, der die folgende Tabelle interpoliert:

x 0 1 2 3y 1 1 0 10

Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):

i. an = f(an)

ii. c0 = cn = 0

restliche cj:

Beispiel 2:

Berechnen Sie den natürlichen kubischen spline, der an den Stellen

interpoliert!

Allgemeine Vorgehensweise (n. spline):

i. an = f(an)

ii. c0 = cn = 0

restliche cj:

3. Grafische Darstellung an Scilab

4. Praktische RelevanzAutomobilindustrie3D-Grafiken in ComputeranwendungenHolzbearbeitung (Designermöbel,

Kunstwerke)Darstellung von Messwerten 3-dimensionale Geländekarten auch im 2-dimensionalen möglich: