8/8/2019 07 Well

1/11

8/8/2019 07 Well

2/11

7. WELLEN

Es knnen jedem Punkt des Raumes, fr den die Welle definiert ist, lokale Schwingungenzugeordnet werden, wobei zwischen den Schwingungen an verschiedenen Orten eindeutige

Phasenbeziehungen existieren (Welle = System von zusammenhngenden / kohrentenSchwingungen). Handelt es sich um Schwingungen von Materie, so spricht man vonSchall-wellen . Der Begriff der Schallwelle ist nicht nur auf den hrbaren Bereich des Frequenzspek-trums eingeschrnkt, sondern umfat smtliche an Materie gebundenen Wellenausbreitungen.Sind die den Raumpunkten zuzuordnenden physikalischen Gren die Vektoren der elektri-schen Feldstrke

r

E und der magnetischen Feldstrker

H , so spricht man vonelektromagne-tischen Wellen . Auch hier reicht das Frequenzspektrum ber viele Grenordnungen, wobeials wesentliches Charakteristikum der elektromagnetischen Wellen die Tatsache zu werten ist,da ihre Ausbreitung an kein Medium (Materie oder Lichtther) gebunden ist. Gestattet es dieden Raumpunkten zuzuordnende Schwingung, die Wahrscheinlichkeit eines lokalen Ereignis-ses zu beschreiben, so spricht man von einerWahrscheinlichkeitswelle . Die Bedeutung derWahrscheinlichkeitswelle wird in der Quantenmechanik verstndlich.

Arten von Wellen hinsichtlich derRichtung der Ausbreitung und der Schwingungs-richtung :Sind die beiden Richtungenparallel zueinander Longitudinalwelle .Stehen die beiden Richtungensenkrecht aufeinander Transversalwelle .

7.1. Die Wellengleichung

Eine lange, zwischen zwei Klemmvorrichtungen ausgespannte Saite mge in der Mitte zwi-schen den Einspannstellen zu einer harmonischen Schwingung angeregt werden. Diese St-rung wird sich in der Form einer Transversalwelle entlang der Saite bis zu denEinspannstellen hin ausbreiten und dort nach Reflexion wieder zurcklaufen. Um bei denberlegungen nicht noch zustzlich die berlagerung von gegenlufigen Wellen bercksich-tigen zu mssen, sei nur der Zeitraum vor dem Einlangen der Welle an der Einspannstellebetrachtet.

Abb.01w

88

8/8/2019 07 Well

3/11

Wellen

Ein Koordinatensystem wird so gewhlt, da die x-Richtung mit der Richtung der ausge-spannten Saite zusammenfllt, der Mittelpunkt den Ursprung des Koordinatensystems bildetund die y-Richtung mit der Schwingungsrichtung zusammenfllt. Die Strung pflanze sichmit der Geschwindigkeitc fort. Die Schwingung an der Erregerstelle habe zur Zeitt einenNulldurchgang. Dann ist der nchste Nulldurchgang mit gleicher Bewegungsrichtung zur Zeitt+T zu erwarten.T ist die Periodendauer der Schwingung. In der Zeitspanne vont bis t+T hatsich der von t herrhrende Nulldurchgang bis zur Stelle x=cT bewegt. Die LngecT ist dieaus Abb.01w zu ersehende Wellenlnge .Aus x = cT = und T = 1/ f ergibt sich der bekannte Zusammenhang zwischen der Ausbrei-tungsgeschwindigkeitc der Welle, der Frequenz f und der Wellenlnge .

f c = Gl.01wWird das in der Abb.01w gezeigte Wellenbild mathematisch beschrieben, so lt sich dieAuslenkung der Saite an einer beliebigen Stelle x zu einem beliebigen Zeitpunktt gem

=

c x

t A y sin Gl.02w

angeben. x / c ist in Gl.02w jene Zeit, die die Strung bentigt, um von der Quelle der Strung,dem periodischen Schwingungsgeber in der Saitenmitte, bis zur Stelle x zu gelangen, also dieLaufzeit . Beim bergang zu einer dreidimensionalen Wellenausbreitung ist anzunehmen, damit zunehmendem Abstandr von der Quelle die Amplitude abklingt, also A = f (r ) gilt. DieLaufzeit errechnet sich aus der Geschwindigkeitc und dem Abstand. Unter der Annahme ei-ner Kugelsymmetrie mit dem Koordinatenursprung im Erregerzentrum lautet die Gleichungeiner Kugelwelle

=

cr

t r A sin)( Gl.03w

mit dem Abstandr r x y z= + +2 2 2 . Gl.04w

Aus der Gl.03w ist, wenn man das Argument der Sinusfunktion (t-r / c) mit dem von einerSchwingung mit Phasenverschiebung her bekannten t- vergleicht, festzustellen, da der dieAusbreitungsgeschwindigkeitc enthaltende Summand r / c den Phasenwinkel der Welle amOrt der Beobachtung im Vergleich zum Phasenwinkel am Ort der Quelle beschreibt. Die Ge-schwindigkeitc bestimmt also diePhasenlage und wird daher als diePhasengeschwindig-keit der Welle bezeichnet. Der Energietransport der Welle erfolgt mit derGruppengeschwindigkeit cGr , die nicht notwendigerweise mit der Phasengeschwindigkeitc identisch sein mu.

Im Zusammenhang mit den Ausfhrungen zur erzwungenen Schwingung wurde gezeigt, dadie ber eine Periodendauer gemittelte kinetische Energie dem Quadrat der Schwingungsam-plitude A direkt proportional ist. Geht man von der Idealannahme aus, da die in den Raumlaufende Welle keine Dmpfung, also keine Absorption erfhrt, so flutet in einem kleinenVolumenelement des Raumes die kinetische Energie in elastische Energie und umgekehrt.Die gemittelten Energiewerte der beiden Energieformen mssen nach dem Energieerhaltungs-satz gleich gro sein, und damit kann der Gesamtenergieinhalt des Volumenelements eben-falls proportional zu A2 angenommen werden. Emittiert die Quelle eine LeistungP , so betrgtdie in der Zeitdt emittierte EnergiedE = P dt . In der Zeitspannedt breitet sich die Energie mitder GruppengeschwindigkeitcGr kugelfrmig in den Raum vonr bis r+c Gr dt aus und erfllt

so ein Volumen dV , das durch die Beziehung gegeben ist. Der Energiein-halt dE des VolumensdV ist nach den bisherigen berlegungen

dt cr dV Gr =2

4

89

8/8/2019 07 Well

4/11

Gl.05wdt cr Aconst dt PdE Gr == 22 4 Bei konstanter LeistungP mu bei der Kugelwelle das Produkt A2r 2 ebenfalls konstant sein,oder aber die Amplitude A umgekehrt proportional zum Abstandr von der Quelle abnehmen.

7.2. Die Intensitt

Die Intensitt I einer Welle beschreibt den Energieflu, der die Flcheneinheit je Zeiteinheitin der Richtung des Flchenlotes durchsetzt (Einheit W/m2). In der Zeitdt emittiert die Quelleeine EnergiedE =P dt , die im Abstandr eine Flche 4. r 2 durchsetzt. Drckt man die Intensi-tt als Energie je Flchen- und Zeiteinheit aus, so erhlt man fr I = dE /(4 r 2dt ), oder mitGl.05w

Gr c Aconst r

P I 22

4==

Gl.06w

Die Intensitt ist direkt proportional zu A2 und, da A umgekehrt proportional zur abnimmt,nimmt die Intensitt der Kugelwelle umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes vonder Quelle ab.

7.3. Abschlieende Bemerkungen zur Kugelwelle

a) Der Begriff der Kugelwelle ergibt sich nach den bisherigen Ausfhrungen aus der Tatsa-che, da Punkte gleicher Phasenlage auf konzentrischen Kugelflchen zu finden sind, deren

Radien sich jeweils um voneinander unterscheiden. Voraussetzung dafr ist eine von derRichtung unabhngige Phasengeschwindigkeit der Welle, oder anders ausgedrckt, ein iso-tropes Medium. Elektromagnetische Wellen bedrfen keines Mediums fr ihre Ausbreitung.Durchsetzen sie hingegen ein fr elektromagnetische Wellen durchlssiges Medium, so mudieses, um das Auftreten einer Kugelwelle zu gewhrleisten, isotrop sein.

b) Ist der Weg s der Beobachtung einer Kugelwelle im Vergleich zum Abstandr von derQuelle sehr klein, so ist die nderung der Amplitude gering, und es kann in guter Nherungvon einer lngs des Wegess konstanten Amplitude bzw. Intensitt gesprochen werden. Damitist die ebene Welle als ein Sonderfall der Kugelwelle zu beschreiben.

c) In der Gl.03w wurden die Auslenkung und der Scheitelwert der Auslenkung A in Verbin-dung mit der Herleitung vom Modell einer Saite bezeichnet. Soll eine elektromagnetischeWelle beschrieben werden, so sind anstelle von die jeweiligen Komponenten des Vektorsder elektrischen Feldstrke bzw. des Vektors der magnetischen Feldstrke einzusetzen, und A ist durch die zugehrigen Scheitelwerte auszudrcken. ist im Falle der Wahrscheinlich-keitswelle die Analoggre zu .

90

8/8/2019 07 Well

5/11

Wellen

7.4. berlagerung von Wellen

Sonderfall 1Parallele Ausbreitungsrichtung

TransversalwellenSenkrechte Schwingungsrichtungen

Die Abb.02w zeigt die Verhltnisse, wie sie sich einem Beobachter darstellen, auf den dieWelle zuluft. Beschreibt man und durch

+

=

=

c x

t B

c x

t A

sin

sinGl.07w

( ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden Teilwellen)

Abb.02w

und beobachtet an einer beliebigen Stelle x, so erhlt man entweder eine lineare, elliptischeoder zirkulare Schwingungsform (vgl. Sonderfall 3 bei der berlagerung von Schwingungen).Die berlagerung ergibtlinear, elliptisch oder aberzirkular polarisierte Wellen.

Sonderfall 2

Gegenlufige Ausbreitungsrichtung der WellenGleiche FrequenzGleiche SchwingungsrichtungReflexion am losen Ende

Abb.03w hilft, die Bedeutung der verwendeten Symbole zu verstehen. Die hin- und die zu-rcklaufende Welle sind durch 1 und 2 charakterisiert.

+=

=

c

a xt A

c x

t A

2sin

sin

2

1

Gl.08w

91

8/8/2019 07 Well

6/11

Beschreibt man die Summe der beiden Wellen durch

+

=

c x

t A sin* Gl.09w

und verwendet das Ergebnis der berlagerung von Schwingungen gem Sonderfall 1, so

erhlt man fr die Amplitude A*

+=

+

+=ca

Aca

Aca

A A A 2cos122sin2cos*

22. Gl.10w

Wie man sich leicht berzeugen kann, verschwindet A* und damit auch die Welle an den Stel-len a , fr die 2a / c ein ungeradzahliges Vielfaches von wird. Die in der Abb.03w darge-stellte Grenzflche zwischen den Medien 1 und 2 charakterisiert das lose Ende, an dem dieReflexion erfolgt.

Abb.03w

Die Stellena n, wo die Amplitude A* der resultierenden Welle verschwindet, sind Knoten-

stellen einer stehenden Welle, wie sie in Abb.04w dargestellt sind (n ist eine natrliche Zahl).( )

412 = na n Gl.11w

Abb.04w

92

8/8/2019 07 Well

7/11

Wellen

7.5. Schwingende Saite

Die Wellengleichung und Eigenfrequenzen

Abb.05w

Eine beidseitig eingespannte Stahlsaite (Querschnittq, SpannkraftF ) wird angeschlagen undschwingt in einer der mglichen Eigenfrequenzen des Systems. Die linksseitige Einspannstel-le fllt mit dem Abszissenwert x = 0 und die rechtsseitige mit x = l (Saitenlngel) zusammen.Zu einem bestimmten Zeitpunktt mge die Auslenkung y ( x,t ) der Saite an der Stelle x durchdie in der Abb.05w gezeigten Gren charakterisiert sein. Die HorizontalkomponentenF h,linksund F h,rechts sind gleich der SpannkraftF . Die Richtungen der KrfteF links und F rechts fallenmit der Tangentialrichtung an die durch die schwingende Saite gegebene Kurve an der Stelle

x und x + dx ( y( x) und y( x+dx )) zusammen. Es gelten

tan tan,,

,

, links

v links

h linksrechts

v rechts

h rechts

F

F

F

F = , = Gl.12w

unddy x t

dxdy x dx t

dxlinks rechts( , )

tan( , )

tan=+ = , Gl.13w

Die Auslenkung y( x+dx,t ) kann durch die Auslenkung y( x,t ) gem

dxdx

t xdyt x yt dx x y +=+ ),(),(),( Gl.14w

beschrieben werden. Die Ableitung nach x wird dann

dxdx

t x yd dx

t xdydx

dxt xdy

dxd

dxt xdy

dxt dx xdy

+=

+=+ 22 ),(),(),(),(),( . Gl.15w

Daraus errechnen sich die VertikalkomponentenF v,links an der Stelle x und F v,rechts an derStelle x+dx zu

+== dx

dx

t x yd dx

t xdyF F

dxt xdy

F F rechtsvlinksv 2

2

,,),(),( , ),( Gl.16w

93

8/8/2019 07 Well

8/11

Die Differenz der beiden Vertikalkomponenten dxdx

t x yd F 2

2 ),( ist gleich der resultierenden

Kraft dF ( x,t ), die auf das Saitenelement der Lnge x wirkt. Die Massedm desselben folgt ausdm=q dx (Dichte des Saitenmaterials ). Diese Kraft hat eine Beschleunigung

2

2),(

dt t x yd b = der Massedm zur Folge.

dxdx

t x yd F bdm 2

2 ),(= Gl.17w

Nach Einsetzen, Krzen und Umordnen ergibt sich daraus

2

2

2

2 ),(),(dx

t x yd q

F

dt

t x yd

=

Gl.18w

F / q= (Saitenspannung )

2

2

2

2 ),(),(dx

t x yd

dt

t x yd =

. Gl.19w

Da die Auslenkung y( x,t ) von zwei unabhngigen Variablen ( x,t ) abhngt, sind die Ableitun-

gend y x t

dt

2

2( , )

undd y x t

dx

2

2( , )

durch diepartiellen Ableitungen

2

2 y

t und

2

2 y

xzu ersetzen.

2

2

2

2

x y

t

y

= Gl.20w

Die allgemeine Lsung der partiellen Differentialgleichung (Wellengleichung ) setzt sich auseiner hin- und einer zurcklaufenden Welle zusammen.

y y x t A t x

c A t

x

c= =

+ +

( , ) cos cos1 2 Gl.21w

Fr die partiellen Ableitungen folgt

++

=

++

=

c x

t Ac

xt A

c x

y

c x

t Ac x

t At

y

coscos

coscos

212

2

2

2

212

2

2

. Gl.22w

Werden diese in die Wellengleichung eingesetzt,

++

=

=

++

c x

t Ac

xt A

c

c x

t Ac x

t A

coscos)1(

coscos

212

2

212

Gl.23w

so erhlt man fr die Phasengeschwindigkeitc

c =

. Gl.24w

Die Wellengleichung kann damit in allgemeiner Form angeschrieben werden.12

2

2

2

2c

y y

t x= Gl.25w

An den beiden Einspannstellen, den Randstellen der Saite, mu zu jedem Zeitpunkt dieRandbedingung y(0, t ) = y(l, t ) = 0 erfllt sein.

94

8/8/2019 07 Well

9/11

Wellen

1 1 2 2

1 2

1 2

1

0 0 0cos cos sin sin cos cos sin sin 0

cos cos 0

Wir definieren fr : 2 0

A t A t A t A t c c c

A t A t

A A

A A A x

+ +

+ ==

= =

0c

=

Gl.26w

Wie sich gleich zeigen wird, ist A die maximale Auslenkung der Saite, also die Amplitude derSchwingung.

x=l cl

t A

cl

t A

cl

t A

cl

t A

cl

t A

0sinsin

0sinsin2

coscos2

sinsin2

coscos2

=

=++

Gl.27wDie zweite Bedingung ist fr die folgenden diskreten Werte der Kreisfrequenz n

nlc

n = =nmit , , , ....1 2 3 Gl.28w

erfllt. Aus = 2 f errechnen sich die mglichenEigenfrequenzen f n der eingespannten Sai-te zu

f ncln

= 2

Gl.29w

und die Lsung der Wellengleichung fr die eingespannte Saite ergibt sich gem

+

=

xt l

n xt

l

n A y coscos2

. Gl.30w

Daraus folgt unter Verwendung der trigonometrischen Formeln fr Winkelsummen:

sin sinn n y A x t l l

=

Gl.031w

95

8/8/2019 07 Well

10/11

Beispiele

w01 Gesucht sind Beispiele fr Schallwellen, und zwar sowohl Longitudinal- als auch Transver-

salwellen. Welche Voraussetzungen sind fr das Auftreten der einen und der anderen Wellen-art vonnten? Weiters mgen typische Beispiele fr elektromagnetische Wellen genanntwerden.

w02 Wie kann eine in der x-Richtung fortlaufende elektromagnetische Welle, deren E -Vektor inder xy-Ebene und deren H -Vektor in der xz-Ebene schwingt, in Gleichungsform ausgedrcktwerden?

w03 Zum Vergleich sei dieReflexion am festen Ende behandelt. Wie lautet die Gleichung der

resultierenden Welle? Wie werden die Knoten- und die Bauchstellen der resultierenden Wellegefunden? In Abb.B_01w sind die Ergebnisse der berlagerung bei einer Reflexion am festenEnde gezeigt. Was bedeutet festes Ende, loses Ende, dnneres und dichteres Medium, undwie hngen diese Begriffe mit den Wellenwiderstnden der aneinandergrenzenden Medienzusammen?

Abb.B_01w

Lsungen zu den Beispielen

w01 Longitudinalwellen - z.B. Schall in Luft, in Festkrpern und Flssigkeiten Transversalwellen - z.B. Wellenausbreitung auf einer ruhenden Wasseroberflche oder

Scherwellen in Festkrpern Torsionswellen - z.B. Wellenmaschine im Hrsaalversuch (Scherwelle)

elektromagnetische Wellen - grundstzlich nur Transversalwellen, z.B. Radiowellen, Lichtetc.

96

8/8/2019 07 Well

11/11

Wellen

w02 Es wird eine ebene Welle angenommen, deren Maximalwerte E max und H max unabhngig vomAbstand von der Quelle sind, wobei die Ausbreitung ausgehend von x=0 im leeren Raum (c0 )in der positiven x-Richtung erfolgen mge.

=

=

0max

0max

cos

cos

c x

t H H

c x

t E E

z

y

Zwischen den Schwingungen der elektrischen und der magnetischen Feldstrke besteht keinePhasenverschiebung. Die Schwingungsrichtungen von E und H stehen aufeinander senkrecht( E y und H z) und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung - Transversalwelle. Schlielich ist esunmglich, entweder nur eine elektrische oder eine magnetische Welle in den Raum laufen zulassen. Beide Wellentypen treten gemeinsam auf - elektromagnetische Wellen.

w03 In der Optik ist der bergang von einem Medium mit kleiner Brechzahln in ein solches mitgroer ein bergang vom optisch dnneren in das optisch dichtere Medium, und umgekehrt.Im Falle der Reflexion am dichteren Medium tritt an der Reflexionsstelle ein Phasensprungvon (180) auf, der in der Gl.08w fr die Bestimmung der resultierenden Welle im Aus-druck fr 2 dadurch bercksichtigt werden kann, da die Strecke 2a um /2 oder a um /4vergrert wird. Die Gleichungen fr die resultierende Welle und deren Amplitude A* unter-scheiden sich nur dadurch, daa n in Gl.11w durchan+ /4 ersetzt wird.

( )a nn + = 4

2 14

oder( )a nn = 1 2

Die Bauchstellen der am festen Ende reflektierten Welle befinden sich an den Knotenstellender am losen Ende reflektierten Welle.

97