1. Fermigase 1.1 Fermi-Verteilung 1.2 Verhalten nahe …smt.tuwien.ac.at/extra/teaching/statphys2/kapitel_II_1_ss15.pdf · G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische 14. Physik II –

G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik II – Kapitel 1 14. März 2014 1/24

1. Fermigase 1.1 Fermi-Verteilung 1.2 Verhalten nahe T=0, Fermi-Druck 1.3 Endliche Temperaturen

1


1.1 Fermi-Verteilung

Pauli-Verbot:

Es darf nie mehr als ein Fermion den gleichen Einteilchenzustand annehmen (unter Berücksichtigung des Spins)

Besetzungszahl der Einteilchenzustände:

Ein-Teilchen Hamiltonoperator:



1

( )

0

( , , ) i i

i

n

G K i i

ni

Z T V n e n

( , , ) ln ln 1 e x p ( )G K i

i

J T V k T Z k T

),,(

VTJN

( )

1

1ii

i i

Ne

Fermi-Dirac Verteilungsfunktion:

Die mittlere Zahl der Teilchen im Zustand εi bei Temperatur T und chemischem Potential μ





5

Kasten mit Volumen V (periodische Randbedingungen)

1 / 3 1 / 3 1 / 32 , 2 , 2

x x y y z zk V n k V n k V n

Ableitung der Zustandsgleichung für ideales Fermi-Gas:

2 2

2

, ,

( , , ) ln 1

x y z

k

m

B

n n n

J T V k T e

( , , ) ln ln 1 e x p ( )G K i

i

J T V k T Z k T

Mit:

Für große V:



Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators dkkkd

234

Änderung der Integrationsvariablen k :

d

mdkk

mkdkk

md

2/3

2

2

2

22

2

12;

3 / 2

2 2

, 0

2( ) m i t ( ) ( 2 1)

4k

V mD d D s

Zustandsdichte des idealen Gases: Zahl der Einteilchenzustände im Intervall [ε,ε+dε]

Berücksichtigt Spin



3 / 2

2 2

2( ) 2

4

V mD

3 / 2 3 / 2

2 2

0

2 2( , , ) 2

4 3 e x p ( ) 1

V mJ T V d

3 / 2 1 / 2

2 2

0

2( , , ) 2

4 e x p ( ) 1

V mN J T V d

3 / 2 3 / 2

2 2

0

2( ) 2

4 e x p ( ) 1

V mH E d N d

Zustandsgleichung: EpV3

2

Spin ½ Fermionen, z.B.: Elektronen

Partielle Integration



1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck:

1) T 0:

( )

1( )

1ii

e

•

1

1/2

0

T = 0

(T=0) = F

iN

i

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck


direkte Konsequenz des Pauliprinzips: alle Einteilchenzustände bis zur Energie F sind einfach besetzt

• alle Zustände einfach besetzt für unbesetzt für

( 0 , )i

T N

( 0 , )i

T N

• F

NT ),0( („Fermienergie“)

•

• positiv ),0( NT

Vergleiche ideales klassisches Gas: μ negativ







2

Fk





Beispiel: Pauli-Spin Paramagnetismus





Graphene: Monoatomare Kohlenstoffschicht

Bandstruktur: Lineare Dispersion

“Zweidimensionales” Material Kontrolle der Fermi-Energie über Spannung am back gate

b gQ e N C V

Plattenkondensator:

Q

Qb gV

F~E h v k



2 2

2

,

( , , ) ln 1

x y

k

m

B

n n

J T V k T e

22 ln 1

2B

Ak T k d k e

F

2

F

F F0

1 1( 0 , , ) 2 d

2 2

E

A AN J T V E

v v

2

F

F

1 1 1

2b g

CV E

e A v

F b gE V

Leit

fäh

igke

it [

e2/h

]

Back-gate Spannung [V]



T1

T2> T1

1

1/2

0

T = 0

kT

2) T 0:

• ( , ) m it 1 / 2i i

T N N

• iN fällt innerhalb von kT von

auf 0 ab ( )

11

1ie

iN

i

1.3 Endliche Temperaturen:

1.3 Endliche Temperaturen


Sommerfeld Entwicklung:

2

2 4

0 0

1( ) d ( ) d

61

g g k T g O k T

e







2) T :

• ( )

i

iN e

•

Quantenstatistischer Wert für Fermionen und Bosonen konvergiert zum klassischen Wert für das ideale Gas

3 3

1 1 1ln ln

k la s s i s c h

T T

Vk T k T

N n

T

μ

εF

0






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