1 Lehr- und Lernbedingungen - db.nibis.dedb.nibis.de/db/semforum5/forum/upload/home/ol-bbs-sem/ol-bbs-sem-ue... · schnittlichen mathematischen Fähigkeiten gehören A., A. und M

1. Entwurf_PU_I.doc 1 von 11

1 Lehr- und Lernbedingungen

1.1 Angaben zur Lerngruppe

Bei der FGW 1-1 handelt es sich um eine 11. Klasse des Fachgymnasiums Wirtschaft. Die Klasse setzt sich aus 15 Jungen und 10 Mädchen zusammen. Das Durchschnitts-alter beträgt 18 Jahre.

Das Leistungsniveau ist mittlerweile als recht homogen zu betrachten. Mit dem Fortschreiten im Schulstoff hat sich der Vorteil der fünf Wiederholer (siehe 3.4 Sitzplan, Anhang) aufgebraucht. Dennoch versuche ich so oft es geht, diese durch gezielte Fra-gen in den Unterricht einzubinden, um deren Vorwissen für die gesamte Klasse nutzbar zu machen. Auch bei der gewählten Zusammensetzung der Gruppen (vgl. Anhang) habe ich darauf geachtet, dass die Wiederholer ihre Kenntnisse in möglichst vielen Teams einbringen können.

Die leistungsstärkste Schülerin ist mit großem Abstand T. Sie durchschaut mathematische Aufgaben und Zusammenhänge schnell und erfasst auch bei Transfer-aufgaben in kurzer Zeit den Kern der Problemstellung. Zu den Schülern mit durch-schnittlichen mathematischen Fähigkeiten gehören A., A. und M. Sie erkennen mathe-matische Zusammenhänge mit einiger Hilfestellung, können diese dann aber auch mit ihren eigenen Worten wiedergeben und erläutern. Die mündliche Mitarbeit ist in der Klasse insgesamt als sehr positiv zu bewerten. Nur wenige Schüler (A. oder D.) melden sich kaum. Einige Schüler brauchen zu Beginn der Stunde einen Anstoß, um sich eigenständig zu melden. Eine besondere Qualität hat die mündliche Mitarbeit von W. Sie stellt die „richtigen“ Fragen. Ich habe festgestellt, dass sie seit einiger Zeit den Stoff intensiv nacharbeitet und auch ihre Hausaufgaben gewissenhafter macht als zu Beginn des Schuljahres. Die Leistungen von E. und M. variieren sehr stark. Beide fragen viel, sind engagiert und sehr aktiv am Geschehen beteiligt. Dennoch lassen sie sich auch sehr leicht ablenken und neigen zu störenden Gesprächen mit den Nachbarn. Hier reicht es aus, die Schüler kurz auf ihr Fehlverhalten anzusprechen.

Bei allen Schülern sind große Defizite im Stoff der Sekundarstufe I vorhanden. Diese versuche ich konsequent aufzuzeigen und – wenn sinnvoll und dringend nötig – Lösungen kurz an der Tafel zu wiederholen und die Mängel durch (zusätzliche freiwil-lige) Arbeitsblätter zu minimieren. Bei immerhin 12 Schülern ist die Versetzung durch ihre mangelnden mathematischen Leistungen gefährdet. Ich gehe daher sehr klein-schrittig und langsam im Unterricht vor.

Nachdem ich nach dem Zufallsprinzip von einigen Schülern die Hausaufgaben einsammele und außerdem direkt zu den Hausaufgaben Tests schreiben lasse, sind nicht gemachte Hausaufgaben mittlerweile kein Problem mehr. Ich denke, dass ein Großteil der Schüler die Notwendigkeit der Hausaufgaben eingesehen hat. Sie werden von mir dazu angehalten, den Stoff nachzuarbeiten und ihre Defizite zu verringern. Zwar sind Fehlzeiten nach wie vor ein Problem innerhalb der Klasse, es wurde jedoch sowohl von mir als auch von Seiten der Schule darauf reagiert.

Das Verhältnis zur Klasse ist gut. Es herrscht eine entspannte Atmosphäre. Ich versuche, eine für die Schüler neue Fehlerkultur einzuführen, bei welcher der Fehler als Lernhelfer und nicht als Garant für schlechte Noten gesehen wird. Dieses soll die Schü-ler dazu motivieren, eigene Gedanken sprachlich zu formulieren und damit einherge-hend, eigenständiges und konstruktives Problemlöseverhalten zu entwickeln.

Die Fachkompetenz der Schüler weist z. T. erhebliche Mängel beim Umgang mit Funktionen und deren Eigenschaften und beim Lösen von Gleichungssystemen auf. Hierbei sind im Besonderen Defizite im Bereich der Bruchrechnung und der Termumfor-mung auffällig. Die Schüler verfügen über ein Konzept zum Lösen von Gleichungssystemen. Sie wenden dieses dann jedoch unreflektiert bei allen Aufgaben an. Viele Themenbereiche sind den Schülern aus der Sekundarstufe I bekannt, es


gelingt ihnen jedoch nicht, dieses träge Faktenwissen wieder zu reaktivieren. Sie wirken oftmals desinteressiert und sind leicht abgelenkt. Ich steigere die Motivation der Schüler oftmals durch spielerische Elemente und anwendungsbezogene Aufgaben. Dieses gilt in besonderem Maße in der Einstiegsphase. Hierbei greife ich insbesondere die The-men der letzten Stunden auf, um den Schülern Anknüpfungspunkte und Erfolgserlebnis-se zu geben und sie auch dadurch zu motivieren.

Die Methodenkompetenz der Lerngruppe umfasst ein breites Repertoire aus Gruppenarbeit und Präsentationstechniken, aber spezielle Problemlösestrategien sind rudimentär. Das beginnt bereits beim richtigen und sorgfältigen Lesen von Arbeitsauf-trägen oder Aufgabenstellungen. Insgesamt ist die Klasse oftmals sehr unruhig. Bei vielen Schülern habe ich Konzentrationsschwierigkeiten beobachten können. Gerade in den Montagsstunden fällt dieses auf. Aus diesem Grund formuliere ich auch die Arbeits-aufträge relativ kleinschrittig. Auch in den Klassenarbeiten hat sich kaum ein Schüler 90 Minuten konzentrieren können. Daher versuche ich, Erklärungsphasen und Arbeitspha-sen zu kombinieren. Mit Aufgaben, bei denen die Schüler mit ihrem Erfahrungshorizont Probleme lösen können, ist die Motivation der Schüler gestiegen. Dieses werde ich weiter ausbauen. Auch in dieser Unterrichtsstunde greife ich auf bekannte Schemata zurück und lasse die Schüler die ersten Schritte zur Ermittlung einer Kostenfunktion durchführen.

Bezüglich der Sozialkompetenz kann ich sagen, dass das Klassenklima nach meinen Beobachtungen recht gut ist. Kein Schüler wird ausgegrenzt. Die Wiederholer haben sich integriert. Bei den von mir durchgeführten Gruppenarbeiten gab es keinerlei Probleme. Die Umsetzung des Schülers E. nach vorne hat dazu geführt, dass sein Stör-en zurückgegangen ist. Im Unterricht hat sich das sehr soziale Miteinander gefestigt. In Gruppenarbeitsphasen und bei Ergebnispräsentationen geben sich die Schüler Hilfe-stellungen, indem sie an entscheidenden Stellen ihre Gedanken mitteilen und – ähnlich meinem Verhalten – durch „lautes Denken“ Fragen aufwerfen. 1.2 Der Referendar Ich unterrichte die Klasse seit Beginn diesen Schuljahres (2004 / 2005). Aufgrund der sehr unterschiedlichen Leistungsniveaus und im Hinblick auf das Zentralabitur hat sich die BBS Norden dazu entschlossen, Mathematik in Klasse 11 fünfstündig zu unterrich-ten. Zwei dieser fünf Stunden sind explizit als Förderstunden gedacht, in denen kein neuer Stoff erarbeitet werden soll, sondern Übungen zum Stoff und Wiederholungspha-sen geplant sind. Ich unterrichte die Klasse in allen fünf Stunden eigenverantwortlich.

Die FGW 1-1 wird am Montag in der 7. und 8. Stunde, am Mittwoch in der 5. und am Donnerstag in der 1. und 2. Stunde von mir unterrichtet. 1.3 Organisatorische Rahmenbedingungen

Der Raum A 210 kommt mit der Anzahl von 25 Schülern an seine Kapazitätsgrenze (vgl. Sitzplan im Anhang). Die Tische stehen in U-Form mit Innenreihen. Diese Anordnung hat sich als vorteilhafter gegenüber der „preußischen Sitzordnung“ herausgestellt, da sich die Schüler i. d. R. ansehen. Da in der besuchten Stunde eine Partnerarbeit vorgesehen ist, bleibt die Anordnung der Tische bestehen.

Im Klassenraum lässt sich lediglich ein Fenster kippen. Dieses führt zu den üblichen Nachteilen.


2 Didaktisch-methodische Konzeption

2.1 Didaktische Überlegungen

2.1.1 Analyse der curricularen Vorgaben

Gemäß dem schulinternen Stoffverteilungsplan, angelehnt an den Minimalkatalog [05], hat sich die Fachkonferenz Mathematik der BBS Norden darauf geeinigt, wirtschaftliche Aufgaben in regelmäßiger Wiederholung immer wieder nach abgeschlossenen Themenbereichen zu behandeln. In den Rahmenrichtlinien [06] findet sich die Vorgabe nach einem Anwendungsbezug aus dem Bereich der Wirtschaftswissenschaften als letzter Punkt für die Klasse 11. Beispielhaft wird hier von der Bestimmung ganzrationaler Funktionen geschrieben. Die wirtschaftlichen Anwendungen aus dem Bereich der Kostentheorie mit der Betrachtung und Ermittlung einer Kostenfunktion bieten sich an, wenn es sich bei der gesuchten Funktion um eine ganzrationale Funktion höchstens dritten Grades handelt. Dieses führt bei der Ermittlung auf ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten, welches in einer Unterrichtsstunde (ohne den Einsatz von GTR oder CAS)1 lösbar ist. 2.1.2 Analyse der Thematik, ihrer Komplexität und fachlichen Begründung

Schüler haben oftmals Schwierigkeiten, die rein innermathematisch erworbenen re-chentechnischen Kenntnisse und Fähigkeiten außermathematisch anzuwenden. Die be-suchte Stunde legt ihren Schwerpunkt auf den wirtschaftlichen Anwendungsbezug.

Kern der Stunde ist das Mathematisieren. Die Schüler müssen gegebene Daten aus der Aufgabenstellung herauslesen, modellieren und in Gleichungen umsetzen. Der Arbeit der Schüler liegt ein fünfschrittiges Schema zu Grunde, von dem im Unterricht die ersten vier Schritte durchgeführt werden sollen. Der letzte Schritt, das Lösen des Gleichungssystems, wird als Hausaufgabe gestellt und in der nächsten Stunde mithilfe eines Programms durch den PC überprüft. Die Kenntnisse über das Lösen von Gleichungssystemen beruht auf Kenntnissen aus der Sekundarstufe I bzw. aus einer kurzen Behandlung am Anfang des Schuljahres. Bei der Auswahl der Aufgaben wurde von mir daher darauf geachtet, dass die Schüler diese auch ohne intensivere Wiederholung lösen können.

Zur Behandlung der ersten vier Schritte müssen die Schüler in der Lage sein, eine Funktion in der allgemeinen Polynomdarstellung, also unter Verwendung von zunächst unbestimmten Koeffizienten, aufzustellen und diese dann zu differenzieren. Hierbei gibt der Grad (n) der gesuchten Funktion die Anzahl der Variablen (n+1) und damit auch die Anzahl der benötigten Gleichungen vor: dcxbxaxxf +++= 23)( ist eine Funktion dritten Grades mit den vier Koeffizienten a, b, c und d. Anhand der Bedin-gungen an den Graphen, welche in der Aufgabe formuliert sind, werden die Bedingun-gen an die Funktion aus der allgemeinen Gleichung formuliert (vgl. Erwartungshorizont der Aufgaben). Die Schüler müssen die Bedingungen am Graphen in Funktionsbedin-gungen übersetzen können. Diese Bedingungen müssen im dritten Schritt durch Über-tragen auf die allgemeinen Funktionsgleichungen in ein System mit n Gleichungen für n Unbekannte übertragen werden. Die Schüler müssen in der Lage sein, Terme umzufor-men und nach Unbekannten aufzulösen. 2.1.3 Auswahl und Reduktionsentscheidungen

Im eingesetzten Schulbuch [01] ist das Thema der „typischen Steckbriefaufgabe“ zu finden. Die Umkehrung der Aufgabenstellung, also zu gegebenen Eigenschaften eine passende Funktion zu konstruieren, findet sich im Schulbuch allerdings nicht mit 1 GTR = grafikfähiger Taschenrechner, CAS = Computer-Algebra-System


wirtschaftlichem Bezug. Die Problemstellungen bei den anwendungsorientierten Aufgaben sind lediglich technischer Natur. Nachdem den Schülern bereits bei der Untersuchung von Funktionen ein Schema an die Hand gegeben wurde (vgl. Abschnitt 1, Fachkompetenz), verfahren die Schüler auch im Falle der Umkehrung nach einem begründeten Leitfaden. Die Schüler kennen die fünf zur Bestimmung notwendigen Schritte2.

Die anwendungsbezogenen Aufgaben zeichnen sich oftmals dadurch aus, dass sie – mehr als sonst üblich – auf nicht ganzzahlige Ergebnisse führen. Dieses setzt beim Rechnen hohe Konzentration voraus und ist regelmäßig Quelle von Fehlern. Da das in der besuchten Stunde ermittelte Gleichungssystem in der zur Verfügung stehenden Zeit nicht zu lösen ist, wird dieses als Hausaufgabe erteilt. In der nachfolgenden Stunde soll dann das Ergebnis mit einem CAS überprüft werden. Da es sich hierbei um einfache aber konzentrations- und schreibintensive Rechenoperationen handelt, sollen die Schüler durch den Einsatz von PC unterstützt werden.

Aufgrund der Lernschwierigkeiten innerhalb der Klasse wird ein Beispiel gemein-sam aber arbeitsteilig bearbeitet. Gemäß einer inneren Leistungsdifferenzierung führen unterschiedlich schwierige Bedingungen an den Graphen letztendlich alle auf dieselbe Funktion. Die auftretenden wirtschaftlichen Begriffe werden im Kontext wiederholt. Hier-bei hoffe ich, die Wiederholer aktiv einbeziehen zu können. Wichtig ist, dass die Schüler die Vorgehensweise der Problemlösung durchdringen und nachvollziehen können. Inhaltlich liegt die Schwierigkeit beim Mathematisieren von betriebswirtschaftlichen For-mulierungen in ein Gleichungssystem. 2.1.4 Lern- und Handlungsziele, Kompetenzen Stundenziel: Die Schüler analysieren einen gegebenen Text auf wirtschaftliche Daten.

Sie mathematisieren die auftretendenden Aussagen und übersetzen diese in ein Gleichungssystem.

Vorlaufziele: Die Schüler sollen... V1 ... die fünf Schritte zur Bestimmung einer Funktion nennen. V2 ... das Schema zur Konstruktion einer Funktion aus gegebenen Eigenschaften

anwenden. V3 ... die notwendigen Bedingungen zum Vorliegen von Nullstellen, Extrema und

Wendepunkten nennen und anwenden. V4 ... eine ganzrationale Funktion dritten Grades in der allgemeinen Polynomschreib-

weise notieren und differenzieren. V5 ... betriebswirtschaftliche Vokabeln erläutern. Lernziele zur Förderung der Fachkompetenz: Die Schüler sollen... F1 ... die fünf Schritte zur Bestimmung eines Funktionsterms bei einer betriebswirt-

schaftlichen Funktion anwenden. F2 ... verwendete betriebswirtschaftliche Vokabeln in mathematische Gleichungen

übersetzen. F3 ... die in einem Text formulierten Sachinhalte mathematisch interpretieren. F4 ... Funktionsbedingungen auf ermittelte Funktionsgleichungen anwenden. F5 ... ein Gleichungssystem nach ihren Unbekannten auflösen.

2 (1) Gesuchte Funktion und deren Ableitung, (2) Bedingung an den Graphen, (3) Bedingung an die Funktion, (4) Bedingung an die Koeffizienten und (5) Lösen des Gleichungssystems


Lernziele zur Förderung der Methodenkompetenz: Die Schüler sollen... M1 ... selbstgesteuert Hinweiskarten zur eigenständigen Problemlösung nutzen. M2 ... ihr Arbeitsergebnis im Plenum vorstellen. M3 ... konstruktiv mit Kritik und Fragen umgehen. M4 ... Arbeitsschritte und Vorgehen zusammenfassen. M5 ... in der Fertigkeit gefördert werden, mathematisch-formale Nachweise zu führen. M6 ... die logische Struktur eines Lösungsablaufes beschreiben können. M7 ... ihre Ergebnisse strukturiert in Heft und Arbeitsblatt festhalten. M8 ... ein in der Aufgabenstellung gegebenes Problem sachlich und verständlich er-

läutern. Lernziele zur Förderung der Sozialkompetenz: Diese Ziele sind mit dieser Unterrichtseinheit nicht explizit angestrebt und gehen nicht über das übliche Maß hinaus. 2.2 Methodische Entscheidungen

2.2.1 Verfahrensweisen und Unterrichtsformen

Der besuchten Stunde wird eine schülerzentrierte Unterrichtsform zu Grunde gelegt. Wegen der z. T. großen Schwierigkeiten in der Klasse (vgl. Seite 1) habe ich mich aller-dings entschlossen, strenge Vorgaben zu machen. Die Schüler werden mit einer lustig anmutenden Situation konfrontiert. Dieses soll das Interesse und die Motivation wecken, die mathematische Problemstellung zu bearbeiten. In der eingebauten Übungsphase nutzen die Schüler selbstgesteuert Hinweiskarten, falls sie an einer Stelle ein Problem haben. Weitere Unterlagen sind nicht erlaubt.

In der Einstiegs- und Motivationsphase tritt der Lehrer als Unternehmer auf. Diesem ist ein „Missgeschick“ passiert: Eine auf der Vorstandssitzung zu veröffentli-chende Funktionsgleichung der Gesamtkosten ist verloren gegangen. Lediglich Bedingungen und Aussagen, welche bei der Veranstaltung als markante Punkte genannt werden sollten, sind erhalten. Die Schüler sollen dem Manager dabei helfen, die Gesamtkostenfunktion zu rekonstruieren. In der sich anschließenden Arbeits- und Übungsphase gibt der Lehrer Bedingungen an die Schüler, welche diese eigenständig in Partnerarbeit bearbeiten. Den Schülern wird schnell deutlich, dass es sich um eine bekannte Aufgabenstellung unter einem betriebswirtschaftlichen Blickwinkel handelt. Die Schüler formulieren jeweils vier Bedingungsgleichungen und notieren diese auf farbigem Papier. Die Schüler setzen dabei selbstgesteuert Hinweiskarten ein, welche sie der Lösung immer einen Schritt näher bringen. Die Schüler kennen diese Methode. Es ist hierbei der Ehrgeiz zu beobachten, dass die guten Schüler möglichst lange auf die Hilfe verzichten. Den schwachen Schülern helfen die Karten von Beginn an. In der Präsentationsphase tritt der Lehrer erneut als Unternehmer auf und lässt sich die Er-gebnisse der Gruppen erläutern. Die Ergebnisse werden an der Tafel gesammelt und im Rahmen eines Unterrichtsgespräches diskutiert. In einem abschließenden Unter-richtsgespräch lasse ich von den Schülern die Gemeinsamkeiten der Vorgehensweisen erläutern, um die durchgeführte Schrittfolge als zielorientierte Vorgehensweise zur Er-gebnisberechnung zu verdeutlichen. Zur weiteren Ergebnissicherung sollen die Schüler ein weiteres (neben dem von ihnen bearbeiteten) Gleichungssystem in ihre Unterlagen übernehmen. Im Anschluss teilt der Lehrer die Hausaufgabe – das Lösen der zwei Glei-chungssysteme – mit. Die Frage, welche sich stellt, lautet: Führen alle sechs Glei-chungssysteme auf die selbe Kostenfunktion? Als didaktische Reserve ist vorgesehen, die markanten Punkte der Gesamtkostenfunktion, welche in den Bedingungsgleichun-


gen ermittelt wurden, in ein vorbereitetes Koordinatensystem einzuzeichnen und den möglichen Graphen zu skizzieren. 2.2.2 Medien

Die Tafel wird zum Sammeln und Ordnen der Gedanken benutzt. An ihr steht das Thema der Stunde. In der Präsentationsphase werden die Ergebnisse im Mittelteil der Tafel festgehalten. Die Tafel dient somit der Übersicht, zur Informationsvermittlung und zur Steuerung der Schüleraktivität (abschreiben), da die Aufmerksamkeit immer wieder hierher gelenkt werden kann.

Ich setze den Overhead-Projektor in erster Linie zur Effektivierung ein. So lege ich beispielsweise den geplanten Stundenverlauf auf. Außerdem liegen die Arbeitsblät-ter als Folie vor, um die unterschiedlichen Texte bei der Ergebnispräsentation gegebe-nenfalls allen Schülern sichtbar zu machen. Bei der Erläuterung der Bedingungen am Graphen sollen nochmals die wirtschaftlichen Begriffe gefestigt werden. Für die didakti-sche Reserve wird ein Koordinatensystem auf Folie eingesetzt. Der Einsatz des OHP dient also auch der Informationsvermittlung und der Ergebnissicherung.

Die eingesetzten Arbeitsblätter dienen der Steuerung des Lernprozesses. Da keine Aufgaben im Fachbuch zur Verfügung stehen, gebe ich eine geeignete Aufgabe heraus. Für die Präsentation wird verschiedenfarbiges Papier verwendet. Dieses Vorge-hen hat den Vorteil, dass die Schüler i. d. R. auf dem Papier sauberer schreiben als an der Tafel und die Ergebnisse besser (d. h. lesbar und geordnet) an der Tafel sortiert werden können (vgl. Tafelbild im Anhang). 2.2.3 Reflexion des Lernprozesses und der Lernergebnisse

Während der Arbeitsphase geht der Lehrer zu den einzelnen Gruppen und klärt speziel-le Fragen, welche von den Schülern mit Hilfe der Karten nicht zu beantworten sind.

Da den Schülern das Schema zum Aufstellen der Bedingungen an die Koeffizien-ten bekannt ist, ist weitestgehend von einer Festigung dieses Schemas auszugehen. In diesem Fall dient die Arbeitsphase der Anwendung des bereits Gelernten. Gleicher-maßen ist durch den Anwendungsbezug eine Übung gegeben, welche vertiefend einen Bogen zwischen der Betrachtung marktwirtschaftlicher Funktionen und der im Mathe-matikunterricht behandelten Themen schlägt.

Die angestrebte Hausaufgabe dient der Übung im Umgang mit Gleichungssyste-men. 3 Literaturverzeichnis

[01] Schilling, Klaus: Analysis – anschaulich und verständlich, Bildungsverlag EINS, 2003

[02] Schilling, Klaus: anwendungsbezogene Analysis, Bildungsverlag EINS, 2004 [03] Schöwe, Rolf et al.: Analysis, Wirtschaft, Cornelsen, 1998 [04] Haarmann, K. et al.: Analysis, Merkur, 2004 [05] Minimalkatalog über Schwerpunktthemen der Klasse 11 im FGy Wirtschaft,

entwickelt von der Friedrich-List-Schule-Hildesheim, Überarbeitet vom Lfb-Kurs 04.36.02

[06] Rahmenrichtlinien und einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung für das Fach Mathematik, Erlass des MK, Oktober 2004

[07] Unterlagen zum Fachseminar Mathematik [08] Blum W.; Törner, G.: Didaktik der Analysis. Vandenhoek und Ruprecht, Göttingen,

1983

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang A

4 Verzeichnis der Anhänge

4.1 Unterrichtsverlaufsplan

Geplantes Lehrerverhalten

Erwartetes Schülerverhalten LZ

Methodisch-didaktische

Hinweise 1. Lernschritt: Einstiegsphasev • Der L. begrüßt die S.

und schreibt das The-ma der Stunde an die Tafel

• Der L. berichtet als Manager eines Unter-nehmens von seinem „Missgeschick“

TA

LV

2. Lernschritt: Problematisierungsphase • Der L. ordnet je 2 S.

einem Team zu. • Der L. verteilt die

Arbeitsblätter

• Die S. setzen sich zu Teams zusammen.

• Die S. klären Fragen zu den Aufgaben

V1, V2, V3, V4, V5

Arbeitsblatt 45.1 bis 45.6

LSG, i. o.

3. Lernschritt: Erarbeitungsphase

• Der L. verteilt Hinweiskarten

• Die S. übersetzen die Vokabeln in Gleichungen.

• Die S. interpretieren die Sachinhalte mathema-tisch.

• Die S. notieren die Bedingungen an die Koeffizienten.

• Die S. übertragen die Bedingungsgleichungen auf farbiges Papier.

F1, F2, F3, F4

M1, M3, M5

Hinweiskarten

PgEA

4. Lernschritt: Auswertungsphase

• Der L. wird als Manager über das Zwischener-gebnis informiert.

• Die S. fassen ihr bisheriges Vorgehen zusammen.

• Die S. erläutern die Zusammenhänge zwischen Textaussagen und Gleichungssystem.

• Die S. präsentieren teamweise ihr Ergebnis.

M2, M4, M6, M8

TA Folie 45.1 bis

45.6

LSG i. o. SV, SSG

6. Lernschritt: Erfolgssicherung, Erfolgskontrolle • Der L. stellt ggf.

Fragen. • Der L. lässt die Ergeb-

nisse in die Unterlagen

• Die S. (Kontrollgruppen) vergleichen ihre Ergeb-nisse mit den vorgestell-ten und diskutieren eventuelle Änderungen.

• Die S. übernehmen die Lösung in ihre Unterla-

M3, M7 TA

LSG, i. o.

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang B

übernehmen. gen. Didaktische Reserve - Hausaufgabe

• Der L. legt ein vorbereitetes KOS auf den OHP

• Der L. (als Manager) fragt nach weiterem Vorgehen.

• Der L. stellt die

Hausaufgabe.

• Die S. tragen die markanten Punkte der Kostenfunktion ein.

• Die Schüler beschreiben ihr Vorgehen beim Lösen des vorliegenden Gleichungssystems.

• Die S. lösen das von ihnen ermittelte Glei-chungssystem

F5

Legende: LV Lehrervortrag SV Schülervortrag LSG, i. o. Lehrer-Schüler-Gespräch (impulsorientiert) LSG, f. e. Lehrer-Schüler-Gespräch (fragend-entwickelnd) SSG Schüler-Schüler-Gespräch PgEA Partnergestützte Einzelarbeit TA Tafelanschrieb KOS Koordinatensystem

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang C

4.2 Makrostruktur (Auszug) Vorgesehene Gesamtstundenzahl:

Stunden Inhalte Motivationsaspekt Unterrichtsverfahren Unterrichtsformen

Unterrichtsmittel (Medieneinsatz)

Thema: Lösungsschema bei der Konstruktion von Funktionen

1./2.

- Allgemeine Funktionsgleichung - Bedingungen an den Graphen - Bedingungen an die Funktion - Bedingungen an die Koeffizienten - Lösen des Gleichungssystems

Gestaltung der Sache Frontal mit Übungspha-sen (i. o.) PgEA

Arbeitsblatt 42 Arbeitsblatt 43

Thema: Lösen von Gleichungssystemen

3./4.

- Einsetzungsverfahren - Additionsverfahren - Gleichsetzungsverfahren - Matrizenschreibweise

Innermathematisch PgEA Übungsblatt 05

Thema: Lösen von Gleichungssystemen

5. - Matrizenschreibweise Innermathematisch Frontal mit Übungspha-sen (f. e.)

Thema: Marktwirtschaftliche Funktionen

6./7.

- Kostenfunktionen - Preisabsatzfunktion - Erlösfunktion - Gewinnfunktion

Außermathematisch, Lernen von Vokabeln

PgEA, Schülervortrag

Arbeitsblatt 44 Übungsblatt 06

Thema: Aufstellen einer Kostenfunktion aus betrieblichen Daten

8.

- Allgemeine Funktionsgleichung - Bedingungen an den Graphen - Bedingungen an die Funktion - Bedingungen an die Koeffizienten

Außermathematisch, Anwendungsbezug zur Wirtschaft

Frontal mit Übungsphasen (f. e.)

Arbeitsblatt 45

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang D


9./10. - Lösen des Gleichungssystems - GS am Computer: Derive


PgEA, Arbeiten am PC Übungsblatt 07


11./12.

- Vollständiges Lösungsschema - Anwendung - Lösen des Gleichungssystems - GS am Computer: Derive


Schülervortrag PgEA, Arbeiten am PC

Übungsblatt 08

PgEA - Partnergestützte Einzelarbeit i. o. - impulsorientiert f. e. – fragend-entwickelnd

5 Differenzialrechnung Seite 1 FGW 1-1

2. Arbeitsblatt_45_lös.doc

Aufstellen von Bedingungsgleichungen

Die durch einen Windstoß verloren gegangene wichtige

Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens kann nur

durch die geschickte Nutzung von bekannten Aussagen

zum Graphen der Funktion ermittelt werden.

Es ist bekannt, dass die Gesamtkosten durch ihre s-förmige Gesamtkostenkurve dritten

Grades erfasst werden.

Hierzu folgende Aussage des Managers:

„Von der Funktion weiß ich nur noch, dass die fixen Kosten pro Planperiode

720,00 GE betragen. Die durchschnittlichen variablen Kosten bei einer

Ausbringung von 100 Stück betragen 50,00 GE und an der

Ausbringungsstelle 0=x hat die Gesamtkostenkurve die Steigung 50 – das

wollte ich auf der Sitzung berichten. Außerdem weiß ich noch, dass die

Gesamtkosten bei einer Ausbringung von 20 Stück eine Höhe von 1400,00 GE

erreichen.“

Ermitteln Sie das Gleichungssystem, dessen Lösung auf die Koeffizienten der

gesuchten Gesamtkostenfunktion führt. Sie haben 15 Minuten Zeit.

Hinweis: Nutzen Sie die Hinweiskarten nur, wenn Sie allein nicht mehr weiterkommen.

Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxx

xKxk vv ++== 2)()( cbxaxxK ++= 23)(' 2

⇒= 720)0(K dI =720.

⇒= 50)100(vk cbaII ++= 1001000050. ⇒= 1400)20(K dcbaIII +++= 2040080001400.

⇒= 50)0('K cIV =50.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 1











„Von der Funktion ist mir kaum etwas im Gedächtnis geblieben. Aber ich weiß,

dass die Punkte ( )7200 / , ( )140020 / und ( )228060 / auf dem Graphen der

Kostenfunktion liegen. Genau! Und die Grenzkosten bei einer Ausbringung

von 120 ME betragen 242 GE.“




Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxxK ++= 23)(' 2

⇒= 720)0(K dI =720. ⇒= 1400)20(K dcbaII +++= 2040080001400. ⇒= 2280)60(K dcbaIII +++= 6036002160002280. ⇒= 242)120('K cbaIV ++= 24043200242.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 2











„Markante Punkte... das ist gar nicht so leicht. Aber vom Zeichnen des

Graphen ist mir im Gedächtnis geblieben, dass die Gesamtkostenfunktion bei

einer Ausbringung von 70 ME Kosten in Höhe von 2750 GE erreicht. Die

Steigung der Gesamtkostenfunktion bei einer Ausbringung von 10 ME ist

33=m . Die variablen Kosten steigen auf 1560 GE, wenn die Menge 60 ME

erreicht. Unsere festen Kosten belaufen sich übrigens auf genau 720,00 GE in

jeder Planperiode.“




Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxxK ++= 23)(' 2 cxbxaxxK v ++= 23)(

⇒= 2750)70(K dcbaI +++= 7049003430002750. ⇒= 33)10('K cbaII ++= 2030033.

⇒= 1560)60(vK cbaIII 6036002160001560. ++= ⇒= 720)0(K dIV =720.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 3











„Von der Gesamtkostenfunktion weiß ich kaum etwas! Aber die Gesamtkosten-

funktion hat mit der Geraden xxE 44=)( zwei Schnittpunkte mit wirtschaft-

licher Bedeutung. Eine Schnittstelle, die Nutzenschwelle, liegt bei 40=x und

die andere, die Nutzengrenze, bei 82=x . Das Grenzkostenminimum liegt bei

( )1730 / . Ich hoffe, das reicht an Informationen!“




Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxxK ++= 23)(' 2 baxxK 26)(" +=

⇒== 17604040 )()( EK dcbaI +++= 401600640001760. ⇒== 36088282 )()( EK dcbaII +++= 8267245513683608.

⇒= 0)30("K baIII 21800. += ⇒= 17)30('K cbaIV ++= 60270017.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 4











„Ich kann mich lediglich an den Graphen der Kostenfunktion erinnern. Diese

hatte nämlich im Schnittpunkt mit der y-Achse die Steigung 50=m . Im

Punkt ( )5720100 / hatte die Gesamtkostenfunktion die Steigung 150=m .

Ohne die variablen Kosten rechnet das Unternehmen noch mit Ausgaben in

Höhe von 720 GE.“




Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxxK ++= 23)(' 2

⇒= 50)0('K cI =50. ⇒= 5720)100(K dcbaII +++= 1001000010000005720.

⇒= 150)100('K cbaIII ++= 20030000150. ⇒= 720)0(K dIV =720.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 5











„Nun, die Gesamtkostenfunktion hat ihren Schnittpunkt mit der y-Achse bei

( )7200 / . Die Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse bei ( )500 / . Die

Ableitung der Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse bei ( )20 −/ . Die

Nutzenschwelle, d. h. der Schnittpunkt der Gesamtkostenfunktion mit der

linearen Erlösfunktion xxE 44=)( , liegt bei 40=x ME.“




Notizen:

dcxbxaxxK +++= 23)( cbxaxxK ++= 23)(' 2 baxxK 26)(" +=

⇒= 720)0(K dI =720. ⇒= 50)0('K cII =50. ⇒−= 2)0("K 122. −=⇒=− bbIII

⇒== 17604040 )()( EK dcbaIV +++= 401600640001760.

72050010 23 ++−=⇒ xxxxK ,)(

Team 6

Hinweiskarte 1 • Die Gesamtkostenfunktion )(xK ist die Summe

aus variablen Kosten )(xKv und Fixkosten fK . • Die Grenzkosten werden durch die erste Ablei-

tung der Gesamtkosten beschrieben. • Die gesamten Durchschnittskosten – oder auch

Stückkosten – )(xk lassen sich ermitteln durch

xxKxk )()( = .

• Nutzenschwelle bzw. Nutzengrenze beschreiben die Schnittpunkte der Kostenfunktion )(xK mit der Erlösfunktion )(xE . Anschaulich sind dies die Nullstellen der Gewinnfunktion.

Hinweiskarte 2 • Die Gesamtkostenfunktion lautet in der allgemei-

nen Form dcxbxaxxK +++= 23)( . • Die Grenzkostenfunktion lautet in der allgemei-

nen Form cbxaxxK ++= 23)(' 2 . • Die Ableitung der Grenzkostenfunktion lautet in

der allgemeinen Darstellung baxxK 26)(" += . • Die Funktion der variablen Kosten lautet in allge-

meiner Form cxbxaxxKv ++= 23)( . • Die Funktion der durchschnittlichen variablen Kos-

ten lautet in der allgemeinen Form xxK

vvk )(= oder

auch cbxaxkv ++= 2 .

Hinweiskarte 4 Die benötigten Bedingungen an den Graphen sind die im Text beschriebenen Punkte / Eigenschaften. Zum Beispiel: „Die durchschnittlichen variablen Kosten betragen bei einer Ausbringungsmenge von 50 ME 25 GE.“ Die zugehörige Bedingung an die Funktion lautet:

25)50( =vk

Hinweiskarte 3 Die allgemeine Funktionsgleichung einer Gesamtkos-tenkurve 3. Grades mit s-förmigem Graphen lautet

dxcxbxaxf +⋅+⋅+⋅= 23)(

Hinweiskarte 5 Wenden Sie die Funktionsbedingungen auf die im ersten Schritt ermittelten Funktionsgleichungen an. Zum Beispiel: Funktionsgleichung: bxmxf +⋅=)( Funktionsbedingung: 4)2( =f Bedingung an die Koeffizienten: bm +⋅= 24

Marktwirtschaftliche Aufgaben 04.07.’05

„Bedingungen an die Koeffizienten“

I

II

III

IV

Å Ç É Ñ Ö Ü


5. Folie_Verlauf.doc

Geplanter Stundenverlauf

• Bericht des Resort-Leiters „Buchhaltung & Finanzen“

Das Missgeschick und der Verlust der Gesamtkostenfunktion

• Arbeit der „Task-Force“ (Troubleshooter)

Übersetzen der Bedingungen in ein Gleichungssystem

• Vorstellung der Zwischenergebnisse

Bericht an den geschäftsführenden Gesellschafter


6. Folie_AB_45.doc

„Von der Funktion weiß ich nur noch, dass die fixen Kosten pro

Planperiode 720,00 GE betragen. Die durchschnittlichen variablen

Kosten bei einer Ausbringung von 100 Stück betragen 50,00 GE und

an der Ausbringungsstelle 0=x hat die Gesamtkostenkurve die

Steigung 50 – das wollte ich auf der Sitzung berichten. Außerdem

weiß ich noch, dass die Gesamtkosten bei einer Ausbringung von 20

Stück eine Höhe von 1400,00 GE erreichen.“

„Von der Funktion ist mir kaum etwas im Gedächtnis geblieben. Aber

ich weiß, dass die Punkte ( )7200 / , ( )140020 / und ( )228060 / auf

dem Graphen der Kostenfunktion liegen. Genau! Und die

Grenzkosten bei einer Ausbringung von 120 ME betragen 242 GE.“

„Markante Punkte... das ist gar nicht so leicht. Aber vom Zeichnen

des Graphen ist mir im Gedächtnis geblieben, dass die

Gesamtkostenfunktion bei einer Ausbringung von 70 ME Kosten in

Höhe von 2750 GE erreicht. Die Steigung der Gesamtkostenfunktion

bei einer Ausbringung von 10 ME ist 33=m . Die variablen Kosten

steigen auf 1560 GE, wenn die Menge 60 ME erreicht. Unsere festen

Kosten belaufen sich übrigens auf genau 720,00 GE in jeder

Planperiode.“

Team 2

Team 1

Team 3


6. Folie_AB_45.doc

„Von der Gesamtkostenfunktion weiß ich kaum etwas! Aber die

Gesamtkostenfunktion hat mit der Geraden xxE 44=)( zwei

Schnittpunkte mit wirtschaftlicher Bedeutung. Eine Schnittstelle,

die Nutzenschwelle, liegt bei 40=x und die andere, die Nutzengren-

ze, bei 82=x . Das Grenzkostenminimum liegt bei ( )1730 / . Ich

hoffe, das reicht an Informationen!“

„Ich kann mich lediglich an den Graphen der Kostenfunktion

erinnern. Diese hatte nämlich im Schnittpunkt mit der y-Achse die

Steigung 50=m . Im Punkt ( )5720100 / hatte die Gesamtkosten-

funktion die Steigung 150=m . Ohne die variablen Kosten rechnet

das Unternehmen noch mit Ausgaben in Höhe von 720 GE.“

„Nun, die Gesamtkostenfunktion hat ihren Schnittpunkt mit der y-

Achse bei ( )7200 / . Die Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse

bei ( )500 / . Die Ableitung der Grenzkostenfunktion schneidet die y-

Achse bei ( )20 −/ . Die Nutzenschwelle, d. h. der Schnittpunkt der

Gesamtkostenfunktion mit der linearen Erlösfunktion xxE 44=)( ,

liegt bei 40=x ME.“

Team 5

Team 6

Team 4


7. Folie_Graph_lös.doc 30. Juni 2005

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1 Lehr- und Lernbedingungen - db.nibis.dedb.nibis.de/db/semforum5/forum/upload/home/ol-bbs-sem/ol-bbs-sem-ue... · schnittlichen mathematischen Fähigkeiten gehören A., A. und M