1 Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum

Fur”einfache“ d.h. einschleifige, lineare Regelungen mit ausgespragtem Tiefpassverhalten

ist der Entwurf nach dem Betragsoptimum relativ leicht anwendbar.

GK(s) F0(s) xw

-

In Regelungen wunscht man normalerweise, dass die Regelgroße x mit dem Sollwert w

ubereinstimmt.

x(t) ≡ w(t)

X(s) ≡ W (s)

⇒ FW (s) =X(s)

W (s)≡ 1

fur alle s = jω ω ← R

Beim Betragsoptimum geht es in erster Linie darum, die Ubertragungsfunktion desgeschlossenen(!) Regelkreises auf einer großtmoglichen Bandbreite konstant auf 1 zuhalten.

In der Regelungstechnik verwendet man meistens”minimalphasige“ Ubertragungs-

glieder. Ein Ubertragungsglied ist minimalphasig, wenn samtliche Pole und Nullstelleneinen negativen Realteil haben.

Wenn ein Ubertragungsglied minimalphasig ist, so ist fur einen gegebenen Verlaufder Betrags-Kennlinie auch der Verlauf der Phasen-Kennlinie bestimmt.1

1Herleitung → RT. Vorlesung

1

Gegenbeispiel:

Allpaß: G(s) =1− Ts

1 + Ts

⇒ |G(jωs)| = 1

∠G(jωs) = −2 arctan(Tω)

Im{s}

Re{s}

PolNullstelle

1T

1T

-

Fur elektrische Umrichter oder Antriebe ist die Annahme eines minimalphasigen Systemsin der Regel zutreffend.

2

2 Regelung einer Strecke 2. Ordnung

2.1 Betragsoptimum

Strecke 1. Ordnung erfullt das Nyquist-kriterium problemlos:

-1 V

FS

FS

FSF

R

.

FR

FS

X*

-

X

FK

Strecke 2. Ordnung:

T2

T1

FS(s) =1

(T2s + 1)(T1s + 1)

Konvention: T1 > T2 > T3 . . .

GK

FS

X*

-

XF

W

XX*

FK

FK = FR · FS

Man wahlt FR(s) derart, dass gilt:

|FW (jω)| = 1

FW (jω) =FS(jω)FR(jω)

1 + FS(jω) · FR(jω)

3

Beispiel:Die Strecke FS(s) habe eine

”große“ Zeitkonstante T1 und mehrere kleine Zeitkonstanten

im Nenner

FS(s) =Ks

(1 + T1s)∏

(1 + Tvs)

≈ Ks

(1 + T1s)(1 + TEs)mit TE =

∑

ν

Tv

Gewahlt wird folgender PI-Regler:

FR(s) = KR

1 + T1s

T1s

vorausgesetzt, dass T1 > TE!

Gegenbeispiel: elektrische und mechanische Zeitkonstante eines Antriebes (hochdynamisch)sind ungefahr gleich ⇒ PI-Regler funktioniert nicht mehr.

⇒ FK(s) = FR(s) · F0(s)

=KR ·KS

sT1(1 + TEs)

FW (s) =FK(s)

1 + FK(s)=

KS ·KR

KS ·KR + T1s + TET1s2

Fur FW (s) = 1 ware x = x∗, was gewunscht wird.Fur ein minimalphasiges FW (s) folgt:

FW (s) = 1 aus |FW (jω)| = 1

FW (jω) =KS ·KR

KS ·KR + jωT1 + (jω)2Te · T1

|FW (jω)|2 =K2

S ·K2R

(KS ·KR − ω2TET1)2 + T 21 ω2

=K2

S ·K2R

K2S ·K2

R + ω4T 2ET 2

1 + ω2(T 21 − 2TET1KSKR)

4

fur kleine ω ist ω4T 2ET 2

1 ≈ 0

⇒ |FW (jω)|2 = 1 fur

ω2(T 21 − 2TET1KSKR) = 0

T1 = 2TEKSKR

KR = T1

2TEKS

dieser komplette geschlossene Regelkreis stellt im uberlagerten Regelkreis kein Stellgliedmit P-Verhalten fur alle Frequenzen, sondern eines mit VZ1-Verhalten dar.

Zusammenfassung:

Man wahlt den Regler FR(s) so:

• dass die großten Nennerzeitkonstanten der Strecke kompensiert werden.

ACHTUNG! Voraussetzung: 1 dominante Zeitkonstante!

• dass die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Kreises uber weite Bereiche derFrequenzachse konstant bleibt.

|FW (jω)| = 1

Es gilt immer:

FW (jω) =F0(jω)GK(jω)

1 + F0(jω)GK(jω)

Analytische Losung fur den PI-Regler:

FK = V · Tis + 1

Tis· 1

(T2s + 1)(T1s + 1); Ti = T1

FK =1

TiKs(T2s + 1); TiK =

Ti

V

FW =FK

1 + FK

=ZN

1 + ZN

=Z

Z + N

FW =1

TiKT2s2 + TiKs + 1=

1(

sω0

)2

+ 2D sω0

+ 1

5

ω0 =1√

TiKT2

2D

ω0= TiK

D =1

2

TiK√TiKT2

=1

2

√

TiK

T2

=1

2

√2

TiK = 2T2 =Ti

V=

T1

V

⇓

V = T1

2T2Ti = T1

↪→ entsprechend T2 ≡ TE

V ≡ KR ·KS

2.2 Regelung mit P-Regler

GK

FS

X*

-

XF

W

XX*

FK

Forderung:|Fδ(jω)| ≈ 1

fur ω = 0 . . . ωW , ωW →∞ (so weit wie moglich)

|F|

1w

w

6

Normalform:

Fδ =1

(s

ω0

)2

+ 2D sω0

+ 1

FR = V

FK = FR FS =V

(T2s + 1)(T1s + 1)=

Z

N=

Zaehler

Nenner

FW =FK

1 + FK

=ZN

1 + ZN

=Z

Z + N

=V

T1T2s2 + (T1 + T2)s + 1 + V

Eigenwerte: Wurzeln der charakteristischen Gleichung:

T1T2s2 + (T1 + T2)s + 1 + V = 0

s1,2 =−(T1 + T2)±

√

(T1 + T2)2 − 4T1T2(1 + V )

2T1T2

Diskussion der Wurzelortstkurve:Einfluss des Reglers: Wurzelorte mit V = par.

1T

1

-

1T

2

-

Krit. D s

45

7

charakteristische Punkte:

• V = 0: s1 = − 1T1

s2 = − 1T2

•√

(T1 + T2)2 − 4 · T1T2(1 + V ) = 0: s1 = s2 = −12

(1T1

+ 1T2

)

entspricht einem reel-

len Mittelwert (±√)

• sonst: Konjugiert komplex

Folgerungen: (P-Regler)

• Kreis immer abs. stabil

• mit wachsendem V wird Dampfung geringer

• je weiter T1, T2 auseinanderliegen, desto großer muss V sein, um eine ausreichendeDynamik fur den geschlossenen Regelkreis zu erreichen (kritische Dampfung).

1T1

-1T2

-

sK ss

1

s2

W

durch eine Regelung

Ein optimierter Regler ergibt eine gute Position der Eigenwerte des geschlossenen Regel-kreises.

8

Reglerdimensionierungnur ein Parameter: V

T1T2s2 + (T1 + T2)s + 1 + V = 0

s1,2 =−(T1 + T2)±

√

(T1 + T2)2 − 4T1T2(1 + V )

2T1T2

• 1. Weg2

s1,2 =−(T1 + T2)±

√

(T1 + T2)2 − 4T1T2(1 + V )

2T1T2

Re(s1)!= Im(s1)→ 45◦ nur der Zahler von s1,2 wird betrachtet:

⇒ (T1 + T2)2 = −(T1 + T2)

2 + 4T1T2(1 + V )

1 + V =2(T1 + T2)

2

4T1T2

V =T 2

1 + T 22

2T1T2

• 2. Weg3 Normalform: ⇒ ein Glied ist 1

FW =V

V +1T1T2

V +1s2 + T1+T2

V +1s + 1

=VW

(s

ω0

)2

+ 2D sω0

+ 1

VW =V

V + 1

ω0 =

√

V + 1

T1T2

2D

ω0=

T1 + T2

v + 1⇓

D =1

2

T1 + T2√

T1T2(V + 1)

fur steigendes V gilt:

– ω0 →∞– D → 0

– VW → 1

2ublich (aperiodische Dampfung)3Betragsoptimum

9

Mit dem Betragsoptimum gilt:

2D2 = 1

⇒ D =1

2

√2

w00,5

1

1

22

( )qD

1

Kritische Dampfung:

1. ITAE }

erfullt2. Betragsoptimum

vorgegeben:

D = Dkrit. =1

2

√2 =

1

2

T1 + T2√

T1T2(V + 1)

(T1 + T2)2

2T1T2= V + 1

V =(T1 + T2)

2

2T1T2− 1 =

T 21 + T 2

2

2T1T2

zum Beispiel:

T1 = 4T2

V =16 + 1

8=

17

8≈ 2

VW =V

V + 1=

2

3

10

0,67

1

t

eV

( )¥ » ¬

+

FH

IK33%

1

1

Der stationare Fehler ist zu groß.Das dynamische Verhalten ist in Ordnung, aber nicht sehr gut

e

-

e 6= 0 bildet Stellsignal ⇒ e kann nicht NULL werden!

Regelung einer Strecke mit P-Regler

Folgen

1. immer stabil

2. fur eine wachsende Verstarkung (V ) wird die Dampfung (D) kleiner

3. Je weiter T1 und T2 auseinander liegen, desto großer ist die kritische VerstarkungVkrit

Wenn die Verstarkung allerdings zu groß ist, wird das System instabil.

11

2.3 Differenzierende Regler

Gedanke: Stellsignal aus de(t)dt

bilden, 2 Typen: PD, PID

FR

FS

-

1. PD-Regler

FR

V VT

T

d

d¢

w

FR = V · Tds + 1

T ′

ds + 1

FK = V · Tds + 1

T ′

ds + 1· 1

(T2s + 1)(T1s + 1)

FK =V

(T ′

ds + 1)(T1s + 1)

12

1T

1

-1T

2

-

Polverschiebung nach links:

(a) Schnelligkeit

(b) hohere Stellleistung

Td = T2, T ′

d ' 0, 1Td

voriges Beispiel:

T1 = 4T2

T1 = 40T ′

d

V =T 2

1 + T ′2d

2T1T′

d

=402 + 1

2 · 40≈ 20 ; Vδ =

V

V + 1=

20

21= 0, 95

e(∞) = 5%

Schnelligkeit:

ω0 =

√

V + 1

T1T2

ω(PD)0

ω(P )0

=

√

20 + 1

(2 + 1) · 0, 1 =

√

210

3=√

70 = 8, 4 T2 = 10T ′

d

warum nicht 10fach? (T2 → T ′

d = 0, 1T2)Phasendrehung durch T1 war vorher nicht voll wirksam, aber jetzt.

13

2. PID-Regler

P

I

D

= PD-Regler mit parall. I-Kanal (genauer, aber langsamer (wie P → PI))

FR = V · Tis + 1

Tis· Tds + 1

T ′

ds + 1

geringe Verstarkung bei ω ≈ ωd, sonst groß

t

VT

T

d

d¢ w(t)

FR

VT

T

d

d¢

» w d

keine Phasendrehung

w

voreilend: schnell

14

(a) Polverschiebung nach links: Genauigkeit

(b) Polverschiebung nach rechts: Schnelligkeit

1T

1

-1T

2

-1T'

d

-

FK =1

TiKs(T ′

ds + 1)

Regler mit D-Kanal:

(a) Schnelligkeit kann nur ausgenutzt werden, wenn genugend Stellleistung instal-liert wird (Kleinsignal - Großsignal)

(b) Oberschwingungen werden verstarkt (Stromrichter, digitale Meßgeber z.B. La-ge)

Alternative wenn moglich: Ableitung der Regelgroße an der Strecke abgreifen.

z.B.

L

( )=

»

»C iC

iC = C · du

dt

15

-

x*

-

x

Tdx

dt

T

hat FK(s) wie bei Regelung mit PID-Reglerx∗ wird aber nicht vom Regler differenziert

2.4 Symmetrisches Optimum

1T

1

-1T

2

-

s

Der PI-Regler verschiebt die Polstelle bei − 1T1

in den Ursprung

1T

2

-

s

Das kann nicht funktionieren, wenn einer der Pole bereits im (oder sehr nahe am) Ursprungliegt.

16

1

Ti

Eine Polverschiebung bringt wenig Nutzen, wenn T1 > 7 T2. Bei einem großen Ti regeltder Regler Storgroßen nur langsam aus.

1

T1s + 1→ 1

Ts

-

V,Ti T2 Tm

G (s)K

F (s)0

FK = V · Tis + 1

Tis· 1

(T2s + 1)Tms=

V

TiTms2· Tis + 1

T2s + 1= F1 · F2

FK

-1,0

T = T nicht möglichi 2

abs. instabil

17

Regelkreis mit doppeltem Integrator

Bedingungen fur Stabilitat und ausreichende Dampfung (Nyquist Kriterium)

|FK(jωd)| = 1 arg(FK(jωd)) = −π + Ψd

arg(FK) = arg(F1) + arg(F2)

= −π + arg(F2) = −π + Ψd

Ψd = arg(F2(jωd))

FK

-1,0

d

d

Fur T2 6= Ti ist die Ortskurve von F2:

F2 s

wd

w

1

j

T2

Ti

18

Forderung: Ti → min fur ϕ = Ψd, sonst langsames Storverhaltend.h. ϕ = arg(F2) → max.

F2(s) =Tis + 1

T2s + 1

F2(jω) =1 + jωTi

1 + jωT2=

Ti

T2·

1Ti

+ jω

1T2

+ jω

φ = arg(F2) = arctan ωTi − arctan ωT2

1T

1

-

1T

i

-

w

+-

fur jedes ω ist der Winkel positiv!

dφ

dω|ω=ωd

=Ti

1 + ω2dT

2i

+−T2

1 + ω2dT

22

!= 0 (Maximum!)

Ti(1 + ω2dT

22 )− T2(1 + ω2

dT2i ) = 0

Ti − T2 − (Ti − T2)ω2dTiT2 = 0

ω2dTiT2 = 1

ωd =1

√

TiT2

19

gesucht: Ti

geschlossene Losung

Ψd = arg(F2)

Ψd = arctan ωdTi − arctan ωdT2

Ψd = arctan

√Ti

T2− arctan

√T2

Ti

Weg: Ti aus vorgegebenen. Ψd berechnen, dann V bestimmen.Wie berechne ich Ti aus Ψ (← vorgegeben)?

1

a

b

y

T2

Ti

a =1

2

(Ti

T2− 1

)

b = a + 1 =1

2

(Ti

T2+ 1

)

sin Ψ =a

b=

Ti

T2

− 1Ti

T2

+ 1

(Ti

T2

)

sin Ψ + sin Ψ =Ti

T2

− 1

(Ti

T2 − 1

)

(sin Ψ− 1) = −(1 + sin Ψ)

Ti

T2=

1 + sin Ψ

1− sin Ψ

Ti = T2

1 + sin Ψ

1 − sin Ψ

20

jetzt Berechnung von V :

FK

-1

-j

wd

w

Yd

setzen|FK(jωd)| = 1 ← bei der Durchschnittsfrequenz

|FK(jωd)| =V

ω2dTiTm

·√

(ωdTi)2 + 1√

(ωdT2)2 + 1, ωd =

1√TiT2

(siehe Seite 19)

=V TiT2

TiTm

·

√√√√

Ti

T2

+ 1T2

Ti+ 1

=V T2

Tm

·

√√√√

Ti

T2

(1 + T2

Ti)

1 + T2

Ti

=V T2

Tm

·√

Ti

T2= V

√TiT2

Tm

= 1

V =Tm

√

TiT2

fur jedes Ti(Ψd) gibt ein V

21

Re

Im

-1-2

-3-4

-1

-2

2

1,2

5

1

0,7

5

0,6

0,5

0,4

q=

w wd

Die

Char

akte

rist

ik d

es o

ffen

en R

egel

kre

ises

22

Frequenzgang des offenen Regelkreises

1

(lg)

|F|

a a

+1

-1

-23

1-2

FK

wd

F2

j0

-pYd

2

wd

-p

2

1

Ti

1

T2

1

wegen der Symmetrie gilt:1

T2

= a · ωd = a2 1

Ti

alsoTi = a2T2 ;

damit a berechnen:

FK(s) =V

TiTms2· Tis + 1

T2s + 1

=V

a2T2Tms2· a

2T2s + 1

T2s + 1, V =

Tm√TiT2

=Tm

aT2

=1

a3T 22 s2· a

2T2s + 1

T2s + 1

normierte Frequenz:

q =s

ωd

= s√

TiT2 = aT2

fur den offenen Regelkreis gilt:

FK(q) =aq + 1

aq2(

1aq + 1

)

23

fur den geschlossenen Regelkreis gilt:

Fg =FK

1 + FK

=Z

Z + N

Fg(q) =aq + 1

q3 + aq2 + aq1=

Z(q)

N(q)︸ ︷︷ ︸

Eigenwerte: D(q) = 0;wie man sieht 4 ist q = −1 eine Losungweitere Losungen:

q2,3 = −a− 1

2± j

√

1−(

a− 1

2

)2

|q2,3| =

√(

a− 1

2

)2

+ 1−(

a− 1

2

)2

= 1

also:

a -j

q3

a Nullstelle

a>3

q2

a a=1

j q

a=3

a>3

q=1Pole 36

4Koeff. paarweise ???

24

D2,3 >1

2

√2!

Fg(q) =aq + 1

q3 + aq2 + aq1=

Z(q)

N(q)

Fg(q) =aq + 1

(q2 + (a− 1)q + 1)(q + 1)

!=

aq + 1

(q2 + 2Dq + 1)(q + 1)

2D = a− 1

a = 1 + 2D

Ti = a2T1

V =Tm

aT2

⇓aopt. = 2, 6

D bzw. a nach ITAE opt. bemessen: Dopt. = 0, 7

Fg(q) =aq + 1

q3 + aq2 + aq + 1

1

t

w(t)» 30%

25

gegen Uberschwingen: Filter im Sollwertkanal beseitigt Wirkung des Zahlers

allgemein gilt:

FW =τ2q + 1

τ1q + 1

τi: norm. Zeitti nach ITAE optimiert:

τ2 = −1 Dopt. = 0, 7

τ1 = a aopt. = 2, 6

-

1

1

a

26

reiner TP zu langsam (Leonhard)

0 2 4 6 8

wdt

0,5

1,0

1,3

w(t)

ohne Sollwertfilter

FFilter ( )qq

aq=

+

+

1

1

FFilter ( )qaq

=

+

1

1

Symmetrisches Optimum

Sprungantworten

27

2.5 Grenze zwischen den beiden Dimensionierungsverfahren

-

Regler T1T2T3

Z1Z2

xx*

PI-Regler

FR = V · Tis + 1

Tis

1T

1

-1T

2

-1T

3

-

s

1T1

-1T2

-

s

1T2

- 1T1

-

s

-

1

a Topt

2

2

a)

b)

28

a) BetragsoptimumT1 < a2

opt.T2

b) Symm. Opt.T1 > a2

opt.T2

aopt. = 2, 6

a2opt. = 6 . . . 7 = 6, 75

29