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Vorlesung 28:

Roter Faden: Heute:

Hydrodynamik bei Flüssigkeiten und Gasen

Versuche: turbulente StrömungGeschwindigkeitsprofilBernoulli Prandtlsches Staurohr

Barometrische HöhenformelKaminWindkanal, Tragfläche

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Gase

Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten und Festkörper Expansion über das ganze Volumen und durch Druck komprimierbar.Zustand beschrieben durch drei Variablen: p,V,T. Zustandsgleichung: pV=mRT oder p = RT (Allgemeine Gasgleichung).T=Temperatur= Maß für Ekin der Moleküle: Ekin=½m<v2>=3/2 kT(k=Boltzmann-Konstante=1,38 10-23 J/K und pV = NkT)

Kompressibilität: = -1/V V/p=0 für Flüssigkeit und = 1/p für Gas. (V/p=-V/p)

Gewichtskraft/Fläche= Druck p = mg/A = -gh. Oder dp = -g dh. Bei Flüssigkeit: =konst p=p0+gh

Bei Gas: =p/RT=konst. p

(p=p/2 für h=5.5 km in Luft)

p

h

p=p0 exp( -0gh/p0 )

Barometrische Höhenformel:

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Barometrische Höhenformel

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Zug im Kamin

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Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

Geschwindigkeitsverteilung:Wahrscheinlichkeitsverteilung: f(vz) exp (-E/kT) exp(-½mvz

2/kT) (Gauß-Verteilung)

Für alle Richtungen: f(v) = f(vx)f(vy)f(vz) exp(-½mv2/kT)

Anzahl der Moleküle im Geschwindigkeitsintervall v bis v+dv: n(v)dv = f(v) dvx dvy dvz 4v2 exp(-½mv2/kT)(da Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren der Länge v bis v+dv eine

Kugelschale mit dem Volumen 4v2 dv ausfüllen)

Maxwell-Boltzmann:

n(v)dv

v (m/s)

T=70K

T=270K

400

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Hydrodynamik

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Stromlinien bei laminaren Strömung

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Turbulente Strömung

Turbulenz entsteht durch Reibung zwischen den Rand-schichten der Flüssigkeiten oder zwischen Flüssigkeit und Wand Durchmischung der Stromlinien (Wirbel)

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Bernoulli Gleichung

Energie-Erhaltung: Druckleistet Arbeit: W=Ep+Ek

Fds=PAvdt=1/2mv2+mgh

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Beispiele

P1+ gh

P2+½ v22

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Prandtlsches Staurohr

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Steigrohr nach Bernoulli

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Windkanal

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Tragfläche

Dichte der Stromlinien (=Weltlinie eines ‘Staubkorns’)Je dichter die Stromlinien, je höher Geschwindigkeit,da Av konstant ist (Kontinuitätsgesetz)

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Hydrodynamisches Paradoxon

Ansaugen wenn P = P0-P1 = ½ v2 > mg/A

P0

P1

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Magnus-Effekt

10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17

Strahlquerschnitt beim Wasserhahn

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Laminare Strömung durch Rohre

Innere Reibung: F=A dv/dr

Fr

v

dv/dy GeschwindigkeitsgradientF=Kraft um Flüssigkeit mit Konstanter Geschwindigkeitzu transportieren = Viskosität

F=r2 dp = 2 rL dv/dr

v(r)= dv = dp/4 L rdr =r2dp/8 LDies ist Rotationsparaboloid.

Volumen/Zeit durch Zylinder mit Radien zwischen r und r+dr:

dVdr/dt = 2rdr v(r) V = 2r r2dp/8 L dr = R4/8 dp/L

Oder allgemein: V = R4/8 dp/dz (Hagen-Poiseuille Gesetz)(dp/dz = lineare Druckgefälle entlang des Rohres)

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Viskosimeter

Kugel fällt in visköser Flüssigkeit.Nach einiger Zeit gleichförmige Bewegung.Dann gilt: Gewichtskraft – Auftrieb +Reibung = 0

Empirisch gilt: FR= -6RK v. (Stokessches Gesetz)

Daher: 4/3RK3g(K- Fl) -6RK v = 0

Aus gemessener Geschwindigkeit v und bekannter

Kugelradius RK und Dichten kann bestimmtwerden

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Zum Mitnehmen

Hydrodynamik:

Statische Flüssigkeiten: Pascalsche Gesetz:

Strömende Flüssigkeiten: Bernoulli

Statische Gase: barometrische Höhenformel p=p0 exp( -0gh/p0)