§7.5 Transportprozesse in Gasen

Transport von:

Gasvolumina Verteilung einer Molekülsorte in einer anderen Energie Impuls

– Gasströmung – Diffusion – Wärmeleitung – Viskosität

Auftreten bei räumlichem Unterschied von Dichte, Temperatur und Strömungsgeschwindigkeit

Gaub 34 WS 2014/15

Diffusion

Nettotransport von Teilchen aus einem Gebiet hoher Konzentration in ein Gebiet niedriger Konzentration

Gaub 35 WS 2014/15

Fluorescence recovery after photobleaching (FRAP)

Gaub 36 WS 2014/15

Diffusion

Bei gegebener Dichteverteilung der Teilchen nA(x), einer mittleren freien Weglänge Λ und isotroper Geschwindigkeitsverteilung (T=const) ist die Wahrscheinlichkeit W- , dass ein bestimmtes Teilchen die Fläche dA an der Stelle x =x0 nach seinem letzten Stoß bei x =x0 – Λ cos ϑ unter dem Winkel ϑ zur Flächennormalen nach rechts durch-quert ist gleich der Wahrscheinlichkeit W+, dass ein bestimmtes Teilchen von rechts nach links läuft.

€

dN+ v( ) = n+ f v( ) dv v dt dA cosϑ dΩ4π

Mit einer Teilchenzahldichte n+ auf der linken Seite durchfliegen dN+Teilchen von links nach rechts in einem Zeitintervall dt aus dem Raumwinkel dΩ mit der Geschwindigkeit v im Intervall dv unter dem Winkel ϑ die Fläche dA:

Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden!

€

n+ = n0 + Δx dndx

n− = n0 − Δx dndx

€

dN− v( ) = n− f v( ) dv v dt dA cosϑ dΩ4π

dA

Gaub 37 WS 2014/15

Diffusion

Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist:

€

j =dN+ − dN−

dA dtBeitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte :

€

dj v( ) dv = −1dA

dN+ v( )dt

−dN− v( )dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dv

€

=> djx v( ) dv = −2 Λ f v( ) v dvcos2ϑ sinϑ dϑ dϕ

4πdndx

€

=> jx = −2 Λ f v( ) v dv−∞

+∞

∫ 14π

cos2ϑ sinϑ dϑ dϕ0

π /2

∫0

2π

∫ dndx

€

v 2π/3

Ficksches Gesetz:

€

jx = −Λ v 3

dndx

= −D dndx

oder vektoriell:

€

j = −D grad n( )

mit der Diffusionskonstanten

€

D =Λ v 3

=1

n σ8 k T9 π m

38 Gaub WS 2014/15

Diffusion

Schwere Teilchen diffundieren langsamer:

⇒ 

Heliumatome viel leichter als Luftmoleküle

Heliumatome gleichen den geänderten Partialdruck viel schneller aus!

Gaub 39 WS 2014/15

Brownsche Bewegung

Bewegung von Mikroteilchen unter Einfluss der thermischen Bewegung kleinerer Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle.

Die Bewegung besteht aus kurzen geraden Stücken, deren Richtungen und Längen statistisch verteilt sind.

40 WS 2014/15 Gaub

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-

Gaub 41 WS 2014/15

Robert Brown Gaub 42 WS 2014/15

See also Jan Ingenhousz J. Philos. 26, 339- (1785)

Gaub 43 WS 2014/15

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-

See also Dissertation April 1905 Uni Zürich published in Ann Physik 19, 289-(1906)

Gaub 44 WS 2014/15

Concept of osmotic pressure works for makromolecules, no reason why it should not for suspended particles! Einstein proved this first.

Osmotic pressure gradient results in force on particle.

In steady state this force is balanced by friction (implicit assumption of over-damped regime)

Particles move independently + basic statistics

Outline:

Gaub 45 WS 2014/15

Fluktuations- Disssipations- Theorem

For a comprehensive review see Hänggi, Marchesoni and Nori, Ann. Phys. (Leipzig) 14, 51-70 (2005)

Kubo

Memory-less trajectories, ballistic motion decays after τ ≈ m/6πkP ≈ 10-8 s

Smoluchowski Langevin

Gaub 46 WS 2014/15

Brownian Motor

Gaub 47 WS 2014/15

Up-hill Transport

Gaub 48 WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Energieübertrag von Orten höherer Temperatur zu Orten niedriger Temperatur durch Stöße.

Gas zwischen zwei Platten an den Orten und :

€

x1

€

x2

Transport abhängig vom Verhältnis der mittleren freien Weglänge zum Plattenabstand.

Falls Λ > d : Energie der Moleküle, die von Platte 1 kommen:

€

Ekin1=12m v1

2 =32k T1

Auf das Flächenelement dA treffen pro Zeiteinheit bei einer Teilchendichte n aus dem Raumwinkel Ω um die Richtung ϑ kommend:

€

ddtN v,ϑ( ) = n cosϑ dA v f v( ) dv∫( ) dΩ

4πGaub 49 WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Integriert ergibt sich:

Unter der Annahme, dass jedes Molekül beim Kontakt die Temperatur der Platte annimmt, verliert das Flächenelement dA pro Zeiteinheit die Energie:

€

dNdt

=n v dA4π

sinϑ cosϑ dϑ dϕ0

2π

∫0

π

2

∫

€

=n v dA4

€

dW1

dtdA = −

dN1dt

dA U1 mit:

€

U1 =f2k T1

Gleichzeitig gewinnt das Flächenelement Energie:

€

dW2

dtdA = −

dN2

dtdA U2 mit:

€

U2 =f2k T2

Die Netto-Wärmeleistung ist also:

€

dWdt

= κ A1 T2 −T1( )

mit der Wärmeübergangszahl κ:

€

κ =n v k f8

€

κ[ ] = 1 Js m2 K

Gaub 50 WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten:

€

n1n2

=T2T1

Moleküle stoßen oft zwischen den Platten und übertragen die Energie auf andere.

Es stellt sich ein Temperaturgradient im Gas ein.

Wärme wird „diffusiv“ transportiert =>

€

dWdt

=13Λ

ddx

v n U( )

weil:

Falls Λ << d :

⇒ 

€

=13Λ n f

2k T dv

dx

€

U n = n f2k T

Gaub 51 WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

mit:

mit der Wärmeleitfähigkeit λ

wird:

€

dv dx

=dv dT

dTdx

=8 k

2 T π mdTdx

€

dWdt

= λdTdx

€

λ =112

f n k v Λ

€

λ[ ] =J

s m K

λ wird im Druckbereich Λ << d unabhängig von der Dichte, weil:

€

Λ =1n σ ⇒ 

€

λ =112

f k v σ

Gaub 52 WS 2014/15

Viskosität von Gasen

Liegt zusätzlich zur thermischen Bewegung noch eine Bewegung des Systems vor (Strömung), tritt viskose Reibung auf.

Die Bewegung der Moleküle in einer Schicht ist eine Überlagerung von (statistischer und isotroper) thermischer Bewegung und Strömungsgeschwindigkeit u(x).

Strömt ein Gas in y-Richtung über eine Fläche, bewegt sich die der Fläche nächste Schicht auf Grund der Reibung nicht.

€

x = x0 ±Δx2

Aufgrund der thermischen Bewegung wechseln die Teilchen in andere Schichten und übertragen bei Stößen abhängig vom Geschwindigkeitsgradienten Impuls

Gaub 53

Viskosität von Gasen

Die Impulsstromdichte (transportierter Impuls pro Fläche und Zeit) lässt sich schreiben als:

€

jp

€

jp = ηdudx

mit dem Viskositätskoeffizienten η:

€

η =13

n m v Λ

Gaub 54 WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre Die verschiedenen Bestandteile neigen einerseits dazu, sich durch Diffusion zu vermischen und werden andererseits durch die Gravitation auseinander gezogen.

Im stationären Gleichgewicht sind der Diffusionsstrom und der nach unten gerichtete gravitative Strom gleich groß:

Bei Fall eines Teilchens wirkt eine Reibungskraft der Schwerkraft entgegen.

€

jD z( ) + jg z( ) = 0

⇒  konstante Sinkgeschwindigkeit, damit konstanter Strom

€

jg = n vg

Gaub WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre

Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich, dass das Konzentrationsverhältnis eines leichten Gases zu einem schwereren mit der Höhe zunimmt.

⇒ 

Das sich aus Messungen ergebende konstante Konzentrationsverhältnis ist mit der nicht konstanten Temperatur zu begründen.

Starke vertikale Strömungen

Starke Durchmischung der atmosphärischen Schichten

schwerere

Gaub 56 WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre

Temperaturverlauf:

Standardatmosphäre:

Gaub 57 WS 2014/15