11. Grundlagen der Quantenmechanik

11. Grundlagen der Quantenmechanik

Klassische Mechnik Quantenmechanik

Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig

(r,t)

Evolutionsgleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung

Messgrössen

Funktionen von r,pOperatoren

Mögliche Messwerte: Eigenwerte

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ansatz:

Wiederholung komplexe Zahlen:

Imag

inär

teil

Realteil

x

t

Beobachtbar:VektorlängeUnsichtbar: Rotation mit t

Für zeitunabhängiges Potential

Stationäre Schrödingergleichung

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)

Für zeitunabhängiges Potential

Ansatz:

Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx

Mit Zeitabhängigkeit:

löst:

Darstellung einer Ebenen Welle im Ort

(x) = eikx = sin(x) + i cos(x)

Realteil

Imaginärteil-> |(x)|2 = const. = 1

Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

Alternative Darstellung:Farbkodierung der komplexen Zahlen

|(x)|2 = const. = 1

moving-plane-wave-01_18a.mov

Aufbau eines Wellenpaketes

(x) = eikx

d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

Gauss-wellenpaket-aus-ebenen-wellen-03_02b.mov

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung

Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten

V(x)=0 für 0·x¸L1 sonst

(x)=Aeikx + B e-ikx

(x·0)=(x¸L)=0

(x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)

Randbedingung 1

(x=L) = 2iA sin(kL) = 0) kL= n (n=1,2,3 ...)

Rand-bedingung 2

Quantenzahlen n

Mögliche Energieniveaus in der Box:

Stationäre Wellenfunktionen in der Box:


Mögliche Energienivieaus in der Box:


Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls

k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

hängt von En (n2) ab!

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Real Imaginärteil


Mögliche Energienivieaus in der Box:


Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls

k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

5) Was passiert wenn manandere Energie, Wellenfunktionerzwingt?z.B. Barriere aufziehen?

Teilchen in 2 dim Potentialtopf

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

(kx , ky) = (0.86 , 0.5)

(x , y) = (2 , 2)

Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

(II)

Bereich (II):

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung

11.4. Potentialstufe

x

E(x

)

E0

(I)

Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx

2

(x)=C eix + D e-ix

(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall a) E<E0

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall a) E<E0

reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

1. Potentialwall reflektiert vollständig2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein

Energieerhaltung??? E t > ~

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

|A|2

|B|2

|D|2

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C eix + D e-ix

|A|2

|B|2

|D|2


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov

Wellenpaket, Potentialstufe

E = ½ Ekin

Ort

Impuls+ auf Stufe zu- reflektiert

Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!

gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov

Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB!

Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!

Potentialstufe in 2 Dimensionen

gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov

Farbcode:Farbe: PhaseSättigung: Amplitude


11.5. Tunneleffekt

(II)(I)

x

E(x

)

E0

Idee: kann man die Welle “freisetzen”??


11.5. Tunneleffekt (I) (II) (III)

x0 a

E0

(x)=A eikx + B e-ikx

(x)=C eix + D e-ix

(x)=A‘ eikx

Randbedingungen:

I(0)=II(0) , II(a)=III(a)

Transmissionskoeffizient (E<E0)

für a >>1(dicke Barriere)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

T

ENERGY (eV)

Höhe 0.3eV, Breite 1nm

Transmission hängt ab von:1. Barrierenhöhe (Exponentiell)2. Barrierenbreite3. Masse

Makroskopisch irrelevant

Ekin<E

Fragen:1. Energieerhaltung ???2. Wie lange braucht das Teilchen?

Tunnel-welle-durch-einstellbare-potentialstufe07_09d.mov

x

(I) (II) (III)

0 a

E0

Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe

V = 2E, d =

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier

Überhöht

Tunneln eines Wellenpaketes

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/images/RECTBAR1.jpg

Mittlere Energie des Wellenpaketes

Gausspaket-durch-barriere-07_11c.mov

Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum

Orts und Impulsraum:

Gausspaket-Tunnel-orts-impuls07_12c.mov

Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe

Durch Mehrfachreflexionenwird ein Teil der Wellenfunktionfür einige Zeit unter der Barriere

gefangen

Gauss-tunnel-trapping07_12a.mov

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