· 25.04.2017 3 525.04.2017 2. Einführung in die Quantenmechanik 2.1 Prinzipien der Quantenmechanik Unter dem Begriff photoelektrischer Effekt (kurz Photoeffekt) werden drei nah

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www.hs-kl.de

Halbleiterphysik und Anwendungen

Prof. Dr. Sven Ingebrandt

Fachhochschule Kaiserslautern - Standort Zweibrücken

Teil 2: Einführung in die Quantenmechanik

Vorlesungsplanung

25.04.2017 2 Halbleiterphysik und Anwendungen – Teil 2: Einführung in die Quantenmechanik

Grün: Termine, die ausfallen

Rot: Ersatztermine

25.04.2017

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Inhaltsverzeichnis:

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• Kristallstruktur von Festkörpern

• Reziprokes Gitter und Röntgenbeugung

• Leitfähigkeit in Halbleitern

• Quantenmechanische Prinzipien

• Quantentheorie des Halbleiters

• Energiebänder und verbotene Zonen

• Kronig-Penney Modell

• Optische Übergänge in Halbleitern (Exzitonen, Absorption, Rekombination)

• Optische Bauelemente

• Heterostrukturen

• Jenseits von CMOS

• Speicherbauelemente

• Quantenbauelemente

25.04.2017 Halbleiterphysik und Anwendungen – Teil 2: Einführung in die Quantenmechanik

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2. Einführung in die Quantenmechanik


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2.1 Prinzipien der Quantenmechanik

Unter dem Begriff photoelektrischer Effekt (kurz Photoeffekt) werden drei nah

verwandte, aber unterschiedliche Prozesse der Wechselwirkung von Photonen mit

Materie zusammengefasst. In allen drei Fällen wird ein Photon von einem Elektron, das

z.B. in einem Atom oder im Valenzband oder im Leitungsband eines Festkörpers

gebunden ist, absorbiert und das Elektron aus der Bindung gelöst. Die Energie des

Photons muss dazu mindestens so groß wie die Bindungsenergie dieses Elektrons sein.

Man unterscheidet drei Arten des photoelektrischen Effekts:

Als äußeren photoelektrischen Effekt bezeichnet man das Herauslösen von Elektronen aus

einer Halbleiter- oder Metalloberfläche durch Bestrahlung. Dieser Effekt wurde bereits im 19.

Jahrhundert entdeckt und 1905 von Albert Einstein erstmals gedeutet, wobei er den Begriff des

Lichtquants einführte.

Der innere photoelektrische Effekt tritt in Halbleitern auf. Man unterscheidet zwei Fälle: Als

Photoleitung bezeichnet man die Zunahme der Leitfähigkeit von Halbleitern durch Bildung von

nicht aneinander gebundenen Elektron-Loch-Paaren. Darauf aufbauend ermöglicht der

photovoltaische Effekt die Umwandlung von Licht- in elektrische Energie.

Unter Photoionisation (auch atomarer Photoeffekt) schließlich versteht man die Ionisation von

Atomen oder Molekülen durch Bestrahlung mit Licht genügend hoher Frequenzen.


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Energiequanten. Der photoelektrische Effekt demonstriert eine Inkonsistenz zwischen

den Aussagen der klassischen Physik und dem Experiment. Die Austrittsarbeit eines

Elektrons ist von der Frequenz abhängig.

Max Planck hat 1900 postuliert,

dass thermische Strahlung von

einem heissen Körper gequantelt

emittiert wird: E =h

h = 6.625 x 10-34 Js

Einstein (1905) interpretiert den photo-

elektrischen Effekt als Resultat diskreter

Energiepakete = Photonen.

Austrittsarbeit = Energie, um ein Elektron vom Körper ins Vakuum zu bringen.

Beziehung zwischen Energie, Wellenlänge und Frequenz:

Elektromagnetische Wellen können sich wie Teilchen verhalten 25.04.2017 Halbleiterphysik und Anwendungen – Teil 2: Einführung in die Quantenmechanik

(a) Photoelektrischer Effekt, (b) maximale kinetische

Energie als Funktion der Lichtfrequenz.

hchE

Max Karl Ernst Ludwig Planck Albert Einstein

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Der Welle-Teilchen-Dualismus: Louis de Broglie postuliert 1924, dass

sich Teilchen wie Wellen verhalten können. Da der Impuls eines Photons p=h/ ist, kann

die Wellenlänge eines Teilchens analog dazu als =h/p definiert werden.


Das elektromagnetische Frequenzspektrum

Louis-Victor de Broglie

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Clinton Davisson und Lester Germer (Bell Labs) beweisen 1927 die Wellennatur von

Elektronen.


Elektronen wurden senkrecht auf die Oberfläche

eines Nickel-Einkristalls geschossen und die

Intensität der reflektierten Strahlen als Funktion

des Streuwinkels gemessen.

Es ergaben sich ausgeprägte Maxima, besonders

für eine Beschleunigungsspannung von 54 V.

Röntgenstrahlen Elektronenstrahlen

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Die Unschärfe-Relation:

Nach dem Korpuskularmodell kann man den Zustand eines

Teilchens durch Angabe seines Ortsvektors und seines

Impulses eindeutig festlegen. Im mikroskopischen Bereich der

Elementarteilchenabmessungen schränkt die Heisenbergsche Unschärferelation dies ein.

Ihr zufolge sind gewisse Paare von Grössen, z.B Ort und Impuls oder Energie E und

Zeit t, nicht mehr gleichzeitig scharf messbar. Vielmehr gelten für das Produkt der

Ungenauigkeiten die Relationen

Umso genauer der Ort bei einer Messung bestimmt wird, desto ungenauer ist der Impuls

bekannt. Erfolgt bei einer Messung eine scharfe Ortsbestimmung, bleibt der Impuls völlig

unbekannt.


2

hpx x tE

r

r

p

p

Werner Heisenberg 1933

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Die Wellenfunktion:

Der quantenmechanische Zustand eines Teilchens wird durch die Schrödinger-

Gleichung beschrieben. Ihre Lösungen sind sogenannte Wellenfunktionen. Mit ihrer

Hilfe können alle messbaren Grössen eines Systems (Ort, Energie, Impuls, Drehimpuls,

…) berechnet werden.

Die Wellenfunktion y beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen

Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im

Ortsraum, ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine

Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Die quantenmechanische Wellenfunktion ist die – meist komplexe – Lösung einer

Wellengleichung, vor allem der besonders wichtigen Schrödingergleichung. Lösungen

dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen wie Elektronen im

Orbitalmodell oder freie Teilchen (z. B. als Wellenpaket) beschreiben. Bei

Teilchensystemen bezeichnet man eine solche Lösung auch als Vielteilchen-

Wellenfunktion.


Erwin Schrödinger, 1933

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2.2 Die Schrödinger-Gleichung

Die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems, z.B. eines Elektrons,

gehorcht der Gleichung

Hängt die potentielle Energie V nicht von der Zeit ab, liegt der stationäre Fall vor. Mit dem

Produktansatz wird die Gleichung dann separierbar

Ortsanteil: Zeitanteil:

stationäre Schrödinger-Gleichung


),( tr

tjtrV

m

),(

2

2

)()(),( trtr y

ErVm

)(2

2

y

yE

tj

1

0)(2

2

yy VEm

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Zur Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung werden gebraucht:

1. Der räumliche Verlauf von

2. Aussagen über die Grösse des Gebietes, in dem sich das Elektron bewegt

3. Werte an den Rändern dieses Gebietes (Randwerte)

Für den zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion ergibt sich die Lösung

Sie beschreibt einen zeitlich harmonischen Vorgang mit der (Kreis-)Frequenz


)(rV

)(t

t

Ejt

exp)(

Ef 2

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Das kräftefreie Elektron: Für V = 0 vereinfacht sich die stationäre Schrödinger-

Gleichung zu

oder

mit dem Quadrat der Wellenzahl bzw.

Die beiden linear unabhängigen Lösungen lauten


02

2

yE

m

02 yk

2

2222 2

mEkkkk zyx

m

kE

2

22

rkj expy

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Die Wellenfunktion des kräftefreien Elektrons ist eine ebene Welle

die sich in Richtung des Wellen- oder Ausbreitungsvektors mit der (Materie-)

Wellenlänge und der Frequenz ausbreitet.

Energie E und Wellenzahl k hängen quadratisch zusammen:

Das nennt man auch parabolische Dispersionsrelation.

Durch Vergleich mit der klassischen kinetischen Energie erkennt man

nochmal, dass in der Quantenmechanik der Zusammenhang

zwischen Impuls und Wellenzahl gilt.


k

trkjtr y

exp)()(

k/2

m

kE

2

22

mpE 2/2

kp

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Quantenmechanische Fragestellungen

1. Welche physikalische Bedeutung hat die Wellenfunktion?

2. Wie berechnet man bestimmte physikalische Grössen (Energie, Impuls,

Drehimpuls,…) mithilfe der Wellenfunktion?

Die Wellenfunktion ist komplex, sie selbst kann daher keine physikalische Grösse

repräsentieren. Jedoch, gemäss der “Kopenhagener Schule” (Niels Bohr, 1926) gilt:

1. Die “Aufenthaltswahrscheinlichkeit”, d.h. die Wahrscheinlichkeit ein Elektron

am Ort zur Zeit t anzutreffen, beträgt,

mit

2. Der Mittelwert der kinetischen Energie Ekin des Elektrons beträgt


trw ,

r

2* ,,,, trtrtrtrw

1* dV

dVmE

2

2*

Niels Henrik David Bohr

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Der Potentialtopf

für x ≤ 0, x ≥ a im Inneren

im Inneren

(die Elektronenwelle kann in eine unendlich

hohe Potentialwand nicht eindringen!)

Ausnutzung der beiden Randbedingungen

ergibt die Gleichungen

oder zusammen:


)(xV

0)( xV

jkxjkx BeAex )(y

0)()0( ayy

0BA 0 jkajka BeAe

0)sin( ka

Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden

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Potenzialtopf

ist die

Quantisierungsbedingung

für die Wellenzahl k. Nur

diskrete Werte

mit n = 1,2,…

erfüllen diese Bedingung.

Daher ist auch die Energie

quantisiert:


0)sin( ka

a

nkn

2

2

2222

22n

mam

kE nn

a) Die vier niedrigsten Energieniveaus, b) zugehörige Wellen-

funktionen, c) zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten.

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Potenzialtopf

Die Wellenfunktionen

sind stehende Wellen:

Wellenlänge:


x

a

n

axn

y sin

2)(

n

a

knn

22

a) Die vier niedrigsten Energieniveaus, b) zugehörige Wellen-

funktionen, c) zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten.

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2.3 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Die Potentialstufe


0

0

2

2

||2

2

)(VE

VE

eB

eAx

xjk

xjk

y

EVmk

0

2

2

Funktionsverlauf der Potentialstufe.

Die Quantenmechanik erlaubt eine endliche

Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens

im Bereich II, der bei Energien E < V0

klassisch verboten ist.

Einfallende Wellen mit E < V0 werden

vollständig reflektiert und dringen dabei

gleichzeitig in den Bereich II ein.

Einfallende Wellen mit E > V0 werden teilweise

reflektiert und teilweise über die Potentialstufe

hinweg in den Bereich II hinein transmittiert.

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2.3 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Die Potentialbarriere

Durchdringungswahrscheinlichkeit:


akT 22exp

Die Quantenmechanik erlaubt eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines

Teilches im (klassisch verbotenen) Bereich II. Einfallende Wellen werden teilweise

reflektiert, sie können aber den Bereich II durchdringen, und damit die Barriere

überwinden (Tunneleffekt).

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2.3 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung: Der Tunneleffekt

Tunneleffekt ist in der Physik eine veranschaulichende Bezeichnung dafür, dass ein

atomares Teilchen eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden

kann, wenn seine Energie geringer als die Höhe der Barriere ist. Nach den Vorstellungen

der klassischen Physik wäre dies unmöglich, nach der Quantenmechanik ist es möglich.


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Reflexion an und Durchtunneln einer Potentialbarriere

durch ein Elektron-Wellenpaket. Ein Teil des

Wellenpaketes geht durch die Barriere hindurch, was

nach der klassischen Physik nicht möglich wäre.

Ein Teilchen trifft von links kommend auf eine Potentialbarriere.

Die Energie des getunnelten Teilchens bleibt gleich, nur die

Amplitude der Wellenfunktion wird kleiner und somit die

Wahrscheinlichkeit, das Teilchen aufzufinden.

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2.4 Die Quantenmechanik von Atomen

Das Einelektronenatom (H-Atom)

Die Schrödingergleichung kann für das Wasserstoffatom exakt gelöst werden: Vier

Quantenzahlen beschreiben den Zustand eines Elektrons:

1. die Hauptquantenzahl n = 1,2,3,….

2. die Nebenquantenzahl l = n-1, n-2, … , 0

3. die magnetische Quantenzahl m = -l, -l+1, … , 0, … , +l

4. der Elektronenspin s = 1/2


2220

4

0

24 n

emEn

negative quantisierte

Energien => gebundene

Zustände Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit: a) im Grundzustand, b) im 1. angeregten Zustand.

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2.4 Die Quantenmechanik von Atomen

Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom:

Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung (eine partielle

Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der

elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert

werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden.

Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons

im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte über die

Hauptquantenzahl n als En zu bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E1, die weiteren

Anregungszustände sind E2 und E3.

Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit

(Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).

Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich

exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom

ist auch deshalb ein Standardverfahren der universitären Physik- und Chemieausbildung

und wird auch als Wasserstoffproblem bezeichnet.


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Das Periodensystem der Elemente


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