11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben 1 Grundlagen ...978-3-8348-8132-8/1.pdf · 553 11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben Die folgenden Lösungshinweise zu ausgewählten

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11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

Die folgenden Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben des Buches enthalten vor allem die Endergebnisse der Aufgaben und sind daher nur für eine erste Erfo lgskontrolle geeignet. Ausflihrliche Lösungshinweise zu allen im Buch aufgeführten Aufgaben und Problemstellungen (sowie eine Sammlung vonTestklausuren mit Lösungen) befinden sich im separaten" Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik", siehe Literaturverzeichnis [69b] .

1 Grundlagen und Hilfsmittel

1.1.11: i) A {A,E,I ,L ,M,N,R ,U} ii) B {2; 1; 0; -1 ; -2; ...} iii) C = { }

iv) D {- V2; V2} v) E {} vi) F = { } vii) G = {-2 ;3}

1.1.33: i) a) Aussageform (AF) b) AF c) Aussage (A) d) A e) AF t) AF

g) *= ist nicht definiert, d.h. es ist weder eine Aussage noch eine Au ssageform

h) A i) weder A noch AF

ii) a) L = {-7; 7} b) L = IR , AF ist allgemeingültig c) L = {O} d) L = {- 1; - 2}

e) L = { } , AF ist unerfüllbar t) L = IR , AF ist allgemeingültig

g) L= {2} h) L= {x E IR lx >6 v x< -6 } i)L= {u E IR l u >-9 I\ u <9}

1.1.43: Die logischen Gesetze 1a) bis 8b) sind allgemeingültig, denn zu jeder möglichen Wahrheitswert-Kombination der Teilaussagen A, B, C ergeben sich identische Wahrheitswerte (eingerahmt) der beiden (sich dadurch als äquivalent erweisenden) zusammengesetzten Aussagen:

2a)

2b)

A B C B I\C A v (B 1\ C) A v B A vC (A v B) 1\ (A v C)

- -w w w w w w w ww w f f w w w ww f w f w w w ww f f f w w w wf w w w w w w wf w f f f w f ff f w f f f w ff f f f f f f f

- ~

A B C B v C A 1\ (B v C) AI\ B AI\C (A 1\ B) v (A 1\ C)- -

w w w w w w w ww w f w w w f ww f w w w f w ww f f f f f f ff w w w f f f ff w f w f f f ff f w w f f f ff f f f f f f f

'------- -

3a/b) Ist A wahr, so auch A 1\ Asowie A v A (nach Def inition von 1\ bzw. v);Ist A falsch, so auch A 1\ A sowie A v A (nach Def inition von 1\ bzw. v) .

J. Tietze, Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8348-8132-8,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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5) A -,A Av-,A

Im7) A -,A -,(-,A)

htrw f [;] w f ITJf w f w

1.1.44: i) Alois liebt Ulla und liebt Petra nicht. ii) BWL bestanden, VWL u. Mathe nicht bestanden.

iii) wahr v) wahrix) wahr

1.1.52: i) wahr iii) wahr v) wahr vii) wahr

1.1.55: i) LI = {7}c{-7; 7} = ~:falsch (~)

vii) LI =IR\{O}nIR+ =~:falsch (5)

ix)falsch xi) falsch

1.1.62: i) a) lNcZclQcIR b) AcB (A=FB!)

ii) a) { }, {x}, {y}, {z}, {x;y}, {x;z}, {y;z}, {x;y;z} c) { },{I}, {{2;3}}, {1;{2;3}}

1.1.79: Die Gesetze 1)-10) der Mengenalgebra sind allgemeingültig,erkennbar an den jeweilsgleichgetönten"Ergebnis «:Mengen für die linke und rechte Seite des jeweiligenMengen-Gesetzes:

1)

3)

Au Mt

lAU (Bn C) =

Au (Bu C)

=

{Au B)u C

- AUB=:Mz

C

(A u B) n (A u C)


5)

l A U fA n B} = A I

555

7)

I {A 'B}n B = { } I

9)

I AlfBnC} = fA , B} U fA 'C} I

1.1.80: l)Au(BuC) = {1; 2; ...; 13} 3)Au(BnC)= {1; 2; ... ;1O} 5) Au(AnB) = {1;2; ... ;10}=A

7)(A\B)nB = { } 9)A\(BnC) = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 1O}

1.1.81: i) DG = IR\{O} iii) DG = IRt

1.1.90: i)

iü)

v)

A X B = {(an), (am), (en), (ern), (in), (im)}

A2 = {(aa), (ae), (ai), (ea), (ee), (ei), (ia), (ie), (ii)}

BxAxB = {(nan),(man),(nen),(rnen),(nin),(min),(nam),(rnam),(nern),(rnern),(nim),(mim)}

556 11 Lösungshinweisezu ausgewähltenAufgaben

vii) A x B x B x A = (A x B) x (B x A) =

{(arma),(amna), (arme),(anme), (anni), (anmi), (amna), (amma), (amne),(amme), (amni), (ammi), (enna), (enma), (enne), (enme), (enni), (enmi),(emna), (emma), (emne), (emme), (emni), (emmi),(inna), (inma), (inne),(inme), (inni), (inmi), (imna), (imma), (imne), (imme), (imni), (immi)} .

1.1.91: ö a) A x (B n C) = {(x,y) IxeA /\ ye(BnC)} = {(x,y) /xeA /\ (yeB /\ yeC)}= {(x,y) I(xeA /\ yeB) /\ (xeA /\ ye C)}= (A x B) n (A xC).

c) Man beweist dieses Gesetz am besten "von rechts nach links":

(AXB)\(AXC) = {(x,y) (x,y)e(AxB) /\ -.«x,y)e(AxC»}= {(x,y) (xeA /\ yeB) /\ -.(xeA/\ye C)}= {(x,y) (xeA /\ yeB) /\ (-.(xeA)v-.(ye C»} (deMorgan)= {(x,y) «xeA /\ yeB)/\-.(xeA» v «xeA/\yeB)/\-.(ye C»}= {(x,y) (xeA /\ yeB/\-.(xeA» v (xeA/\yeB/\-.(ye C»}

1.2.20: i)

ix)

xvü)

immerfalsch

= {(x,y) I(xeA /\ (yeB /\ -.(ye C»} = A x (B\ C) .

240 a3b4x2 ili) 6ax2y2 v) a + b - c vii) x (Ba + 33b - 53c)

b-a = (-I)(a-b) = -1 xi) (m+o)x xiü) ay-bx xv) a-b+ca-b a-b m(x+y) ay+bx

(2x-3y)(2x+3y)

16x2 +SIr

20

1.2.30: i) 2 I XiYii=1

1.2.31: i) 1,43

100

ö) I~k=1

ö) 52

9 9

iü) I(2n)2 = 4I n2

n=2 n=2

iü) 60 iv) 90n

v) Mit S bezeichnen wir die gesuchte Summe Li = 1+2+3+ ...+n .

i =1

Nun schreiben wir diese Summe S auf zweierleiWeise:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + nS = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1

(normale Reihenfolge)(umgekehrte Reihenfolge)

Die Summe von je zwei untereinander stehenden Zahlen beträgt stets n+1, insgesamt gibt es n dieser Paare. Addition der beiden Gleichungen liefert daher:

n

2S = n'(n+1) und somit: S = Li = 0(0;1) .

i=1o 0

vii) Zur Ermittlung von Li2 benötigen wir das Ergebnis von v): Li = 0(0; 1)

i=1 i=1Zunächst erhält man durch Ausmultiplizieren (binomische Formel) die allgemeingültige Relation. Ik-e l jf = k3+3k2+3k+1 ~(k+1)Lk3 = 3k2+3k+1.

Wir schreiben für k = 1,2,3,... die ersten n dieser Gleichungen untereinanderund addieren danach alle Zeilen spaltenweise:

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben 557

n3 - (n-1?(n+1)3 - n3

3.12 + 3·1 + 1 (k = 1)3.22 + 3 ·2 + 1 (k = 2)3 .3 2 + 3 ·3 + 1 (k = 3)

3 ·(n-1)Z +3 ·(n-1) + 1 (k = n-1)3 ·n2 + 3 'n + 1 (k = n) .

Bei Addition allerZeilen hebt sichaufder linken Seitefast alles weg.

(n+1)3 - 1

Diese Summe istbekannt, siehe v):

n(n+l)

2

Diese Summe istgesucht!

Wir nennen sie S .

Somit folgt aus der letzten Gleichung:

3 n(n+ 1) 3 n(n+ 1)3 ·S = (n+1) - 1 - 3·-- -n = (n+1) - 3·-- - (n+1)

2 2

12' (n+1) ·n ·(2n+ 1)

n

d.h, S = 2>2i= 1

= n(2n +l)

12 +22 + 32 + ... + n2 = t n .(n+1) ' (2n+1) .

n-I

ix) Es handelt sich bei L xi =:Lxi um die Summe Sn der "endlichen geometrischen Reihe":i=O

Sn = 1+x+x2+x3+ ...+xn-3+xn-2+xn-I. Multiplikationmit x liefert:

x -S, = x+x 2+x3+x4 + ... +xn-2+xn-I+xn

Subtrahiert man jetzt diese beiden Gleichungen, so heben sich sämtliche Potenzen wegbis aufdie" 1" in der ersten Gleichung und "x n" in der zweiten Gleichung:

I-xn

I-xund daher:

n-I1- xn xn-I

"'\"'xi = l+x +x2+x3+ ... +xn-3+xn-2+xn-I = -- = -- , (x=l=1).L l r x x-I~O n-I

Für den Sonderfall x = 1 folgt unmittelbar: L xi = 1+1+1+...+1 = n -1 = n .

i=O

1.2.35: i) 3.628 .800 üi) Der 2. Faktor wird Null und somit das gesamte Produkt.

1.2.43:

1.2.64:

i) 20; 576 ; 4200

558

1.2.65: i) L = {4} iii) L = { }


v) L = {-1 ,4788; 1,4788}

1.2.91: l)i) Ig 2+ 19x+O,25(2Ig x+ Igy) iii) InS + 2 · In x + 0,25 · In p + 0,5 ·In q -In a - 0,5 -ln b

2)i) a) 31000 = (101g 3)1000 ~ 10477,12 , d.h.478 Dezimalstellen

ii) 2500 = (101g 2)500 "'" 100,515 ' 10150 "'" 3,27.10150

3)i) e2,8332 iii) eO,6931 x v) eln(x+1 )/12 vii) e

4)i) 1,5 iii) -19,7881

i)R Kqi R(q-1) R(q-1)

1.2.130: q = R-Ki , R=- K=--.-, i=--q-l ' qi Kq

iii) x = 1,8 v) b =2F-ay

y

1.2.140: i)

v)

(x; y) = (10; 7) iii) (x; y; z) = (4; -1 ; - 3)21 6 110

(a; b; c) = (13 ;13 ;U) ~ (1,6154; 0,4615; 8,4615)

1.2.141: Bezeichnet man die (konstante) Zulaufgeschwindigkeit einer Pumpe mit x (in Volumeneinheiten (VE) pro Stunde (h)), die Abflussgeschwindigkeit des Wassers in den Produktionsprozess mit y (in VE/h) und nimmt man an, dass die Kapazität des Behälters 100 VE beträgt,so müssen die folgenden beiden Gleichungen gelten:

x - y = -10 und 4x - 2y = 40. Lösung: x = 30 VE/h ; y = 40 VE/h

i) 80 VE leeren sich ohne Zufluss in 2 h.

1.2.152: i)

vii)

L = {-4 ,5311; 3,5311}

L = {1,2; 1,3}iii)

ix)

L = {5; 8} v) L = {0,7; 1}

L = {0,25' (k±Vk2+8k+24 ) }

ii) a) (x-3)(x+7) = x2+4x-21 = °iii) i = 10,45% p.a.

1.2.153: i) 5 1~x = -- ± - 25- 3e3 3 '

d.h. es gibt zwei Lösungen wenn die Diskriminantepositiv ist, d.h. für 25 - 3c > ° bzw. c < 2;

c) (x+4)2 = x2 + 8x + 16 = ° e) x2 = °iv) ieff = 12,50% p.a.

1.2.166: i) L = {-2; -1,1892; 1,1892; 2} iii) L = {-0,3535; -0,2520; 2,2520; 2,3535}

v) L = {-4; O} vii) L = {-V7; -1 ; 1; l!7} ix) L = {-2,009489; 0,009489}

1.2.167: i) i = 13,85% p.a. ii) ieff = 20,00% p.a.

1.2.169: i) DO= {XEIR Ix ~ -0,25};L = {2} iii) DO = {XEIR Ix ~ -0,5} ; L = {4}

v) DO = IRt ; L = {4} vii) DO= {XEIR 1-4 ::; x ::; 4}; L = {2(2}

ix) DO = {XEIR Ix ~ 0,25} ; x(r) = 0,0625r2 + 0,25

1.2.176: i) DO = IR ; L = {2,1972} iii) DO = IR; L = {4,2897} v) DO = IR ; L = {-5,7762}

vii) DO = IR ; L = {11,5267} ix) DO = IR+;L = {0,9330} xi) DO = IR; L = {-2 ,5277 ;2,5277


1.2.179: i) DG = IR\{-l; -3} ; L= {1} iii) DG = IR\{-l; 1; 4} ; L = {-23/13; O}

I -5 2y-7v) DG= {xeIR 2 ~x>4};L= {-0,5;1} vii)DG=IR\{2/5}; x = 5y-4

V200km d dx - b dx - bix) DG = IR\ {O} ; x = ± -- xi) DG = IR\ {--} ; y = -- = ---

sp c -cx+a cx- a

1.2.185: i) Du=IR;L= {xeIRlx~ I;} iii) Du=IR+;L= {xeIR+ IX>1O-2}

v) Du = IR; L = {xeIR Ix s -1,8443 v x~1O,8443} vii) Du = IR; L = {xeIR Ix >-9,9658}

1.2.6.1: 1)

3)

5)

7)

Verletzung der Reihenfolgekonvention (siehe z.B. Lehrbuch 1.2.8)

Verletzung der Konvention 1.2.8; richtig: i) 36 ii) 46

. . . R R .. R R1) Richtig: - - q + - ii) - q - -. 2 2 2 2

i) 5a3 = 5(a3) iii) wie i) v) richtig: -(a2+2ab+ b2) = -aL2ab - b2

vii) richtig: 50 = 1 ix) richtig: 1/3 xi) richtig: 1/3 xiii) richtig: 216 = 65.536

8) i)

iii)vii)

9) i)iii)vii)

a) richtig: 19(900 ' 100) = lg 90000 ~ 4,9542 b) Ergebnis ~ 5,9085

Funktionssyrnbol "gekürzt" (7) iv/v) In 0 bzw.In (-4) sind nicht definiertrichtig: 192x = x ' lg 2.

richtig: (a-b)4 = aL4a3b + 6a2bL4ab3 + b4

richtig: l/u + 1/v = (v+u)/uv v) falsch, keineVereinfachungmöglicheY+eX lässt sich nicht weiter vereinfachen

b) x< 0: ~ x< 0,5

10)

11)

13)

1.2.6.2: 1)

5)

10)

11)

13)

15)

1.2.6.3: 1)

3)

Es gilt stets : ln(a+b) =l=lna + lnb , d.h. i/ii/iii): jeweils linke Seite nicht zu vereinfachen

i) v=I6 in IR nicht definiert iii) Schönes Beispiel dafür, was passieren kann,wenn man die Potenzgesetze auf Potenzenmit negativer Basis anwendet.

Jeder Versuch, eine Division durch Null zu definieren, führt zu Widersprüchen.Daher sind (bisaufiv)) sämtliche Terme auf der linken Seite nicht definiert.

richtig: 120=100+p ~ p=20 3) Richtig: x2 = 0 v x-l = 0 ~ L = {0;1}

L = {1} 7) L = {} 9) Kehrwert einer Summe =1= Summe der Kehrwerte

i) ln(a+b) =1= lna + Inb! Richtig: Man substituiert eX = : Z ~ e2x = z2

~ z2 + z -6 = 0 ~ zl = 2 = eX ~ Xl = In 2 (keine weitere Lösung).

i) Richtig: In(5eX) = In26 ~ In5 + IneX = In26 ~ x = In26 -ln5 = In(26/5) ~ 1,6487.iii) mehrere Fehlere richtiges Endresultat: a)ln(5eX) =1= (ln 5)'x b) In26/1n5 =1= In(26/5)

3x+2 = 4x+2 <==:> 3 = 4 v x+2 = 0, d.h. x = -2, d.h, die 2. Lösung ist korrekt.

Divisiondurch a-a (= 07)' 17) Quadratvon x+2 ist x2+4x+4 (undnicht x2+4)!

Richtig: x > -3 .

Richtig: Fallunterscheidung (x=1=0):a) x > 0: ~ x> 0,5 oder

x>0,5 v x<O


2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

2.1.20: Funktionsgraphen sind ii) und vi), keine Funktionsgraphen sind i), iii) und iv). Ob v) einenFunktionsgraphen darstellt, hängt davon ab, wieDj lautet : für (z.B.) Df = IRist v) kein Funktionsgraph. Besteht Df dagegen aus den x-Koordinaten der isolierten Punkte, handelt es sich umeinen Funktionsgraphen .

2.1.22: i) a)und c) sind Funktionen, b)nicht.

a) Df=IRx -3 -2 -V2 -I 0 I V2 2 3

ii)fex) 712 I 0 -112 - I -112 0 I 7/2

(h)c )

0,1

o10

c) Dh = IR\{-7; 7}

(x )

x 0 ±3 ± 6 ±6,9 ±6,99 ±7,01 ± 7,1 ±S

hex) -0,020 -0,025 -0,077 -0,71 -7,1 7,1 0,71 0,0003

iii) PI' P2 und P3 gehören zur Funktion k; P5 und P6 gehören zur Funktion f;P4, P7 und Ps gehören zu keiner der Funktionen aus Aufgabe ii).

2.1.23: i) Df=IR ,Dg=IR\ ]-4;4 [ (durch Lösungder Ungleichung t2 - 16 ~ 0)

2.1.24: A~5; B~4 ; C~lO; D~2; E ~7; F~9; G~8; H~1; I ~ ? ; ? ~ 3 ; ?~6

2.1.30: i)iii)v)

vii)

2.1.51: i)

ii)

S = (883,74 ' 0,0006 + 1500) ·0,0006 = 0,90, d.h. gerundet: S = °€S = (883,74' 0,5075 + 1500)· 0,5075 = 988,86, d.h. gerundet: S = 988 €S = (228,74' 0,0002 + 2397) '0,0002 + 989 = 989,48, d.h. gerundet: S = 989 €S = (228,74 ' 3,7261 + 2397)' 3,7261 + 989 = 13 096,25, gerundet: S = 13 096 €

Zu Abb. iii) und - bei entsprechend "punktweise" gewählten Definitions- und Wertemengen - zu Abb. v) existiert eine Umkehrfunktion .

3a) Df= IR; f-I(y) = x(y) = VY+1 (Funktion) ; D[, l = IR

± Vh2+Sh+24 + hc) Dh = IR\{-1}; v(h) = (v ist keine Funktion); Dv = IR

4

Ie) Df = IR\{O} ; x(y) = ± vy ; Dx=IR+ (x ist keine Funktion)


iii) a) D( = lR

b) O,25x2 = 1- 2 <=} x2 = 41 - 8 <=}

x = V4t=8 v x = - V4t=8d.h. die Umkehrung ist nicht eindeutig,somit existiert keine (eindeutige)Umkehrfunktion, sondern eine(zweideutige) Umkehrrelation .

c) 41-8 ~ ° ~ 1 ~ 2 d.h.

n, = {t E lR I t ~ 2}

ix!

i)

40

40

i) a) Aus 3r-120 ~ 0 ~

n, = {rElRlr ~ 40} = [40; oo[

b) r = _1_ x 2 + 40108

c) Dr = lR

(r,! (x)

2.1.54:

5-3y 5-2x2.1.58: i) x = -2- ; y = 3

iii) P = (xL 36)2 ; x = V~VP=p=--+-36- , P ~ 0 .

I 1 12.1.67: i) f(g(x» = - ; D = IR+ iii) g(h(x» = -- ; D = lR\ {-9;1} v) k(f(g(x») = -- ; D = Ry;- x2+8x-9 VX152.1.68: ii) h(x) = g(f(x» mit g(x) = 5x2009 und f(x) = 6x3 - 8x2 + x - 4

7

2.1.69: f(g(x» = g(f(x» = x 140; f(h(x» = h(f(x» = x; g(h(x» = h(g(x» = VXZO; k(p(x» = P(k(x» = - 98x

{

150 + 0,7x für O::;x::; 200KB(x) = 190 + 0,5x für 200 < x ::; 500

240 + O,4x für 500 < x

2.2.30:

2.3.8:

2.3.9:

2.3.41:

2.3.42:

2.3.43:

i) Df = IR\{O}; fhatkeineNullstellen iii) DIl= {a s R Ia~2 v a::;-2};Nullstellen:-2; 2

v) Du = IR\{-3}; nur 3 ist Nullstelle. vii) Df = IR; Nullstellen: -2 und 2

i) Polynom 1. Grades iii) Polynom O. Grades v) Polynom 5. Grades

i) f(-l) = 14 ; f(0,5) = 11,375; f(2) = 56 iii) f(-l) = -3,4 ; f(0,5) = 2,73 ; f(2) = 11

14 2 4-a aL4i) a) y = -3x + 3 b) Y = -x + - c) Y = -x + -- , a=l=1.

3 3 a-I a-I

i) Kr = 30 + 0,25x Ku = 12 + 0,40x ; (x in kWh, Kr bzw. K II in €)

ii) Gleiche Kosten (60€) für 120 kWh; falls mehr als 120 kWh: Tar if I günstiger als Tarif Ir.

i) [ 100 + x für 0 ::; x ::; 100K ( ) = 120 + 0,8x für 100 <x ::; 200

A x 160 + 0,6x für 200 <x::; 400200 + 0,5x für 400 < x

ii) Bis zu 300 km ist Tarif A am günstigsten, bei mehr als 300 km sollte man Tarif B wählen,weil die Steigung von KB stets kleiner oder gleich der Steigung von KA bleibt.

2.3.45: Gesamtkostenfunktionen KN bzw. KD (€/Jahr) bei Jahresfahrleistungx (km/Jahr) :

KN(x) = 0,2192x + 3780 bzw. KD (x) = 0,1928x + 4188

KN = KD für Xo = 15.454,55 km/J ., für x >xo ist Typ 2,3 D günstiger.


2.3.47: Umkehrfunktionen: xI(P)=6 - Paggregierte Nacbfragefunktion:

{14 - 3P

xa(p) = xI(P) + xn(p) = 6-p

(p:56)

(0:5p:54)

(4<p:56)

xn(P) = 8 - 2p (p:54)

16 x (0:5x:52)

bzw. pa(x) = ~ ., 1.. x (2<x:514)3 3

Kostenfunktion K(x):

{

50x + 10.000 für OSxs 800

K(x) = 25x + 30.000 f 800<x S2400

150x - 270.000 f. x >2400

2.3.48:

~ Gewinnzone: Fall A: 200 < x < 3000

Erlösfunktionen EA(x), EB(x)

!100x für 0S xS 1000EA(x) = 80x für 1000<xs 2000

60x für x >2000

!100x f. 0 sxs 1000EB(x) = 80x+20.000 f. 1000<xS2000

60x+60.000 f. x >2000

Fall B: 200 < x < 3666,67 (ME).

2.3.59: i)

ö)

a) Nullstellen: -1,815 und 8,815

3 1a) f(x) = - x2 - -x + 3

8 4

c) Die Funktion besitzt keine Nullstellen

2.3.60:

2.3.61:

ö)

i) a)

b)

Gleichgewichtsmenge: 4 ME; Gleichgewichtspreis: 10 GE/ME;

E(x) = x· p(x) = 1200x - 0,2x2 x > 0E(p) = x(p) 'P = 6000p-5p2 p> 0 .

Umsatz: 40GE.

2.3.73: i) Xl = 2; x2 = - V2; x3 = V2 ili) Xl = 1; x2 = 0,6180; x3 = -1,6180

2.3.74: i) Xl=1 (geraten) ~ x3+9x-l0 = (x-IXx2+x+1O) = 0 ~ L = { 1 }

ili) a1=2 (geraten) ~ 3aL2aL23a+30 = (-2X3a2+4a-15) = 0 ~ L = {2; -3; 5/3 }

v) zl =5 (geraten) ~ zL3zL5z-25 = (z-5Xz2+2z+5) = 0 ~ L = {5 }

2.3.79: ö) variable Kosten: Ky(x) = 0,07xL2x2 + 60x ; Fixkosten: Kr(x) = 267 (=const.)durchschnittl. variable Kosten: ky(x) = 0,07x2 - 2x + 60, x> 0 (stuckvariable Kosten)

. . U7durchschnittl. fixe Kosten: kr(x) = -, x> 0 (stückfixe Kosten)

x 267durchschnittl. gesamte Kosten: k(x) = 0,07x2 - 2x + 60 + -x- , x > 0 (Stückkosten}

2.3.92: i) D = lR; x = ± vy-1 ili) D = {XElR 1-1 :5x:5l} ; x = ± VJ"=Y4v) D = {XElR Ix+8 ~O /\ xLI6=1=O} = {XElR Ix~-8 /\ x=l=4 /\ x=l=-4 }

2.3.93: i) Mathematischer Definitionsbereich: 4r-l00 ~ 0 d.h. r ~ 25 ;Ökonomischer Definitionsbereich: r ~ 25 /\ x ~ 0, d.h. V4r - 100 - 10 ~ 0

~ 4r - 100 ~ 102 ~ r ~ 50 MEr ili) K(x) = 2x2 + 40x + 400

2.3.100: i) Df = lR ; Nullstelle: 1~3 ili) Dh = lR; Nullstelle: 0 v) Dp = lR\{-3};keineNullstelle.

2.3.104: Definititonsbereich Nullstellen Umkehrfunktion /-relation

i) Df = lR 0 x = ±Ve2f - 111"5-1

ili) Dte = R, _Y-;)2-' ("" 0,6180) x = +Vek+0,25 - 0,5

2.3.133: i) x(600) = 1,0472 = n/3; x(-300) = -{),5236 = -n/6; x(36.0000) = -628,3185 = -200n

ö) cp(0,5) = 28,6479°; cp(90) = 5.156,6202°; cp(nI6) = 30° ; cp(20n) = 3.600°

ili) a) s = r- x = r : ...!!..- . tri = 4 .~. 33° = 2 30383. 1800 r 1800 ,


Jl+32.1.134: i) sin 0,5 "'='0 ,4794; tan 1 "'=' 1,5574; tan7Jl/2; nicht definiert; sin-2- "'='0, 0707; sin 1000 "'='0 ,8269

cosx

2.3.135:

ii) sin x = -1 :::} x = 1,5 Jl ~ 2700 sin 2x = 0,5 :::} x = 0,2618 ~ 15°

cos(- x+ l ) = 0,35 :::} - x+l = 1,2132 :::} x = -0,2132 ~ - 12,2169°

sin x I cos2x - I 1- sin2x - 1 - sin2x

i) cos x . tan x = cos x .-- = sin x iii) 1 - -- = = ---- - -cos X cos-x cos-x cos2x - cos-x

sin2x cos-xv) tan x . sin x + COS x = cos x + cos x

2.4.10: Regula falsi: i) x = -0,8087 iii) x=0,1208 v) Ci = 1,2329

2.4.11: Gewinnschwellen (Rcgula falsi): 1,3971 [ME] und 8,4268 [ME].

2.5.55: i) a) 30 ME c) 0,01x2 + 10x = 416 :::} Xl = 40 ME (x2 < 0, öko n. irrelevant)

iii) Y = 5.000 GE v) Xl = 40 ME , x2 = 80 ME vii) a) Xl = 0,6938 ME, x2 = 114,844 ME

2.5.56: Gewinnfunktion G: G(x) = -x2 + 96x-704 ; Gewinnschwellen: 8 ME und 88 ME.

2.5.57: i) K(x) = x2 + 200 [€] iii) Gewinnschwellen: x = 10 MEx und x = 20 MEx

2.5.58: i) nach 15 Jahren ii) nach 2,25 Jahren Wertverlust von 60%.

iii) Y = 2.250 GE

21,608 ME< x < 408,123 ME2.5.59:

2.5.61:

2.5.62:

i) Kf '= K(O) = 600 GE iii) Gewinnzone

()90.000

Preis-Absatz-Funktion: x p = - -p+lO

i) Sparfunktion S: S(Y) = 0,4Y - 900

v)

900

Y (YI

DurchschnittlicheKonsumquote

C(Y)-- = tan a

Y

Fahrstrahlsteigung.

Wegentan a l > tan a 2 >nimmt dieFahrstrahlsteigungmit steigendemEinkommen ab.

2.5.63: i) math . Def.bereich: Y ~ - 180; ökon. Def.bereich: Y ~ 0 iii) Y > 1.440 € /M.15

2.5.64: i) ökon. Def.bereich: DB = IR+ iii) 10 = 35 . e Y <=} Y = 11,97, d.h. 1.197 € /Monat

2.5.65: i) E(60) = 115,56 GE ii) Der Preis p(x) ist positiv für alle Mengen x mit 0< x< 65,45 ME .

2.5.66: i) Y = e5,8-80 = 250,30 € /Monat ii) Y = 823,33 € /M. iii) Y = 1.364,92 € /M .

2.5.67: i) G(t) = 1.000.000 ' (l-e-o,lt) - 20.000t - 10.000 , t ~ 0 iii) G(O) = 0 GE

v) G(t) = 0 <=} t = 49,13 , d.h. ab Laufzeit 50 Tage: Kumulierter Gewinn (erstmalig) negativ .

2.5.68: 900 = 1,2 ' yO,5 + 420 :::} Y = 160.000 Mio € /J . = 160 Mrd € /J ahr

2.5.69: 200· c- O,2x = 12 + 0,5x :::} x = 12,0349 ME ; P = 18,017 GE /ME

2.5.70: G(p) = - 20p2 + 5.570p - 324.760

564

2.5.71:50.000

2.000 =-250i + 1


i = 0,0960 = 9,60 % p.a .

2.5.73: i) G(w) = 41.000 - 9.200 · e- 0,001w- w ii) G(500) = 34.919,92 GE

2.5.74: i) K(m) = 20E = 0,lm2+3 .200 iii) G(E) = 32.000 ' V0,5E - 80 - 820E + 128.000

{ -0,5x + 50 fur OS: x S:lO(p: Preis (GEIME)

2.5. 75: i) p(x) = -2x + 65 fur 1O <x S:20 x: nachgefragte Menge (ME))-0,5x + 35 fur 20<x S: 70

E(') = {

-0,5x2 + 50x fur OS:xS: 10(E: ErLös (GE),

ii) -2x2 + 65x für lO<xs20 x: nachgefragte Menge (ME)) .- 0,5x2 + 35x für 20<xs 70

iii) b) In jedem der drei Abschnitte ermittelt man die Schnittpunkte Xi zwischen E und KundstelIt durch Eins etzen von Zwischenwerten fest, in welchem Bereich E > K (d.h. G>O) ist :Daraus folgt: Die Gewinnzone umfasst alIe Outputwerte mit 6,83 ME< x< 36,18 ME.

2.5.77: i)

2.5 .78: i)

2.5. 79:

2.5.80: i)

Inflationsrate p* = 6,67 % ii) Arbeitslosenquote A = 12%32

x2 = f(xI> = -----0625 ii) zusätzlich noch 6,4304 ME des 1. Gutes erforderlichXl '

Ln 2t = -- = 34657 Ja hre.

0,02 '

is = 0,043322 = 4,3322% p.a. (stetig) iii) t = 106,04 (seit2004), d.h. etwa im Jahr 2110 .

3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

3.2.29: i)

ii)

1für X = 2: r2 =

q

K(x) = 2x2 + 80

4 9für X = 4: r2= -; für X = 6: r2= -

q q

iii) Einsparung: 1,4851 ME2 des zweiten Faktors

3.3.8: i) f ist homogen vom Grad 3,5 iii) f ist nicht homogen.

3.3.9: Ein Lösungsbeispiel ist : f(r1,r2,r3,f4) = 4r1f4 Vr2r3

3.3.10: Nu tzenanstieg auf das 2l,5-fache ("'" 2,8284-fache) des Ausgangsniveaus

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

4.1.36: Iim f(x) = 3 +; Iim f(x) = 5-; Iim f(x) = - 00 ; Iim f(x) = 2-; Iim f(x) = - 2 +x--= x- -3 + x- - 1+ x-O- X r-e- c-o

4.3.11: i) c-o iii) 0 v) 3x2 vii) 0 viii) 5 . (JnO,5? "'" 2,4023 ix) x--2+: + c-c ; x--2-: - =

4.3 .12: i) \im f(x) = 0 ; Iim f(x) = 7,1 ; Iim f(x) = 71 /11 = 6,45 ; \im f(x) = 71/11 = 6,45x~o+ x ...... 0- x ...... 00 x ...... -oo

4.3. 13: i) x(p) = 2 + 100 · e-P/IO => \imx(p) = 2

P- =

4.7.11: i) a) D = 1R\{1; 2} b) NulIst elIe: 0 (1 El:D) c) Polefür X = 1 und x = 2


iü) a) D = IR b) Nullstelle: 2 c) einseitiger Polfür y = 2 (linksgegen 0, rechts gegen 00)

v) a) D = IR b) h = - 2x ist Nullstelle c) f ist überall stetig

vii) a) D = IR b) Nullstelle: 0 c) g ist überall stetig

ix) a) D = IR\ {6} b) f besitzt keine Nullstellen c) in x = 2 ist f stetig;in x = 3: Sprung; in x = 4: Lücke; in x = 6: Pol mit Zeichenwechsel

xL3x-lliv) f(x) = 3 + 'l

3x-'+x+4

4.8.12: i)1

f(x) = 1-x+l

d.h. A(x) = 1

d.h, A(x) = 3

u

~~ .tx)

J IIf) iv)

A=y

vi) · lim f(x) = 0x_co (tl

d.h. A(x) = 0 für x- 00

limf(x) = 5/4x-..-oo

d.h, A(x) = i fürx-- oo

A = 1,25

vi)

(xl

vii) lim f(x) = 1 , d.h.x_co

A(x) = 1 für x- 00

lim f(x) = - 5 , d.h,x...... -oo

A(x) = -5 fürx-- oo

viiI

A =-5

A=1(x)

4.8.13: i) f(x) = -2,5 +~ iü) f() 0 5 31 O,5x2+3x+1

x= ,x+ +"X= x (Beispiele)

4.8.15: a) ilü) C(Y) = 8 - _4_ - 8Y+l

(CI

4

{ .5öltigungswert'JA=88r----:=::::::::::=========für Y - 00, d.h. die

Asymptote A(Y) = 8ist zugleich Sättigungs

grenze für den Konsum.

(YI

566 11 Lösungshinweisezu ausgewählten Aufgaben

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einerunabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik

5.1.22: b) i) I'(I) = -3 ili) f /(l) = 0,5 v) f'(1) = 0,4

c) i) Y= -7x + 8 ili) Y= I~ x+ li-:- "" 0,35x + 0,71 v) Y= 3,2x-4,82y 2 y 2

d) Horizontale Tangenten liegen bei: i) Xo = 0,25 ili) nirgends v) Xo = °5.1.28: i) f ist in Xo = 2 stetig, aber nicht differenzierbar (Sprung- Ecke)

ili) f ist an der Stelle Xo = 3 unstetig und somit auch nicht differenzierbar

I w" ') 1~ - 23 _k5.2.21: i) f '(t) = - t2 g'(z) = 1,5 0v z v) h'(p) = 17 vii) f' (k) = e-

- V2 I 17 VP40ix) t '(n) = 3 xi) t'(z) = ~ xiü) u'(v) = .2.3nV v

(2Inb) (4b + eb)

(2b2+eb)2

v)iii) f'(y) = 6x3 VY-4355,2.38: i) f'(z) = ---=7--

7 VZ22") ' ( ) U + (2u - u2) Inu

VII p U = eUix) b'(x) = cl' + ~ xi) t'(b) = 2

" b(2b2+eb)

5.2.39: i) aIb) f ist stetig in IR; f ist an der Stellexo=2 nicht differenzierbar (Ecke)

ili) aIb) fist stetig in IR, f(l)=O; fist in IRdifferenzierbar, f' (1) = 1

5.2.40: i) Tangentengleichung: y = 0,04x + 0,12 ü) Steigungsmaß: e- I ("" 0,3679 )

5.2.53: i) f '(x) = 32 (4x7 - 3x5)63 0(28x6 -15x4) ili) k'(z) = 5z4 (In (1 - z5) - ~)l- z5

v) k'(t) = _5_ vii) C'(I) = ( 3 2 - 2I oV""2I) e- 12ix) Q/(S) = 2s

3

4- ~2

t -Int 1~ I+s 6+s3 0 y (21) 2

( x-I a)XI' ) ' ( ) (I (X a» x-1 xa -e x2+1

p a = x o n a -e 0 oeaX-ea

h'(z)= 2In z oz-l o(lnz)9 (ln z -In z +10)

vii) p'(v) = 2v lnv 0(I~V )

xi) f'(x) __I (~_ 4X3

)- In7 x2+4 x4+2

L '(b) =xiii)

5.2.67: i) f'(x) = (3+x In3)ox2 03X iii)

v) k'(t) = tYt o(2Jt In t + lt)

ix) Q'(s) = s(SS)ss( (Ins+1)lns + -;-)

In(lnb) o2b In(b2+1)

b2+ I b olnb

(ln(lnb))2

7 22i) I'( ) V2x2+ I + (x4 + x2) (4X 44(2x2+I) 3x5 )5.2.72: I x = -- + + 1 - --

e- x 0VI+x6 7(2x2+1) x3+x I+x6

ili) p'(t) = (1-t2)I+t202t (In (l-t2) - l+t2)

v) k'(v) = e7V(lnv):J: (7 __2_ + 2In(ln V))l-t2 v21nv v2


4Y( I+Y) )

(1+2y)2

f "(x) = 720x7

6(z+7)h'''(z) = --

(z-I)S

( 6 6 I)k"'(r) = - - - - - - eIlrr4 .-s r6

f"(x) = 90x8;

h"(z) = 2(z+S)(z-1)4

f (x) = 10x9;

z+ 3iii) h'(z) = ---;

(z-I)3

k'(r) = - ~ eIlr ; k"(r) = ( ~ + 2) el/r ;r2 r4 r3

N'(Y)=(1+2y)y2(

2Y .ln(I +2Y)+ 2Y2);

I+ 2Y

N"(Y) = (1+2y)y2((2Y

.ln(I +2Y)+ 2Y2) 2 + 2 In (I + 2Y)+~ +1+2Y 1+2Y

v)

vii)

5.2.77: i)

5.3.10: In allen Fällen wendet man zweckmäßigerweisedie Regel von L' H öspital (L 'H) an:

i) ,,010". L'H : 5x4/ex - ° iii) "O' (-00)". Umformung: (In x) I (1/x3) - L 'H : - °

v) ,,010". L'H : - ,,1/0+"- 00 vii) 3mal L'H : (24x+6)/(24x-30) - 3

ix) ,,010". L'H : (1/x)/l - 1 xi) ,,010". L'H : - (-2/(3e)) ' ,,1/0+" - - 00

xiii) ,,100" . Inf = In(I-l /x) I (1/x)- "O IO". L'H : Inf - - 1, d.h.f r-r L'e

xv) ,,100" . In f = In(1-x)/x - ,,010". L'H : Inf - - 1, d.h. f - 1/e

xvii) ,,00/ 00". 2maIL'H : - 2/7 xix) ,,010". L'H : (eX+ e- X)/2 - 1

xxi) Für x-l +: " oo-oo ".Umformen: (2x'lnx-x+l)/«x-l) 'lnx) - ,,010"

L'H : (2 · In x + 1)/(Inx + l- 1/x) - ,,1/0+" - 00 (Analog[urx -«F : - - 00)

xxiii) ,,0°". Für x =1= °gilt: In f == 1 , d.h. f == e , d.h. für x - °strebt f - e ,

5.4.6: i) Falls Startwert: xl = 1 :::} x4 = 1,287 910 = Xs = ... (einzige reelle Lösung)

iii) Falls Startwert: xI = ° :::} x4 = - 0,567 143 = Xs = ... (einzige reelleLösung)

iv) Falls Startwert: xI = 2 :::} x6 = 0,567143 = x7 = ... (einzige reelleLösung)

6 Anwendungen der Differentialrechnung beiFunktionen mit einer unabhängigen Variablen

6.1.16: i) dk(20) = 4,5; ~k = k(21) -k(20) = 4,6762 iii) dp(7) = -0,0857 ;~p = p(6,4)-p(7) = -0,0896

6.1.17:

6.1.18:

6.1.65:

Outputverminderungca. 17,25 MEx.

V'l"05 "" VlOO +df(lOO) I = 10,250 (exakt auf 3 Dezimalstellen: 10,247)dx=S

GE/ME1)K'(70) = 792GE/ME 3) k'(100) = 10,96 ME 5) x'(40) = 23 MEx/ME r7)GD(30) = 1920 GE; gD(30) = 64 GE/ME 9) E '(150) = 30 GE/ME

1l)G'(125) = - 2.562,50GE/ME 13) C(2000) = 0,7 GEIGE 15) U'(4) = 2,5NE /MEI I

17) i) ky'(x) ~ ° :::} x = 8,33 ME ii) k'(x) ~ ° :::} x = 18,29 ME (Regula falsi)I

iii) K'(x) ~ k(x) :::} gleicheLösungwieii),19) i) x'(r) ~ ° :::} r = 51,1725 ME r ; ii)=i);

- , , -iii) x(r) ~ ° :::} r = 77,3278 ME r ; iv) x'(r) ~ x(r) :::} r = 37,5 ME r

11 Lösungshinweisezu ausgewähltenAufgaben

=> {Tl = 18,2918 MET

TZ = 31,7082 MET

568

21)

23)

25)

27)

6.1.66: 2)

8)

12)

18)

22)

25)

28)

31)

34)

6.1.67: i)

K'(x) = E'(x) => x = 27,14 ME, P = 139,14 GE /ME

! - 0,5 / '( )E'(p) = - = -5 => P = 76 GE ME 24) x r = 32I 0,1

k'(x) ,; 8,5 => x = 79,6862 ME (Regulajalsi)I I

g'(x) ,; -4 => x = 40,3779 ME (Regula jalsii ; 29) GD'(x)'; -20 => x = 29,37 ME

ME,JMEkv(70) = 22,82 GE /ME 4) x(40) = 0,19 MEx/MEr 6) x"(40) = -0,0086 ME

rr

GE/ME GE00'(30) = 1.014,45 GE/ME; gD'(30) = -14,83 M E 10) E'(120) = 181,34 GE/ME

GE/ ME -S'(1000) = 0,9949 GE/GE 14) g'(40) = 6,60 ME 16) U(4) = 2,67 NE/ME

i)Y = 472,87 GE ii) Y = 42,47 GE 20) x = 96,81 ME ; P = 759,61 GE /ME(Regula [alsi}

K"(x) =F 0 für alle XE JR, die Grenzkostenfunktion besitzt nirgendseine horiz. Tangente

k'(x) = 8,5 => x = 8.188,5818 26) keine Lösung

i) a) x = 3,44 ME b) x = 3,56 ME ii) a) x = 5,34 ME b) x = 5,58 ME

Produktionskoeffizient r = 6,25 MEr/MEx 32) r'(20) = 10 MEr/MEx

lim C'(Y) = 0 GE /GE lim S'(Y) = 1 GE /GEy ...... oo Y--+oo

drz MEza) dT

I(4) = - 1 ME

I' d.h. wenn man - ausgehend von 4 ME1 - r1 um 1 ME 1erhöht,

kann 1 ME2von r2eingespartwerden,ohne den Output von 20 ME zu verändern.

6.2.48:

6.2.49:

6.2.50:

6.2.51:

6.2.53:

Definition: f t heißt: f ist streng monoton wachsend; f ~ heißt: f ist streng monoton fallend:1 1

i) f t für x< - und f ~ für x> - iii) h t für t < -7 und für t > 2; h ~ für -7< t < 23 3

v) g tauf Dg = JR\ {l} vii) Nt auf DN = JR\ {O}

2 2i) K ist für x > - konvexund für x < - konkav iii) x ist für r< 2 konvex; für r> 2 konkav

3 3v) P ist für y < 0 konvex; für y> 0 konkav vii) y ist auf Dy = JRt konkav.

Definition: m ~ relativesMinimum; M ~ rel. Maximum; k.A. ~ keine Aussagemöglich

i) stationäre Stellen: t1 = -2 (M); t2 = 2 (m) iii) stat. Stellen: u1 = 0 (k.A.); u2 = 9 (m)1

v) stat. Stellen: Y1 = - (m); Y2 = 2 (k.A.) vii) stat. Stelle: xl = e-1 "" 0,3679 (m)3

ix) stat. Stelle: u1 = e "" 2,7183 (M) xi) stat. Stelle: r = e-1""0,3679 (m)

xiii) stationäre Stelle: xl = 2,5498 (M)

Definition: WP ~ Wendepunkt; kx ~ konvex; kv ~ konkav

i) xl = 5,3: kv/kxWP iii) u = 1 ist eine möglicheStellefüreinen Wendepunktvon g, aberwegeng'''(l) = 0, g" "(l) = 24 > 0 handelt es sich um einen Wendepunkt von g'!

v) xl = -2-V3 : kv/kx WP; x2 = -2+ V3: kx/kv WP; x3 = 1: kv/kx WP

vii) sI = - 0,5: kv/kx WP

Die Lösungen sind nach folgendem Gliederungsschema aufbereitet:

1) Definitionsbereich 2) Symmetrie 3) Nullstellen 4) Stetigkeit 5)Differenzierbarkeit6) relative Extremwerte (M), (m) 7) Wendepunkte (WP) 8) Monotonie- und Krümmungsverhalten 9) Verhalten am Rand desDefinitionsbereiches bzw. für x -- ± oc


(xJ2

i) 1) Df = lR 3) Nu1lstellen: 1; 4 4) stetig 6) Tel. Min, (2,5 ; -2,25 ) 7) keine WP

iii) 1) Df = lR 3) Nu1lstelle: -1,4983 4) stetig 6) keine Extremwerte 7) WP: (1 ; 158)

v) 1) Df = lR 3) Nu11stellen: 0; 12 -3V6~ 4,6515; 12 + 3V6~ 19,3485 4) stetig

6) Tel. Min: (0;0);(15; -844). Tel. Max: (3 ;20,25)

7) Wendepunkte: 6-V2"1~ 1,4174 (f~ 9,71); 6+ V2"1 ~1O,5826 (f ~ -485)

vii) 1) Df = lR\ {1} 3) Nu1lstelle: 0 (tJ

4) in 1 unstetig (beidseitiger Pol) xiJ6) (M):(0;0); (m): (2;4) 7) keine WP

8) A(x) '=x+ 1 ist Asymptote f. x- ± 00

ix) 1) Df= {xelR Ix ~3} 3) Nu1lstelle:3

4) stetig auf Df 6) keineExtr.

7) keine WP

xi) 1) Df = lR 3) Nu1lstelle: 0 4) stetig

6) Tel. Min.: (0;0); Tel. Max.: (2; 0,5413)

7) WP: 2 - V2~ 0,5858 (f ~ 0,1910)

sowie 2+ V2~ 3,4142 (f ~ 0,3835)

9) Die x-Achse istAsymptotefür X-oo.

6.2.54: i)

6.2.55:

1f(x) = -xLx

12

f(x) = - O,5x + 1,25x2 - 4

iii) f(x) = xL 9x2+ 30x +16

6.2.67: (zurSystematik sieheLösungzu Aufgabe 6.2.53)

i) 1) Df = lR\ {O} 3) keine Nu1lstellen

6) keine Extr. 7) WP (0,5; 0,1353)

9) Y= 1 ist Asymptote für x-s- ± 00;

limf(x) = 0+x-o+

iii) 1) Df = lR+ 3) Nu1lstelle: 14) stetig auf Df

6) Tel. Min.: e-O,5 ~ 0,6065 (0 $ Df)

7) WP: e- I,5 ~ 0,2231 ; f = -0,0747

9) lim f(x) = 0x-o+

v) 1) Df= {xelR I0=>x=>8}

3) Nu1lstelle: 3 + V2~ 4,4142

4) stetig in 2 und 5, in 4 ist f unstetig (Sprung)

5) differenzierbar in 5; nicht differenzierbarin 2 (Ecke) und 4 (Sprung);

6) rel.Max.: (1;2);(7;6); rel.Min.: (2; 1)

7) Wendepunkt: (5; 2)

4) in 0 unstetig (linksseitiger positiver Pol)

{tl

2

2

570 11 Lösungshinweisezu ausgewähltenAufgaben

6.3.17:

Zu prüfenistbeiallenAufgaben, ob derGraph von x(r) diefür einen ertragsgesetzlichen Verlauftypische Gestalt (wiein nebenstehenderAbbildung) besitzt.

i) nicht ertragsgesetzlich

tx)

tx)

ü) ertragsgesetzlich

(xl

ertragsgesetz/icheProduktionsfunktion

üi), iv) nicht ertragsgesetzlich{xl

tr)

(rl

6.3.19: Aus: x(r) > 0, x'(r) > 0, x"(r) < 0 ergibt sich: a>OundO<b< 1.

6.3.20: Die Zuordnungsvorschrift für die Gesamtkostenfunktion Klautet:

K(x) = XL 12x2 + cx + 98 mit c > 48

K(x) ist nicht eindeutig bestimmt (3 Bedingungengegeben,aber 4 Koeffizienten gesucht)

6.3.21: Eine neoklassische Produktionsfunktion muss die Bedingungen:x'(r) > 0 sowiex"(r) < 0 fürr > 0 erfüllen. Die gegebeneFunktion erfüllt diese Bedingungenund ist somit neoklassisch.

6.3.22: i) k(x) = 160 ' x- O,3219 ü) Gesamtproduktionsmenge: "" 9554 ME

6.3.58: i) x = 8 ME üi) x = 20 ME (z.B. mit Regula falsi) v) K'(20) = k(20) = 54 GE/ME

6.3.59: i) für keinen Preis, da der entsprechende Nachfragerückgangbei jedem Preis 3,33 ME beträgt.

üi) a) x = 220 ME; P(220) = 978 GE/ME b) x = 86,6422 ME; P(86,64) = 1.018 GE/ME

d) x = 60 ME ; P(60) = 1.026GE/ME f) Pmax = P(O) = 1.044 GE/ME

v) a) Gesucht ist die langfristigePreisuntergrenze = Stückkostenminimum (x = 96,48 ME)Pmin = k(96,48) = 109,82 GE/ME

6.3.60: i) r = 15 MEr iü) r = 22,5 MEr iv) r = 22,5 MEr (identisch mit iii))

6.3.61: i) Stückkostenfunktion k(x) = 16;<x) = x+ 16~O ~ Betriebsoptimum: x = 40 ME

üi) Maximalgewinn (= 15.550 GE) P = 315 GE/ME (d.h, x = 70 ME)

6.3.63-1: i) a) Produktionslos: 3.200 Stück pro Los; 15 Lose pro Jahr;Gesamtrüstkosten = Gesamtlagerkosten = 115.200 €/Jahr


122,62 GE/Jahr ii) 819,51 GE/kg iii) Bohrabstand 1,2427 LE

a) 60 GE/h; Lohnsumme 10.800 GE/Monat b) p = 80 GE/h ::::} Lmax = 12.800 GE

b) 50 % c) Für jedes a hat die betreffende Elastizität den Wert 0,75

v = 80 km/h vii) optimale St öckelh öhe 6,708 cm "" 6,7 cm

12x3 + 4xz-xef,x == 7 ii) ef,x == n iii) ef,x(x) =

4x3 + 2xz- x + 1v) ef,x(x) = 1 - 5x

2xzef,x(x) = 3 +

(xz+1)· In (xz+1)ix) ef,x(x) = 2x . (In (3x) + 1) x) ef,x(x) = bx

20% p.a.

Randminimum für x = 200 Besucher pro Vorstellung

a) 9,60 % p.a. b) I '(i) < 0, d.h. Randmax. i.linksvfür i = 0%

b) Produktionslos: 7.155,42 "" 7.155 Stück pro Los ::::} 6,71 Lose pro Jahr (gerundet) ;Gesamtrüstkosten = 51.533 € /J . "" Gesamtlagerkosten = 51.516 € /J .

166.3.64: Gesamtkostenfunktion K der Mat erialausgabe: K(x) = 20 (x+ - ) -- Min . ::::}

Das Werk sollte 4 Arb eiter in der Materialausgabe einsetzen . x(mittlere Wartezeit: t = 5 Minuten; minimale Gesamtkosten: K(4) = 160 € /h)

Anfangskapazität im Jahre 2000 : P(O) = 35 LE.Max. Produktionskapazität von 55 LE wird im Ja hre 2020 erreich t (t = 20) .

Bei Marktan teil 36% wird diemax. Rentabilität von 29,8 % erreichtDie Schwellen liegen bei 18,80 % und 53,20 % Mark tan teilUn ternehmensverl ust von 6,164 Mio. €

Segmentierungsgrad muss mindestens 50% betragenSegmentierungsgrad83,33 % führ t zum max. Gesamtgewinn von 133,33 T€

Gewinnmax. Menge : xG = 4,19 ME; Steuern T = 100,66 GE; Gmax = 14,4 GE.Gewinnmax . Menge : xG = 5,19 ME, also identisch mit der gewinnmaximalen Outputmengeohne Gewinnsteuer (wieso ?)

4Wegen k'v(x) = - -z > 0: Ein Betriebsminimum existiert nicht

(x+9)a) 22,08 h nach dem Unfall b) t = 4,2924 Tage ( """ 103 h) seit dem Unfall

b) lim (10 - 9 · e- O,005B) = 10 Bilder/Monat (theoretische Obergrenze)B __ cc

6.3.65: i)ii)

6.3.66: i)ii)

iii)

6.3.67: i)ii)

6.3.68: i)iii)

6.3.69: i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

6.3.70: i)

iv)

v)

vi)

6.3.96: i)

vii)

6.3.9 7: i) iii) ef,x(x) = 0,5 + O,lx - 4 = O,lx - 3,5

6.3.99: 1)

4)

i) a) ex,p(5) = - 1,25 bedeutet, dass die Nachfrage x sich (näherungsweise) um 1,25%verringert, wenn der Preis p sich - ausgehend von 5 GE /ME - um 1% erhöht

c) p = 100 liegt nicht im Defin itionsbereich .

iii) ex,p(p) = -1 ::::} P = 4,5 GE/ME ::::} x = 9 ME

1i) e = --- -

x,p In p - ln 800

a) ex,p(5) = - 0,1970

iii) P = 800 e- I GE/ME

b) ex,p(9) = -0,2228

::::} x = 100 ME

d) ex,p(600) = - 3,4761

572 11 Lösungsh inweise zu ausgewählten Aufgaben

6.3.117: i) a) Die Nachfrage ist elastisch (Ex,p < -1) für p> 25 GE/ME « 50 GE/ME)

.. 20 - 0,8pll) a) EE,p = 20 _ 0,4p = -5 :::} P = 42,86 GE/ME b) P = 101,58 GE/ME.

6.3.118: i) EE,w(800) = 0,4997 ,,:; 0,5

6.3.121: EE',p(150) = 3, aber E"(p) = -1 < 0

ii) EEy(4000) = 200 /1201 ,,:; 1/6(d.h. Erhöhungum 3 'E ::::::0,5%)

(daE'(150) im IV. Quadranten liegt)

6.3.122: ii) x(p) = 114,7648 ' p-0,383 bzw. p(x) = 238.830,95' x- 2,6110

iii) a) x(p) = ~O bzw. p(x) = ~O b) x(p) == 5

(p in €/t, x in Mio. t)

c) p(x) == 2

(fJ

i) Die graphische Ermittlung der Elastizitätswerte erfolgt anhand der Abb. in der AufgabensteIlung (etwa nach Lehrbuch 6.3./38 nach Satz 6.3.125/128). Einige Beispiele zeigt dienachfolgende Skizze (Abweichungen durchzeichnerische Ungenauigkeiten bedingt) :

ungefähre Elastizitätswerte:

Efx(A) 8,2 /1,2 6,8Eix(C) -3,8/0,4 -9,5Eix(E) ,,1,2/ 00 " 0Eix(G) -0,4/0,4 -1

N Eix(I) 1,4/1,4 1Eix(K) -2,1/1,8 -1,2fixeM) ,,4,5/0" ,, ±oo"

Ef,x(N) 3,5 /1,4 2,5

6.3.137:

6.3.139: i) Aus der Abbildung ermittelt man (sieheLösung zu Aufgabe 6.3./37) näherungsweise :

a) Produktionsfunktion x: x(r) : b) Kostenfunktion K: K(x):

Bxr(P) ,,0,8/0+" ,,00" EKx(P) = 0/1,3 0Ex'r(R) 4,2 /1,1 3,8 EK'x(Q) = 0,8/2,6 0,3Ex'r<T) ,,2,7/00" 0 EK'x(R) 2,3/8,7 0,3Ex'r<U) -9,7/1,3 -7,5 EK'x(S) = 4,5 /4,5 1Bx:r(V) ,,-20 /0+" = ,,- 00 " f K:x(T) = 8,5/3,2 2,7

6.3.161: i) Schwabesches Gesetz in beiden Fällen erfüllt, da im jeweiligen (positiven) ElastizitätstermEW,C stets der Zähler kleiner ist als der Nenner, m.a.W. gilt: 0 < EW,C < 1 .

6.3.163: Wie 6.3 .161 : EN,C ist stets kleiner 1, da (positiver) Zähler kleiner als (positiver) Nenner

6.3.165: Gewinnfunktion: G(r) = E(x(r» - K(r) = p ' x - Pr ' r = p(x(r»' x(r) - Pr(r) . r(p: Outputpreis; x: Output;Pr' Inputpreis; r: Input)

Aus der notwendige Bedingung für einen gewinnmaximalen Faktoreinsatz G '(r) = 0 folgt:

i) G '(r) = 0 ~ p'(x) ·x '(r) ·x(r) + p(x) ·x '(r)-Pr'(r) ·r-Pr(r) = 0 ~ Behauptung

ii) Aus i) folgt wegen E'(x) = x p'(x) + p(x) sowie K'(r) = r pr'(r) + pr<r) Behauptung

iii) Aus ii) folgt: x'(r) = K'(r) /E'(x) und daraus mit Amoroso-Robinson-Relation die Behauptung

iv) Aus iii) folgt mit (6.3.107) sowie der Amoroso-Robinson-Relation (6.3.109) die Behauptung

v) entspricht ii)


7 Differentialrechnung beiFunktionenmit mehreren unabhängigenVariablen

l ag 4 y2v) Dg = {(x,y,z)elR3 x=l=O}; ax = lOxyz -40 x6 ;

vii) Dp = {(rI,r2,r3)elR3!rlr3 > O}

ap () -2r r- = 2rI ·ln rlr3 +rI+2r2 'e 1 zarl

ag 16y- = 5x2z4 +_ .ay x5 '

2rI

VrI+3r~-5r~-IOr3

Vrr+3r~-5~

er Ir;:;:-:aw = v2v (lnw+ 1)

er, 6r2

arz = VrI+3I1-5r~aL- = lO-q -2r2 + r3aÄ. l

ix) Df= {(u,v,w)elR3Iv>0I\w>0}

af =3u2~ . af = (wlnw+u3)_I_ .Bu ' av ~'

xi) Dr. = {(r1,rZ,r3'Ä.1'Ä. l) e lRslTi+3r~ > 5~} ; aaL = -;-;:::;:=~:::::;- - ,1.1 - Ä.ZrZr3rl

af 3 x I- = 2y x ,(3 ·lny ·ln - + -)ax Y x

2y3x-I(3x .ln f -1)

xiii) Df= {(x,y)elR2Ix>0I\Y>0} ;

af 3 3x x I-=2yx·(-ln---) =ay y y y

7.1.20: i)

7.1.19: i) ~f.oOOO;200) = 52,1841 ~(1000;200) = 65,2302

Bei einer Ausgangssituation von 1000 Arbeitseinheiten und 200 GE erhöht sich der Ertrag um 52,1841 Einheiten, wennc.p. eine Arbeitseinheit mehr, bzw.um65 ,2302Einheiten, wenn c.p. eine GE mehr eingesetzt wird.

5 _ -0 5 MEl . aXl _ 2 MEl . axz = 0,8 MEz . axz = - 1,5 MEzapl - , GE/ME}' apz - GE/MEz' ap} GE/ME}' apz GE/MEz

d.h, z.B.: Wenn der Preis P2 des zweiten Gutes -c.p.-um 1 GE/ME2 steigt, so steigt dieNachfragexj nach dem ersten Gut um 2 MEI usw.

... ~ ._~ aE l GEm) a) apl (8 ,5) - 12 GEjMEl apz(8; 5) = 16 GEjMEz

~ ._~ aEz ._ ~apl (8 ,5) - 4 GEjMEl apz (8 ,5) - 6,4 GEjMEzVom gegebenen Preisniveau ausgehend erhöht sich der Erlös des 1. Gutes bei einer Preiserhöhung des 1. Gutes um 1 GE/ME um 12 GE, bei einer Preiserhöhung des 2. Gutesum 16 GE. Der Erlös des 2. Gutes steigt bei einer Preiserhöhung des 2. Gutes um 1GE/ME um 6,4 GE, bei einer Preiserhöhung des 1. Gutes um 1 GE/ME um 4 GE.

7.1.28: Es gilt (explizit ausrechnen!): fyxx = fxyx = fxxy = eXY (4y + 5xy2 + x2y3).


7.1.29: ü) fxx = 6 ; fxy = fyx = 5; fyy = -8

54x4+ 96x\,2 + 48x2yL Z4y5iv) fxx = (3x+zr)3

-lZx5+ 108x3y+ Z4x4r-Z4x2y3

fyy = (3x+zr)3

a2K a2K a2Kvi) -2 = 16xz . e4x1+5"J ; -- =-- = 4 · e4x1+5x3

aX1 aX1ax2 aX2ax1

a2K a2K a2K-2 = 0 -- = 5 . e4X1+ 5"J ; - = 25xZ .e4X1+ 5"JaX2 aX2ax3 aX32

vüi) xAA = -15,3 ' A- l ,15Ko,3 ; xAK = xKA = 30,6 'A-o,15K-o,7; XKK = -25,2 'AO,85K-l,7

7.1.35:

7.1.49:

x) Lxx = -1,68 ' yO,7x- l ,7 ; Lxy = Lyx = 1,68 ' y- O,3 x- O,7 ; LxA. = L,tx =-6

Lyy = -1,68 ' xO,3 y-l,3 ; Ly,t = L,ty = -5 L,t,t = 0

xü)fxx = 3xy3 . (x3yZ)Y-1.(3y-1) fyy = (x3yZf (f + {ln (x3yZ) + 2}Z)

fxy = fyx = 3x2yZ. (x3yZ)Y-l . (1 + Y-In (x3yZ) + 2y)

a) YA(2;5) = 12>0; YK(2;5)=-147<0; YAA(2;5) =-62<0YKK(2; 5) = -72 < 0 ; YAK(2; 5) = YKA(2; 5) = 8 > 0 :

In der Umgebung der Inputkombination (2;5) verläuft die ProduktionsfunktionYmonoton steigend bzgl. A, monoton fallend bzgl. K; die Krümmung bzgl. beider Parameter istkonkav, d.h, die Grenzproduktivitäten der Arbeit und des Kapitals sinken. Die Grenzproduktivität der Arbeit nimmt mit steigendem Kapitaleinsatz zu und umgekehrt.

Partielle Differentiale: dx, = 0,0689, dxr = - 0,0314, dx, = - 0,0161 ;123

=> totales Differential als deren Summe: dx = 0,0214

d.h. eine Einheit des

auaX3 8 MEZ

- au = - 3' ME3 'axz

dritten Gutes wird durch 8/3 MEZ des zweiten Gutes substituiert, eine halbe ME3 wirdmithin durch 4/3 MEz - bei unverändertem Nutzenniveau Uo = 125 - substituiert.

i) totale Ableitung: : = 2eZt + 16t3 + 22t 3

ü) totale partielle Ableitung nach x: aap

8(xZ+yZ)xZ' e-Y' Yx ·ln y +3 x

+ 2(xZ+yZ)Z ·Yx .lny ' e-Y+ 1. (xZ+YZ)Z 'x 'e-Y '(x.lnyfZ/3'lny3

i) ~ = 2 (~)0,6'(-0,2)e-O,01t + 3 (~)0,4 .100 = e-O,o04t (260-2t)dt A K (100+5t)O,4

lZx lZx db b(l-bZ+a ·lnb)i) y'(x) = - = (y>O) ili) - = - ---'-----::--

Y YlZxZ +zo da a(1+a-Zb2·1na)

Uo = U(20; 20; 5; 25) = 125 Einheiten.Grenzrate der Substitution für die axzvorgegebenen Konsummengen: -a =

x3

7.1.77:

7.1.59:

7.1.75:

7.1.60:

7.2.10: i) stationäreStelle (Sattelpunkt) :(-3; 2) ili) stationäreSteIle (rel. Minimum): (2; -1)v) Es gibt keine stationären Stellen und somit auch keine relativen Extrema.

vii) Es gibt 4 stationäreStellen: (0; 6; 2; 1); (0;-2;-2;-1); (3; 6; 2; 1); (3;-2;-2;-1)


7.2.25: Rel. Extrema unter den gegebenen NB. können an folgenden stationären Stellen liegen:

i) x = 2; Y = -2; Ä = -4

iii) zI = 1; ul = 4; vI = 2; wl = 8;Ä I = 0,25 undzj = -1 ; u2 = -4; v2 = -2; w2 = -8 ;Ä2 = - 0,25

7.2.28: i) Mögliche Stellen für Extrema sind: x = 0; y = 1; z = 1; ÄI = 0; Ä2 = 2

7.3.7:

7.3.8:

7.3.27:

7.3.45:

i) ey,A = 0,7 ;ey,K = 0,3füralleA,K,darnitauchfürA = 100,K = 400, d.h, ynimmt um

0,7% zu, falls A um 1% zunimmt; Ynimmt um 0,3% zu, falls K um 1% zunimmt

') O,3P2 0 O,5PI 0 d h bsti ti GütI ex P = > ; ex_nI= > , . . su stitu ive u erl' 2 lOO-O,8PI+O,3P2 J,r 150+0,5PI-O,6P2

iii) eXI,P2 = -1 <0 ; e~,PI = -PI <0, d.h, komplernentäreGüter

i) a) Homogenitätsgrad: r = 1

b) ey,A = 2Ko,5 .(2A-o,5 + 4K-O,5rI; ey,K = 4K-o,5 . (2Ko,5 + 4K-O,5rI

c) Aus a) folgt: y(ÄA).K) = ÄI y(A,K) =>

dy(ÄA).K) Ä Äe 1 - • - y(A K)-- - 1 - ey,A + ey,K = r.y", - dÄ y(ÄA).K) - , Ä' y(A,K) - -

ü) a) Homogenitätsgrad: r = 1

b) e A = 10Ao,4 . (10Ao,4 + 15KO,4rl. e K = 15KO,4. (10Ao,4 + 15Ko,4rI c) vgl.i)y, , y,

ay ayNach (7.3.31) muss gelten: 1 · aA = 0,2 bzw. 1 . aK = 0,4 =>

i)A"" 97,66MEA;K= 61,04 MEK ü)y = 48,83 GE iii) FE = 43,95 GE; G = 4,88 GE

7.3.73: ü) (kA,kK> = (120; 15)

a) A = 21,2 MEA;K = 42,4 MEKb) Y = 243,5 MEc) P = 256,5 GE/ME

=> E = 62.458 GEd) K = 3.180 GE

=> Gmax = 59.278 GE

(kA,kK> = (2.000; 500)

A = 12,5 MEA ; K= 12,5 MEKY = 125 MEP = 375 GE/ME=> E = 46.875 GEK= 31.250 GE=> Gmax = 15.625 GE

7.3.82: ü) Steigt der Preis von Gut 2 (bzw. Gut 1), so steigt die Nachfrage nach Gut 1 (bzw. Gut 2),d.h, die Güter sind substitutiv miteinander verbunden.

Gewinnmaxirnum bei: PI = 5,31 GE/MEI; P2 = 4,53 GE/ME2;=> xl = 1,91 MEI; x2 = 1,73 ME2 => Gmax = 11,33 GE

iii) Die beiden Güter sind komplementär miteinander verbunden, da bei Preissteigerungen fürjeweilsein Gut die Nachfrage nach beidenGütern abnimmt.

Umsatz: E(xl'x2) = -2XI2-1,5xIX2 - 0,5X22 + 400xI + 150x2 =>

Gewinn: G(XI,x2) = -2XI2-1,5xIX2 - 0,5X22 + 350xI + 140x2 - max.

=> xl = 80 ,X2 = 20 ~ PI = 220 GE/ME1 , P2 = 100 GE/ME2 => Gmax = 15.400 GE

7.3.96: Das Gewinnmaxirnum wird für xl = 809,3986 MEI mit PI = 15,9727 GE/MEI undx2 = 778,5245 ME2 mit P2 = 250,4699 GE/ME2 erreicht; Gmax = 184.424,3303 GE.

576

7.3.107: Lösungen mit Preisdifferenzierung

ü) xl = 5 MEI , PI = 45 GE/ME1

Xz = 6 MEz ' P2 = 39 GE/MEz

x3 = 9 ME3 ' P3 = 60 GE/ME3Grnax = 679 GE

iü) xl = 11,25 ME I,PI = 48,75 GE/MEiXz = 2,5 MEz,pz = 38,75 GE/MEzGmax= 308,75 GE

11 Lösungshinweisezu ausgewähltenAufgaben

Lösungen ohne Preisdifferenzierung

x = 20 ME ~ P = 47,432 GE/ME

xl = 4,594 MEI, Xz = 3,891 MEz,

x3 = 11,513 ME3

Gmax = 628,648 GE

x = 12,50 ME ~

P = 47,50 GE/MExl = 12,50 MElXz = 0 MEzGrnax = 302,50 GE

7.3.164:

41 3Z3 _11 xZ Z7.3.121: ü) f(x) = - - - x + "" 0,7857x -4,6143 x + 8,2

5 70 14

7.3.144: kostengünstigster Faktoreinsatz: A = 114,87 MEA; K = 57,43 MEK; (A. = 0,2872)

Der Lagrange-Multiplikator drückt die Grenzkosten (in Höhe von 0,29 GE/ME) aus, d.h, dieminimalen Kosten erhöhen sich um 0,29 GE, falls eine Outputeinheit zusätzlich erzeugtwird

7.3.146: Minimalkostenfür: t = 15 h/Monat; m = 60h/Monat; (2 = 1,33); Kmin= 1.200 €/Monat

2 = 1,33 €/Stück sind die Grenzkosten pro Bild bei 900 Stück, d.h. die minimalen Kostensteigen bei einer Erhöhung um 1 Stück um 1,33 €.

7.3.148: i) Minimalkostenkombination: tl = 36 h; tz = 16 h; (2 = 240); Kmin= 840 €

2 = 240 €/Kleid heißt: sollen 8 Kleiderproduziert werden, erhöhen sich die Minimalkostenum240€

ü) Der Stückpreis muss mindestens 200 € betragen.

7.3.150-a: Variablen: tl (h nach Verfahren I); tz (h nach Verfahren II); x (kg nach Verfahren III)

opt. Lösung: tl = 16 hnachVerfahren I (~ 80 kg); tz = 4 hnach Verfahren 11 (~ 60 kg)x = 70 kgnach Verfahren III entsorgen; minimale Gesamtkosten: 1.680 €

2 = 12 €/kg = :~ , d.h, bei Entsorgung einesweiterenkgsteigen die (minimalen) Entsorgungskostenum 12 €.

7.3.150-c: i) x(E,A) - max.: xA = 0; XE = 0 ~ A = 300 h; E = 400 MWh; xmax = 220.000 ME

ö) A = 200 h, E = 175 MWh;2 = 3,5 ME/€, d.h. wenn die Produktionskostenumeinen € erhöht werden, steigt der Output um 3,5 ME; xmax = 171.875 ME .

7.3.151: Minimalkostenkombination: Al = 574,350 MEA, Kl = 287,175 MEK; (21 = 14,359)

Az = 7.968,440 MEA; Kz = 3.187,376 MEK; (2z = 398,422); Knun = 205.601,31 GE

z Z80 lZOi) Expansionspfad: rZ(rl) = - rl ii) rl(kl) = -; rz(kz) = -

7 ~ ~

iü) K(x) = 2.4963x iv) rl = 29,1240 MEl; rz = 8,3211 MEz; Knun = 499,2679 GE

7.3.168: i) K(x) = 8rl(x)+ 1800= 0,02xz+1800 ö) Betriebsoptimum:x = 300 ME ; Kmin= 3.600 GE

iü) Expansionspfad: rz = trI bzw. rl = f rZ . Mit rZ = 100 ~ rl = 225 ;

aus dieser Minimalkostenkombination der Faktoren ergibt sich der Output x über die Produktionsfunktionx (rl ' rz)zu 300 ME. Genau diese Menge entspricht gemäßii)dem Outputim Betriebsoptimum.


7.3.180-a: Nutzenmaximum: x = 25 ME x; Y= 64 MEy; Umax = 42 Einheiten

,.1. = 0,005 NE /GE (Grenznutzen des Budgets) : Ändert sich das Budget um 1 GE, so ändertsich der maximale Nutzen um 0,005 Einhe iten (gleichgerichtet) .

7.1.180-b: Optimale Lösung: L = 3,23 h/Tag "Lindenstraße"; S = 1,94 h/Tag "Schwarzwaldklinik"

,.1. = 0,1936 Grad/ € , d.h. wenn er 1 € /Tag mehr verdienen will, erhöht sich sein minimalesFrustrationsniveau um 0,1936 Grad.

7.3.181-a: Max. Wohlbefinden: XI = 3 ~ 300g ~ 6 Tüten Erdnüsse; Xz = 0,8 Liter ~ 4 Gläser Bier;(t1. = 0,2582); maximales Wohlbefinden: 3,0984 Einheiten .

Erhöht sich Pfiffigs Budget um 1 € , kann er damit sein maximales Wohlbefinden um 0,2582Einheiten steigern.

7.3.182-a: Nutzenmaximum: Xl = 25 MEI ;xz = 20 ME Z; ,.1. = 0,7543 ; Umax = 301,7088 EinheitenBei einer Steigerung der Konsumausgaben um 1 € erhöht sich der maximale Nutzen um0,7543 Einheiten.

7.3.182-c: opt. Lösung: Xl = 7 Glas Bier/Tag; Xz = 6 Tüt en Fritten/Tag; Nmax = 568,.1. = - 3 (Grenznutzen des Budgets) : Wenn er pro Tag 1 € mehr ausgibt, so sinkt (!) seinNutzenniveau um 3 Punkte. Erklärung: Die Nutzenfunkt ion ist nicht monoton steigend,sondern besitzt ein freies Maximum für (xI ;xZ) < (7;6).

7.3.182-d: i) m = 12 g "D roge" , t = 22,5 Lerntage (Überprüfung?ii) optimale Lösung: m = 9 g" Droge"; t = 20 Lerntage

7.3.182-e: i) Wegen DB>O ; DS>O besitzt D kein relatives Extremum, sondern ist in alle Richtun gen monoton steigend. D wird beliebig groß, wenn Blofel und Stölpel genügend groß werden

ii) optimale Lösung: B = 25 BE,S = 75 SE, Dmax = 22.795,07 DE ,,.1. = 227,95 (DrupschGrenzprodukt ivität) : Erhöht man den Input um eine Einheit (BE oder SE) , so erhöht sichder maximale Drupschquotient um 227,95 DE.

7.3.183-a: Nutzenmaximum. xj = 1.080 € /Monat für Nahrungsmittel; Xz = 108mzWohnfläche;x3 = 1.880 kWh/Monat (Energieverbrauch}; x4 = 80 € /Monat für Körperpflege

Umax = 2.099.520 Einheiten .

,.1. = 1.080 Einheiten/GE ist der Grenznutzen des Budgets: Der opt. Nutzenindex erhöhtsich um 1.080 Punkte, wenn das Budget um 1 € höher angesetzt wird.

7.3.183-b: i) Wegen HR > 0; HS > 0 besitzt H kein relatives Extremum, sondern ist in aIIeRichtungen monoton steigend. Onkel Dagoberts Verm ögen H kann also beliebig groß gemachtwerden, wenn er nur genügend viel Raff und Schnapp einsetzt.

ii) optimale Lösung: R = 50 RE, S = 80 SE ; ,.1. = 470,96 (Vermögens-Grenzproduktivität) :Erhöht man den Input um eine Einheit (RE oderSE) , so erhöht sich Dagoberts (maximales) Vermögen um 470,96 GE.

p 10.0007.3.183-c: Gewinn: G(p,s) = -2pZ-1.000 ' S + 5.020p + - 5- - S - 60.000 - max. ~

(z.B. Regula falsi oder Newton-Verfahren): s = 1.115,70 GE/J ahr; p = 1.254,78 GE/ME

7.3.183-d: Gewinn: G(p,w) = -20 pZ + pV;- + 5.530p -79V;- - w - 320.000 - max.

~ p = 139 GE/ME ; w = 900 GE /Jahr; Gmax = 63.150 GE.

7.3.184: i) P = 430 h; A = 240 h; T = 110 h; Emax = 23.850 Einheiten.

a) 14,10% der Gesamtarbeitszeit von 780 h entfallen auf Tutoreneinsatz .b) 6,25% der Gesamtkos ten von 21.120 € entfallen auf Tut oreneinsatz.

ii) P = 110 h; A = 65 h; T = 25 h; (,.1. = 5/3); Emax = 10.775 Einheiten.

578 11 Lösungshinweise zu ausgewähltenAufgaben

7.3.214: Mit der Lagrangefunktion L(Xl,X2,Ä.) = xlx2 + 4xl + x2 +4 + A(C- PlxI -4x2)folg! aus den notwendigenExtremalbedingungenfür das Haushaltsoptimum:

(1) X2 +4=.!J.

(2)C=Plxl+4x2.xl + 1 4

i) Haushaltsoptimum: xl = 57,5 MEI; x2 = 10,625 ME2; (,1, = 14,625: Grenznutzenbzgl.der Konsumsumme);Umax = 855,5625 Einheiten .

ii) Güternaehfragefunktion (Engelfunktion) des 1. GutesC+16

(3) xl = xl(C) = - - 0,5 (PI = eonst., z.B. PI = 1: xl = 0,5C+ 7,5).2Pl

v) a) Mit PI = 12; P2 = 4 folg! aus (1) die Engelfunktion: x2 = 3xl -1(= Ort aller Haushaltsoptima für wechselnde Konsummengen)

2IxI +25b) Mit P2 = 4; C = 100 folg!aus (1), (2) die "offer-eurve": x2 = ---

2xl + 1(= Ort aller Haushaltsoptima für wechselnde PreisePI des ersten Gutes)

8 Einführung in die Integralrechnung

8.1.25:

8.1.26:

8.1.27:

8.1.28:

i) 0,5x8-0,5x4+4x-10lnx+C iii) 1(4Y-3)/3+ C v) 7,5 ° (5x-1)0,8 + C

vii) --±-+C viii) (2x+1)12+ e-x--1--6·ln(16-5x)+C (16-5x>O)

l-u V;32

K(x) = 0,5x3 - 2x2 + 4x + 32 ; k(x) = 0,5x2- 2x + 4 + 7

C(Y) = 24 V0,6Y + 4 + 2 ; S(Y) = Y - 24 V0,6Y + 4 - 2

-250 100xi) p(x) = -0,75x+4 ii) E(x) = -- + C. E(O) = ° ~ C=50, d.h. E(x)= --

E(x) 100 2x+5 2x+5und daher: p(x) = - = --

x 2x+5

8.3.26: i) 4 ii) ::; 14,2621 iii)::; 1,1162 iv) ::; 1,9004 v) ~ (1 - e- rT)

8.3.38: (A := Flächeninhalt zwischen den angegebenen Grenzen)6 10

i) A = 5,716 aber Jfex) dx = ° ii) A = 86 aber Jfez)dz = - 83,334 0 0 4

iii) A = 76, aber Jf(p)dp = 48 v) A = 7,6686, aber Jk(t)dt= -4,9290~ 1

8.3.39: i) Schnittstellen: -3;3 E$ [0,2]: A=46 iii) Schnittstellen: 1- (3; 1+(3: A = 13,8564

i) E(x)=-9x2+132x

a (b-d)2i)K =_0 -R 2 a +c ii) a = e

v) :::=;67,9977 vii) 7 oln7-6 :::=;7,6214

iii) (Subst.: t = ex2+1): -.!..(eX2+1)3/2+C-1 3

vii) (Subst.: t=x l-a): -ln(l-xl- a)+Cl-a

ii) K(x) = xL12x2 + 60x + 98 iv) P(6) = 78 GE /ME

(Konsumenten-Rente)

iii) ex(xLx+2)+C

1t = x8+1): -ln(x8+1)+C

8

t = -2x2+x3): 4 o(e-L l )

i) eX(x-1)+C

i) (Substitution:

v) (Substitution:

8.4.8:

8.4.18:

8.5.16:

8.5.24:

8.5.25: KR = 66,67 GE


8.5.31: i) KR = 36 GE ü) PR = 72 GE

8.5.52: i) K22 = 4.277.280 € ; K2 = 1.054.764 € üi) K;' = 1.217.102 € iv) b) Ko = 1.058.905 €

8.5.53: i) P(X~O) = 0 üi) P(X~3) = 1-e-9 "" 99,9877% v) P(2<X~3) =-e- 9+e- 6 zO,2355 %

8.5.59: i) I(t) = 1000 ·eO, 1t üi) K(T) = 10.000 ·eO,IT iv) a) K(ll) - K(9) z 5445,63 Mrd. €

8.5.75: ü)optimale Nutzungsdauer: T = 9 Jahre.

8.5.76: optimale Nutzungsdauer: T = 5 Jahre; max, Kapitalwert: Co(5) = 21.306,13 €

8.5.77: ii)

üi)

T = 6 Jahre, P(6) =440.000 €, Co(6) = 249.391,70 € i » 200.000)

In 24T = 0,09 z 9,73 Jahre, p(T) = 480.000 €, Co(T) =187.986,60 € « 200.000)

d.h. für T = 9,73 liegt ein relatives Minimum von Co vor! Als (absolutes) Maximumkommt daher nur ein Randwert in Frage. Es gilt: Randmaximum für T = 0 ;P(O) = Co(O) = 200.000 € , da Co(15) = 190.438,50 € < P(O).

a) allgemeine Lösung8 1 3/

a) y = -x3 + - (2x) 2 - x + C3 3

a) f(x) = kx

a) G(x) = 25 - k · e-2x

-1/a) y = k -e x-I

a) y = ±Vx2+C

a) x = x(t) = (10.000 - k · e- O,005t?

i) Differentialgleichung für K(t):

a) K(t) = K*- k 'e-at

i)

üi)

v)

vii)

ix)

x)

8.6.17: b) spezieUeLösung

b) wiea)mit C = 4

b) wiea)mit k = 100

b) wiea)mit k = 25x-I

b) k = 3e => y = 3 · e >

b) y = +V x2+12

b) wiea)mit k = 9.500_1_

1~ 1 l - a8.6.18: i) k(t) = y 2t+C üi) k(t) = (0,5t + C)2 v) k(t) = - vii) k(t) = «l-a)t + C)

C-t

8.6.49: i) Y = Y(t) = 1.500 · eO,03t => Y(lO) = 2.024,79 GE

. *K = a . (K - K(t))

b) K(t) = K*- (K*- Ku) ·e- at

8.6.50:

iii) all . to In 2 fü 0 5 f 1 1 39 ZEgemeine sung: t = -a-' ur a = , 0 gt: t = ,x-I Ir--

8.6.51: i) f(x) = e-x- ü) f(x) = 2x4 · exL 3x iii) f(x) = e2'Y x

8.6.52: i) x(p) = 10.000 bzw. p(x) = 100 üi) x(p) = 36-0,5p2 bzw. p(x) =V72-2xp2 ~

8.6.53: Differentialgleichung für p(t): p= p'(t) = a -(xN<t)-xA(t)) = a -(120 - 3p)

ii) p(t) = 40-15 ' e-0,12t => Gleichgewichtspreis 40 GE/ME ist unabhängig von a und Po

8.6.54: i) k(t) = 0,2 k(t)0,5 => k(t) = (0,1t +1)2 => lim k(t) = 00 , d.h,kein stabiles Gleichgewichtt-oo

ü) k(t) = 0,2 k(t)0,5+0,01 k(t) => k(t) = (-20 + 21 · eO,005t)2 => kein stabiles Gleichgewicht

8.6.55: i) x(t) = 100.000· (1- e- O,OI86t) üi) t z 157,185 => x z 94.622,3 ME


9 Einführung in die Lineare Algebra

9.1.62: B = AT (transponierte Matrix zu A) ; C ~ A ; C ~ B

9.1.63: i) AB existiert nicht iii) BA = (11 -1 2) v) DC existiert nicht21 4 5

vii) 6(CB)T_2BT ·3CT=0 ix) (B+CT) .(BT +C) = (33 27 )27 75

xi) (CB)2 + 2CBA + A2 = ( :~ ~: 1~: )235 153 273

9.1.64: i) BC = 0 , aber weder B noch C sind O! iii) D2 = E , aber weder D = E noch D = - E !

v) GH = GK, aber es gilt nicht: H = K oder G = 0 !

9.1.65: b = A-x = (25; -4; -2)T

(

3 6 2 ) ( ) ( 4800)b = 4 1 6 :~~ = 3900° 4 5 300 3500

8 ° ° 3200

GesamtbedarfdereinzelnenBaugruppen B b B 2> B3, B4:

9.1.66: i) Xl ' Xl ' x3 seien die möglichen Produktmengen der drei Güter Pi>Pb P3;dann lautet der allgemeine Produktionsvektor:

x= (:D=CI Cr )+C2 (2~0 )+ c3 C t) mit O ~ci~l; cI+c2 +c3=1

9.1.67: i) p = (400; 500; 300? (Produktionsvektor)

iii) Zu lösen ist das überbestimmte, aber eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem x = Cpbzgl.p. Aus z.B. den ersten drei Gleichungen erhält man

p = (PI; P2; P3? = (300 ; 100 ; 200? (Proben stimmen)

i) A- 1= (_ ~:~ ~) (-;- 1 n ( 0,5 ° °)9.1.95: ; Cl = 2 F-I 0,5 1 °° -2,5 -2 I

ii) X = (A-B + Erl.C

9.1.97: i) Gesamtproduktionsvektor x = (:~)

Produktionskocffizientenmatrix : A = CO/4O 15/60) = (0,50 0,25 )8/40 12/60 0,20 0,20

iii) Endverbrauch:_ _ (0,5

-0,25 ) (100) _ CO)Y = (E - A) X = - 0,2 0,8 120 - 76

9.2.25: i) x = (3; -2; 2)T ii) x = (2; - 1; -2)T iii) x = ..!.. (-2· 7· 4' 1?3 ' "

9.2.30:

9.2.44: i) x = (2; -4; 3?

9.2.71: i) eindeutig lösbar:

Durch beliebige Vorwahl von x4 gibt eunendlich viele Lösungen, z.B. (für x4 '= 1)

x = (1/3 1/3 2/3 1)T usw.

iii) x = (1; 2; 1; 3?

x = (8; -33; 5)T


ili) mehrdeutig lösbar:allgemeine Lösung: y =

(

- 44 - 17;; )20 + 7Y2

(mit beliebig vorwählbaremY2(eIR))

(Beispiele)Nichtbasislösungen:

Basislösungen:

Y1 = (-61; 1; 27)T ; Y2 = (-27; -1; 13)T

YB1 = (-44; 0; 20)T ; YB2 = (32/7; -20/7; O)T

v) nicht lösbar, da im Verlauf des Algorithmus die (stets falsche) Zeile

o 0 0 I-10 auftritt .

9.2.72: i) rgA =rgA Ib = 3 ili) rgA =rgA Ib = 2 v) rgA = 2 ; rgA Ib =3

9.2.73: ü) Aufg. 9.2.71 ii):Aufg. 9.2.71 iii):

9.2.74: xBl = (5; 0; 6?;

15 verschiedene Basislösungen (n = 6, m = 2)3verschiedeneBasislösungen (n = 3, m = 2)

XB2 (0; -1 ; -I? ;

9.2.81: i) üi) K1 = .i, (-~~ -::17 -1 4

-17 -34

16 -18 )6 -11

3 317 - 34

9.2.82: AusAX = bfolgtx = KIb:

(

0,5 -0,75 2)i) K1= 0 0,5 - 1

-0,5 0,25 0

Xl (-1; 2; -2)T

x2 (18,25; -9,5; 1,25)T

x3 (-5,25; 5,6; -3,85)T

9.2.94: i) Die gesuchten Verrechnungspreise seien PI (Strompreisin€/kWh) und pz (Reparaturpreisin€/h) . Dann muss gelten:Bewertete Gesamtleistung = primäre Kosten + sekundäre Kosten, d.h.Strom: 200 .000P1 = 30.540 + 400pzReparaturen: 1.600pz = 60.000 + 8.000P1

~ PI = 0,23 €/kWh; P2 = 38,65 €/h

ü) Gesamtkosten: Dreherei 276.620€; Endmontage 353.920 €

9.2.96: Aus dem Gozintographen erhält man folgendes Gleichungssystem:

Xl 2x3 +2X5 + 2X6x2 x3 + 2X4 + 2x7x3 2x6 + 3x7~ ~

x5 x3 + x6x6 82 + 0,lx2x7 100

~ Gesamtbedarfe: PI : 3.480 ME; P2: 1.080 ME; P3: 680 MEP4: 100 ME; P5: 870 ME; P6: 190 ME .


10 Lineare Optimierung

1816

-, al Zmax\

\'\

-,\

-,-,

-,\

-,\

\\

\

12

< . ,"

.............

\'\

-,\

\\

\

842

IX21

2

4

10

9

10.1.26:

i) a) xopt. = (18; 6); Zrnax= 72 b) xopt. =(4 ; 4); Zrnin= 24

c) xopt. = l(12; 9) + (1-l)(18; 6); Zrnax= 210

d) xoPt. = l(4; 4) + (1-l)(8; 2); Zrnin= 84

ü) a) xopt. = (16; 2); Zrnax= 54 b) xopt. = (8; 8); Zrnin= 48

c) xopt. = (8; 8); Zrnax= 168 d) xopt. = (16; 2); Zrnin= 140

10.1.29: IX21

Optimale Lösung:

40 Stück von Produkt I60 Stück von Produkt 11

DBrnax= 360 T€

x 1: produzierte u. abgesetzteMenge von Produkt 1

x2 : produzierte u. abgesetzteMenge von Produkt 2

120

IX11


10.1.30: i) Maximales Vergnügen: 5 Treffen mit Daniel und 1Treffen mit Peter; Zopt. = 35 VB

ü) Die Zielfunktionsgerade ist parallel zu einer Restriktionsgeraden => alle Rendezvous-Kombinationen zwischen (0;4) und (4;2) sind gleichermaßen optimal

xopt. =...1.(0; 4) + (1-...1.X4; 2), (0 $...1. s 1); Zopt. = 8 ' v Vergnügungseinheiten

10.1.31:

Zu minimalen Kostenvon 6.800 €/Wocheführen 1 Fördertagin Grube 1 und3 Fördertagein Grube 2

6

3

x f Anzahlder Fördertage in Grube 1x2' Anzahlder Fördertage in Grube 2

6

10.1.33: Ein Backbetrieb von 6 Tagen in Betrieb A und 2 Tagen in Betrieb B ist mit Gesamtbetriebskosten von 36.000 €/Woche kostenminimal.

10.2.37: i)

üi)

opt. Lösung: Xl = 4 ; x2 = 16 ; Yl = 4 ; Y2 = Y3 = 0; Zmax = 760

opt. Lösung: Xl = 0; x2 = 0,08; x3 = 0,1; Yl = Y2 = 0; Zmax = 2,8

10.2.38: i) opt. Lösung: Xl = 40 MEl; x2 = 60 ME2; Yl = 120; Y2 = 0; Y3 = 0; Y4 = 35 ;Ys = 10; Zmax = 360 T€

10.2.39: optimales Produktionsprogramm: Xl = 0 ME; x2 = 15 ME; x3 = 100 ME; x4 = 0 ME;( Yl = Y2 = 0; Y3 = 3,5) ; Zmax = 1.195 € pro Tag

10.3.15: opt. Lösung: Xl= 18, x2 = 6, Yl = 18, Y2 = 0, Y3 = 0, Y4 = 14, Ys = 4, Y6 = 18, Zmax = 72

Xl Xz x3 x4 YI Yz YH1 YH2YI 2 4 1 0 1 0 0 0 0 0 ISOYZ 1 0 S 1 0 1 0 0 0 0 2S0

YH1 0 1 4 2 0 0 1 0 0 0 200YHZ 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 ISOZ* -1 -2 -4 -3 0 0 0 0 1 0 -3S0Z -2 2 1 -1 0 0 0 0 0 1 0

10.3.16: Ausgangstableau: Z* Z b

Xl Xz X3 X4 YI Yz

x3 0 0,6 1 0 0,2 0 0 10YZ 0 -4 0 0 -1 1 0 SOX4 0 -0,7 0 1 -0,4 0 0 80Xl 1 1,7 0 0 0,4 0 0 70Z 0 4,1 0 0 0,2 0 1 210

optimalesProduktionsprogramm: Optimaltableau: Z b

Xl = 70 ME; x2 = OMEx3 = 10 ME; x4 = 80 ME

Yl = 0;Y2 = 50;

Maximaler Deckungsbeitrag:Zmax = 21O€


10.3.17: Kostenminimales monatliches Produktionsprogramm:xl = 400 tEl; Xz = 120 t EZ; YI = 100; YZ = 0; Y3 = 60; Kmin = 16.000 T€/Monat

10.4.30: i) Die sekundäre Zielfunktion Z* wird nach einem Simplexschritt bereits maximal, allerdingsmit einem Maximalwert '* 0 , so dass auch die Hilfsschlupfvariable YH ungleich Null bleibtund nicht eliminiert werden kann ~ Es existiert keine zulässige Lösung

ö) Im Verlauf des Simplex-Algorithmus tritt ein suboptimales Tableau auf: Die Zielfunktion Zist noch nicht maximal. In den möglichen Pivotspalten existiert aber kein positives Pivotelement, d.h, es gibt keinen "Engpass" , Z kann durch Erhöhung von x3 oder x4 beliebig großgemacht werden, ohne dass eine Restriktion verletzt wird ~ unbeschränkte Lösung

10.6.8: i) Wenn man Gleichung (3) mit (-1) multipliziert, sind (2) und (3) von der Form

a ~ 12 und a:5 12 ~ a = 12

d.h. das System von 3 Ungleichungen ist auf 1 Ungleichung und eine Gleichung reduziert

ii) Setzt man uz' := Uz - u3, so lautet das System:

3uI + 2uz ' + 4u4 ~ -105uI + 8uz' + u4 = 128uI + 7uz' - 4u4 = Z ' - min. (u}t u4 ~ 0, u]' beliebig)

Es kommen somit nur noch 3 Variablen vor. Da uz, u3 ~ 0 vorausgesetzt ist, kann uz'( = Uz - u3) beliebige (positive odernegative) reelle Werte annehmen .

10.6.17: i) Dual von Aufgabe 10.1.29: 6uI + 4uz + 3u3 + u4 ~ 32uI + 4uz + 6u3 + Us ~ 4

480uI + 400uz + 480u3 + 75u4 + 70uS = Z' - Min.

Uopt (UI Uz u3 u4 Us VI Vz Z')T = (0; 0,5; 0,3; 0; 0; 0; 0; 360)T

iü) Dual von Aufgabe 10.1.31: 60uI + 40uz + 20U3 :5 2.00020uI + 120uz + 20U3 :5 1.600

120uI + 240uz + 80u3 Z' - Max.

Uopt (ul Uz u3 VI Vz Z'? = (10; 0; 70; 0; 0; 6.800?

v) Dual von Aufgabe 10.1.33: 6uI + 4uz + 2u3 S; 4.0002uI + 12uz + 2u3 S; 6.000

24uI + 48uz + 16u3 Z ' - Max.

Uopt (UI Uz u3 VI Vz Z')T = (0; 250; 1500; 0; 0; 36.000)T

vü) Dual von Aufgabe 10.3.11: Eine Modifikation des Primal (s. Lehrbuch Bsp. 10.6.4) liefert

als Dual: 4uI + 3uz + u4 - Us ~ 406uI + 2uZ + u4 - Us ~ 508uI + 4uZ - u3 ~ 60

5000uI + 2000uz - 100u3 + 400u4 - 400uS Z' - Min.

Üopt = (ul Uz u3 u4 Us VIVz v3 Z')T = (0; 15; 0; 20; 0; 25; 0; 0; 38.000)T

ix) Dual von Aufgabe 10.3.16: Mathematisches Modell:

2uI + Uz + Us - U() ~ 24uI + u3 - u4 + Us - U() ~-2

ul + 5uz + 4u3 - 4u4 ~ -1Uz + 2u3 - 2u4 + Us - U() ~ 1

150uI + 250uz + 200u3 - 200u4 + 150us - 150U() = Z ' - Min.

Üopt = (ul Uz u3 u4 Us U() VI Vz v3 v4 Z')T == (0,2; 0; 0; 0,3; 1,6; 0; 0; 4,1; 0; 0; 210?

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13 Sachwortverzeichnis

Abbildungsvorschrift 79Ableitung 20lff-, äußere 217- der Exponentialfunktion 208f,220ff- der Grundfunktionen 206ff,218- der Logarithmusfunktion 209f,220ff- der Potenzfunktion 207f- der trigonometrischen Funktionen 210- der Urnkehrfunktion 218f-, gemischte partielle 332-, höhere 223f,33lf- impliziter Funktionen 340f-, innere 217-, logarithmische 222f-, ökonomische Interpretation 237ff,241f-, partielle 214,327ff-, totale 338fAbleitungsfunktion 203Ableitungsregeln 211ff,225abschnittsweise definierte Funktion 87f,

189Abszisse 20,82aggregierter Markt 108,133,150Amoroso-Robinson-Relation 312,360Andlersche Losgrößenformel 293Anfangsbedingung 439Anfangswertproblem 439Angebotsfunktion 133f,285-, aggregierte 133,150f-, individuelle 133Ankathete 122Annuität, äquivalente 434Anpassung 137-, intensitätsmäßige 137-, quantitative 137,193-, zeitliche 137,194Anpassungskoeffizient 539,542Approximationsgerade 106Äquivalenz 14Äquivalenzumformung 14f,50ff,477Arithmetik 21ffAssoziativgesetze 22,455,457,463Asymptote 115,170,173,195ffAusklammern 25Aussage4ff-, äquivalente 11-, Verknüpfung 8ff-, zusammengesetzte 8,10ffAussageform 4ff

-, allgemeingültige 6f-, äquivalente 14f-, Definitionsmenge 6-, Lösung 6-, unerfüllbare 7Aussagenlogik 4ff,12-, Gesetze 12Axiome für reelle Zahlen 22f

Basis einer Potenz 34Basislösung 489,514-, zulässige 514f,52lfBasisvariable 489,515Bedarfsvektor 465Bestellmenge, optimale 291Betrag29fBetriebsminimum 278,319fBetriebsoptimum 279,319fBinomialkoeffizient 32ffBinomische Formeln 26,33Bogenelastizität 303Bogenlänge 123Bogenmaß eines Winkels 123Break-Even-Point 286Bruchrechnen 26ffBudgetgerade 378,395

CES-Produktionsfunktion 135,23lfceteris-paribus-Bedingung 131,161 ,330f,

352fCobb-Douglas (CD) -Funktion 135,164f,

232,354ff,384ff,398fcomplementary-slackness 545Cosinus 122Cotangens 122Cournot287Coumotsche Menge 288Cournotscher Preis 288Coumotscher Punkt 288c.p. siehe ceteris-paribus-Bedingung

Deckungsbeitrag 140,247,423Definitionsbereich 78,80,154-, maximaler 80f-, ökonomischer 80Definitionslücken 114

589


590

Definitionsmenge 6,18,47,65,68fsiehe auch Definitionsbereich

Degeneration 529ff,545degressives Wachstum 255fDiätproblem 502ff,521ff,54lf,550fDichtefunktion 431Differential 238f-, partielles 335f,752-, totales 336f-, vollständiges 336fDifferentialgleichung 437ff-, gewöhnliche 437-, Grad einer 437-, lineare 437-, Lösung 438ff--, allgemeine 439--, partikuläre 439--, spezielle 439-, ökonomische Anwendungen 44lff-, Ordnung 437-, partielle 437-, separable 438Differentialquotient 20lffDifferentialrechnung 199ff,237ff,325ff- bei ökonomischen Funktionen 270ffDifferentiation 20lf,206ffDifferenzenquotient 200differenzieren 201,206ffDisjunktion 9fdiskontieren 429Diskriminante 60Distributivgesetze 22,457,463divergent 170-, bestimmt 170,172f-, oszillierend 172,187-, unbestimmt 172,175Division 23- durch Null 23Doppelsumme 31doppelt-geknickte Preis-Absatz-Funktion

150,289ff,295Dual 542-, ökonomische Interpretation 548ffDualität 542ffDualitätssätze 545durchschnittliche Konsumquote 273,277durchschnittliche Produktivität 245Durchschnittsertrag 135,245,320Durchschnittsfunktion 115,138,249f,

277,312Dyopol339

e siehe Eulersche ZahlEcke 205f,268f


Eckpunkte 50lf,504,512ff-, Koordinaten 512-, Verbindung zweier 53lfEinkommens-Konsum-Kurve 393felastisch 308Elastizität 30lff,304ff,31Of,352ff-, Bogen- 303- der Durchschnittsfunktion 312f- der Nachfrage 308f-, Grad der 308-, graphische Ermittlung 314ff- homogener Funktionen 354ff-, Kreuzpreis- 31Of,353-, Niveau- 310,355- ökonomischer Funktionen 308f-, partielle 352f,385-, Produktions- 310,354f-, Punkt- 304-, Skalen- 310,355ff,385-, Substitutions- 310-, Vorzeichen 305ffElastizitätsfunktion 305,44lfElement- einer Matrix 450- einer Menge 1endogener Input,-Output 468Engel-Kurve 393fEngelfunktion 14lfEngelsches Gesetz 324Engpaß517fEngpaßbedingung 517fEngpaßfertigungsstelie 502Entartung siehe DegenerationEntlogarithrnieren 67Entlohnung der Inputfaktoren 322ff,357ffEntscheidungsvariable 500Erlösfunktion 106,134,423Ertragsfunktion siehe ProduktionsfunktionErtragsgesetz 135Erweiterungsregel 27Eulersche Homogenitätsrelation 354Eulersche Zahl 43,180Exhaustionsmethode 407Existenzminimum 141exogener Input,-Output 468Expansionspfad 383fExponent- einer Potenz 34-, Wurzel- 38Exponentialfunktion 84,118ff,208fExponentialgleichungen 42,66exponentielles Wachstum 441Exportfunktion 311Extremwert 256ff-, absoluter 257


-, freier 347-, gebundener 347-, globaler 257-, lokaler 257- mit Nebenbedingungen 346ff,377ff- ohne Nebenbedingungen 344ff,362ff-, relativer 257ffExtremwertbestimmung 257ff,268ff,

344ff,349t362ff,377ff

Fahrstrahl 138f,250,277-, steigung 250Fahrstrahlanalyse 277ffFaktoreinkommen 357fffaktorisieren 25Faktomachfragefunktion 366,384fFaktorregel211Faktorvariation-, partielle 135f,336-, totale 337Faktorverbrauchsfunktion 245Fakultät 32ffFalk'sches-Schema 461fixe Kosten 136Flächeninhaltsberechnung 416ffFlächeninhaltsfunktion 412Flächeninhaltsproblem 407Folgerung 13Fundarnentalsatz der Algebra 112Funktion einer reellen Variablen 77ff-, Ableitung 201ff-, abschnittsweise definierte 87ff,189-, algebraische 116ff-, äußere 95,215f-, beschränkte 96f-, Cosinus- 122,124f-, Cotangens- 122,125f-, Definition 77-, Definitionsbereich 78-, Elastizität 301ff-, empirische 106-, explizite 94,340f-, Exponential-118ff,208f-, ganzrationale 100ff-, gebrochen-rationale 114ff-, gerade 99-, Graph 82ff-, Grenzwert 467ff-, implizite 94,340f-, innere 95,215f-, inverse 89ff-, konstante 102f-, lineare 102ff,106-, Logarithmus-120f,209f

-, maximaler Definitionsbereich 80f-, mittelbare 95,215ff-, monotone 97ff,253ff-, ökonomische 131ff-, ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich

80-, periodische 125-, Potenz- 117ff,207f-, quadratische 109ff-, Sinus- 122,124f-, stetige 127,185ff-, Stetigkeit 185ff-, symmetrische 99-, Tangens - 122,126-, transzendente 118-, trigonometrische 121ff-, Urnkehr- 89ff-, ungerade 99-, verkettete 95f,215ff-, Wertebereich 78-, Wertetabelle 81-, Wurzel- 84,116ff-, zusammengesetzte 95,215ffFunktion von mehreren Variablen 153ff-, Darstellung 154ff-, Differentialrechnung 325ff,-, Homogenität 163ff-, lineare 162f-, mit vorgegebener Elastizität 441f-, Monotonie und Krümmung 333f-, partielle Ableitung 327fffunktionale Abhängigkeit 80Funktionsgleichung 78f,154Funktionsterm 79Funktionswert 78f,81Fuzzy Logic 1f

Gaußscher Algorithmus 477ff- mit teilweiser Elimination 478f- mit vollständiger Elimination 479ffGegenkathete 122Gegenwartswert 429fGeldillusion 395Gerade 103-, Gleichung 105-, Steigung 103ffGewinnfunktion 139f,282ff,423fGewinnlinse 140,287Gewinnmaximierung 282ff,362ff,423f- bei Mehrproduktuntemehmungen 366ff- bei räumlicher Preisdifferenzierung 371ffGewinnschwellen 130,140,282,289Gewinnzone 140,282,287Gleichgewicht

591

592

-, Markt- 111,148- smenge 111- spreis 111- spunkt 111- sumsatz 111Gleichung 5f,47ff-, allgemeingültige 6ff,48-, Bruch- 67f-, Definitionsmenge 6,18,47-, Exponential- 66-, Funktions- 78f- höheren Grades 62-, lineare 54f,459,473-, Logarithmen- 67-, Lösung 6ff,28f,47ff-, Lösungsmenge 48-, näherungsweise Lösung 127ff,233ff-, Nonnalfonn einer quadratischen 59-, Potenz- 62-, quadratische 59ff-, unerfüllbare 7f,48-, Wurzel- 65Gleichungssystem 344f-, lineares 55ff,464,473ffGossensches Gesetz, erstes 256,272,

323,343Gossensches Gesetz, zweites 388Gozintograph 493Graph einer Funktion 82ff,85fGrenzausgaben 243fGrenzdeckungsbeitrag 247Grenzdurchschnittsertrag 245Grenzerlös 243f,319,321Grenzerlösprodukt 365,370Grenzertrag 244fGrenzfunktion 240ff,249f-, partielle 330fGrenzgewinn 246,331,538Grenzhang zum Konsum 141,247,273Grenzhang zum Sparen 247fGrenzkosten 242,32lf,331,542Grenzneigung siehe GrenzhangGrenznutzen 388fGrenzprodukt 244Grenzproduktionskoeffizient 245Grenzproduktivität 244,320,379f- der Arbeit 244- des Kapitals 244-, partielle 310,330-, physische 357Grenzproduktivitätsprinzip 359fGrenzproduktivitätstheorie 357- der Verteilung 363Grenzrate der Substitution 248f,34lf,

388,542


-, abnehmende 342fGrenzstückdeckungsbeitrag 247Grenzstückgewinn 246Grenzstückkosten 242fGrenzumsatz 243fGrenzverbrauchsfunktion 245Grenzwert 167ff-, Existenz 171-, linksseitiger 171-, Rechenregeln 18lf-, rechtsseitiger 171-, uneigentlicher 170,172,187Grenzwert bei unbestimmten Ausdrücken

226ff

Hauptnenner 68Hauptsätze der Differential- und Integral-

rechnung 413ffHaushaltsgleichgewicht 387Haushaltsoptimum 387ffHochzahl siehe Exponenthomogene Funktion 163ff,353ff-, Elastizität 354ff-, linear- 164ff,358,364Homogenitätsgrad 164,353ff,385Horner-Schema 10lfL'Hospital, Regeln von 226ffHyperbel 84Hyperebene 163,512,514,529Hypothenuse 122

Implikation siehe FolgerungImportfunktion 311Indifferenzkurven 142f,160,249-, Steigung 343-, konvexe 343innerbetriebliche Leistungsverrechnung

495ffInput 135Input-Output-Analyse 468ffIntegral-, bestimmtes 407ff-, geschlossen darstellbares 405,418,421-, Grund- 404-, Rechenregeln 405f,4lOf,418ff-, unbestimmtes 403-, uneigentliches 431Integralfunktion 412ff-, Ableitung 414Integralrechnung 40lff-,1. Hauptaufgabe 402,412-,2. Hauptaufgabe 407,412-, ökonomische Anwendung 422ff


Integrand 403,408Integration 402ff,415- durch Substitution 420f- einer Summe 405- eines Produktes 406-, partielle 419f- von gebrochen-rationalen Funktionen 421Integrationsgrenzen 408,421Integrationskonstante 402f,416,439fIntegrationsvariable 408integrieren 401Intervall 4-, abgeschlossenes 4-, eigentliches 4-, halboffenes 4-, offenes 4-, uneigentliches 4Intervalladditivität 410inverse Elemente 22,455inverse Matrix 466ffInvestition 433ff-, Netto- 432-, optimale Nutzungsdauer 433ffInvestitionsfunktion 143Investitionskette 434isoelastische Funktion 314Isogewinnkurve 160Isohöhenlinien 157Isokostenkurve 160,377fIsoquanten 135f,160,248,341f-, konvexe 342,377f-, Steigung 341Iterationsverfahren 128,233f

Kanonisches System 487Kapazitätsauslastung 520,530

537f,549Kapazitätsgrenze 279Kapitalakkumulation 432Kapitalausstattung pro Kopf 444Kapitalstock 432Kapitalwert 434Kausale Abhängigkeit 80Kettemegel216,337fKeynes 273,277kleinste Quadrate, Methode der 374ffKoeffizientemnatrix 464,467,473Kommutativgesetze 10,13,22,455,462Komplementärgüter 353Komponenten 451Konjunktion 8fkonkav 254ff,258,260Konsumentenrente 425fKonswnfunktion 106,141f,247

kontinuierliche Zahlungsströme 428ffkonvergent 168konvex 254ff,258,260Koordinatenebene 20Koordinatenraum 21Koordinatensystem 20,82-, doppelt-logarithmisches 318-, Ursprung 82Körper 23Kostenfunktion 106,136ff,242,

271f,422f-, Durchschnitts- 138f-, ertragsgesetzliche 137,274f,

278ff,294-, Fix-136-, Gesamt- 136f,193f,250,385f-, Grenz- 242f-, lineare 106,137-, neoklassische 137-, Stück- 138f,193f,242f-, variable 136Kostenisoquante 160Kreisfunktionen 122Kreisregel483f,519Kreuzpreiselastizität 31Of,353Krümmung von Funktionen 253ff-, konkave 254ff,258,260-, konvexe 254ff,258 ,260Kurvendiskussion 262ff,276Kürzungsregel 27

Lagerkosten 291Lagrange-Funktion 348,350Lagrange-Methode 348ff,377ffLagrangescher Multiplikator 348,350-, ökonomische Interpretation 379,388Leontief-Inverse 470Lernkurve 276L'Hospital, Regeln von 226ffLineare Algebra 449ffLineare Optimierung (LO) 499ff,513,534-, degenerierte Lösung 529f-, duales LO-Problem 542ff-, Engpaßbedingung 517f-, Formulierung 510,513-, graphische Lösung 500ff,508-, keine Lösung 507f,528ff-, mehrdeutige Lösung 506,531f-, Optimalitätskriterium 515f-, primales LO-Problem 542f-, Simplexverfahren 510ff,518ff,534-, Sonderfälle 505ff,528ff-, unbeschränkte Lösung 507f,529fLineare Planungsrechnung siehe

593

594

Lineare OptimierungLineare Programmierung siehe

Lineare Optimierunglineares Gleichungssystem (LGS) 55ff,

464,473ff-, allgemeine Lösung 488-, Basislösung 489f-, Darstellung mit Matrizen 464,473-, eindeutig lösbares 489-, homogenes 473-, inhomogenes 473-, inkonsistentes 474-, kanonisches 487f,513f-, Koeffizientenmatrix 473-, konsistentes 474-,Lösbarkeit486ff,489f-, Lösung(svektor) 467f,474-, Lösungsverfahren 55ff,475ff-, mehrdeutig lösbares 488f-, nicht lösbares 488fLinearfaktoren 61,64,111linear-homogene Funktion 164f,358,364Linearkombination (von Vektoren) 457f-,konvexe457~532

Liquidationserlös 433Logarithmenbasis 43,46Logarithmengesetze 44flogarithmieren 42Logarithmus 42ff-, binärer 43-, Briggscher 43-, dekadischer 43-, dualer 43-, natürlicher 43-, Zehner- 43Logarithmusfunktion 84,120f,209flogistische Funktion 145,183Lohn/Arbeitsangebotsfunktion 144Losgröße 291ff-, optimale 291ff,295Lösungsmenge 6,48Lücke 115,177,188

Marginalanalyse 276ffmarginale Konsumquote 141,247,277,331marginale Sparquote 247fMarginalfunktion 241Marktgleichgewicht 111,148mathematisches Modell 270fMatrix (Matrizen) 449ff-, Addition 454f-, Diagonal- 453,477,479-, Diagonale 450-, Dreiecks- 453,476ff


-, Einheits- 453-, Gleichheit 450-, inverse 466ff,491ff-, Koeffizienten- 464,467,473-, Multiplikation mit einem Skalar 456f-, Multiplikation zweier 459ff-, Null- 453-, quadratische 450-, Rang 486,489-, reguläre 466-, singuläre 466-, symmetrische 451-, transponierte 451-, Typ 450Matrixoperationen 454ffMatrizengleichung 464Matrizenmultiplikation 459ffMatrizenrechnung 449ffMaximum 190 und siehe ExtremwerteMehrproduktuntemehmung 366ff,369ffMenge 1-, Beschreibung 1-, Bild-78-, Definitions- 6,18,47,78-, Differenz- 17f-, Durchschnitts- 16-, endliche 2-, Gleichheit 15-, Grund- 3,6,47-, Komplementär- 18-, leere 2-, Lösungs- 6,48-, Paar- 20f,77,82-, Potenz- 16-, Produkt- 20-, Rest-17f-, Teil-15f-, unendliche 2-, Venn-Diagrarnme 2, 16ff-, Vereinigungs-17-, Werte-78-, Ziel-78Mengenalgebra 19Minimalkostenkombination 136,377ffMinimalkostenlinie 383fMinimum 190 und siehe ExtremwerteMonopol 282,287,364ff,367fMonopsonist 324Monotonie von Funktionen 97ff,253ffMonotoniegesetze 69f

nachdifferenzieren 217Nachfragefunktion 106,132-, aggregierte 108,133,150f


-, individuelle 133Nachfragevektor 469Nebenbedingung 346f,499Negation 10Nettosozialprodukt pro Kopf 444neutrale Elemente 22,455Newton-Verfahren 233ffNichtbasisvariable 489,515Nichtnegativitätsbedingungen 500-, Fehlen 533Niveauelastizität 310,355Normalform einer quadratischen Gleichung

59Norrnalgleichungen 376Nullaktivität 521fNullstellen 100,110-, näherungsweise Bestimmung 127ff,

233ff- von Polynomen 111ffNumerus 42Nutzenfunktion 142f,160,249f,

272,346,387-, Cobb-Douglas- 398f-, neoklassische 343-, ordinale 387Nutzengrenzen 130,282Nutzenisoquanten siehe IndifferenzkurvenNutzenmaximierung 387ff,393ffNutzungsdauer, optimale 433ff

ODER, logisches 9offer-curve 395fökonomische Funktionen 131ffOligopol, Preistheorie für das 339Opportunitätskosten 538,548foptimaler Faktoreinsatz 322f,362ff- in Mehrproduktuntemehmungen 369ffOrdinate 20,82Ordinatenabschnitt 103Ortsvektor 138,277,452Output 135

Paarrnenge 20,77,82Parabel 83,109-, kubische 84-, Norrnal- 109Parameter 214Partialanalyse 161,330partielle- Ableitung 214,327ff- Elastizität 352f- Faktorvariation 336- Grenzproduktivität 330f,333f

- Integration 419fPasca1sches Dreieck 33Perrnanenzprinzip 37f,40Phasendiagranun 445Phillips-Kurve 144,151Pivot 482Pivotelement 482Pivotisieren 481ffPivotschritt 484,518fPivotspalte 482f,516Pivotzeile 482f,517fPol 115,170,187,205Polynom 100ff-, Koeffizienten 101Polynomdivision 111ffPolynornzerlegung 111fPolypol 282f,286,362f,366fPortofunktion 87Potenzen 34ff-, Rechenregeln 35ff,40f-, Zehner- 35,37Potenzgleichungen 42,62Potenzmenge 16Preis-Absatz-Funktion 132,250-, aggregierte 108,133 ,150-, doppelt-geknickte 150,289ff--, monopolistischer Bereich 289f

Preis-Elastizität der Nachfrage 306308f,313

Preisdifferenzierung 371ffPreisklasse 289Preis-Konsum-Kurve 395fPreisuntergrenze, kurzfristige 278Preisuntergrenze, langfristige 279Preisvektor 452Prirnal542primäre Kosten 495Problemvariable 500,513f,543,545Produktionselastizität 164,31O,354fProduktionsfaktoren 135-, substituierbare 135Produktionsfunktion 106,117,160f,

161f,244f,250-, CES-135,231f-, Cobb-Douglas- 135,164f,354f,384ff-, ertragsgesetzliche 135,272,281-, homogene 357f-,limitationale 135-, linear-homogene 364f-, neoklassische 135,273Produktionskoeffizient 245,459f,468fProduktionslebenszyklus 144Produktionsmatrix 456,469Produktionsprogranunplanung 519f,

535ff,548f

595

596

Produktionsvektor 452,454,458,465,469Produktivität 135,245Produktmenge 20Produktregel212fProduktzeichen 3lfProduzentenrente 426fprogressives Wachstum 255fPunktelastizität 304

Quadrant 82quadratische Ergänzung 59quadratische Gleichung 59ffQuotientemegel213f

Rabattstaffelfunktionen 192fRadikand 38,65Randextremum 257Raum, 3-dimensionaler 21,155fRaum, n-dimensionaler 21,154Reaktionskoeffizient 339Rechenregeln für reelle Zahlen 25ffRechteckregel483fRegressionsfunktion 374ffRegressionsgerade 106,375fRegressionskoeffizient 376Regula falsi 127ffReihenfolge der Rechenoperationen 24Relation 85,116-, funktionale 85relative Änderung 303Rente, ewige 430Restriktion 346,499,514- skoeffizientemnatrix 510Resubstitution 63Rüstkosten 291

Sattelpunkt 259f,345Sättigungspunkt 272Sättigungswert 183f,247Schattenpreis 538,548fSchlupfvariable 512,543,545-, Hilfs- 522fSchwabesches Gesetz 323Schwarz, Satz von 332Schwelle des Ertragsgesetzes 272,279fSekante 200Sekantenverfahren siehe Regula falsisekundäre Kosten 495Simplexiteration 519Simplexschritt 519Simplextableau 515-, ökonomische Interpretation 535ff,540


Simplexverfahren 51Off,518ff,534-, Engpaßbedingung 516ff-, Optimalitätskriterium 515f-, Sonderfälle 528ff-, Zweiphasenmethode 521ffSinus 122Skalar 453,458Skalarprodukt 458fSkalenelastizität 310,355ff,385Skalenerträge-, fallende 165,355f,358,361,386-, konstante 165,355f,358,361,386-, steigende 165,355f,358,361,386Spaltenindex 450Spaltentausch 477Sparfunktion 141Sparquote 147Spitze 268Sprung 171,187,192f,205,290Stamrnfunktion 402,413ffStandard-Maximum-Problem 511,

518ff,546Standard-Minimum-Problem 511,546stationäre Stelle 258f,344fSteigung- des Fahrstrahls 139,250,277- einer Fläche 325f- einer Geraden 103ff,200-, Funktions- 200ff- der Sekante 200f- der Tangente 20lfStetigkeit 185ff- ökonomischer Funktionen 192ff- und Differenzierbarkeit 205fstetige Funktionen, Eigenschaften 190fSteuerfunktion 88fStrahlensätze 315Stromgröße 428Strukturvariable siehe ProblemvariableStückdeckungsbeitrag 247Stückgewinn 115,140- funktion 140- maximierung 285f,288fStückkosten 115,138fStücklistenauflösung 493fsuboptimale Nichtbasislösung 538Substitution 62f,420fSubstitutionselastizität 310Substitutionskoeffizient 539,542Substitutivgüter 353,368Subtraktion 23Summationsgrenzen 29fSurnmationsindex 29fSummemegel21lfSummenzeichen 29f


tan 103,122,200,226Tangens 122Tangente 201-, senkrechte 205-, waagerechte 257Tangentenfunktion 237Tangentensteigung 20lfTangentenverfahren 233ftTangentialebene 327,335f,344Technologiematrix 470Teilebedarfsrechnung 493fTeilmenge 15fTerme 5-, äquivalente 7-, Funktions- 79Termersetzung 50Totalanalyse 161,330,336ftotale Ableitung 338ftotale Faktorvariation 337totale partielle Ableitung 338fTransformationskurve 143Trennung der Variablen 438ftTrigonometrische Funktionen 121ft

Umkehrfunktion 89ft-, Gleichung 90f,92f-, Graph9lfUmkehroperation 45Umkehrrelation 92Umkehrschluß 13Umsatzfunktion 134Umweltbedingungen 377unbestimmter Ausdruck 182,226ftUND, logisches 8funelastisch 308Ungleichungen 6,69ft,499ft-, Lösung 6,69ft-, Rechenregeln 69fUnstetigkeitsstellen 185,187ft-, hebbare 188

Variable 5f,79f-, abhängige 79f-, Entscheidungs- 500,510-, Hilfsschlupf- 522f-, Problem- 500,51O,513f,543,545-, Schlupf- 512f,543,545-, unabhängige 79f,153variable Kosten 11O,136fVariablensubstitution 348Vektoren 154,451ft-, Addition zweier 455-, Einheits- 453,482

597

-, Komponenten 451-, linear unabhängige 486-, Linearkombination 457f-, Null- 453-, Orts- 452-, Skalarprodukt zweier 458f-, Spalten- 45lf-, Streckung 456-, summierende 453-, Zeilen- 45lfVenn- Diagramme 2,16ftVerbrauchsfunktion 144,245Verbrauchsrnatrix 459fVerbrauchsquote 147Verbrauchsvektor 469Verdrängungskoeffizient 539,542Verflechtung 455,495f-, sektorale 468Verrechnungs kosten 495Verrechnungsprcis495Vierphasenschema 279Vieta, Satz von 61vollständige Konkurrenz 282,362ff,366fVorzeichenbeständigkeit 190f,256Vorzeichenregeln 25f

Wachstum-, degressives 255f-, exponentielles 441-, progressives 255fWachstumsfunktion 144Wachstumsmodell443ftWachstumsverhalten ökonomischer

Funktionen 271ftWahlprobleme, ökonomische 347Wahrheits tafel 8Wahrscheinlichkeit 431Wendepunkt 260fWertemenge 78Wertetabelle 81,154fWertgrenzproduktivität 323,357,369Wicksell-Johnson-Theorem 356Winkelfunktionen 122Wurzel 38ff- exponent 38,65- funktion 84,116ft- gesetze39- gleichungen 65

Zahlen-, ganze 3-, irrationale 3-, komplexe 60

598

-, natürliche 3-, rationale 3-, reelle 3Zahlenpaar 20ZaWenstrahl3Zahlungsgeschwindigkeit 428Zahlungsstrom 428f-, Breite 428-, Geschwindigkeit 428-, konstanter 430-, unendlicher 430fZeilenindex 450Zeilenoperation 477Zeitwert kontinuierlicher Zahlungs-

ströme 429Zielfunktion 499-, sekundäre 523- sgerade 502,504


- skoeffizient 505,532- szeile 515fZins, stetiger 428fZufallsvariable 431zulässige Basislösung 514fzulässige Lösung 501,511,

528f,545zulässige optimale Lösung 502,

511,532zulässige Zeilenoperation 477fzulässiger Bereich 501Zuordnung 77f-, Eindeutigkeit 77f-, inverse 89fZuordnungsvorschrift 77,79-, inverse 89fZweiphasenrnethode 521ffZwischenwert 190f

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