12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

  • Published on
    07-Jun-2015

  • View
    1.601

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mathe LK Analytische Geometrie (Herr Schmidt), Paul Klee Gymnasium, Schuljahr 05/06 (Erstes Halbjahr, K12)

Transcript

Mathe Analytische Geometrie 12/1Def.:Ein Prisma ist ein Krper, der von zwei kongruenten Vielecken, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckflche, und parallelogramme als Seitenflchen begrenzt wird.Def.: Ein Prisma, dessen Grundflche ein Parallelogramm ist, heit Spat.S.75/8HG E Fc D C

bAa Ba) AC=a+bAF=a+cAH=b+cb)AG=a+b+cS. 76/10CD c E

bB F Oa ADE=12BA=12ab)DE=DC+CE=12BC+12CA=12cb)+12ac)=12cb+ac)=1over 2ab)*An der Stelle * wurde das Distributivgesetz angewandt. Welche Gesetze gelten berhaupt in der Vektorrechnung?1.3.Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor (S-Multiplikation) --> Multiplikation mit einer Skalareinheitz.B: Kraft mF3F=F+F+F Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erhlt man wieder einen Vektor. Dieser hat die dreifache Lnge und die gleiche Richtung (nur in diesem Beispiel)Bsp: a 1,5aAllgemein:Frk R; aV gilt:Der Vektorka hat die |k|-fache Lnge von a.Fr k > 0 haben a undka gleiche RichtungFr k < 0 habena undkaentgegengesetzte RichtungRechengesetze:1) Gemischtes AssoziativgesetzFrr , sR undvV gilt:rsv)=rs)vBeispiel: r = 2, s = 1,5 rs)vrsv)2) S- DistributivgesetzFrr , sR undvVgilt:r+s)v=rv+sv3) V-DistributivgesetzFrrR unda ,vV gilt:ra+b)=ra+rb2. Koordinaten 2.1.Darstelluing von Punkten im Koordinatensystem e3 e2 e1Die Basisvektoren e1, e2, e3besitzen die Lnge 1: e1= e2= e3=1Koordinatendarstellung:e1=100); e2=010); e3=001)Der Vektor OP ist der Ortsvektor des Punktes P bezglich des Ursprungs O.P(5|3|-2) --> OP=532)x1x2x3jeder Vektor des Ruames lsst sich eindeutig als Summe vom vielfachen der Basisvektoren darstellen.a=k1 e1+k2 e2+k3 e3mit kiR; aVDie Zalhen k1,k2,k3heien koordinaten vona . Die Vektoren k1 e1,k2 e2und k3 e3nennt man die Komponenten des VektorsaFolgerungen:1) Ist eine Koordinate null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenebene2) Sond zwei Koordinaten null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenachse3) Die Vektorkoordinaten des Orstvektors OP=p=p1p2p3) stimmen mit den Punktkoordinaten des Punktes P berein.2.2.Das Rechnen mit Vektoren a!b=a1!b1a2!b2a3!b3); ka=k a1k a2k a3)Merke: Zwei Vektoren sind genau dann parallel (kollinear im 3D-Raum), wenn der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist.Bsp: a=134);b=268); c=41216)hier: b=2a; c=4a ;b=12cS.86/8OA=123)OB=321)AB=OBOAOC=OB+AB=2OBOA=521)s.86/9OR=456)OS=789)SR=OROSOA=OR+SR=2OROS=123)OB=OSSR=2OSOR=101112)Teilverhltnisse PT QP QTDef.: IstT PQ ,TQund P der Anfangspunkt, dann heitt=PT :TQ Teilverhltnis von T bezglich [PQ] Man unterscheidet:T | PQ : innere Teilung mitt=PTTQ>0T | PQ : uere Teilun g mitt=PTTQ0Def: T teilt [PQ] im Verhltnist genai dann, wenn PT=tTQBeispiele:Bestimme bei folgenden Aufgaben jeweilst1) ? ; 2) ?3) allgemeine Formel zur Herleitung des Ortsvektors0T=TPT=tTQ0T0P=t0Q0T)0T=t0Q+0P1+tT=tQ+P1+tBetrachtet=1 : T soll auerhalb von PQ sein und gleich weit entfernt sein --> gibt es nichtDef.: Wird eine Strecke [PQ] durch einen inneren und ueren punkt im gleichen Verhlltnis geteil, spricht man von einer harmonischen TeilungBeispiel:32PTiQTA Kennzeichne farbig die Bereiche wo T liegen kann fr smtliche mgliche Flle frt 0t1t>11t0 t=0 t1P t=1Q2.3.Der Schwerpunkt eines Dreiecks Beispielaufgabe zur Bestimmugn der Koordinaten des SchwerpunktsGeg.:A ABCmit A(1|1|2); B(3|2|4); C(-4|0|-4)Ges.: S(s1|s2|s3)Aus der Mittelstufe bekannt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt die Seitenhalbierende im Verhktnis 2:1 (Wird spter bewieen)C SAB 0s=a+AS=a+23AM--> m=12 b+c) m=12 p+q)Merke: Der Ortsvektor des Mittelpunktes M einer Strecke [PQ] ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Endpunkt-->s=a+23 a+ m)=a+23a+12 b+c))=13 a+13 b+13 cMerke: Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Eckens=13a+b+c)S.98/7SABC=13 a+b+c)SM aM b Mc=13 ma+ mb+ mc)=13 a+b+c) q.e.d.S.98/8Beh,; SA1+SA2+...+SAn=0i=1nSAi=0Bew.: i=1nSAi= A1S+ A2s+...+ AnS=i=1nAinSS=12 A1+...+ An)=1ni =1nAiS.98/9Bew. siehe 98/7S.98/10Beh: | M ABMCD| MBC MAD={ S }zu zeigen: MabS=S MCD und MBC S=S MADzu1: SM AB=MCDSS12A+B)=12 C+D)S2S=12A+B+C+D)3. Lineare Anhngigkeit von Vektoren3.1.Linearkombination von Vektoren Def.:Der Vektorv=k1 v1+k2 v2+...+kn vnmit k1, ...., kn heit Linearkombination der Vektoren v1, ... , vnk1, k2 ,... , knsind die Koeffizienten der Vektoren v1, ... , vnDefinition: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heien komplanarBsp.:

A BKomplanare Vektoren sind z.B.: EF ,AB ,AD ,HG,EG ,...Bsp fr eone Linearkombination: EG=EF+FGAufgabe: Zeige zeichnerisch und rechnerisch, dass sich der Vektor v=42)als Linearkombination der Vektoren v1=12 ) v2=11)und v3=20)l =2k2l =k2m+4--> fr jedes l lsbarl =8k=5m=12DCEFGH3.2.Linear abhngige und unabhngige Vektoren Der Vektor v=0,50,50,5)lsst sich linear aus den Vektoren v1=011)und v2=111 ) erzeugen:v= v1+0,5 v2Ebenso lsst sich v1ausv und v2erzeugen: v1=v0,5 v2Ebenso lsst sich v2ausv und v1erzeugen: v2=2v2 v1Es existiert also eine Wechselseitige Abhngigkeit zwischenv , v1und v2:v= v10,5 v2=0Definition:Die Vektoren v1 , v2 ,... , vnheien linear unabhgig, wenn die Gleichung k1 v1+k2 v2+...+kn vn=0 mit k1, ... kninur fr k1=k2=...=knerfllt ist.Ansonsten sind sie linear abhngig.II. Lineare Gleichungssysteme1) Schnitt von GeradenGeg.: Zwei Geraden g und hGes.: Schnittpunkt Sg : 2x3y=21h: 3x+4y=6g : y=23 x7h: y=3234 xLsungsmglichkeiten: Gleichsetzungsverfahren Subtraktions- und Addidtionsverfahren (vorher evtl. Multiplizieren) EinsetzungsverfahrenS.9 3a)b)implizite Darstellund der Geradenexplizite Darstellungc)d)e)0f)g)h)111111s.10/4a)b)3c)d)4e)f)2. Lineare GleichungssystemeBsp. fr ein lineares Gleichungssystem (LGS)1)3x15 x2=72) x2=3 x1+8Def.:Ein Gleichungssystem heit linear, wenn is allen Gleichungen die Unbekannten hchstens in der ersten Potenz vorkommen. Es besteht i.A. aus m Gleichungen und n Unbekannten. Man spricht vom m-n-SystemEine Lsung des LGS ist ein n-Tupel von Zahlen.Schreibweise: x1| x2| x3|... | xn)oder x1x2...xn)Die Faktoren vor dem Unbekannten heiten Koeffizienten des Systems. Sind alle Konstanten 0, so ist das LGS homohen, ansonsten inhomogen3. Die Lsbarkeit eines 2-2-Systemsa) eine Lsung:1) x1x2=52) x1+x2=151)+2): 2x1=20x1=10x2=5L=10|5)b) keine Lsung1) 2x1+x2=72)2 x1+x2=31)2): 0=4L=c) unendlich viele Lsungen1) x1+x2=12)2 x1+2 x2=22): 2=1)setze x1 = k:x2=1kL= x1| x2) | x1=k ; x2=1k oder:x1x2)=k1k)=01)+k11)Die Lsung ist nicht eindeutig, z.B. Setze x2 = mx1x2)=10)+m11 )Inhomgenes LGS:1)0,5 x12 x2+0,5 x3=3 2)x1+8 x2x3=63)0,25 x12 x2+0,25 x3=1,51)23): x2=0 2' ) x1=6x3 2' )1)3=3x1=6x3L= x1| x2| x3)| x1=6k ; x2=0; x3=kx1x2x3)=600)+k101 )Homogenes LGS:1)0,5 x12 x2+0,5 x3=0 2)x1+8 x2x3=03)0,25 x12 x2+0,25 x3=0x2=0x1=x3L= x1| x2| x3)| x1=k ; x2=0 ; x3=kx1x2x3)=k101 )Beobachtungen:1) Bei der homogenen Lsung fllt der konstante Teil weg2) Ein homogenes LGS besitzt zumindest immer die triviale Lsung ( 0 | 0 | 0) 3) Die Lsung des homogenen Systems ist gleich der Parameterabhngigen Lsung des inhomogenen SystemsS.15/2 a)1) x1x2=62) x1+x2=2b)P11|1)P22|4)Geradengleichungen gleichsetzen1) x2=5 x1+62)12 x2=52x1+3c)1) 2x1+x2=02) x1+12 x2=04. Der Gau-Algorithmus1) x1 +3x2 +x3 = 52) x2 - 2x3 = 63)x3 = -2Das Lgs liegt in der sog. Dreiecksform vor und ist deshlab sehr leicht zu lsenAllgemein: Ein LGS ist sehr leicht zu lsen, wenn es in der Stufenform vorkommt, dh jede Gleichung besitzt min. Eine variable weniger als die zuvorZiel von Gau:Beschaffung einer Stufenform, ohne dass sich die Lsungsmenge verndert.Hilfsmittel: Multiplikation mit einer Zahl, die ungleich 0 ist Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und einer Vielfachen einer anderen1. Beispiel(1)x1 +4x2+ x3 = 7 (1) x1 +4x2+ x3 = 7 (2) 3x1 +2x2+ 4x3 =-1(2) 3(1) (2) -10x2+ x3 = -22(3) 2x1+5x2+ 4x3 = 4(3) 2(1) (3) -3x2+ 2x3 = -103)3102)(1)x1 +4x2+ x3 = 7 in (1) x1 = 1 (2) -10x2+ x3 = -22in (2) x2 = 2 (3)17/10x3 = -34/10 aus (3) x3 = -22. Beispiel Zur Verienfachung werden die Variablen weggelassen(1) x1 + x2 +x3 = 5(2) 2x1 + 3x2= 3(3) 3x1+2x3= 1(4)1 1 1 5 (3) 3(1) 1 1 15(3) + 3(2) 1 1 1 5 (2) + 2(3) 1 1 1 5 (1) (2)2 3 0 30 1 -2-7 0 1-2 -70 1 0 33 0 3 1 (2) 2(1) 0 -3 -1-14 0 1 50 0 1 5 (1) (3)1 0 0 -30 1 03 x1 = -3 ; x2 = 3; x3 = 50 0 15DiegonalformS.111/2c)a=314 )b=512)c=213 )d=3110)3110)=k1314 )+k2512)+k3213 )1) 3=3k15k2+2k32) 1=k1+k2k33) 10=4k12k2+3k33 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 103 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 10I + 3 IIIII + 4 II0 -2 -1 -60 2 -1 6-1 1 -1 -1I + IIIII II0 0 1 0-1 -1 0 -70 2 -1 6I + IIIII + I0 1 0 30 0 1 01 0 0 4L= x1| x2| x3)| x1=4; x2=3; x3=0d=4a+3bDef.: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heien komplanarFolgerung:1) Zwei nicht kollineare Vektorena und b spannen eine Ebene auf.Jede Linearkombination vona und b lieft wiederrum in dieser Ebene, und ist deshalb komplanar zua und b2) Sinda und b nicht kollinear, dann lsst sich jeder zua und b komplanare Vektor c in eindeutiger Weise ausa und b .Beweis:Vor.:a nichtb ;c=\a+bBeh.: Es exisitert nur ein\ und Bew.: Mit Hilfe des Widerspruchbeweises:Annahme: Es gibt\1,\2, 1, 2:1) c=\1a+1b2) c=\2a+2b1) 2) : 0=\1\2)a+12)bAnn.:\1\2-->a= 12)\1\2)b-->ab Widerspruch! -->\1=\2 ebenso mit 1 = 2q.e.d.a kollinear zu bk1a ik2b=0 -->a=k2k1bk1a+k2b+k3c=0Zettel 3 Folgerungen:a ,bkollinear a ,b linear abhngiga ,b, c komplanar

a ,b, c linear abhngigS.112/10a=214 ); b=301 ); c=416 ); v=3313)Beh.:a ,b, c sind komplanarZ.z.a ,b, c sind linear abhngig2 -3 -4 0-1 0 -1 04 1 6 0I + 2 II III + 4 II0 -3 -6 00 1 2 01 0 1 0--> unendlich viele Lsungen--> sind linear abhngig--> komplanark1+k3=0k2+2k3=0k3=uk1=uk2=2ugleiches fra ,b, vb)k1214 )+k2301 )=000)2k13k2=0k1=04k1+k2=0-->a und b sind linear unabhngig-->a und b sind nicht kollinear7000a14000b+7000c=0c)k1a+k2b+k3c=v2 -3 -4 3-1 0 -1 -34 1 6 13I + 2 IIIII + 4 II0 -3 -6 -30 1 2 1-1 0 -1 -3k2+2k3=1k1+k3=3k3=uk2=12uk1=3uk1k2k3)=310)+u121 )2ab+c=v1a3b+2c=v5. Das Determinatenverfahren5.1. Systeme mit 2 UnbekanntenAllgemeines 2-2-System: I ): a1x1+b1 x2=c1 II ): a2 x1+b2x2=c2 I ' ): a1b2 x1+b1b2x2=b2c1 II ' ) : a2b1 x1b1b2 x2=b1c2 I ' )+II ' ): a1b2a2b1)x1=b2c1b1c2x1=b2c1b1c2a1b2a2b1x2=a1c2a2c1a1b2a2b1Bezeichnugn:Schreibt man die Koeffitienten in ein rechteckiges Schema, erhlt man eine sogenannte Matrix(Mehrzahl Matrizen)hier:a1b1a2b2)=AQuadratische MatrixStimmd die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahld er Unbekannten berein, so erhlt man eine nicht quadratische MatrixMan definiert:det A=a1b1a2b2=a1b2a2b1=DHauptdeterminanteErsetz man nun a1 | a2 (bzw b1 | b2) durch die Konstanten des inhomogenen LGS c1 | c2 erhkt man die sog. NebendeterminantenA1=c1b1c2b2)--> det A1=c1b1c2b2=c1b2c2b1=D1A2=a1c1a2c2)--> det A2=a1c1a2c2=a1c2a2c1=D2Cramersche Regel:Das lineare 2-2-System hat folgende Lsungenx1=det A1det Ax2=det A2det Ax1=D1Dx2=D2DsofernD05.2. Systeme mit drei Unbekanntena1 x1+b1 x2+c1x3=d1a2 x1+b2 x2+c2x3=d2a3 x1+b3x2+c3 x3=d3Cramersche Regel:x1=D1Dx2=D2Dx3=D3DD0Berechnung einer 3x3-Matrix (bzw. Determinate)a1b1c1a2b2c2a3b3c3a1b1a2b2a3b3=D=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3a3b2c1b3c2a1c3a2b1(Regel von Sarrus) vgl. FS Seite 77Bsp S.40/9a)2x1+x2+5x3=12x1+4x2+x3=1x1+x2+2 x3=1D=2 1 52 4 11 1 22 12 41 1=1D1=1 1 51 4 11 1 21 11 41 1=9=x1D2=4=x2D3=3=x3sino coso tan cos ocoso sinotan sin o0 1 tan )sino coso tan cos o sin otan 0 1D=tan2+1Allgemein gilt:WennD0 --> LGS besitzt genau eine LsungD = 0 und mindestens ein Di0--> LGS hat keine LsungD = 0 und alle Di = 0--> LGS hat unendlich viel Lsungen oder keine LsungBsp:x1x2+2 x3=12 x1+2 x24 x3=22 x12 x2+4x3=2D1=D2=D3=D=02 x12 x2+4x3=22 x12 x2+4x3=2--> WiderspruchKomplanarittskriteriena ,b, c sind nicht komplanarfrv gibt es eine eindeutige Linearkombination vonv beliebig a ,b undcv=k1a+k2b+k3ceindeutig lsbara ,b, c nicht komplanar Genau dann wennD0 ansonten:a ,b, c komplanar D = 0wobei D=a1b2c1a2b2c2a3b3c34 a)a=12t ) b=1t2 ) c=t12 )k1a+k2b+k3c=0 nur fr k1 = k2 = k3 = 01 1 t 02 t 1 0t 2 2 01 1 t 00 t 2 2t1 00 2t 2+t201 1 t 00 t 2 2t1 00 0 t22t1 0t22t 1=0t +1)2=0t =1seit 1 und k3 = 0 t2)k2+ 2t1)k3=0t =2sei t 1; t 2; k2=k3=0k1k2+tk3=0k1=0t R ohne 1; 2a)v=2ab v , a ,b komplanarb) -- w , a ,b nicht komplanarc)c=32 a+114 b54 wa ,b, w nicht komplanard) -- daa ,b, v komplanar undx nicht komplanar zua ,b, ve) unendl. a ,b, v komplanar undz komplanarFazit:Jeder Vektor lsst scih in eindeutiger Weise al Linearkombination dreier nicht komplanarer Vektoren schreiben: Sind drei Vektoren komplanar, lsst sich ein vierter Vektor nicht (wenn er nicht in der gleichen Ebene liegt ) oder auf unendlich viele Arten dieser 3 Vektoren darstellen.Anwendung der Linearen Unabhngigkeit1) Beweise:Im Dreieck teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhltnis 2:1 baABCScGeg.:a ,b, cBeh.: AS=2SMaVorgehen:(1) Suche eine geschlossene Vektorkette in der die gesuchten Transversallinien beteiligt sindAB+BS+SA=0(2) Drcke die Vektoren durch die gegebenen Vektoren ausAB=c ;BS=a+12 b)k ;SA=m12 a+b)-->c+ka+12 b)+m12 a+b)=0(3) Ordnenak+12 m)+12 k+m)b+c=0mitc=abk+12 m)a+12k +m)bab=0k+12 m1)a+12 k+m1)b=0(4) Nutze die lineare Unabhngigkeitk+12 m1=012 k+m1=0k=23 =mBS=23BMbBS:SMb=2: 1S.121/14Geg.:u , v , wb) (1) ET+TL+i=0(2) ET=kEM=k12u+ w)TL=mLS=mLE+22EK)=mu16 w+56 v)LE=12CBu=12 w+12 v+u-->u12 km+1)+ w12 k16 m12 )+v56 m+12 )=056 m+12=0m=3512 k+110 12 =0k=451245+351=0ET=45EMET :TM=4:1TL=35 LSLT:TS=3: 2III. Der abstrakte Vektorraum1. Basis und DimensionSatz: Ein beliebiges Paar linear unabhniger Vektoren b1und b2bildet die Basis der Ebene. Jeder weitere Vektor der Ebene lsst sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von b1und b2darstellen:x=x1b1+x2b2x1, x2heien Koordinaten vonxb1, b2heie BasisvektorenBeweis der Eindeutigkeit (Abi)WiderspruchsbeweisAnnahme: Es gibt noch eine 2. DarstellungX =x1'b1+x2'b2x=x1b1+x2b21) 2) 0=b1 x1' x2)+b2 x2' x2)Da b1und b2linear unabhngig--> x1' x1=0--> x1' =x1--> x2' x2=0--> x2' =x2--> Widerspruch; qedSatz: Analoges gilt fr den Raum:Die linear unabhngigen Vektoren b1 , b2, b3bilden die Basis des Raums.Bsp.: Welche Koordinaten hat der Vektor x=111 )bzgl.a) der Standardbasis B1 100),010),001)x=1100)1010)+1001)b)B2=111),010),001)x=k1111)+k2010)+k3001)D=10--> b1 , b2, b3 sind linear unabhngigIn der Mathematik unterscheidet man Rume verschiedener Dimensionen, je nachdem wie viele Basisvektoren man bracuht, um alle Punkte und Vektoren beschreiben zu knnen. Ein Raum ist gleich Menge von Punkten bzw. Vektoren = Vektorraum2. GruppenEine Menge M mit der Verknpfung heit GruppeM ;) wenn gilt:1)a , bM -->abM (Abgeschlossenheit)2) Fr jedesaM gibt es eineM mit:ae=a=ea (e: neutrales Element)3) Fr jedesaM gibt es eina1M mita a1=e=a1a (a-1: inverses Element)4) Assoziativ Gesetz:a , b, cM : abc)=ab)cGilt zustzlich das Kommutativgesetz: 5)a , bM : a b=ba dann heitM ;) kommutative oder abelsche GruppeBeispiele:a); +)1) a+b2) a+0=0=0+a (0 ist neutrales Element)3) a+a)=04) jo5) jo-->; +) abelsche Gruppeb);)1) ab2) a1=1a=a (1 ist neutrales Element)3) a1a =1 ;) ist keine Gruppe, aber0; )c); +) abelsche Grupped); ) keine Gruppee); +) ist keine Gruppe, da kein neutrales Element enthalten is...

Recommended

View more >