12/1 Mathe LK (Analytische Geometrie)

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Mathe LK Analytische Geometrie (Herr Schmidt), Paul Klee Gymnasium, Schuljahr 05/06 (Erstes Halbjahr, K12)

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Mathe Analytische Geometrie 12/1Def.:Ein Prisma ist ein Krper, der von zwei kongruenten Vielecken, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckflche, und parallelogramme als Seitenflchen begrenzt wird.Def.: Ein Prisma, dessen Grundflche ein Parallelogramm ist, heit Spat.S.75/8HG E Fc D C

bAa Ba) AC=a+bAF=a+cAH=b+cb)AG=a+b+cS. 76/10CD c E

bB F Oa ADE=12BA=12ab)DE=DC+CE=12BC+12CA=12cb)+12ac)=12cb+ac)=1over 2ab)*An der Stelle * wurde das Distributivgesetz angewandt. Welche Gesetze gelten berhaupt in der Vektorrechnung?1.3.Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor (S-Multiplikation) --> Multiplikation mit einer Skalareinheitz.B: Kraft mF3F=F+F+F Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erhlt man wieder einen Vektor. Dieser hat die dreifache Lnge und die gleiche Richtung (nur in diesem Beispiel)Bsp: a 1,5aAllgemein:Frk R; aV gilt:Der Vektorka hat die |k|-fache Lnge von a.Fr k > 0 haben a undka gleiche RichtungFr k < 0 habena undkaentgegengesetzte RichtungRechengesetze:1) Gemischtes AssoziativgesetzFrr , sR undvV gilt:rsv)=rs)vBeispiel: r = 2, s = 1,5 rs)vrsv)2) S- DistributivgesetzFrr , sR undvVgilt:r+s)v=rv+sv3) V-DistributivgesetzFrrR unda ,vV gilt:ra+b)=ra+rb2. Koordinaten 2.1.Darstelluing von Punkten im Koordinatensystem e3 e2 e1Die Basisvektoren e1, e2, e3besitzen die Lnge 1: e1= e2= e3=1Koordinatendarstellung:e1=100); e2=010); e3=001)Der Vektor OP ist der Ortsvektor des Punktes P bezglich des Ursprungs O.P(5|3|-2) --> OP=532)x1x2x3jeder Vektor des Ruames lsst sich eindeutig als Summe vom vielfachen der Basisvektoren darstellen.a=k1 e1+k2 e2+k3 e3mit kiR; aVDie Zalhen k1,k2,k3heien koordinaten vona . Die Vektoren k1 e1,k2 e2und k3 e3nennt man die Komponenten des VektorsaFolgerungen:1) Ist eine Koordinate null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenebene2) Sond zwei Koordinaten null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenachse3) Die Vektorkoordinaten des Orstvektors OP=p=p1p2p3) stimmen mit den Punktkoordinaten des Punktes P berein.2.2.Das Rechnen mit Vektoren a!b=a1!b1a2!b2a3!b3); ka=k a1k a2k a3)Merke: Zwei Vektoren sind genau dann parallel (kollinear im 3D-Raum), wenn der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist.Bsp: a=134);b=268); c=41216)hier: b=2a; c=4a ;b=12cS.86/8OA=123)OB=321)AB=OBOAOC=OB+AB=2OBOA=521)s.86/9OR=456)OS=789)SR=OROSOA=OR+SR=2OROS=123)OB=OSSR=2OSOR=101112)Teilverhltnisse PT QP QTDef.: IstT PQ ,TQund P der Anfangspunkt, dann heitt=PT :TQ Teilverhltnis von T bezglich [PQ] Man unterscheidet:T | PQ : innere Teilung mitt=PTTQ>0T | PQ : uere Teilun g mitt=PTTQ0Def: T teilt [PQ] im Verhltnist genai dann, wenn PT=tTQBeispiele:Bestimme bei folgenden Aufgaben jeweilst1) ? ; 2) ?3) allgemeine Formel zur Herleitung des Ortsvektors0T=TPT=tTQ0T0P=t0Q0T)0T=t0Q+0P1+tT=tQ+P1+tBetrachtet=1 : T soll auerhalb von PQ sein und gleich weit entfernt sein --> gibt es nichtDef.: Wird eine Strecke [PQ] durch einen inneren und ueren punkt im gleichen Verhlltnis geteil, spricht man von einer harmonischen TeilungBeispiel:32PTiQTA Kennzeichne farbig die Bereiche wo T liegen kann fr smtliche mgliche Flle frt 0t1t>11t0 t=0 t1P t=1Q2.3.Der Schwerpunkt eines Dreiecks Beispielaufgabe zur Bestimmugn der Koordinaten des SchwerpunktsGeg.:A ABCmit A(1|1|2); B(3|2|4); C(-4|0|-4)Ges.: S(s1|s2|s3)Aus der Mittelstufe bekannt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt die Seitenhalbierende im Verhktnis 2:1 (Wird spter bewieen)C SAB 0s=a+AS=a+23AM--> m=12 b+c) m=12 p+q)Merke: Der Ortsvektor des Mittelpunktes M einer Strecke [PQ] ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Endpunkt-->s=a+23 a+ m)=a+23a+12 b+c))=13 a+13 b+13 cMerke: Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Eckens=13a+b+c)S.98/7SABC=13 a+b+c)SM aM b Mc=13 ma+ mb+ mc)=13 a+b+c) q.e.d.S.98/8Beh,; SA1+SA2+...+SAn=0i=1nSAi=0Bew.: i=1nSAi= A1S+ A2s+...+ AnS=i=1nAinSS=12 A1+...+ An)=1ni =1nAiS.98/9Bew. siehe 98/7S.98/10Beh: | M ABMCD| MBC MAD={ S }zu zeigen: MabS=S MCD und MBC S=S MADzu1: SM AB=MCDSS12A+B)=12 C+D)S2S=12A+B+C+D)3. Lineare Anhngigkeit von Vektoren3.1.Linearkombination von Vektoren Def.:Der Vektorv=k1 v1+k2 v2+...+kn vnmit k1, ...., kn heit Linearkombination der Vektoren v1, ... , vnk1, k2 ,... , knsind die Koeffizienten der Vektoren v1, ... , vnDefinition: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heien komplanarBsp.:

A BKomplanare Vektoren sind z.B.: EF ,AB ,AD ,HG,EG ,...Bsp fr eone Linearkombination: EG=EF+FGAufgabe: Zeige zeichnerisch und rechnerisch, dass sich der Vektor v=42)als Linearkombination der Vektoren v1=12 ) v2=11)und v3=20)l =2k2l =k2m+4--> fr jedes l lsbarl =8k=5m=12DCEFGH3.2.Linear abhngige und unabhngige Vektoren Der Vektor v=0,50,50,5)lsst sich linear aus den Vektoren v1=011)und v2=111 ) erzeugen:v= v1+0,5 v2Ebenso lsst sich v1ausv und v2erzeugen: v1=v0,5 v2Ebenso lsst sich v2ausv und v1erzeugen: v2=2v2 v1Es existiert also eine Wechselseitige Abhngigkeit zwischenv , v1und v2:v= v10,5 v2=0Definition:Die Vektoren v1 , v2 ,... , vnheien linear unabhgig, wenn die Gleichung k1 v1+k2 v2+...+kn vn=0 mit k1, ... kninur fr k1=k2=...=knerfllt ist.Ansonsten sind sie linear abhngig.II. Lineare Gleichungssysteme1) Schnitt von GeradenGeg.: Zwei Geraden g und hGes.: Schnittpunkt Sg : 2x3y=21h: 3x+4y=6g : y=23 x7h: y=3234 xLsungsmglichkeiten: Gleichsetzungsverfahren Subtraktions- und Addidtionsverfahren (vorher evtl. Multiplizieren) EinsetzungsverfahrenS.9 3a)b)implizite Darstellund der Geradenexplizite Darstellungc)d)e)0f)g)h)111111s.10/4a)b)3c)d)4e)f)2. Lineare GleichungssystemeBsp. fr ein lineares Gleichungssystem (LGS)1)3x15 x2=72) x2=3 x1+8Def.:Ein Gleichungssystem heit linear, wenn is allen Gleichungen die Unbekannten hchstens in der ersten Potenz vorkommen. Es besteht i.A. aus m Gleichungen und n Unbekannten. Man spricht vom m-n-SystemEine Lsung des LGS ist ein n-Tupel von Zahlen.Schreibweise: x1| x2| x3|... | xn)oder x1x2...xn)Die Faktoren vor dem Unbekannten heiten Koeffizienten des Systems. Sind alle Konstanten 0, so ist das LGS homohen, ansonsten inhomogen3. Die Lsbarkeit eines 2-2-Systemsa) eine Lsung:1) x1x2=52) x1+x2=151)+2): 2x1=20x1=10x2=5L=10|5)b) keine Lsung1) 2x1+x2=72)2 x1+x2=31)2): 0=4L=c) unendlich viele Lsungen1) x1+x2=12)2 x1+2 x2=22): 2=1)setze x1 = k:x2=1kL= x1| x2) | x1=k ; x2=1k oder:x1x2)=k1k)=01)+k11)Die Lsung ist nicht eindeutig, z.B. Setze x2 = mx1x2)=10)+m11 )Inhomgenes LGS:1)0,5 x12 x2+0,5 x3=3 2)x1+8 x2x3=63)0,25 x12 x2+0,25 x3=1,51)23): x2=0 2' ) x1=6x3 2' )1)3=3x1=6x3L= x1| x2| x3)| x1=6k ; x2=0; x3=kx1x2x3)=600)+k101 )Homogenes LGS:1)0,5 x12 x2+0,5 x3=0 2)x1+8 x2x3=03)0,25 x12 x2+0,25 x3=0x2=0x1=x3L= x1| x2| x3)| x1=k ; x2=0 ; x3=kx1x2x3)=k101 )Beobachtungen:1) Bei der homogenen Lsung fllt der konstante Teil weg2) Ein homogenes LGS besitzt zumindest immer die triviale Lsung ( 0 | 0 | 0) 3) Die Lsung des homogenen Systems ist gleich der Parameterabhngigen Lsung des inhomogenen SystemsS.15/2 a)1) x1x2=62) x1+x2=2b)P11|1)P22|4)Geradengleichungen gleichsetzen1) x2=5 x1+62)12 x2=52x1+3c)1) 2x1+x2=02) x1+12 x2=04. Der Gau-Algorithmus1) x1 +3x2 +x3 = 52) x2 - 2x3 = 63)x3 = -2Das Lgs liegt in der sog. Dreiecksform vor und ist deshlab sehr leicht zu lsenAllgemein: Ein LGS ist sehr leicht zu lsen, wenn es in der Stufenform vorkommt, dh jede Gleichung besitzt min. Eine variable weniger als die zuvorZiel von Gau:Beschaffung einer Stufenform, ohne dass sich die Lsungsmenge verndert.Hilfsmittel: Multiplikation mit einer Zahl, die ungleich 0 ist Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und einer Vielfachen einer anderen1. Beispiel(1)x1 +4x2+ x3 = 7 (1) x1 +4x2+ x3 = 7 (2) 3x1 +2x2+ 4x3 =-1(2) 3(1) (2) -10x2+ x3 = -22(3) 2x1+5x2+ 4x3 = 4(3) 2(1) (3) -3x2+ 2x3 = -103)3102)(1)x1 +4x2+ x3 = 7 in (1) x1 = 1 (2) -10x2+ x3 = -22in (2) x2 = 2 (3)17/10x3 = -34/10 aus (3) x3 = -22. Beispiel Zur Verienfachung werden die Variablen weggelassen(1) x1 + x2 +x3 = 5(2) 2x1 + 3x2= 3(3) 3x1+2x3= 1(4)1 1 1 5 (3) 3(1) 1 1 15(3) + 3(2) 1 1 1 5 (2) + 2(3) 1 1 1 5 (1) (2)2 3 0 30 1 -2-7 0 1-2 -70 1 0 33 0 3 1 (2) 2(1) 0 -3 -1-14 0 1 50 0 1 5 (1) (3)1 0 0 -30 1 03 x1 = -3 ; x2 = 3; x3 = 50 0 15DiegonalformS.111/2c)a=314 )b=512)c=213 )d=3110)3110)=k1314 )+k2512)+k3213 )1) 3=3k15k2+2k32) 1=k1+k2k33) 10=4k12k2+3k33 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 103 -5 2 -3-1 1 -1 -14 -2 3 10I + 3 IIIII + 4 II0 -2 -1 -60 2 -1 6-1 1 -1 -1I + IIIII II0 0 1 0-1 -1 0 -70 2 -1 6I + IIIII + I0 1 0 30 0 1 01 0 0 4L= x1| x2| x3)| x1=4; x2=3; x3=0d=4a+3bDef.: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heien komplanarFolgerung:1) Zwei nicht kollineare Vektorena und b spannen eine Ebene auf.Jede Linearkombination vona und b lieft wiederrum in dieser Ebene, und ist deshalb komplanar zua und b2) Sinda und b nicht kollinear, dann lsst sich jeder zua und b komplanare Vektor c in eindeutiger Weise ausa und b .Beweis:Vor.:a nichtb ;c=\a+bBeh.: Es exisitert nur ein\ und Bew.: Mit Hilfe des Widerspruchbeweises:Annahme: Es gibt\1,\2, 1, 2:1) c=\1a+1b2) c=\2a+2b1) 2) : 0=\1\2)a+12)bAnn.:\1\2-->a= 12)\1\2)b-->ab Widerspruch! -->\1=\2 ebenso mit 1 = 2q.e.d.a kollinear zu bk1a ik2b=0 -->a=k2k1bk1a+k2b+k3c=0Zettel 3 Folgerungen:a ,bkollinear a ,b linear abhngiga ,b, c komplanar

a ,b, c linear abhngigS.112/10a=214 ); b=301 ); c=416 ); v=3313)Beh.:a ,b, c sind komplanarZ.z.a ,b, c sind linear abhngig2 -3 -4 0-1 0 -1 04 1 6 0I + 2 II III + 4 II0 -3 -6 00 1 2 01 0 1 0--> unendlich viele Lsungen--> sind linear abhngig--> komplanark1+k3=0k2+2k3=0k3=uk1=uk2=2ugleiches fra ,b, vb)k1214 )+k2301 )=000)2k13k2=0k1=04k1+k2=0-->a und b sind linear unabhngig-->a und b sind nicht kollinear7000a14000b+7000c=0c)k1a+k2b+k3c=v2 -3 -4 3-1 0 -1 -34 1 6 13I + 2 IIIII + 4 II0 -3 -6 -30 1 2 1-1 0 -1 -3k2+2k3=1k1+k3=3k3=uk2=12uk1=3uk1k2k3)=310)+u121 )2ab+c=v1a3b+2c=v5. Das Determinatenverfahren5.1. Systeme mit 2 U