1.4. Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen (LGS) Aufgabe 1: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren Gib die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme an. Verwende ein Verfahren eigener Wahl.

a) 2x y 7

5x y 13

+ =

+ = b)

4x 3y 7

5x 4y 9

+ =

+ = c) 1 2

1 2

3x x 1

5x 2x 1

+ =

+ =− d)

5u 2v 1

6u v 2

− + =−

− =

e) 4x 3y 2

3x y 1

+ =

+ =− f)

a 2b 5

a 3b 3

+ =

− + = g)

2x 5y 1

3x 3y 5

− =

+ = h)

a 2b 3

2a 4b 5

+ =

+ =

i) 5x 2y 4

x 2y 6

+ =

− = j)

2a b 3

3a b 4

− + =

− = k)

2x y 1

3x 4y 3

+ =−

+ =− l)

3a 2b 0

a 4b 1

− − =

+ =

Aufgabe 2: Diagonalverfahren Gib die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme an. Verwende das Diagonalverfahren.

a)

x y z 0

x y 1

2x y z 3

+ + =

− + = −

− − =

b)

3x 2y 5z 7

2x y z 8

3y 4z 13

− + − =

− + + =

+ =

c)

2u v w 3

u v 1

u v 2w 1

+ + =

− =

− − = −

d)

2x y z 1

4x y 3z 1

2x 2y z 7

+ + =

+ + =

− + + =

e)

a 2b 3c 1

2a b 4c 3

3a 2b 5c 7

− + = −

+ − =

+ − =

f) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x x x 8

3x x 2x 1

5x 2x x 15

− + = −

+ − =

− + − =

Aufgabe 3: Matrizenschreibweise Gib die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme an. Formuliere die LGS in Matrizenschreibweise und wende das Diagonalverfahren an.

a)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2x x 2x 3x 2

x 2x x 4x 8

x 3x 4x x 0

3x 2x 2x 2x 6

+ − + =

+ + − =

− + − + =

+ + + =

b)

a 3b 2c 10d 16

2a 7b c 22d 32

3a 11b 6c 37d 55,5

a 3b 5c 11d 19,5

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

c)

a b c d 2

a b c d 10

3a 2b c 2d 2

2b d 0

+ + + = −

− + − + = −

+ + + = −

− + =

Aufgabe 4: Lösungsmengen von LGS Gib die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme im homogenen und inhomogenen Fall an.

a)

1 3 2 6

2 1 3 14

0 1 1 6

− − −

b)

1 1 2 0

2 1 3 5

3 0 5 6

−

c)

0 3 1 2

3 0 2 1

1 2 0 1

− − −

d)

2 1 0 0

3 0 1 3

1 1 1 3

− − − −

e)

1 1 0 2

2 3 1 3

0 1 1 1

− −

f)

1 0 1 5

2 1 1 14

0 1 3 4

−

g)

2 4 114

1 1 0 4

5 1 3 2

− −

h)

3 1 1 6

1 3 1 2

2 4 2 4

− − − −

i)

1 6 3 4

2 12 6 8

1 6 3 4

− − − − −

1.4. Lösungen zu den Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen (LGS) Aufgabe 1: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren

a) x 2

y 3

= b)

x 1

y 1

= c) 1

2

x

x

=

3

8

− d)

u

v

=

3

74

7

e) x 1

y 2

− = f)

a

b

=

9

58

5

g) x

y

=

1

34

3

h) L = {}

i)

5x 3y 13

6

= −

j) a

b

=

7

17

k)

x

y

=

1

53

5

− −

l) a

b

=

1

53

10

−

Aufgabe 2: Diagonalverfahren

a)

x 1

y 0

z 1

= −

, b)

x 2

y 3

z 1

− =

c)

u 1

v 0

w 1

=

d)

x 1

y 2

z 1

− =

e)

a 2

b 3

c 1

=

f) 1

2

3

x 2

x 1

x 3

− = −

Aufgabe 3: Matrizenschreibweise

a)

1

2

3

4

x 2

x 1

x 0

x 1

= −

b)

a 3

b 2

c 1

d 0,5

=

c)

a 3

b 2

c 1

d 4

− = −

Aufgabe 4: Lösungsmengen von LGS

a) Linh =

1

1

5

und Lhom =

0

0

0

b) Linh =

und Lhom =

5

t 1 , t R

3

− ⋅ ∈

c) Linh =

1 2

0 t 1 , t R

2 3

+ ⋅ ∈

und Lhom =

2

t 1 , t R

3

⋅ ∈

d) Linh =

1 1

2 t 2 , t R

0 3

+ ⋅ ∈

und Lhom =

1

t 2 , t R

3

⋅ ∈

e) Linh =

und Lhom =

1

t 1 , t R

1

− ⋅ ∈

f) L inh =

5 1

4 t 3 , t R

0 1

+ ⋅ − ∈

und Lhom =

1

t 3 , t R

1

⋅ − ∈

g) Linh =

1 1

3 t 1 , t R

0 2

− + ⋅ ∈

und Lhom =

1

t 1 , t R

2

− ⋅ ∈

h) Linh =

2 1

0 t 2 , t R

0 5

+ ⋅ − ∈

und Lhom =

1

t 2 , t R

5

⋅ − ∈

i) L inh =

1 0 3

1 s 1 t 0 ,s, t R

1 2 1

+ ⋅ + ⋅ ∈

und

Lhom =

0 3

s 1 t 0 ,s, t R

2 1

⋅ + ⋅ ∈