Mathematik 2 für Ingenieure Differentialgleichungeneitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/hoeptner/Mathe2_DGL_V_HOE.pdf · Skriptum zur Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure

Skriptum zur Vorlesung

Mathematik 2

für Ingenieure

Differentialgleichungen

Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner

(nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Fachhochschule Pforzheim

FB2-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

Vorlesungsskript "Mathematik 2 für Ingenieure: Teil 1 - Differentialgleichungen" ___________________________________________________________________________

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Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) I

Inhalt

1.1 Einführung

1.2 DGL 1. Ordnung

1.2.1 Trennung der Variablen 1.2.2 Integration durch Substitution 1.2.3 Lineare DGL 1. Ordnung 1.2.3.1 Homogene lineare DGL 1. Ordnung 1.2.3.2 Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

1.3 DGL 2. Ordnung

1.3.1 y'' = const. 1.3.2 y'' = f(x,y') 1.3.3 y'' = f(y) 1.3.4 y'' = f(y,y') 1.3.5 y'' = f(y,y') + S(x) 1.3.6 Erzwungene Schwingungen

1.4 Partielle DGL am Beispiel der Wellengleichung

Übungsblatt DGL 1

Übungsblatt DGL 2

Ergänzungsaufgaben zum Kapitel "Differentialgleichungen"


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Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 1

1. Differentialgleichungen

1.1 Einführung

Definitionen: 1. Jede Gleichung, die Ableitungen der gesuchten Funktion enthält, ist eine Differentialgleichung (DGL).

2. Jede Funktion, welche die DGL erfüllt, ist eine Lösung bzw. ein Integral der DGL.

Einführendes Beispiel: "Freier Fall"

x

g0

t = 0

t = t1

&&

&

&

& (*)

(**)

xd

dt

d x

dtg dt

d x g dt

d x g dt

x g t C

d x

dtg t C dt

d x g t dt C dt

d x g t dt C dt

x g t C t C

=

=

→ =

→ =

→ = +

= +

→ = +

→ = +

→ = + +

∫

∫∫

∫

∫ ∫ ∫

1

1

1

1

21 2

1

2

a = &&x = g

Ziel: x(t) = ?


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C1 und C2 aus Anfangsbedingungen, hier: t = 0 → x(t=0) = 0 ; &x (t=0) = 0

⇒ (*): C1 = 0 Anfangsgeschw. ⇒ (**): C2 = 0 Anfangsort

⇒ Lösung: x g t= ⋅ ⋅1

22

Definition: Ordnung der DGL = höchste vorkommende Ableitung

Beispiel: - dy/dx = y ⇒ n = 1 / 1. Ordnung - d2y/dx2 = y’ ⇒ n = 2 / 2. Ordnung

übliche Schreibweisen: Ableitung nach Zeit, dy/dt = &y " " Weg, dy/dx = y’

allgemeine Lösung: unbestimmte Integrationskonstanten (C1 , C2, ...)

Satz: Die allg. Lösung einer DGL n-ter Ordnung enthält genau n unbestimmte Integrationskonstanten.

spezielle Lösung: Integrationskonst. aus Anfangswerten bzw. Randbedingungen (s.o.)

partikuläre Lösung: Lösung mit weniger als n unbest. Konstanten

Beispiel: d y

dxa y

2

22= −

Allg. Lösung: ( ) ( )y C ax C ax= +1 2sin cos (nachprüfen!)

Spez. Lösg.: z.B. ( )y ax= sin (C1=1, C2=0)


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Einteilung gewöhnliche partielle DGL

Anzahl Veränderliche 1 mehrere

Beispiel: d y

dty

2

2 02 0+ =ω

y(t) = ?

Schwingungsgleichung

d y

dt c

d y

dx

2

2 2

2

2

1= − ⋅

y(x,t) = ?

Wellengleichung

Darstellung Beispiel 2. Ordnung

explizit y'' = f (x, y, y')

implizit F(x, y, y', y'') = 0


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1.2 DGL 1. Ordnung

Gleichung zwischen der gesuchten Funktion y = y(x) und deren Ableitung y' = dy/dx

explizite Darstellung: gegeben: y' = f(x, y) (DGL - 1)

gesucht: y(x) = ?

Beispiel: y' = y y-Wert = Steigung, Vermutung: y = ex

Vorgehen: dy/dx = y

dy/y = dx | ∫

∫1/y dy = ∫dx

→ ln |y| = x + C | e

|y| = ex+C

⇒ y = k ex allgemeine Lösung (mit k = ± eC)

Aus der allg. Lösung erhält man die spez. Lösung aus der Randbedingung y(x0) = y0

spezielle Lösung (Beispiel)

Randbedingung = Punkt Po (1,2)

y(x0) = y(1) = 2

2 = k e1

→ k = 2 / e1 ≈ 0,74

⇒ y = 0,74 ex


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1.2.1 Trennung der Variablen

Lösungsmethode für DGLn der Form:

( ) ( )′ = ⋅y g x h y (DGL - 2)

1. Behandlung des Differentialquotienten dy/dx wie einen "normalen" Quotienten.

2. Alle Größen mit x auf eine Seite bringen; Größen mit y auf die andere:

( ) ( )dy

dxg x h y= ⋅ ( ) ( )dy

h yg x dx=

3. Integration auf beiden Seiten:

Lösung: d y

h yg x dx C

( )( )= +∫∫ (DGL - 3)

speziell: y' + f(x) y = 0 Lösung: y k ef x dx

= ∫− ( )

Beispiel:

y' - x² y² - x² = 0

Vorgehensweise

y' = x² ( 1 + y² ) 1. Auflösen nach y'

dy / (1+y²) = x² dx 2. Trennen der Veränderlichen

arctan(y) =1/3 x³ + C 3. Integration

y = tan(1/3 x³ + C ) 4. Allgemeine Lösung


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1.2.2 Integration durch Substitution

a) Lösungsmethode für DGLn der Form:

( )′ = + +y f ax by c (DGL - 4)

Lösungsweg:

1. Substitution ( )u x y ax by c, = + +

2. Rückführung auf (DGL - 2) ′ = + ′u a by

( )′ = + ⋅u a b f u (y' = f(u), DGL - 4)

3. Trennung der Variablen (s.o) ( )g x = 1

( ) ( )h u a b f u= + ⋅

4. Einsetzen in Lösungsformel (DGL - 3)

Beispiel:

y' = x + y Substitution: u = x + y

→ u' = 1 + y' = 1 + x + y = 1 + u

⇒ u' = 1 + u

Trennen d. Variablen: du / (1+u) = dx

Integration: ln |1 + u| = x + C

→ 1 + u = k ex (k = ± eC)

⇒ u = k ex - 1

"alte" Variablen x + y = k ex - 1

⇒ allgemeine Lösung: y = k ex - x - 1

(Probe durch Einsetzen von y in DGL)


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b) Lösungsmethode für DGLn der Form:

′ =

y f

y

x (DGL - 5)

Lösungsweg:

1. Substitution ( )u x yy

x, =

2. Rückführung auf (DGL - 2) y u x= ⋅ ′ = ′ ⋅ +y u x u (Produktregel)

( )xu u f u′ + =

( )[ ]′ = ⋅ −ux

f u u1

3. Trennung der Variablen (s.o) ( )g xx

=1

( ) ( )h u f u u= −

4. Einsetzen in Lösungsformel (DGL - 3)

Beispiel: xy y x′ − − = 0

Auflösen nach y': ′ = + =

y

y

xf

y

x1

Substitution: uy

x=

Rückführung: ′ = ′ +y u x u

xu u u′ + = +1

xu′ = 1

Trennung: ′ =ux

1

dux

dx=1

Integration: Cxu += ln

"alte" Variablen: xCxxy ⋅+⋅= ln = allg. Lösung


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Zusammenfassung "Substitutionsmethode"

DGL y' = f(ax+by+c) y' = f(y/x)

Substitution

u(x,y) = ax + by + c

u = y / x

⇒

u' = a + b f(u)

u' = ( f(u) - u ) / x

(Produktregel!)

Lösung wie (DGL - 2) g(x) = 1

h(u) = a + b f(u)

g(x) = 1/x

h(u) = f(u) - u

1.2.3 Lineare DGL 1. Ordnung

linear → gesuchte Funkt. y(x) und deren Ableitung y' = dy/dx kommen nur in 1. Potenz vor

( ) ( ) ( )f x y f x y s x1 0⋅ ′ + ⋅ =

"Normalform":

( ) ( )′ + ⋅ =y f x y S x

mit ( )( )( )f x

f x

f x= 0

1

; ( )( )( )S x

s x

f x=

1

= "Störfunktion"

homogene DGL: S(x) = 0

inhomogene DGL: S(x) ≠ 0


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1.2.3.1 Homogene lineare DGL 1. Ordnung

kann stets durch Trennen der Variablen gelöst werden:

( )dy

yf x dx= −

Integration: ( ) Cdxxfy +−= ∫ln

( )∫±=

− dxxfC

ey

allg. Lösung: ( )

y K ef x dx

= ⋅ ∫−

Beispiel: ( ) ( )′ ⋅ + ⋅ =y x y xcos sin 2 0

Normalform: ( )′ + ⋅ =y y x2 0sin mit ( ) ( ) ( )sin sin cos2 2x x x= ⋅ ⋅

Lösungsformel: ( ) ( )f x x= ⋅2 sin

⇒ ( )y K e x= ⋅ 2cos


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1.2.3.2 Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

Lösungsmethode: "Variation der Konstanten"

1. Lösung der homogenen DGL (S(x) = 0):

( )

y K ef x dx

= ⋅ ∫−

2. Ersetzen von K durch noch unbekannte Funktion K(x):

( ) ( )y K x e

f x dx= ⋅ ∫−

3. Differenzieren:

( ) ( ) ( ) ( )′ = ′ ⋅ ∫ − ⋅ ∫ ⋅− −

∫y K x e K ed

dxf x dx

f x dx f x dx Produktregel

( ){ } ( )′ = ′ − ⋅ ⋅ ∫−

y K K f x ef x dx

4. Einsetzen in Normalform (s.o.):

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )′ − ⋅ ⋅ ∫ + ⋅ ⋅ ∫ =− −

K K f x e K f x e S xf x dx f x dx

daraus folgt:

( ) ( )′ = ⋅ ∫+

K S x ef x dx

5. Integration:

( ) ( ) ( )K x S x e dx C

f x dx= ⋅ ∫ +∫

⇒ allg. Lösungsformel für inhomogene lineare DGL 1. Ordnung:

( ) ( ) ( ) ( )y x e S x e dx C

f x dx f x dx= ∫ ⋅ ∫ +

−

∫

Homogene lineare DGL = Spezialfall der inhomogenen DGL, d.h. Lösungsformel geht für S(x) = 0 in Lösungsformel für homog. DGL über.


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Beispiel: RL-Wechselstromkreis

Überführen in Normalform:

( )di

dta i b t+ ⋅ = ⋅sin ω mit a

R

L= u. b

U

L= 0

→ ( )f x a= ; ( ) ( )S x b t= ⋅sin ω

Einsetzen in Lösungsformel: ( ) ( ) ( ) ( )y x e S x e dx C

f x dx f x dx= ∫ ⋅ ∫ +

−

∫

( )f x dx a dt a t= = ⋅∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]K S x e dx b t e dtb e

aa t t C

f x dx at

at

= ⋅ ∫ = ⋅ ⋅ =⋅+

⋅ ⋅ − ⋅ +∫ ∫ sin sin cosωω

ω ω ω2 2

⇒ ( ) ( ) ( )[ ]i t C eb

aa t tat= ⋅ +

+⋅ ⋅ − ⋅−

2 2ωω ω ωsin cos allg. Lösung

spezielle Lösung: i(t=0) := 0 ( )i Cb

a0 02 2= −

+=

ωω

!

⇒ Cb

a=

+ωω2 2

⇒ ( ) ( ) ( )[ ]i tb

ae a t tat=

+⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅−

2 2ωω ω ω ωsin cos

Interpretation: für "große" t wird e-at "klein" → Einschwingvorgang!

stationärer Zustand: ( ) ( ) ( )[ ]i tb

aa t t=

+⋅ ⋅ − ⋅2 2ω

ω ω ωsin cos (*)

Kirchhoff: u u uL R+ =

u = Wechselspannung: ( ) ( )u u t U t= = 0 sin ω

⇒ ( )Ldi

dtR i U t+ ⋅ = ⋅0 sin ω


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RL - Wechselstromkreis Einschwingvorgang

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

t /s

I

RL - Wechselstromkreis

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 5 10 15 20 25 30

t /s

I

Spannungs - Stromverlauf

-1

-0,5

0

0,5

1

5 7 9 11 13 15 17

t /s

U , I U

I


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Phasenverschiebung ϕ

Additionstheoreme: i(t) kann auch als reine Sinusschwingung mit Phasenverschiebung geschrieben werden.

a = A cosϕ ω = A sinϕ (**) in (*) : a sinωt - ω cosωt = A cosϕ sinωt - A sinϕ cosωt [Bronstein] = A sin(ωt - ϕ) A und ϕ aus (**): A sinϕ / A cosϕ = ω/a ⇒ tanϕ = ω/a ⇒ ϕ = arctan(ω/a) = arctan(ωL/R) andererseits: A² sin²ϕ + A² cos²ϕ = a² + ω² |--------------| = 1

→ A = a2 2+ ω

Endergebnis: ( )ϕωω

−+

= tLR

UtI o sin

²²²)(

Î(ω)


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1.3 DGL 2. Ordnung

Implizite Form: ( )F y y y x, , ,′ ′′ = 0

Explizite Form: ( )′′ = ′y f y y x, ,

es treten zwei Integrationskonstanten C1 und C2 auf, die durch zwei Rand- bzw. Anfangsbe-dingungen bestimmt werden können (spezielle Lösung).

hier behandelte Fälle:

1.) y'' = c siehe z.B. "freier Fall"

Lösung: 2* Integrieren "zu Fuß"

2.) y'' = f(x, y`) Lösung: Rückführung auf DGL 1. Ordnung

3.) y'' = f(y) homogene DGL (z.B. "Pendel")

Lösung: mit Formel bzw. Multipl. mit y'

4.) y’’ = f(y,y’) homogene DGL (z.B. gedämpfte Schwingungsglg.)

Lösung: Charakteristisches Polynom

5.) y’’ = f(y,y’) + S(x) inhomogene DGL (z.B. erzwungene Schwingungen)

Lösung: Y = Yh + Yp

Yh aus Fall 4.), Yp Ansatz aus Tabelle

1.3.1 y'' = const.

zweimalige Integration führt zur gesuchten Funktion y(x)

Beispiel: geradlinige Bewegung mit Kraft F ≠ f(s), Masse m

m s F⋅ =&& ("Newtonsches Kraftgesetz")

zweimalige Integration ergibt: ( )s tF

mt C t C= ⋅ + ⋅ +

1

22

1 2


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1.3.2 y'' = f(x,y')

rechte Seite enthält nicht y(x)

Substitution: ( ) ( )u x y x= ′

Rückführung: ( )′ =u f u x,

Lösung für u(x) siehe DGL 1. Ordnung (einschl. Integrationskonstante C1)

Integration: ( ) ( )y x u x C dx C= +∫ , 1 2 (allgemeine Lösung)

Beispiel: ( ) ( )′′ + ′ =y x y xcos sin 0

explizite Form: ( )′′ = − ′ ⋅y y xtan

Substitution: u y u y= ′ ′ = ′′

Rückführung: ( )′ = − ⋅u u xtan

Lösung z.B. durch Trennung der Variablen:

( )du

ux dx= − tan

( )du

ux dx∫ ∫= − tan

( ) ( ) ( )1lncoslncoslnln CxKxu +=+=

( )xCu cos~

1 ⋅=

Berechnung von y(x):

( )xCuy cos~

1 ⋅==′

( ) ( ) 211 sin~

cos~

CxCdxxCy +⋅=⋅= ∫

Anfangsbedingungen (gegeben): y(0) = 1 ; y'(0) = 2

y(0) = 1 = C1 sin(0) + C2 = C2 y'(0) = 2 = C1 cos(0) = C1

⇒ spezielle Lösung: ( )y x= +2 1sin


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1.3.3 y'' = f(y)

rechte Seite enthält nur y

Lösungsverfahren: Multiplikation mit y'

( )′ ⋅ ′′ = ⋅ ′y y f y y

Beachte: ( )′ ⋅ ′′ = ′y yd

dxy

1

22

⇒ ( ) ( ) ( )1

22d

dxy f y y f y

dy

dx′ = ⋅ ′ =

( ) ( )d y f y dy′ =2 2

Integration: ( )′ = +∫y f y dy C212

( )′ = ± +∫y f y dy C2 1

Lösung durch Trennung der Variablen (führt hier meistens auf "schwieriges" Integral!)

Beispiel 1: "Fall aus großer Höhe"

Es soll die Auftreffgeschwindigkeit beim Fall aus h0 = 30 km Höhe berechnet werden.

x

0

R

30km

FG

Newtonsches Gravitationsgesetz:

( ) xmx

mMxF &&⋅=−=

2γ

an Erdoberfläche (x = R) ist F(x) = - m.g

m gmM

R⋅ = γ 2 → 2RgM ⋅=γ

⇒ ( )&&x gR

xf x= − ⋅ =

2

2

Typ: y'' = f(y) Formel s.o.

⇒ & ²²

x g Rx

dx C= − +∫21


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∫1/x² dx = ∫ x-² dx = - 1/x

→ &²

xg R

xC= +

2

Anfangsbed.: t = 0 &x = 0 → C = - 2 g R² / xo xo: Höhe bei t = 0

Auftreffgeschwindigkeit v xg R

x

g R

xo

= = −&² ²2 2

x = R + h , Auftreffen: h = 0 ho = 30 km

→ v g RR R ho

= −+

21 1

²( )

mit 1/R - 1 / (R + ho) = (R + ho - R)/ (R + ho) = ho / R(R + ho)

→ v g Rh

R h

o

o

=+

2( )

R = 6370 km → v = 773 m/s

Beispiel 2: "Mathematisches Pendel"

ϕ'' = - ωo² ϕ (ϕmax klein, d.h. sin ϕ ≈ ϕ) |------| f(ϕ)

→ ′ = ± − +ϕ ω ϕo C2 2 ± : Richtung

Anfangsbedingung:

ϕmax : ϕ'(ϕmax) = 0 → C = ωo² ϕ max 2


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→ ′ = ± −ϕ ω ϕ ϕ02 2max

|---------| immer ≥ 0, da ϕ max ≥ ϕ

→ d

dto

ϕ

ϕ ϕω

max2 2−

= ±

→ arcsin(ϕ / ϕ max) = ± ωo t + C | sin(...) (Bronstein: ∫ =− a

x

xa

dxarcsin

22 )

→ ϕ / ϕ max = sin(±ωo t + C)

→ ϕ = ϕ max sin(±ωo t +C) Anfangsbedingung: ϕ(t = 0) = ϕ max → ϕ max = ϕ max sin(C) C = π/2: sin → cos [ sin (x+π/2) = cos x ] → ϕ = ϕ max cos(ωo t) (± bestimmt durch Anfangsbed.)

1.3.4 y'' = f(y,y')

Satz: Sind Y1 und Y2 Lösungen, dann ist auch Y = C1Y1 + C2Y2 eine Lösung ebenso: Y = u(t) + j v(t) sei Lösung, dann sind der Realteil u(t) und der Imaginär-teil v(t) einzelne Lösungen.


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Beispiel: ′′ + =y y 0

Lösung: y e jx= (spez. Lsg.)

Satz v. Euler: ( ) ( ) ( )y x x j x= + ⋅cos sin

⇒ cos(x) und sin(x) sind auch Lösungen der DGL (Probe machen!)

Allgemeiner Lösungsansatz für lineare homogene DGL mit konst. Koeffizienten:

( )y x e x= λ

Lösungsweg: Ansatz in DGL einsetzen, λi bestimmen ("Charakteristische Gleichung")

homogene lineare DGL 2. Ordnung: ′′ + ′ + =y a y a y1 0 0

Beispiel: Schwingungsgleichung

y'' + d y' + ωo² y = 0 / \ Dämpfung Eigenfrequenz des ωo² > 0 : Schwingung prop. y’ = v ungedämpften Systems ωo² ≤ 0 : keine Schwingung

Charakteristische Gleichung durch Einsetzen des Ansatzes y = eλt:

⇒ λ λ ωλ λ λ202 0⋅ + ⋅ + ⋅ =e d e et t t

Lösung der ch. Gl.:

λω

1 2

24

2/

²=

− ± −d d o

falls λ1 ≠ λ2: 2 Lösungen Y e Y et t

1 21 2= =λ λ,

⇒ allgemeine Lösung: Y = C1Y1 + C2Y2


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allg. Vorgehensweise 1. Charakteristische Gleichung

2. Berechnen von λ

3. y(x) = Linearkombination Y

3 Fälle: λλλλ1 , λλλλ2 Lösungstyp Name

a) konjugiert komplex, negativ ( )e A t B tt− +δ ω ωcos sin gedämpfte Schwingung

b) λ1 ≠ λ2, λ1 , λ2 ∈ R C e C et t

1 21 2λ λ+ Kriechfall

c) λ1 = λ2 ( )C t C et

1 2⋅ + ⋅ λ aperiodischer Grenzfall

a) gedämpfte Schwingung, d < 2 ωωωωo

λω

ω ρ ω1 2

221 4

2 2 4/

² ²=

− ± − −= − ± − = − ±

d d dj

dj

o

o ω < ωo

ω = Frequ. des gedämpften Systems

Y C e C et t= +1 21 2λ λ λ: komplex

( )Y C e C e e C e C ej t j t t j t j t= + = +− + − − − −

1 2 1 2( ) ( )ρ ω ρ ω ρ ω ω (*)

/ ---------|-----------

Einhüllende Schwingung

aus Schwingungsteil: ( ) ( )e t j tj tω ω ω= + ⋅cos sin (Euler)

( ) ( )C t j t C t j t C C t j C C t

A B

A t j B t

1 2 1 2 1 2cos sin cos sin ( )cos ( )sin

cos sin

ω ω ω ω ω ω

ω ω

+ + − = + + −

= +

in (*) : ( )Y A t j B t et= + −cos sinω ω ρ


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A cosωt und B sinωt sind einzelne Lösungen, somit auch Linearkombination (s.o.):

( )Y A t B t et= + −cos sinω ω ρ

\

exponentionelle Dämpfung: Einhüllende !!

bzw. ( )Y K e tt= ⋅ +−ρ ω ϕsin mit K A B= +2 2 u. ϕ = arctan

A

B

Gedämpfte Schwingungen

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6

Zeit

Am

plitu

de

schwach gedämpft

Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einhüllende

b) Kriechfall, d > 2 ωωωωo

Y C e C et t= +1 2

1 2λ λ λ: reell → keine Schwingung, abklingende Amplitude Plot s.o.


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c) aperiodischer Grenzfall, d = 2 ωωωωo

λ1 = λ2 da = 0

Beispiel: y’’ + 2 y’ + y = 0 → λ1 = λ2 = -1 ergibt nur eine Lösung y = C e-ρt ist aber nicht allgemeine Lsg mit 2 Integrationskonstanten!

Vorgehensweise: Variation der Konstanten (siehe 1.2.3.2) Y C t e t= −( ) ρ

( )Y C e C e C C et t t' ' '= − = −− − −ρ ρ ρρ ρ

( )Y C e C e C e C e C C C et t t t t' ' ' ' ' ' ² ' ' ' ²= − − + = − +− − − − −ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ2

in DGL einsetzen (e-ρt kürzen)

{y dy y C C C d C d C C

C d C d C

o

y y

o

y

o

' ' ' ' ' ' ² '

' ' ( ) ' ( ² )

'' '

+ + = − + + − + =

→ + − + − + =

ω ρ ρ ρ ω

ρ ρ ρ ω

2 2

2

2 0

2 0

1 244 344 1 24 34

Fall: ρ = d/2 , 4 02ωo d− =²

→ + − + − +

=

− =

C d d Cd d

Co

do

' ' ( ) '² ²

²0

2

40

4 20

2

1231 244 344

ω

ω

⇒C'' = 0

2* Integrieren: C' = C1 C = C1 t + C2 ⇒ Y = (C1 t + C2) e

-ρt Anfangsbed.: t = 0 Y = C2 Endebed.: t → ∞ Y → 0 Plot s.o.


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1.3.5 y'' = f(y,y') + S(x)

Inhomogener Fall mit Störfunktion S(x), z.B. bei erzwungenen Schwingungen

Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten

Allgemein: Die allgemeine Lösung Y = Y(x) ist die Summe aus der Lösung der allgemeinen Lösung yh der zugehörigen homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung yp der inhomogenen DGL:

( ) ( ) ( )y x y x y xh p= +

Lösungsansatz für partikuläre (spezielle) Lösung hängt vom Typ der Störfunktion ab:

angepaßter Lösungsansatz, d.h. "ähnliche" Funktion wählen

Typ I: ( )S x S S x S x S xn

n= + + + +0 1 22 K

Lösungsansatz: ( )y x s s x s x s xn

n= + + + +0 1 22 K

Beispiel:

y’’ + 2y’ - 8y = x

homogene Lsg.: λ² + 2λ - 8 = 0

λ1 2 1 1 8/ = − ± +

→ λ1 = 2 λ2 = - 4

⇒ yh = C1 e

2x + C2 e

-4x

inhomogene Lsg.: yp = A + Bx

yp' = B

yp'' = 0


___________________________________________________________________________


Einsetzen in DGL: 2B - 8A - 8Bx = x

Koeff.vgl. nach Potenzen -8B = 1 → B = -1/8 2B -8A = 0 → -1/4 - 8A = 0 → A = -1/32

partik. Lsg: yp = -1/32 - x/8

⇒ allgem. Lsg.: y = C1 e2x

+ C2 e-4x

- x/8 -1/32

Typ II: ( )S x K ecx= ⋅

Lösungsansatz: ( )y x A ecx= ⋅ (falls c keine Lsg. d. Charakterist. Glg.)

bzw. ( )y x A x ecx= ⋅ ⋅ (falls c einfache Lsg. " " )

bzw. ( )y x A x ecx= ⋅ ⋅2 (falls c doppelte Lsg. " " )

Beispiel: ′′ − ′ + =y y y e x15 56 5 4 3,

homog. Lsg.: ( ) ( )( )y e C x C xh

x= ⋅ + ⋅7 51 20 5 0 5, cos , sin , (nachrechnen!)

Ansatz: y A ep

x= ⋅ 3

Einsetzen: A e A e A e ex x x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅3 15 3 56 5 42 3 3 3 3,

⇒ A = 0,195

Allg. Lsg.: ( ) ( ) ( )( )y x e C x C x ex x= ⋅ + ⋅ +7 5

1 230 5 0 5 0 195, cos , sin , ,


___________________________________________________________________________


Typ III: ( ) ( ) ( )S x S x S x= ⋅ + ⋅1 2cos sinω ω

Lösungsansatz: ( ) ( ) ( )y x A x B x= ⋅ + ⋅cos sinω ω

(Ansatz muß immer aus cos- und sin-Term bestehen, auch wenn S(x) nur aus einem Term besteht!)

Spezialfall: ω ist eine Lsg. der Charakt. Glg.

dann ( ) ( ) ( )[ ]y x x A x B x= ⋅ ⋅ + ⋅cos sinω ω wählen

Beispiel: ( )′′ − ′ + = ⋅y y y x4 4 2 3cos

homog. Lsg.: ( ) ( )y x K K x eh

x= + ⋅ ⋅1 22

(bitte nachrechnen, Hilfe: siehe Kap. 1.3.4, aperiod. Grenzfall)

Ansatz: ( ) ( ) ( )y x A x B xp = ⋅ + ⋅cos sin3 3

Einsetzen: ( ) ( )′ = − +y A x B xp 3 3 3 3sin cos

( ) ( )′′ = − −y A x B xp 9 3 9 3cos sin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − + + =9 3 9 3 12 3 12 3 4 3 4 3 2 3A x B x A x B x A x B x xcos sin sin cos cos sin cos!

→ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − =5 12 3 12 5 3 2 3A B x A B x xcos sin cos!

→ − − =5 12 2A B 12 5 0A B− =

⇒ A B= − = −10

169

24

169

partik. Lsg.: ( ) ( )y x xp = − −10

1693

24

1693cos sin

⇒ Allg. Lsg. der inhomogenen DGL: ( ) ( ) ( ) ( )y x K K x e x xx= + − −1 2

2 10

1693

24

1693cos sin


___________________________________________________________________________


Typ IV: ( ) ( ) ( )S x f x f x= +1 2 Summe zweier Funktionen

Lösungsweg:

1. Lösung der homogenen DGL

2. Lösung der inhomogenen DGL mit S1(x) = f1(x)

3. Lösung der inhomogenen DGL mit S2(x) = f2(x)

4. Gesamtlsg.: ( ) ( ) ( )y x y x y x y xh( ) = + +1 2

Lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten

( )ad y

dxa

d y

dxa

dy

dxa y S xn

n

n n

n

n+ + + + =−

−

−1

1

1 1 0K

Anmerkungen zur inhomogenen linearen DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten:

• Die Parameter (z.B. A, B, ϕ) sind so zu bestimmen, daß die Funktion die lineare DGL löst.

Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit genau einer Lösung.

• Bei periodischen Störfunktionen kann man auch einen komplexen Ansatz ( )y C ep

j ax= ⋅ −ϕ

verwenden.

• Falls Störfunktion nicht Typ I...IV: Reihen- bzw. Fourierentwicklung möglich.

Zusammenfassung:

Das Vorgehen zur Lösung der inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y'' + d y' + ωo² y = S(x) lautet: 1. Bestimmung der allgemeinen Lösung yh der homogenen DGL:

y'' + d y' + ωo² y = 0 2. Lösungsansatz für partikuläre Lösung yp

3. Addition von 1. und 2. zur allgemeinen Lösung: y(x) = yh + yp


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1.3.6 Erzwungene Schwingungen

Wirkt auf eine mechanische oder elektrische Anordnung eine periodische Kraft bzw. Spannung, z.B.

( ) ( )F t F t= ⋅0 0sin ω bzw. ( ) ( )U t U t= ⋅0 0sin ω

so führt das System erzwungene Dauerschwingungen aus.

Beschreibende DGL: ( )′′ + ⋅ ′ + ⋅ =y d y y S xω02

Beispiel 1: Elektromagnetischer Reihenschwingkreis

gilt ebenso für mechanisch gedämpfte Schwinger, z.B. Federpendel,... (siehe Physik I)

• Zuerst homogene Lösung: Freie Schwingung (Ua = 0)

am interessantesten: freie gedämpfte Schwingung (s. Kap. 1.3.4a).

Lösung mit Charakteristischem Polynom : I = eλt

→ λ2 + 2δλ + ωo2 = 0

für ωo > δ : λ δ ω δ δ ωω

1 22 2

/ = − ± − = − ±j jo D

D

1 24 34

allgemeine Lösung: ( )tjtjt

hDD eCeCetI

ωωδ −− +⋅= 21)(

Aus Kirchhoffschen Gesetzen:

&& &&

I I IU

L

mitR

Lund

LC

o

a

o

+ + =

= =

2

2

1

2δ ω

δ ω


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mit ωDLC

R

L= −

1

4

2

2 ωD < ωo wegen Dämpfung durch R

• Partikuläre Lösung

Annahme: sinusförmige Spannung U U ea

j t= ⋅$ ω

→ && &$

I I I jU

Leo

j t+ + =2 2δ ω ω ω

partikulärer Lösungsansatz (siehe Kap. 1.3.5: periodische Störfunktion)

( )I t I ep

j t( ) $= −ω ϕ

⇒ inhomogene Lösung: ( ) ( )ϕωωωδ −−− ⋅++⋅= tjtjtjteIeCeCetI DD ˆ)( 21

Die Lösung der DGL der erzwungenen Schwingung besteht aus der von den Anfangsbedingungen abhängigen Lösung der homog. DGL, durch die der Einschwingvorgang beschrieben wird ( e

t

t

−→∞ →δ 0 ), und aus einer nur von den Parametern des

schwingungsfähigen Systems abhängigen partikulären Lösung der inhomogenen DGL, welche die ungedämpfte Schwingung des Dauerzustandes nach Abklingen des Einschwingvorgangs wiedergibt.

Bestimmen von Î und ϕ : durch Einsetzen von Ip in DGL

( )&I t j Ip p= ⋅ω ; &&I Ip p= − ⋅ω 2

→ − + + = ⋅ω δω ωω ω2

022I j I I

j U

Lep p p

j t$

( )ω ω δω ω ϕ02 2 2− + = ⋅j j

U

LIe

j$

$ Euler: e jjϕ ϕ ϕ= +cos sin

( ) ( )ω ω δωω

ϕ ϕ02 2 2− + = ⋅ − +j

U

LIj

$

$sin cos


___________________________________________________________________________


Vergleich von Real- und Imaginärteil:

→ ( )sin$

$ϕ

ωω ω= ⋅ −

LI

U

202 cos

$

$ϕ

ωδω= ⋅

LI

U2

tansin

cosϕ

ϕϕ

ω ωδω

= =−2

02

2 ⇒ ϕ

ωω=

−arctan

LC

R

1

sin cos2 2 1ϕ ϕ+ =

( )[ ]LI

U

$

$ωω ω δ ω

− + =

2

202 2 2 24 1

( )

$

$$

I LU

U

R LC

2

2

22

202 2 2 2

2

22

4 1=

⋅

− +=

+ −

ω

ω ω δ ω ωω

⇒ $$ $

IU

Z

U

R LC

= =

+ −

2

21ω

ω

mit Scheinwiderstand Z R LC

= + −

2

21ω

ω

Stromverlauf nach dem Einschwingen ( t >>1

δ): ( ) ( ) ( )

I t I t I ep

j t≈ = ⋅ −$ ω ϕ

Resonanz für ω ω= =oLC

1 → Î = Û / R


___________________________________________________________________________


Erzwungene Schwingungen

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Erregerfrequenz /Hz

Sch

win

gu

ng

s-A

mp

litu

de

Schwache Dämpfung

Mittlere Dämpfung

Starke Dämpfung

Eigenfrequenz 10 Hz

Erzwungene Schwingungen:

Phasenverschiebung

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

Erregerfrequenz /Hz

Ph

ase Schwache Dämpfung

Mittlere Dämpfung

Starke Dämpfung

Eigenfrequenz 1Hz


___________________________________________________________________________


Beispiel 2: schwingendes mechanisches System

DGL: ( )′′ + ′ + =y y y a t2 02δ ω ωsin mit a

F

m

ext=

Lösungsweg wie oben

⇒ Y = yh + yp aus allgemeinem, mechanischen Ansatz:

= e-δt ( A sinωDt + B cosωDt ) + Aab sinωt + Ael cosωt ; ω ω δD = −02 2

----------------|--------------- -------------|-------------- yh yp freie ged. Schwingung (δ < ω0) (z.B. allg. Math. Pendel)

Bestimmung von Aab bzw. Ael durch Einsetzen von yp in DGL .... (s.o.) Def:

Aab : absorbierende Amplitude ∼ √(mittlere zugeführte Leistung)

( ) 22222

220

4 ωδωω

ωω

+−

−=

o

extab

m

FA

Ael : elastische Amplitude ∼ √(augenblicklich zugeführte Leistung)

( ) 22222 4

2

ωδωω

ωδ

+−

−=

o

extel

m

FA


___________________________________________________________________________


Anfänglich ruhende Oszillatoren mit schwacher Dämpfung und Erregerfreq. ≈ Eigenfreq.

Anfangsbedingung: Y(t=0) = 0 und Y'(t=0) = 0

Y(0): → B = - Ael

e-δt ist während 1 Schwingung praktisch konstant

Y'(t=0) ≈ ω Aab + ωD A mit ω ≈ ωD → A = - Aab Y'(t=0) ≈ ( ω - ωD ) Aab → Y(t) = Aab (sinωt - e-δt sinωDt) + Ael (cosωt - e-δt cosωDt) Resonanzfall: ωωωω = ωωωωD

Y(t) = ( 1 - e-δt) * (Aab sinωt + Ael cosωt )

= ( 1 - e-δt) yp mit Aab → 0

= - ( 1 - e-δt ) cosωt Fext / (2 m δ ω) |_____________| |__________| f(t) cosωt Maximalamplitude ω ≠ 0

nach Einschwingen (t groß) ⇒ Y(t) = -Amax cosωt


___________________________________________________________________________


Erzwungene Schwingungen Erregerfrequenz = Eigenfrequenz (Resonanz)

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

t

Am

plitu

de


___________________________________________________________________________


1.4 Partielle DGL am Beispiel der Wellengleichung

Partielle DGL: mehrere Veränderliche in einer DGL, z.B. Ort und Zeit.

Wellengleichung im 3-dimensionalen Raum: ∆r

r

ac

d a

dt= ⋅

12

2

2 (z.B. EM-Wellen)

kartesische Koord.: ∆ = + +d

dx

d

dy

d

dz

2

2

2

2

2

2 (Laplace-Operator)

eindimensional: ∆ =d

dx

2

2

→ eindim. Wellengleichung: d a

dx c

d a

dt

2

2 2

2

2

1= ⋅ bzw. ′′ = ⋅a

ca

12 &&

Lösungsansatz: ( )a a e j t kx= ⋅ ±$ ω

einsetzen in DGL: − = − ⋅k ac

a22

2

ω

→ kc

=ω

(ω π λ= =2 fc

f; )

Wellenzahl k =2πλ

(nach rechts fortschreitende Welle)

Problem: Lösung der Wellengleichung unter Randbedingungen (z.B. Hohlleiter)

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Mathematik 2 für Ingenieure Differentialgleichungeneitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/hoeptner/Mathe2_DGL_V_HOE.pdf · Skriptum zur Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure