2.1.(1) Beispiele Kapitel 2: Gewöhnliche q ... · • Wir erhalten ein instabiles (alternierendes =∞ →−∞ • ={}) − += − = ( )

1

Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 1

Kapitel 2: GewöhnlicheDifferentialgleichungen


2.1.(1) Beispiele

• 1. Beispiel: (der gute alte Kondensator nochmal)

• Wir betrachten eine RC-Serienschaltung sowie diespeisende Gleichspannungsquelle uq

• Gesucht wird der Verlauf derKondensatorspannung uc(t) beim Einschalten undAbschalten (siehe Tafelbild)

• Zwischen Strom und Spannung am Kondensatorgilt

dt

tduCti c )(

)( =


Woche 4

( )ti

cuqu

ru

crq uuu +=


Beispiel

• Ferner für die Summe aller Spannungen (2.Kirchhoff) beim Einschalten

• Damit erhalten wir einen Zusammenhangzwischen der Funktion uc(t) und ihrer erstenAbleitung

• Dies ist eine gewöhnliche, lineareDifferentialgleichung erster Ordnung

crq uuu +=

qcc

cr uudt

tduRCuu =+=+ )(

App.ico


Beispiel

• Die Lösung ergibt sich durch Ansatzfunktionanalytisch zu

• Beim Ausschalten gilt

• Mit den Lösungen (umgekehrter Stromfluss)

)1()( RC

t

qc eutu−

−=

RC

tq e

R

uti

)(

−=

0)( =+=+ c

ccr u

dt

tduRCuu

RC

t

qc eutu

)(−

= RC

tq e

R

uti

)(

−−=


Noch ‘n Beispiel

• 2. Beispiel: (Traktrix von Leibniz 1676) [3]: EineUhr liegt zur Zeit t=0 am Ort (0,a) und das Endeder Schnur im Ursprung.

• Gesucht ist die Kurve die die Uhr zurücklegt,wenn man entlang der y-Achse zieht.

• y’(x)<0 für alle x>0

• y(0)=a (Anfangsbedingung)

• Nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung1. Ordnung

2


Bild dazu

y(x)

x

a

x-y(x)/y’(x)

Uhr

a

Tangentialer Zug

y


Beispiel

• Wir berechnen nach Pythagoras

• und erhalten eine Beziehung zwischen derFunktion y(x) und Ihrer ersten Ableitung

• Wir finden die Lösung durchVariablensubstitution oder mittels Maple

2

222

’y

yya +=

22 )(

)()(’

xya

xyxy

−−=

App.ico


Noch ‘n Beispiel• Beispiel 3: Wir betrachten das mathematische

Pendel der Länge L, wobei g dieErdbeschleunigung ist.

• Es gehorcht der Differentialgleichung

• Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung 2.Ordnung.

• Zur (einfachen) Lösung wird sie linearisiert

0sin2

2

=+ θθL

g

dt

d

02

2

=+ θθL

g

dt

d

App.ico


Bild dazu

( )l

l

l

y

F

F

h

T Θ⋅== sin ( ) Θ=Θ��

mlmg sin

Θ��

ml

( )Θsinmgmg

Θ

y


2.1.2 Notation und Klassifikation

• Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs)enthalten nur Ableitungen nach einer einzelnen,unabhängigen Variablen, z. B. x

• Sie werden im allgemeinen nach der höchstenAbleitung der gesuchten Lösungsfunktion y(x)aufgelöst, so dass

• Diese bestimmt die Ordnung der Dgl.

• Hierbei ist f gegeben und y(x) gesucht

),..,’’,’,,( )1()( −= nn yyyyxfy


Notation und Klassifikation

• Gewöhnliche Differentialgleichungen ersterOrdnung können in folgender Form geschriebenwerden

• Beispiel:

• wird gelöst von Funktionen der Form

),(’ yxfy =

2ydx

dy =

)(1

)(xC

xy−

=

3



• Hierbei ist C eine Integrationskonstante

• Zu deren Bestimmung benötigen wir eineAnfangsbedingung, z. B.

• Bestimmt C=1

• Eine gewöhnliche Differentialgleichung 2.Ordnung ergibt sich zu

1)0( =y

)’,,(’’ yyxfy =



• Ihre Lösung wird durch die beidenAnfangsbedingungen

• eindeutig bestimmt

• Durch Definition zusätzlicher Variablen kann dieDgl. in zwei Gleichungen erster Ordnungumgewandelt werden, mit

00 )( yxy = ’)(’ 00 yxy =

),,()(’

)()(’

212

21

yyxfxy

xyxy

==



• Allgemein können Dgl. n-ter Ordnung in Systemevon Dgl. 1. Ordnung umgewandelt werden

• Die Lösung eines derartigen Systems enthält i.A. nfreie Integrationskonstanten

),..,,,()(’

),..,,,()(’

),..,,,()(’

121

12122

12111

−

−

−

=

==

nnn

n

n

yyyxfxy

yyyxfxy

yyyxfxy

�



• Diese können durch die Anfangswertbedingung

• festgelegt werden.

• Probleme, bei denen die n Bedingungen fürdasselbe x0 gegeben sind, heissenAnfangswertprobleme (initial value problems)

• Probleme bei denen die Bedingungen aufverschiedene Stellen xi verteilt sind, heissenRandwertprobleme (boundary problems)

00 )( yy =x



• Partielle Differentialgleichungen (PDEs)enthalten Ableitungen nach verschiedenenunabhängigen Variablen, z. B. x,t

• Beispiel: 1D-Diffusionsgleichung

2

2 ),(),(x

txuk

t

txu

∂∂=

∂∂

• Umwandlungen in Systeme 1. Ordnung sind bei numerischenIntegrationsverfahren von grosser Bedeutung

• PDEs sind von höchster praktischer Bedeutung und beschreibeneine Vielzahl technischer Phänomene (siehe Kapitel 3)


2.1.3 Richtungsfelder

• Die Differentialgleichung 1. Ordnung ist der Form

• Sie heisst linear, falls sich f wie folgt zerlegenlässt

• Eine Dgl. 1. Ordnung definiert eineTangentensteigung in jedem Punkt (x,y)

• Dieses Feld wird auch Richtungsfeld genannt

),( yxfdxdy =

)()( xbyxadxdy +=

4


Richtungsfelder

• Entsprechende Anfangsbedingungen legenindividuelle Lösungskurven (-funktionen) fest

• Richtungsfelder helfen, interessante Teilgebiete inLösungsmengen zu finden und verschiedeneAnfgangsprobleme zu studieren.


Richtungsfeld und LösungskurvenFür das Traktrix-Problem


2.2.(1) Analytische Lösung• Lösungen von Differentialgleichungen können

auch implizit gegeben sein

• Beispiel:

• Die implizite Gleichung

• ist eine Lösung dieser Dgl.

• Die beiden expliziten Lösungen

• erfüllen die Anfangsbedingung y(0)=2

0=+dxdy

yx

422 =+ yx

24)( xxy −= 24)( xxy −−=


2.2.2 Existenz und Eindeutigkeit• Satz: Sei f(x,y) definiert und stetig auf -inf < a <=

x <= b < inf sowie -inf < y < inf und erfülle dieLipschitz-Bedingung

• für alle x ∈ [a,b] und y, y*. Sei ferner η gegeben.

• Dann gibt es genau eine Funktion mit folgendenEigenschaften– y ist stetig und differenzierbar für x ∈ [a,b]

– y’(x)=f(x,y(x)), x ∈ [a,b]

– y(a)= η• Beweis, siehe [5], pp.733ff, Beispiele an Tafel

)(**),(),( notwendignichty

fvonyyLyxfyxf

∂∂∃−≤−


Zusatzblatt: Eindeutigkeit( ) yyxf =,

*** 1 yyyyyy −⋅=−≤−

1=→ L

y=′y

( ) ( ) axexyay −⋅=→>= ηη 0

xae −⋅=< ηη 0

ist eindeutig lösbar


Zusatzblatt: Eindeutigkeit

( ) , yyxf =

∞==−

−

>−>−>

yyy

yy

yyyyy

2

1limlim

0*

*

0,

*

*

Cx

ydx

y

dy

dx

dyyy y +=→∫=→==′>

2220 a)

2

2

+= C

xy

ist stetig

nicht Lipschitz-stetig

5


Zusatzblatt: Eindeutigkeit

Cx

ydx

y

dy -yy b) y +−=−→∫−=

−−=′<

2220

2

2

+−= C

x-y

?0 c) y ≡


2.2.3 Lösungen mittels Taylorreihen

• Idee: Man entwickle die (unbekannte)Lösungsfunktion y(x) in eine Taylorreihe

• und bestimme die Koeffizienten für eine gegebeneAnfangsbedingung

• Durch Einsetzen in y’=f(x,y) erhalten wir

∑∞

=

−=0

00

)(

!)(

)()(i

ii

ixx

xyxy

00 )( yxy =

))(,()(’ 000 xyxfxy =


Lösungen mittels Taylorreihen

• Für y’’ erhalten wir durch Anwendung derverallgemeinerten Kettenregel (siehe Analysis)

• Hieraus lässt sich durch Einsetzen y’’(x0)berechnen

• y’’’ ergibt sich analog durch Ableiten von y’’

• Hieraus lässt sich y’’’(x0) ermitteln

• Kann beliebig fortgeführt werden

fffyffy yxyx +=+= ’’’

))(’),(,()(’’ 00020 xyxyxfxy =

’’’’’’’’’ 2 yyfyfyfyfyffy yyyyyxxyxyxx +++++=


Lösungen mittels Taylorreihen• Beispiel: Wir entwickeln die Lösung der Dgl.

• Die Taylorreihe wird zu

1)0(’ 22 =+= yyxy

• Grosser Nachteil dieser Methode ist, dass die partiellen Termedieser Entwicklung mit höheren Ableitungen immer komplexerwerden

1)0(’’ 22 =⇒+= yyxy

2)0(’’’22’’ =⇒+= yyyxy

8)0(’’’’’2’22’’’ 2 =⇒++= yyyyy

28)0(’’’6’’’2 )4()4( =⇒+= yyyyyy

�+++++= 432

!428

!38

!22

1)( xxxxxyApp.ico


Zusatzblatt: Taylorreihen

( ) ( )( ) ( ) f y’ xll

lxxl

==′=′==

21

21

1 x

y x

( ) ( ) lflfxyx yx 21 ′⋅+′⋅=′′=Φ′

yff yx ′+⋅= 1

( ) ( ) 1)( l yffx

xyx yx ′

′+∂∂=′′′=Φ ′′

2)( lyffy yx ′

′+∂∂+

( ) yyfy

yfy

yfx

fx yxyx ′⋅′

∂∂+′⋅

∂∂+′⋅

∂∂+

∂∂=

( ) ( ) ( )( ) , xyxfxyx =′=Φ


Zusatzblatt: Taylorreihenyyfyfyfyfyff yyyyxyxyxyxx ′⋅′⋅+′⋅+′⋅+′+′⋅+= )(

fffffffffff yyyxyxyxyxx ⋅+⋅+⋅++⋅+= 22

),(y :Bsp 22 yxfyx =+=′

yyxy ′+=′′ 2 2

yyyxyy ′+′++=′′′ 22 42 4 2

� ��y

yyxyy′′

′++′+= )22(22 2 2

( ) yyyyy ′′′+′′′= 26 4

yll

ylxl

′=′=′==

21

21

1

6



( )),()( xyxfxy =′ ),...,( 1 nxxf

))(, ),(()( 1 tltlft n=Φ

∑=

′⋅=Φ′=>n

iinx tltltlft

i1

1 )())(, ),(()(

( ) ( )),()( xyxfxyx =′=Φ=>

( ) fyyffxyx yx =′′⋅+⋅=′′=Φ′ 1)(

( ) ylxyxl

lxttl

′=′==′==

22

11

)(

1)(



( ) ( ) +⋅′⋅+∂∂=′′′=Φ ′′ 1)( yffx

xyx yx

( ) yyffy yx ′⋅′⋅+

∂∂

� ��yf

yyyyxyxyxyxx

y

fyfyffyffyff

′⋅

⋅′⋅+′⋅+′+⋅+′⋅+=2

2

fy =′mit

xf=∂

′∂

xy

und

yfy

=∂

′∂

y sowie


Zusatzblatt: Wann ist ?( )yxf

yx

y ,=−=′

( ) 20 ABder mit =y

yxx yy

xfy

yf ′==′=−= 2y

1

yx =− 24 Lösung

24 x

xy

−=′

( ) 22 44

4

xxy

−−+=′′

yffy yx ′⋅+⋅=′′ 1

yy

x

y′⋅+−= 2

1

( ) ( ) ( ) 2222

22

22

2

2 44

4

44

4

444

1

xxxx

xx

xx

x

x −−=

−−−+−=

−−−

−−=

xyy ′≠′′


Lokale Taylorreihen

• Idee von Euler: Berechne die Taylorreihe jeweilslokal

• Wir können dies recht einfach in Mapleprogrammieren (für das Riccati-Beispiel)

• Statt Taylorreihen kann die Lösung auch inanderen Polynombasen entwickelt werden (z.B.Potenzreihen (Monome))

hxx nn +=+1

�+++=+2

1 !2)(’’

!1)(’

)()( hxy

hxy

xyxy nnnn

App.ico


Zusatzblatt: globale Taylorreihe

( )yxfy ,=′ ( ) 00 yxy = ( ) ( )( ) ( )!

~ 00 i

xxxyxy

ii −⋅= ∑

y

0y

x0x

( )xy

( )xy~


Zusatzblatt: lokale Taylorreihe

hxx nn +=+1( ) ( ) ( ) ( ) �+⋅

′′+⋅′+=+

21 2

hxy

hxyxyxy nnnnT

y

0y

x0x

( )xy

1x

( )1xyT

( )2xyT ( )3xyT ( )4xyT

h

7


2.3.1 Euler’sches Verfahren• Idee: Ausgehend von der Anfangsbedingung ein

Schritt in Richtung der Tangente (Eulerschritt1768!)

• Gegeben: ODE 1. Ordnung

• h ist die Integrationsschrittweite und y1 eineNäherung für y(x0+h)

• Mit y1 lässt sich dann f(x1,y1) bestimmen

• Achtung!

),( 0001 yxfhyy ⋅+=

),( 1112 yxfhyy ⋅+=

))(,(),( 1111 xyxfyxf ≠Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 38

Zusatzblatt: Euler-Verfahren

( ) hyxfyy ⋅+= 1112 ,

y

x

( ) 00 yxy =

0x hxx += 12hx +0

( ) hyxfyy ⋅+= 0001 ,

( )1xy

( )2xy

Geschätzte Tangente


Euler’sches Verfahren

• Dies kann iterativ fortgesetzt werden, wobei

• Beispiel:

• Abschätzung der Konvergenz des Verfahrens:

),(1 nnnn yxfhyy ⋅+=+

• Das Euler-Verfahren approximiert also die Tangentensteigung andie gesuchte Lösungskurve mittels des Schätzwertes yn. ZurBerechnung des neuen Funktionswertes yn+1 führt es einenSchritt in Richtung der geschätzten Tangente durch

xexyyxAByyy =⇒==== )(1,0:,1)0(,’ 00

xhnxxn

xhninx n =⋅+== 0,],0[ alle,Teilinterv


Euler am Beispiel [3]

• Einsetzen in die Iterationsvorschrift ergibt

• wobei

• d.h. wenn Schrittweite h hinreichend klein, dannkonvergiert yn gegen y(xn)=exp(xn)

• Abschätzung der Konvergenz

)1(0001 hyyhyy +=⋅+=2

11112 )1()1(),( hhyyxfhyy +=+=⋅+=nn

n n

xhy )1()1( +=+=

xn

ne

n

x =+∞→

)1(limApp.ico


Konvergenz• Fehler ergibt sich zu

• Asymptotische Entwicklung mit Maple

• Es ergibt sich (Abbruch nach erstem Glied)

• d.h. für einen relativen Fehler <10-6 bei x=1 muss

• Methode von Euler benötigt also sehr kleineIntervalle

)(~)1( nfn

xe nx +−

App.icon

xxeye x

nx

21

~− xhe

yex

nx

21

~−

61021 −<xh 6102 −⋅<h stepsn 000’500>


Alternative Interpretationen

• Das Euler-Verfahren kann auch im Sinne vonDifferenzenquotienten interpretiert werden

• Mit

• erhalten wir folgende Diskretisierung

• und schliesslich

),( yxfdx

dy =

))(,()()( 1

nnnn xyxf

h

xyxy ≅−+

),())(,(1nnnn

nn yxfxyxfh

yy ≅≅−+

8


Alternative Interpretationen

• Oder auch im Sinne der bereits behandeltenIntegrationsregeln

• bzw.

• hierbei die Funktion f(x,y) als konstantangenommen f(xn,y(xn)) und das Integral durch einRechteck approximiert

∫∫++

=11

),(’n

n

n

n

x

x

x

x

dxyxfdxy

∫+

+=+

1

),()()( 1

n

n

x

xnn dxyxfxyxy

)),(()()( 1 nnnn yxfhxyxy +=+


Zusatzblatt: Euler als Integration von f

y

x

ny′

nx 1+nx

( )( )nn xyxf ,

( )yxf ,

Geschlossene Mittelpunktregel

‘


2.3.2 Heun’sches Verfahren

• Idee: Abschätzung der Steigung bei x1 undDurchführung eines Euler-Schrittes mit gemittelterTangente

• Diese Methode wird auch Verfahren von Heungenannt

• Beispiel der Exponentialfunktion

),(* 000 yxfhyy ⋅+=

*)),(),((2 10001 yxfyxfh

yy ++=

)1(),(* 0000 hyyxfhyy +=⋅+=


Zusatzblatt:Heun’sches Verfahren

y

x

( )xy

ny

nx 1+nx

*1+ny

1+ny

( )*11, ++ nn yxf

( )nn yxf ,


Heun am Beispiel [3]

• Wir erhalten

• Allgemein gilt

• Die asymptotische Entwicklung des Fehlers istjetzt

• d.h. für einen relativen Fehler <10-6 bei x=1 muss

0

2

00001 )2

1(*)),(),((2

yh

hyxfyxfh

yy ++=++=

nn

hhy )

21(

2

++=

2

61

~ xhe

yex

nx −

62 1061 −<xh 6106 −⋅<h stepsn 410>

App.ico


2.3.3 Fehlerordnungen

• Offensichtlich wurde mit diesem einfachen Trickdie Fehlerordnung des Verfahrens verbessert.

• Def.: Die Differenz d1(h)=y1-y(x1) heisst lokalerDiskretisierungsfehler. Wegen d1(0)=0 gilt

• Hierbei ist p die Fehlerordnung der numerischenMethode

0, )( 22

111 ≥++= ++ phchchd pp �

• Wir vergleichen obige Formel mit der Euler-McLaurin’schenRestglied-Entwicklung für numerische Integrationsverfahren

9


Fehlerordnung des Euler-Verfahrens

• Der Fehler des Euler-Verfahrens kann wie folgtberechnet werden

• Mittels Taylorreihen-Entwicklung (global) vony(x0+h) folgt

• d.h. die Fehlerordnung des Euler-Verfahrens istp=1

)(’)(),( 000001 xhyxyyxfhyy +=⋅+=

)()(’’2

)()(’’2

)(’)(

)(’)()(

30

23

0

2

00

0001

hOxyh

hOxyh

xhyxy

xhyxyhxyy

−−=

+++

−+=+−


Globaler Fehler

• Def: Die Differenz dn(h)=yn-y(x) heisst globalerDiskretisierungsfehler, d.h. er beschreibt denFehler bei x=x0+nh

• Man kann zeigen, dass

• Konsequenz: Gegeben yh und yh/2 (mitSchrittweiten h und h/2 integriert

)()()()( 1++=−= pppnn hOhxexyyhd

ph hyy ≈− p

p

h

hyy

22/ ≈−

• Bei Halbierung der Schrittweite nimmt der Fehler also um 2-p ab.


Fehlerordnung der Heun’schen Methode

• Der Fehler des Heun’schen Verfahrens wird amBeispiel der Exponentialfunktion verdeutlicht

• Wir erhalten also (globaler Fehler)

• Lokaler Fehler berechnet sich zu

• womit p=2

nn

hhy )

21(

2

++=

�+−=−= 32

86)()( h

xeh

xexyyhd

xx

nn

432

!41

!31

)2

1()( hhh

hhy +=++−


Vergleich mit Integration

• Man vergleiche lokalen und globalen Fehler mit denFehlerbetrachtungen bei der numerischen Quadratur.

• Lokaler Fehler: Fehler der einfachen Regel• Globaler Fehler: Fehler der zusammengesetzten Regel

• Auch hier lag die globale Fehlerordnung um eine Potenz in hniedriger, als der lokale Fehler.

• Beispiel: Mittelpunktregel: quadratische Präzision(Fehlerordnung) bei einfacher Regel, lineare Fehlerordnung beizusammengesetzter Regel.

• Vgl. Euler und Heun• Fazit: Euler ist schlechter als Mittelpunktregel


2.4.1 Heun als Prädiktor-Korrektor

• Dieses Verfahren wird oft auch als Prädiktor-Korrektor-Methode bezeichnet

• Gegeben:

• 1. Prädiktionsschritt: Schätze die Steigung amrechtsseitigen Intervallrand

• 2. Korrekturschritt:

• Diese Methode kann durch Verwendung mehrererEinzelschritte verallgemeinert werden.

),( 1002 hkyhxfk ++=

)(2 2101 kkh

yy ++=

),( 001 yxfk =


Zusatzblatt: Heun als Prädiktor-Korrektor

y

x

( )xy

ny

nx 1+nx

*1+ny

1+ny

( )*11, ++ nn yxf

( )nn yxf ,

10


Runge-Kutta-Verfahren [1], [2]

• Derartige Verallgmeinerungen nennt manexplizite, s-stufige Runge-Kutta Methoden.

• Runge-Kutta Methoden sind Einschrittverfahren,d.h. sie benötigen jeweils nur Informationen ander Stelle xn zur Berechnung des Funktionswertesan der Stelle xn+1.

• Mehrschrittverfahren verwenden die berechnetenFunktionswerte an den Stellen xn, xn-1, …

• Sie können über Integrationsregeln (Lagrange-Polynome) hergeleitet werden (Adams-Bashforth-Moulton)


2.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

• “Urgestein” aller Runge-Kutta Methoden.

• 1. Wir starten am linksseitigen Intervallrand underhalten einen ersten Wert für die Steigung

• 2. Prädiktion der Steigung in der Intervallmittedurch einen Euler-Schritt

• 3. Korrektur der geschätzten Steigung

),( 001 yxfk =

)2

,2

( 1002 kh

yh

xfk ++=

)2

,2

( 2003 kh

yh

xfk ++=


Zusatzblatt: RK4

y

x

ny

nx 1+nx

2k

2

hxn +

1k

3k 4k

( )4433221101 kbkbkbkbhyyn ++++=+

++++=+ 432101 6

1

6

2

6

2

6

1kkkkhyyn


Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

• 4. Schätzung der Steigung am rechtsseitigenIntervallende durch Verwendung der Steigung inder Intervallmitte

• 5. Berechnung des gesuchten Funktionswertesduch Mittelung aller berechneten Steigungen

• Fehlerordnung: p=4

),( 3004 hkyhxfk ++=

)22(6 432101 kkkkh

yy ++++=


2.4.3 Zusammenhang mit denIntegrationsregeln

• Für Differentialgleichungen der Form

• erhalten wir

• sowie die Mittelung

• Dies ist exakt die einfache Simpsonregel.

• Die Fehlerordnung der Simpson-Regel istebenfalls p=4

)()(’ yfxfy ≠=

))()2

(4)((6 10001 xf

hxfxf

hyy +++=−

)( 01 xfk = 302 )2

( kh

xfk =+= )( 04 hxfk +=


Zusammenhang mit denIntegrationsregeln

• Dazu betrachten wir jeweils eineDifferentialgleichung 1. Ordnung, deren rechteSeite nicht von der Lösung y abhängt.

• Diese kann direkt numerisch über h=b-a integriertwerden, wobei

)()(’ yfxfy ≠=

• Numerische Lösungsmethoden für gewöhnlicheDifferentialgleichungen können also auf die in Kapitel 1behandelten numerischen Integrationsregeln zurückgeführtwerden.

n

n

kkk

x

x

Qxfwdxxfyy =≈=− ∑∫=0

01 )()(1

0

App.ico

11


2.4.4 Allgemeine Herleitung

• Alllgemeine Runge-Kutta-Methoden können wienachfolgend beschrieben konstruiert werden:

• Für ein s-stufiges Verfahren formulieren wir sallgemeine Zwischenschritte der Form

),(

))(,(

),(

),(

1

100

2321310303

1210202

001

∑−

=++=

+++=++=

=

s

iisiss kahyhcxfk

kakahyhcxfk

khayhcxfk

yxfk

�


Allgemeine Herleitung

• Sowie einem abschliessenden Mittelungsschrittüber alle Steigungen mit

• Problem: Wie bestimmen wir die Parameter ci, bi,und aij?

• Darstellung als Dreiecksmatrix der Form

∑=

+=s

iiikbhyy

101


Dreiecksmatrix

s

ssss

bb

aa

aa

a

c

c

c

KKKKKKK

KK

OM

1

1,1

3231

21

3

2

−


2.4.5 Koeffizientenberechnung

• Wahl der Koeffizienten, so dass Fehlerordnungmöglichst gross ist.

• Vereinfachung: Wir fordern, dass für die Dgl.y’=1 mit y(0)=0 alle Zwischenwerte exakt sind.

• Die exakte Lösung dieser Dgl. ist y(x)=x.

• Hieraus folgt, dass der Endwert exakt sein muss,also

1

1

10 ykahy

s

iisi =+ ∑

−

=


Koeffizientenberechnung

• Ebenso die weiteren Zwischenwerte

• sowie mit x0=y0 und y0’=1=k1

• In gleicher Weise erhalten wir die Bedingung

• mit k1=k2=1 gilt

• bzw. allgemein

hcxkhay 201210 +=+

22120210 cahcxhax =⇒+=+

hcxkakahy 302321310 )( +=++

33231 caa =+⇒

sjacj

ijij .....2

1

1

== ∑−

=Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 66


• Schliesslich gilt für den Mittelungsschritt

• Hieraus folgt, dass die bi die Eins teilen, also

• Unser Dreiecksschema wird zu:

• 1. Spalte: Zeilensummen

hxkbhxyys

iii +==+== ∑

=0

1001 )1()(

11

=∑=

s

iib

s

ssss

bb

aa

aa

a

c

c

c

��

��

1

1,1

3231

21

3

2

1−

12



• Die restlichen Koeffizienten werden so bestimmt,dass die Fehlerordnung des Verfahrens maximalwird.

• Dazu erinnern wir uns der Taylorentwicklungender exakten Lösung nach h

• mit�+++=+

21 !2

)(’’!1

)(’)()( h

xyh

xyxyxy nn

nn

fffyffy yxyx +=+= ’’’

’’’’’’’’’ 2 yyfyfyfyfyffy yyyyyxxyxyxx +++++=


Beispiel: s=2 (Heun, Euler) aus [3]

• Wir erhalten gemäss Schema

• mit b1=b und b2=1-b sowie c2=a21=a

• Entsprechendes Dreiecksschema

• Detailberechnungen siehe Tafel!

))1((

),(

’),(

2101

1210202

0001

kbbkhyy

khayhcxfk

yyxfk

−++=++=

==

bb

aa

−11

0

• Wir erhalten eine einparametrigeLösungsmenge.

• Somit kann eine ganze Klasse von RK-Verfahren der Stufe 2 formuliert werden.


Zusatzblatt: S=2( ) 0001 , yyxfk ′==( )1210202 , khayhcxfk ++=

( )( )2101 1 kbbkhyy −++=

bbbbbb −==⇒=+ 1 und 1 da 2121

aac == 212

( ) ( ) ( )( )( )00000001 ,,1, yxahfyahxfbyxbfhyy ++−++=

( )0002 , yahyahxfk ′⋅++=

( ) ( ) +⋅′⋅⋅+⋅+= hyafafyxf yx 000 ,

( ) ( )3220

20

22 O22

1hhyafyafaf yyxyxx +⋅′+′+

��1k

�1k

a

b

a

b−1

0

1

( ) ( )11 O +=− phhyy


Zusatzblatt: S=2

( ) ( )( ) 200001 11

0

hbyafaf

yh

ybhybhyy yx ⋅−′⋅⋅+⋅+′⋅

′−+′⋅⋅+= ! "#

( ) ( ) ( )432200 O12

2

1hhbayfyff yyxyxx +⋅−⋅′+′++


Zusatzblatt: S=2

( ) ( ) ( ) ( ) +′⋅++⋅′+=⇒2

2

001

hyffhxyxyxy yx

( )111 xyyd −=

( ) ( ) ( )32 O2

11 hyffhba yx +′⋅+

−−=

$$&%$$(')

( ) ( )43

2 O!3

2 hh

yfyfyff yyyxyxx +′′⋅+′⋅+′⋅+

2

110 =−⇒=

ba

*0≠

( )( )xyxfy ,=′yffy yx ′+=′′

yfyfyffy yyyxyxx ′′⋅+′⋅+′⋅+=′′′ 22


Zusatzblatt: S=2

21

0

21

1

0

1

21

1 10

12

1

0,2

1 == ba

2

1,1 == ba

( )

⋅+=

++=

=

201

1002

001

2,

2

,

khyy

kh

yh

xfk

yxfk

( )( )

( )

++=

++==

2101

1002

001

2

,

,

kkh

yy

hkyhxfk

yxfk

13


Beispiel s=4 (Klassiker)

• Wir erhalten insgesamt 13 Unbekannte, sowie einDreiecksschema der Form (Kutta 1901)

• mit 4 Gleichungen wegen ci=Σaki und 1=Σbi (optional)sowie 8 (nichtlineare) Gleichungen für dieFehlerordnung.

4321

434241

3231

21

4

3

2

1 bbbb

aaa

aa

a

c

c

c

• Wir erhalten wiederum einen ein- bzw. zweiparametrigenLösungsraum, welcher Freiräume für Parameteroptimierungen lässt.


Beispiel s=4 (Klassiker)

• Das entsprechende Dreiecksschema lautet

6/16/26/26/1

100

2/10

2/1

1

1

2/1

2/1

),( 001 yxfk =

)2

,2

( 1002 kh

yh

xfk ++=

)2

,2

( 2003 kh

yh

xfk ++=

),( 3004 hkyhxfk ++=

)22(6 432101 kkkkh

yy ++++=

• Beim “Klassiker” (1901) wurden die Parameter für Handrechnungenmöglichst einfach gesetzt. Ferner hängt jede Auswertung nur vomvorherigen kj ab.


Fehlerordnungen• Allgemein gilt,dass die Fehlerordnung mit der

Anzahl der Stufen s wächst

• Ebenso wie bei den Newton-Cotes Integrationsregelnmuss eine Erhöhung der Stufenzahl um Eins nichtzu einer Erhöhung der Fehlerordung führen

• Satz von Butcher: Für m>=10 muss p(m)<m-2

• Genauste Verfahren: Curtis (m=18, p=10), Hairer(m=17, p=10)

2766544321:)(

9987654321:

−≤≥ssp

msStufen


2.5 Eingebettete Verfahren

• Problem: Die Schrittweite h eines gegebenenVerfahrens lokal adaptieren(Schrittweitensteuerung)

• Idee: Wir schätzen den lokalenDiskretisierungsfehler einer gebenen Methodedn+1 durch ein Verfahren höherer Ordnung

• Aus Effizienzgründen soll die Methode höhererOrdnung die gleichen Steigungen ki verwenden

• Wir betten das Verfahren niedrigerer Ordnungalso in ein Verfahren höherer Ordnung ein


Eingebettete Verfahren [1]

• Beispiel: Einbettung der verbesserten Euler-Methodein einen Runge-Kutta dritter Ordnung (RK(3))

• Verbesserter Euler

• Die RK(3) verwendet die berechneten k1 und k2, sodass nur noch k3 geschätzt werden muss

),(1 nn yxfk =

)2

,2

( 12 kh

yh

xfk nn ++=

21 hkyy nn +=+

)2,( 213 hkhkyhxfk nn +−+=



• Hieraus berechnen wir einen zweiten Wert yn+1

• Wir schätzen den lokalen Diskretisierungsfehler wiefolgt ab

• bzw.

• Die unbekannten Werte der Steigungen werdendurch bekannte ersetzt

)4(6 3211 kkkh

yy nn +++=+

211ˆ)()( khxyxyd nn

VEn −−= ++

)ˆˆ4ˆ(6

)()( 32113

1 kkkh

xyxyd nnRKn ++−−= ++

3123211

ˆ)ˆˆ4ˆ(6

RKn

VEn dkhkkk

hd ++ +−++=

14



• Sowie wegen d(RK3)n+1=O(h4)

• Dieser Ausdruck gibt einen Schätzwert für denlokalen Diskretisierungsfehler der verbessertenEuler-Methode

• Hieraus lassen sich adaptive Verfahren konstruieren,welche die Schrittweite in Abhängigkeit des lokalenFehlers adaptieren, durch

• wobei S die Schrittweite im Schritt n+1 berechnet

)()2(6

)()4(6

4321

423211 hOkkk

hhOhkkkk

hd EV

n ++−=+−++≈+

))2(6

( 3211 kkkh

Sh nn +−=+


Dreiecksschema

• Wir erhalten folgendes Schema

6/16/46/1

010

211

2/12/1

0

31

1

RKn

VEn

y

y

+

+

−


Allgemeine Fehlerschätzung [3]

• Wir erhalten für zwei Verfahren derFehlerordnungen p und q

• Typischerweise ist p=q+1 oder q=p+1

• Schätzung der Differenz ergibt allgemein

pOrdnungkbhyy i

s

iinn ∑

=+ +=

11

qOrdnungkbhyy i

s

iinn ∑

=+ +=

11

ˆˆ

i

s

iiinn kbbhyy ∑

=++ −=−

111 )ˆ(ˆ


Schrittweitensteuerung für q=p+1

• Ziel: Bestimmung der Schrittweite hneu, so dassrelativer Fehler

• Wir erhalten im n-ten Schritt (vgl. Taylorreihe)

• Für kleines h ergibt sich

• Ebenso ergibt sich für den n+1ten Schritt

11)( +=− p

altnn hxyy γ2

2)(ˆ +=− paltnn hxyy γ

11ˆ +≈− p

altnn hyy γ 11

ˆ γ≈−+p

alt

nn

h

yy

1311 ˆ +

++ ≈− pneunn hyy γ

ε<−

+

++

1

11

ˆ

)(

n

nn

y

xyy


Schrittweitensteuerung für q=p+1

• Mit folgenden vereinfachenden Annahmen

• erhalten wir

• Bei Verwendung einer Sicherheitsmarge von 20%erigbt sich schliesslich

13 γγ ≈ nnn yxyxy ≈≈+ )()( 1

11

3 ˆ ++ < n

pneu yh εγ 1

11

ˆˆ

++

+ <−

np

neupalt

nn yhh

yyε

1

ˆ8.0 +

−< p

nn

naltneu yy

yhh

ε

• Wenngleich die Herleitung recht vereinfachende Annahmen trifft,kann durch obige Formel die Schrittweite eines Verfahren adaptivgesteuert werden.


2.6.(1) Differentialgleichungen höhererOrdnung

• Ein Beispiel:

• Wir führen die Hilfsvariablen z1, z2, z3 ein, mit

• und leiten diese ab

• In Matrizenschreibweise (da lineare Dgl.)

2)0(,0)0(’,0)0(’’106’8’’5’’’ ===⇒=+++ − yyyABeyyyy x

,’’,’, 321 yzyzyz ===

,10685’,’,’ 12333221xezzzzzzzz −+−−−===

App.ico

=

−−−

=

+==

− 0

0

2

)0(

586

100

010

10

0

0

,1 zAAzz’ sowiemit

e

yz

x

15


2.6.2 Beispiel: Masse-Feder

• Wir betrachten die Differentialgleichung eineseinfachen Masse-Feder-Systems

• mit der Masse m, der Dämpfung d, derFedersteifigkeit c, sowie der Gravitation g

• Wir lösen nach der Beschleunigung auf underhalten

• sowie Geschwindigkeit v und Beschleunigung a

mgtcxtxdtxm =++ )()()( +++

),,()()()( xxtftxm

ctx

m

dgtx ,,,, =−−=

)()()()( txtatxtv --- ==Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 86

Beispiel: Masse-Feder

• Anfangsbedingungen

• Umformulierung in ein System 1. Ordnung durchEinführen der Hilfsvariablen

• Das System lautet nun00200121 )()()()()()( vtxxtxmittxtxtxtx ==== .

==

−−=

=

0

0021

12

2

2

1 x),,(f)()(

)(

)(

)()(x

v

xsowiexxt

txm

ctx

m

dg

tx

tx

txt /

//

0000 )()( vtxxtx == 0

• Der Vektor x wird oft auch State-Vektor genannt. Er beschreibtden Einschwingvorgang des Systems in den Ruhezustand(steady state)


Beispiel: Euler Verfahren

• Variante 1: Standard-Euler Verfahren

• Der Schritt von n nach n+1 ergibt sich zu

• Variante 2: Wir verbessern das Verfahren imSinne der Heun’schen Methode

• Dazu kann der mit einem Euler-Schritt geschätzteWert der Zustandsvariablen x2 verwendet werden

−−+

+=

= +

++

)(x )(

1)(

2)(

2

)(2

)(1

)1(2

)1(11)(n

nnn

nn

n

n

xm

cx

m

dghx

hxx

x

x

App.ico


Beispiel: Verbesserung von Euler• Auf das System übertragen bedeutet dies

• Eine Entwicklung von x1 nach h ergibt sich durchEinsetzen

−−+

+=

=

+

+

++

)(x )(

1)(

2)(

2

)1(2

)(1

)1(2

)1(11)(n

nnn

nn

n

n

xm

cx

m

dghx

hxx

x

x

• Wir führen zunächst eine Schätzung der Zustandsvariablen x2(Geschwindigkeit) durch, die wir dann zur Berechnung des neuenWertes für die Zustandsvariable x1(Position) verwenden.

• Wir erhalten durch diesen einfachen Trick ein Verfahren höhererFehlerordnung

)(

))((

)(1

)(2

2)(2

)(1

)(1

)(2

)(2

)(1

)1(1

nnnn

nnnnn

xm

cx

m

dghhxx

xm

cx

m

dghxhxx

−−++=

−−++=+


Beispiel: Weitere Verbesserung

• Verfahren in 3 Schritten:

• 1. Berechnung einer Schätzung von x1 durchEuler-Schritt in die Intervallmitte

• 2. Schätzung von x2 durch Euler-Schritt übergesamte Intervallbreite und Verwendung von

)(2

)(1

*)(1 2

nnn xh

xx +=App.ico

)( *)(1

)(2

)(2

)1(2

nnnn xm

cx

m

dghxx −−+=+

*)(1

nx


Beispiel: Numerische Lösungen

• 3. Schätzung von x1 am rechten Intervallranddurch Sprung von h/2 nach h

• Die Zustandsvariable x1 wird also mit der halbenIntervallbreite gerechnet

• Eine Entwicklung nach h ergibt

)1(2

*)(1

)1(1 2

++ += nnn xh

xx

App.ico

)(2

3)(

1)(

2

2)(

2)(

1)1(

1

)(2

2)(

1)(

2)(

2)1(

2

4)(

22

2)(

nnnnnn

nnnnn

xh

mc

xmc

xmd

gh

xh

xx

xh

mc

xmc

xmd

ghxx

−+−−++=

−+−−+=

+

+

16


2.7.(1) Stabilität - inhärente Instabilität

• Problem: Manche Differentialgleichungen sindsehr empfindlich gegenüber kleinen Aenderungender Anfangsbedingungen

• Beispiel: [1] Betrachte die allgemeine Dgl. derForm

• Wir erhalten eine homogene sowie einepartikuläre Lösung

)(’))((’ xFxFyy +−= λ 00 )( yxy =

)( 0xxh ey −= λ )(xFyp =


Inhärente Instabilität

• Zusammengesetzt erhalten wir als Lösung

• Konkret für

• sowie λ = 10 lautet die Dgl.

• sowie deren Lösung

)0(0)0(,1

)( 2

2

Fyx

xxF ==

+=

)())(()( )(00

0 xFexFyxy xx +−= −λ

( )222

2

1

2)

1)((10)(’

x

x

x

xxyxy

++

+−=

2

2

1)(

x

xxy

+=



• In diesem Falle entfällt die Exponentialfunktion inder Lösung aufgrund der AB

• Dagegen erhalten wir bei leicht geänderter AB

• die Lösungsfunktion

710)0( −== εy

( )2

210

1)(

x

xexy x

++= ε

• Eine kleine Änderung der AB führt also zu einer grossenAenderung in der Lösungsfunktion

• Die Lösung verhält sich wie die exakte Lösung einesbenachbarten Problems



• Die Differentialgleichung ist in diesem Falleschlecht konditioniert

• Wir sprechen von inhärenter Instabilität

• Die Näherungswerte für die Lösung entfernen sichüblicherweise exponentiell vom exakten Wert

• Diese Form der Instabilität ist unabhängig von dergewählten Berechnungsmethode

• Man muss Ihr mit Verfahren möglichst hoherFehlerordnung und Rechengenauigkeit begegnen

App.ico


2.7.2 Absolute Stabilität

• Problem: Bei bestimmten Differentialgleichungenmuss die Schrittweite sehr sorgsam gewähltwerden

• Beispiel: [1] Betrachte die homogeneDifferentialgleichung der Form

• Diese wird gelöst von

• Wir untersuchen zwei klassische, explizitenumerische Lösungsverfahren

CR ∈∈== λλλ oderyxyxy 1)0()()(’

xexy λ=)(


Absolute Stabilität

• Euler: Dieser liefert die folgendeIterationsvorschrift

•

• Runge-Kutta(4): Nach Einsetzen undUmrechnung ergibt sich

• Der Multiplikator F stellt eineTaylorreihenentwicklung für ehλ bis zum 4. Glieddar.

1)1()1( 001

1 =+=+=+= ++ yyhyhyhyy n

nnnn λλλ

1)()2462

1( 0

443322

1 ==++++=+ yyhFyhhh

hy nnn λλλλλ

17



• Beispiel: Verhalten des Euler bei λ = -10 undh=0.2

• Wir erhalten ein instabiles (alternierendesVerhalten)

• Die Schrittweite ist offenbar zu gross gewählt.

• Allgemein liefert hλ>0 mit λ>0 qualitativ richtigeErgebnisse

nnnn yyyy −=⋅−=+ 2.0101

• Viele Vorgänge in den Naturwissenschaften sind jedochexponentiell abklingend (λ<0) und können daher zu instabilemVerhalten der Dgl. führen.



• Bei λ<0 muss also für ein gegebenes Verfahren

• damit die Näherungslösung ebenfalls exponentiellabklingt

• Diese Bedingung ist für RK(4) wegen

• nicht erfüllt.

• In der Natur sind die Abklingvorgänge oftmals mitOszillationen verbunden (siehe Masse-Feder)

1)( <λhF

∞=−∞→

)(lim λλ

hFh



• Dies führt zu komplexwertigen λ• Insbesondere gilt für die komplexwertige Lösung

•

• Jedoch auch hier muss für Re(λ)<0 gelten, dass

1)( <λhF

0)Re(11 <<=+ λλλ füremityey hn

hn

• Stabilitätsgebiete werden oft in der komplexen Ebene gezeichnet.Wir verwenden Maple.


Absolute Stabilität• Definition: Für ein Einschrittverfahren, welches

für die Testaufgabe y’=λy mit y(0)=1 auf eineVorschrift

führt, heisst die Menge

Gebiet der absoluten Stabilität.

• Insbesondere bei Differentialgleichungssystemenmuss für jeden Eigenwert λi die Bedingung

• erfüllt sein.

nn yhFy )(1 λ=+

{ }1)(: <∈= µµ FB C

App.ico

Bh i ∈λ


2.7.3 Implizite Lösungsverfahren

• Idee: Wir verbessern die Stabilität durch impliziteLösungsverfahren

• Hierbei taucht der zu berechnende Wert yn+1 auchauf der rechten Seite der Dgl. auf

• Impliziter Euler:

• Dieser Ansatz führt zu einer i. A. nichtlinearenBestimmungsgleichung für yn+1

• Deren Lösung kann u. U. recht aufwendig undnicht eindeutig sein.

),( 111 +++ += nnnn yxhfyy


Implizite Lösungsverfahren

• Lösung für unsere Testaufgabe zur Berechnungdes Stabilitätsgebietes

• Daraus ergibt sich

• Das Stabilitätsgebiet des Verfahrens umfasst diegesamte linke Halbebene und erlaubt damit grosseSchrittweiten

11 ++ += nnn yhyy λ

λh

yy n

n −=+ 11

λλ

hhF

−=

11

)(App.ico

18


2.8.(1) Steife Differentialgleichungen

• Die Anfälligkeit eines Differentialgleichungssystemsfür die beschriebenen Instabilitäten wird durch diesogenannte Steifheit charakterisiert.

• Für lineare Systeme wird die Steifheit wie folgtdefiniert:

• Wir schreiben das System in Matrixform App.ico

)()()(’ xxx bAyy +=


Steife Differentialgleichungen

• Definition: Die Steifheit S des linearenDifferentialgleichungssystems ist der Quotient derBeträge der absolut grössten und absolut kleinstenRealteile der Eigenwerte der Systemmatrix A.

• Steife Dgl.: S>103

App.ico)Re(min/)Re(max: ii

ii

S λλ=


2.8.2 Nichtlineare Systeme

• Das Problem der Steifheit existiert ausgeprägt beinichtlinearen Dgl.-Systemen.

• Wir schreiben sie in der Form

• Zur Untersuchung der Steifheit betrachten wir daslokale Verhalten der exakten Lösung y(x) in derUmgebung von xn.

• Als Anfangsbedingung wählen wir y(xn)=yn (vgl.lokaler Fehler).

))(,()(’ xxx yfy =


Nichtlineare Systeme

• Die gesuchte Funktion wird nun angesetzt als

• Eingesetzt in das Differentialgleichungssystemergibt für die i-te Gleichung

• sowie nach Linearisierung

• In Matrixschreibweise erhalten wir das lokallinearisierte System der Form

)()( xx n zyy +=

))(,),(),(),(()(’ 2211 xzyxzyxzyxxxfxz mmnnnnnii +++−+= 1

)(),(),(

)(),()(’1

xzy

xf

x

xfxxxfxz j

m

j j

nninninnnii ∑

= ∂∂+

∂∂−+≈ yy

y


Nichtlineare Systeme0zgfzJz’ =−++= )()()()()( nnnn xxxxxx

),(21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

:)(

nnxm

mmm

m

m

n

y

f

y

f

y

f

yf

yf

yf

yf

yf

yf

x

y

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

332

2

=

)(

)(

)(

)(2

1

xz

xz

xz

x

m

4z

=

),(

),(

),(

2

1

nnm

nn

nn

xf

xf

xf

y

y

y

fn 4

),(

2

1

)(

nnx

m

n

x

f

xfxf

x

y

g

∂∂

∂∂∂∂

= 4

• Die Steifheit wird nun analog durch die Eigenwerte der Jacobi-Matrix charakterisiert.

• Die Steifheit ist nun eine Funktion von xn und ändert damitwährend der numerischen Integration.

• Somit kann die Schrittweite h expliziter Verfahren in jedem Schrittneu bestimmt werden.


2.9.(1) Randwertprobleme [1], [3]

• Randwertproblem: Vorgabe der Bedingungen zurFestlegung einer Lösung an verschiedenen Stellenx1, x2, ...,xn.

• Oftmals auch an den Intervallrändern a,b, wobei x in[a,b].

• Für das System

• schreiben wir die Randbedingungen in der Form

• mit i=1,...,n

))()(’ xx,x yf(y =

)]()(),(),()(),([ 2121 bybybyayayayR nni 55

19


Randwertprobleme

• Die Differentialgleichung muss also zumindest 2.Ordnung sein

• Beispiel:

• Typische Randbedingung

• Alternativ auch Angabe von Steigungen möglich

• Randbedingungen können auch in allgemeiner,nichtlinearer Form vorliegen

))(’),(,()(’’ xyxyxfxy =

ba ybyyay == )()(

βα == )(’)(’ byay


Randwertprobleme

• Definition: Eine Randwertaufgabe heisst linear,wenn sowohl die zugehörige Differentialgleichung,als auch die Randbedingungen linear sind.

• So kann die Lösung eindeutig, mehrdeutig odernicht existent sein

• Beispiel:

• Ausarbeitung an Tafel!

• Für allgemeine Randwertaufgaben ist weder die Existenz, nochdie Eindeutigkeit einer Lösung gewährleistet

1’’ =+ yy


Zusatzblatt: Beispiel

1=+′′ yy

parthom yyy +=

( ) ( ) 1sincos 21 ++= xx αα



( ) 12

00 =

= π

,yy :1 Fall

0 ,111

01 einsetzen 21

2

1 =−=

=+=+

→→ αααα

( ) ( )xxy cos1 −=→

( ) 1)(00 == π,y y:2 Fall

11 ,01 11 =−=+→ αα

( ) ( ) 200 == π,yy :3 Fall

21 ,01 11 =−=+→ αα1 1 −=→α

( ) ( ) ( )xx -x y sincos1 2+=⇒

beliebig mit 2 ℜ∈αlösbarnicht →



( ) ( )( )2

0100 2 π<<=′= b, by,y :4 Fall

( ) ( )( ) 1cossin 22 =+ bb α

( ) ( ) ( )xxxy sincos11 21 +−=→−=

( )( ) Lösungen 2

cos

sin12

−±=

b

bα



( ) ( )( ) 000 y,y =′= π :5 Fall

( ) ( ) ( )xxx y sincos1 21 α++=

( ) ( ) ( )xxxy cossin 21 αα +−=′

101 1) 11 −=→=+ αα0 2) 2 =α

( ) ( )x -xy cos1 =

20


Lösungsmethoden

• Wir unterscheiden 3 wichtige Klassen vonLösungsmethoden:– Analytische Methoden für lineare Randwertprobleme

– Shooting-Methoden (siehe Uebungen)

– Finite Differenzen Methoden


2.9.2 Analytische Lösung

• Idee: Entwicklung der Lösungsfunktion y(x) alsLinearkombination geeigneter Ansatzfunktionen

• Beispiel: Wir betrachten das folgendeRandwertproblem

• mit

• Wir definieren einen linearen Operator L fürzweimal stetig differenzierbare Funktionen y(x)

∑∞

==

1

)()(i

ii xcxy φ

)()()(’’ xfxqyxpy =+−

0)(’0)0( == πyy


Analytische Lösung• mit

• Gesucht ist also der inverse Operator (dieUmkehrabbildung), so dass

• Wir betrachten das zugehörige Eigenwertproblem

• Bei bekannten Eigenwerten λi sowie denEigenfunktionen φi

• Wir schreiben f als Linearkombination der φi

)()( xfxLy =

)()( 1 xfLxy −=

yLy λ=

∑∞

==

1

)()(i

ii xaxf φ


Analytische Lösung

• bei bekannten Koeffizienten ai erhalten wir diegesuchte Lösungsfunktion

• da

• Die Koeffizienten der Eigenfunktionen unseresBeispiels entsprechen der Fourierkoeffizienten einerFourier-Reihenentwicklung.

∑∞

==

1

)()(i

ii

i xa

xy φλ

)()()()()(111

xfxaxa

xLa

xLyi

iii

iii

i

ii

i

i ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

===== φφλ

λφ

λ


Analytische Lösung

• für

• erhalten wir

• für das Beispiel wählen wir folgende Ansatzfunktion

• Eingesetzt erhalten wir

• oder

0)0()sin()( =⇒= ykxxφ)cos()(’ kxkx =φ

6,2,1,21

0)(’ =−=⇒= iikπφ

0)sin()sin()sin(2 =−+ kxkxqkxpk λ

yLy λ=

)()()(’’ xxqxp λφφφ =+−

0)sin()( 2 =−+ kxqpk λCopyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 120

Analytische Lösung

• Hieraus ergeben sich die Eigenwerte undEigenfunktionen

• L2-Norm der Eigenfunktionen

• Die normierte Eigenfunktionen sind orthonormal

)21

sin()( xixi

−=φqipi +

−=

2

21λ

∫ ===π πφφφφ0

22

2)(,)(

2dxxx iiiLi

)21

sin(2

)(ˆ xixi

−=

πφ ijji δφφ =,

21


Analytische Lösung

• Bei gegebenem Randwertproblem berechnen wir dieFourierkoeffizienten ai mit

• und erhalten

• sowie die gesuchte Lösungsfunktion y(x)

∫==π

φφ0

)(ˆ)(ˆ, dxxxffa iii

∑∑∞

=

∞

=

−==

11

)21

sin(2

)(ˆ)(i

ii

ii xiaxaxfπ

φ

∑∑∞

=

∞

=

−

+

−

==1

21

)21

sin(2

21

)(ˆ)(i

i

ii

i

i xi

qip

ax

axy

πφ

λ


Analytische Lösung

• Praktische Berechnungen mit dieser Methode könnensehr mühsam sein

• (glatte) Näherungslösung durch Abschneidenhochfrequenter Anteile

• Der Approximationsfehler ergibt sich zu

∑=

=N

ii

i

i xa

xy1

)(ˆ)(~ φλ

∑∑∑∞

+=

∞

+=

∞

+=

==−1

2

11

2)(ˆ,)(ˆ)(~)(

Ni i

i

Nii

i

i

Nii

i

i ax

ax

axyxy

λφ

λφ

λ


2.9.3 Finite Differenzen

• Wir betrachten die allgemeinere Dgl.

• Diskretisierung der Gleichung durch Ersetzen derAbleitungen durch zentrale Differenzen ersterOrdnung (Kap. 3, [1])

)()()()(

)( xfxyxqdx

xdyxp

dxd =+

− 0)(’0)0( == πyy

h

hxy

hxy

xy)

2()

2(

)(’−−+

≈

hh

hxyxyhxp

hxyhxyh

xpxyxp

)()()

2(

)()()

2(

))’(’)((

−−−−−++≈


Finite Differenzen

• Mit xn=nh und yn=y(xn) können wir folgendeBeziehung für jedes xn aufstellen

• Die Gleichung gilt für alle inneren Punkte n=1,..,N-1

• Wir betrachten die Randbedingungen:

• Linksseitig:

• Zur Einhaltung der rechtsseitigen Randbedingungbetrachten wir zwei Varianten

)()())(2

())(2

(1

112 nnnnnnnnn xfyxqyyh

xpyyh

xph

=+

−−−−+− −+

00)0( 0 =⇒= yy


Finite Differenzen

• Variante 1: finite Differenz am rechten Rand fixieren

• Variante 2: Zusätzlichen (virtuellen) Punkt yN+1

einfügen

11 0)(’0)(’ −

− =⇒=−≈⇒= NNNN yy

h

yyyy ππ

1111 0

2)(’0)(’ −+

−+ =⇒=−≈⇒= NNNN yy

h

yyyy ππ

• Vorteil von Variante 2 ist, dass die Differentialgleichung auch fürn=N formuliert werden kann (eine zusätzliche Gleichung)


Finite Differenzen

• Beispiel: Wir betrachten den Spezialfall p=1 und q=0(eindimensionale Poisson-Gleichung)

• Variante 1: yN=yN-1

• Für alle inneren Punkte xn, n=1,..,N-2 erhalten wir

• bzw. für n=N-1

)()(

2

2

xfdx

xyd =−

( ) nnnnn fxfyyyh

==+−− +− )(21

112

( ) 11212 )(1

−−−− ==+−− NNNN fxfyyh

22


Finite Differenzen

• In Matrixschreibweise erhalten wir das folgendeGleichungssystem

• Gleichungssystem mit N-1 Unbekannten -> Solve

=

−

−

−

−

−− 1

2

1

1

2

1

110

12

1

012

NN f

f

f

y

y

y

77

8

99

799

8


Finite Differenzen• Variante 2: yN+1=yN-1

• Für n=N erhalten wir folgende Relation

• und damit die folgende Matrix

( ) ( ) NNNNNNN fxfyyh

yyyh

==−−=+−− −+− )(221

21

12112

=

−

−

−

−

NN f

f

f

y

y

y

::

;

<<

:<<;

2

1

2

1

220

12

1

012


Finite Differenzen

• Das Gleichungssystem hat nun die Dimension N

• Variante 2 ist vorzuziehen, da derDiskretisierungsfehler am rechten Rand O(h2) ist.

• Dagegen liefert Variante 1 einen linearen Fehler O(h)

• Berechnungen dazu: Siehe Maple-Sheet

App.ico

• Die finite Differenzenmethode kann auch auf nichtlineareRandwertprobleme angewandt werden.

• Hier muss ein nichtlineares Gleichungssystem in den Variablenyn mittels entsprechender Methoden (Newton o.ä.) gelöstwerden.

Documents

2.1.(1) Beispiele Kapitel 2: Gewöhnliche q ... · • Wir erhalten ein instabiles (alternierendes =∞ →−∞ • ={}) − += − = ( )