24. Die Exponentialfunktion Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz Reihe: Folge: Die Funktionalgleichung lautet: e x 1. e x 2 = e x 1 +x 2 exp(x)

24. Die Exponentialfunktion

...6

x

2

xx1...

!3

x

!2

x

!1

x

!0

x

!n

x)xexp(

323210

0n

n

Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz

Reihe:

Folge:

Die Funktionalgleichung lautet:

][ ...n

x

3

n

n

x

2

n

nx

1

n1)

nx

1()xexp(3

3

2

2

n

n

n)()()(limlim

ex1.ex2 = ex1+x2

exp(x) ex exp(1) e D =

ex1.ex2 = n=0

∞ xn

1

n! .

m=0

∞ xm

2

m! = k=0

∞ n+m=k

xn

1 xm2

n! m!

= k=0

∞ n=0

k

xn

1 xk-n2

n! (k-n)!

= k=0

∞ 1k!

n=0

k

k!

n! (k-n)! xn1 xk-n

2

= k=0

∞ 1k!

n=0

k

(kn) xn

1 xk-n2

= k=0

∞ 1k! (x1+x2) k = ex1+x2

0e

xx

n

xlim

exp(-x) = 1

exp(x) Bew.: 1= exp(0) = exp(x-x) = exp(x).exp(-x)

exp(x) ist streng monoton wachsend mit W = (0,∞).

Bew.: ex > 1 für x > 0. ex+x = ex ex > ex . e0 = 1. e-x= 1/ex.

exp(x) wächst stärker als jede Potenz von x:

Bew.: ex = k=0

∞ xk

k! > xn+1

(n+1)! xn

exp(x) < (n+1)!

x 0 für x

Irrationalität von e = 10! +

11! +

12! +

13! + ... = 2,71828...

e = n=0

∞

1n! =

10! +

11! +

12! +

13! + ...

Sei e = mk mit m,k . k ≥ 2, da e nicht ganzzahlig ist.

Summiert man bis zum k-ten Glied, so bleibt der Rest

R = e - n=0

k

1n!

= mk - (

10! +

11! + ... +

1k! ) =

1(k+1)! +

1(k+2)! +

1(k+3)! + ...

Nach der linken Seite muß k!R gelten, nach der rechten Seite:

k!R = 1

k+1 + 1

(k+1)(k+2) + 1

(k+1)(k+2)(k+3) + ... < 1

k+1 + 1

(k+1)2 + 1

(k+1)3 + ...

= 1

k+1 1

1 - 1

k+1

= 1k < 1

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis.

lnx ist streng monoton wachsend, D = (0, ) und W = .

elnx = x für x (0, ) ln ex = x für x

ln(1) = 0 exp(ln(1)) = 1 = exp(0)

ln(e) = 1 exp(ln(e)) = e = exp(1)

ln(1/x) = - ln(x) exp(ln(1/x)) = 1/x = 1

exp(ln(x)) = exp(-ln(x))

ln(x1.x2) = ln(x1) + ln(x2) eln(x1x2) = x1x2 = elnx1.elnx2 = elnx1+lnx2

ln(xa) = a.ln(x) ln(xa) = ln(x.x...x) = ln(x) + ln(x) + ... + ln(x) = a.ln(x)

0x

xlnn

xlim

0xexp

x

xexp

xlnexpn

xn

xlimlim

1x

1ex

0xlim

1

1xxln

lim1x

(ea)b = eab aber für a.b ≠ ab gilt eab ≠ e(ab)

Bew.: ln((ea)b) = b.ln(ea) = b.a.ln(e) = a.b = ln(eab) ln(e(ab)) = ab.ln(e) = ab ≠ a.b = ln(eab)

ln(x) wächst schwächer als jede Potenz von x:

Grenzwerte: ln(x)x-1 =

ln(x)exp(ln(x))-1 =

yey - 1 und y 0 für x 1

xx eedxd

Ableitung der Exponentialfunktion

n n-1 n-1 nx x

n=0 n=1 n=1 n=0

d d x x x xe e

dx dx

nn! n! (n -1)! n!

x1

dx)xln(d

exp(x) ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft und exp(0) = 1

Bew.: ( f(x)exp(x) )´ =

f´(x)exp(x) - f(x)exp(x)exp2(x) =

f´(x) - f(x)exp(x) = 0 da f´= f.

f(x)

exp(x) = const.

Ableitung der Logarithmusfunktion

dln(x)dx =

1dexp(ln(x))

dln(x)

= 1

exp(ln(x)) = 1x für 0 < x <

alnaadxd xx

Die allgemeine Potenz ax mit der positiven Basis a ( 1) und dem Exponenten x kann mit Hilfe von a = elna auf die Exponentialfunktion zurückgeführt werden.

ax = (elna)x = ex lna

Damit findet man nach der Kettenregel

(ax)´ = ddx ex lna =

dex lna

dxlna dxlna

dx = ex lna lna = ax lna

Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis a, loga.

alogax = x = logaax (logax nur für positive x definiert)

alnx

1xlog

dxd

.a

Der Logarithmus gibt an, mit welchem Exponenten man die positive Basis a potenzieren muß, um die Zahl x zu erhalten.

ay = x logax = y

Briggssche Logarithmen: 10y = x lgx = y

1 = logaa = loga(blogba) = logba.logab (wenn ay = b, dann a = b1/y)

logax = loga(blogbx) = logbx.logab = loga b.logb x

lnx = ln10.lgx sowie lgx = lge.lnx

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis a:

dlogax

dx = dlnx/lna

dx = 1

x.lna = logae

x

Man berechne die Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe jeweils auf 4 Kommastellen genau.

Welches ist die größte Zahl, die man im Zehnersystem mit drei Ziffern schreiben kann (Exponentialschreibweise!), und wieviel Stellen besitzt sie? 1 + [99lg9]

Logarithmisch ableiten: xx

x3e4xsin4x

Wotans Ring Draupnir

t/s Anzahl

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

t/s Anzahl


11 Sterne in der Milchstraße

t/s Anzahl



14 Bakterien im menschlichen Darm

t/s Anzahl




20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

t/s Anzahl





22 Sterne im Weltall

t/s Anzahl






34 Bakterien in den Erdmeeren

t/s Anzahl







38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

t/s Anzahl








59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

t/s Anzahl









80 Protonen im Weltall

t/s Anzahl










43 min 1000! übertroffen

t/s Anzahl











? 999

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

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24. Die Exponentialfunktion Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz Reihe: Folge: Die Funktionalgleichung lautet: e x 1. e x 2 = e x 1 +x 2 exp(x)