29. Grundlegendes zu Magnetfeldern€¦ · magnetisches Moment des ... − Wir untersuchen nun das Feld im Innern einer langen Spule. Zunächst schreiben wir nun Gl. (10) mit Hilfe

Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern

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29. Grundlegendes zu Magnetfeldern

29.1. Die LORENTZ-Kraft

− Ladungen werden nicht nur von elektrischen Feldern beeinflusst (COULOMB-Kraft, Gl. (25- 4)), sondern auch von magnetischen Feldern. !

− Experimente zeigen:

· Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen F ~ v· Kraft wirkt immer senkrecht zu v

r, also keine Änderung des Betrages von | v

r|

bzw. der kinetischen Energie Ekin, sondern nur Richtungsänderung· Bei homogenen Magnetfeldern sieht man, dass die Kraft von der Richtung von

vr

relativ zum Magnetfeld Br

abhängt· positive und negative Ladungen q/-q werden entgegengesetzt abgelenkt

− Letztlich zeigt sich, dass für die LORENTZ-Kraft gilt:

BvqFrrr

×⋅= (1)

Br

... magnetische Feldstärke

Es gilt die Rechte-Hand-Regel:

Mit Gl. (1) ist eine Präzisierung der experimentellen Ergebnisse möglich:

)B,vsin(BvqFrrrrr

⋅⋅⋅=

· F wird minimal (F = 0) für vr

|| Br

.· F wird maximal für v

r ⊥ B

r.

− Damit ist Br

analog zu Er

über die Kraftwirkung auf elektrische Ladungen definiert.

= Nmä

Maß-einheit:

]B[211 Am

JmsmC

JsmC

N]v[]q[

]F[=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=

−− SI

mit: P UI ⋅= (26 - 14)


44

]P[sJ

VA ≡⋅= SI

æ

AsJ

V = , damit ergibt sich für B

Maß-einheit:

]B[ TmVs

2≡= ... Tesla SI

Eine veraltete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß (1 Tesla = 104 Gauß).

29.2. Kräfte auf Ströme im Magnetfeld

− Strom in einem Leiter

AvnqI ⋅⋅⋅=rr (2)

n ... Zahl der Ladungsträger pro Volumenq ... Ladung pro Ladungsträgervr

... mittlere Driftgeschwindigkeit

vgl. hierzu auch Gl. (26 - 10), allerdings ist in Gl. (2)noch die korrekte Richtungsbeziehung enthalten

mit:lA

Nn

⋅= wobei N die Zahl der Ladungsträger im Drahtstück ist,

folgt aus Gl. (2)

Ir

AvlA

Nq ⋅⋅

⋅⋅=

r Br

×

BIrr

×l1

FNl1

BvqN T ⋅⋅=⋅×⋅⋅=rrr

(3)

TFr

beschreibt die LORENTZ-Kraft auf einen Ladungsträger. Die gesamte Gl. (3) hin-gegen drückt die Kraft auf alle Ladungsträger pro Längeneinheit im Drahtstück aus.

Die resultierende Kraft auf alle Ladungsträger im Drahtstück ergibt sich zu

BIlFrrr

×⋅= (4a)

bzw. BlIFrrr

×⋅= (4b)

dabei gilt:

elIlIIlrrr

⋅⋅≡⋅=⋅er

... Einheitsvektor in Draht-/Stromrichtunglr

... Drahtlänge mit „Vektorcharakter“ || Ir


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Kommentar: uDie Kraft ist unabhängig davon, wie der Strom zu Stande kommt (viele/wenigeLadungsträger, viel/wenig Ladung pro Ladungsträger, große/kleine Driftge-schwindigkeit)! Entscheidend ist nur der Strom, also Ladung pro Zeit.

Einschub zur Richtungskonvention !für positive Ladungsträger (q > 0) gilt:

AI

j~I~v~Errrrr

≡

vr

... Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger

In Metallen sind die frei beweglichen Ladungsträger die Elektronen (q = -e), siebewegen sich natürlich entgegengesetzt. Die Formeln gelten natürlich auch dort,wir müssen nur q = -e einsetzen.

− Wir betrachten eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld:

Nur die LeiterstückeAB und CD führen zueiner Drehung.

Die Kräfte auf BC undD/A kompensiereneinander!

Nun untersuchen wir den Schnitt durch diese Leiterschleife:

Zur Drehung tragennur die Kraftkompo-nenten senkrecht zur

Leiterschleife bei ( nFr

).

Die Kraftkomponen-ten tangential dazu( tFr

) kompensieren sich.

− Letztendlich zeigt sich, dass für das Drehmoment M gilt:

BsinAIMr

⋅ϑ⋅⋅= (5)


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Kommentar: u

· Das Drehmoment ist proportional zu A, d.h. entscheidend ist die Fläche!(„Leiterstück AB bringt die Kraft, Leiterstück BC bringt den Hebelarm“)

· Außerdem ist das Drehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es versucht, dieSchleife senkrecht zum Magnetfeld zu stellen („maximale Wechselwirkungzwischen I

r und B

r“). So funktionieren Messgeräte und Motoren!

− Trick: Einführung eines Vektors Ar

mit | Ar

| = A, Richtung senkrecht zur Lei-terschleifenfläche und Berücksichtigung der Rechten-Hand-Regel be-züglich des Stromes I:

aus Gl. (5) folgt damit

BAIMrr

×⋅= (6)

− Mitunter werden I und Ar

zum magnetischen Moment µr

der Stromschleife zu-sammengefasst

AIrr

⋅=µ (7)

⇒ BMrr

×µ= (6‘)

Kommentar: u

· Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wir noch vertiefen werden, dieStärke der „magnetischen Wirkung“ der stromdurchflossenen Leiterschlei-fe. Es steigt mit der Fläche A und/oder dem Strom I.

!

· Die stromdurchflossene Leiterschleife ist das magnetische Analogon zumelektrischen Dipol, das magnetische Moment entspricht dem (elektrischenDipolmoment). Das Verhalten, d.h. die Wechselwirkung mit einem äußerenFeld, ist völlig analog.

!


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29.3. Magnetfeld eines geraden Leiters

− Wir betrachten das Magnetfeld einesstromdurchflossenen Leiters

− Eine genaue Untersuchung (z.B. durchMessung der Kraft auf eine bewegte Pro-beladung q in Drahtnähe) liefert

rI

2B 0 ⋅

πµ

=r

(8)

mit der Richtung von Br

lt. der Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ0 die magneti-sche Feldkonstante oder Induktionskonstante.

AmVs

1026,1AmVs

104 6

70−⋅≈

π=µ

− µ0 ist ursprünglich einmal gemessen worden, inzwischen aber durch die Defini-tion des Ampere in seinem Zahlenwert festgelegt.

− Multipliziert man die Influenz- und Induktionskonstante, folgt

2

218612

00ms

101,11AmVs

10...26,1VmAs

10...85,8 −−− ⋅≈⋅⋅⋅=µ⋅ε

Dieser Wert entspricht c-2 (c...Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)!

002c1

µ⋅ε= (9)

Dies ist kein Zufall, sondern wird auch durch komplexere Betrachtungen bestätigt.

29.4. Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes

Wir vergleichen dazu mit dem Er

-Feld:

1.) · Für das elektrische Feld Er

war

12

r

r

UdrE2

1

−=⋅∫r

r

r(25 - 14)

unabhängig vom Weg, d.h.

0drE =⋅∫r

Dies ist die aus bekannte KIRCHHOFFsche Maschenregel.


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· Wenn wir obigen Ausdruck analogfür das magnetische Feld B

r mittels

Integration längs R = const. um denDraht bilden, erhalten wir

∫=

⋅const.R

drBr

R2RI

20 π⋅⋅π

µ=

I0 ⋅µ=

Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemeingilt:

Kurve d. innerhalb ges,0Kurve eeschlosseng

IdrB ⋅µ=⋅∫r

(10)

2.) · Für das elektrische Feld Er

war außerdem

0

Edivερ

=r

(25 - 20)

Will man diesen Sachverhalt in integraler Schreibweise ausdrücken benötigtman die Beziehung

∫ ⋅Fläche geschl.

dAEr

∫ ⋅=Flächeder

inVolumen

dVEdivr

Dies ist der allgemein gültige mathematische Satz von GAUß-OSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (25 - 20) folgt


dAEr

Flächeder ges,in 0

Fläche d.in Vol. 0

Q1

dV ⋅ε

=⋅ερ

= ∫ (25 - 10)

· Für das magnetische Feld Br

gilt wegen der selben Mathematik


dABr

∫ ⋅=Flächeder

inVolumen

dVBdivr

(11)

Da es aber keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen oder Senkenvon Feldlinien sind, sondern magnetischen Feldlinien immer in sich ge-schlossen sind, gilt:

!

0Bdiv =r

(12)


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daher ist


dABr

0dVBdiv

Flächeder inVolumen

=⋅= ∫r

(11)

Analog zum elektrischen Fluss heißt Φm magnetischer Fluss.

∫ ⋅=ΦFläche

m dABr

(13)

Für nicht geschlossene Flächen ist der magnetische Fluss Φm im Allgemei-nen nicht Null! !

29.5. Die magnetische Feldgröße H

− Analog zum „Pärchen“ Er

↔ Dr

bildet man mit

B1

H0

rr⋅

µ= (14)

eine zweite Feldstärkegröße1 für das Magnetfeld.

Maß-einheit: m

A]H[ = 2 SI

− Dies hat – wiederum analog – zur Folge, dass sich verschiedene Gleichungenformal vereinfachen, z.B. Gl. (10)

Kurve d. innerhalb ges,Kurve eeschlosseng

IdrH =⋅∫r

(10‘)

− Der eigentliche Unterschied zwischen Br

↔ Hr

wird allerdings erst später deut-lich werden, wenn wir Materie im Magnetfeld vertieft behandeln. Dann ergibtsich in weiterer Analogie

HB 0rr

⋅µ⋅µ= (15) µ ... Permeabilität des Materials

29.6. Ursachen von Magnetfeldern

− Es gibt zwei scheinbar unterschiedliche Ursachen für deren Existenz:a) magnetische Materialien („Magnete“)b) elektrische Ströme

1 Eine Zusammenstellung der in verschiedenen bekannten Lehrbüchern verwendeten Begriffe zur die

Beschreibung der elektrischen und magnetischen Felder findet sich im Anhang auf S. VI.2 Dies folgt sofort aus und Gl. (8). Beachte wieder die Analogie zum E

r-Feld mit [E] = V m-1!


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− Hinter a) steckt die Tatsache, dass die Bausteine der Atome (Elektronen e-, Pro-tonen p+, Neutronen n) kleine magnetische Momente besitzen, die wir uns als„winzige Kreisströme“ vorstellen können.

magnetischeMomente

der e-, p+, n → ngÜberlageru

magnetischesMoment des

Atoms

≠µ

=µ=

0

ion)(Kompensat0

A

A rr

rr

− Wenn die atomaren Aµr

bereits von sich aus (ohne äußeres Magnetfeld) parallelausgerichtet sind, liegt ein ferromagnetisches Material vor (= „Magnet“). !

− Richtungskonvention für Br

, Hr

: Vom Nord- zum Südpol !In diesem Fall sind die „atomaren Kreisströme“wie in folgender Skizze orientiert:

− Die Ursachen a) und b) sind also gar nicht so verschieden!

− Magnetische Materialien werden in vertieft behandelt, in diesem Kapitel be-schäftigen wir uns mit den Magnetfeldern von Stromanordnungen. Wir betrachten imExperiment:· Draht,· Leiterschleife,· lockere und dichte Spule,· Ringspule,· HELMHOLTZ-Spulen(paar),· Überlagerung von Spulenfeldern (Vektoraddition).

− Beispiel: HELMHOLTZ-Spulen nAls HELMHOLTZ-Spulen bezeichnet man die Anordnung zweier kreisförmigerStromschleifen (mit Radius R) genau im Abstand R. !


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⇒ Das resultierende Magnetfeld ist bei parallelem Strom relativ gut homogen,bei entgegengesetztem Stromfluss hingegen relativ gut linear.

− Kommentar zur langen Spule: u· Mit zunehmender Spulenlänge ist das Feld mehr und mehr auf den Innen-

raum konzentriert.· Beim Grenzfall der unendlich langen Spule existiert das Feld nur innen und

ist dort homogen (Analogie zum Plattenkondensator!). !· Die Ringspule kann als Näherung für die lange Spule betrachtet werden.

− Wir untersuchen nun das Feld im Innern einer langen Spule.

Zunächst schreiben wir nun Gl. (10) mit Hilfe von Gl. (14) für Hr

statt für Br

Kurve d. innerhalb ges,0Kurve geschl.Kurve geschl.

0 IdrBdrH ⋅µ=⋅=⋅µ ∫∫rr

es folgt also

Kurve d. innerhalb ges,Kurve geschl.

IdrH =⋅∫r

(10‘)

Wir wenden nun Gl. (10‘) auf die Kurve K in der Skizze an


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Anzahl der Windungen innerhalb der Kurve Kä

lH ⋅ nIIges ⋅==

lH ⋅ln

lI ⋅⋅=

æWindungen pro Länge

Hln

I ⋅= (16)

Kommentar: uIges würde einem gerolltenBlech entsprechen.

Dies geht ebenso, abertechnisch wird eben dieflächenhafte Stromvertei-lung über das Aufwickelnvon isolierten Drähtenverwirklicht.

29.7. Der Satz von BIOT-SAVART

− Beim elektrischen Feld war

rr

r4q

)r(E2

0

rrr

⋅πε

= (25 - 4)

das Feld einer Ladung q am Punkt )r(Pr

(wenn q am Ursprung sitzt).

− Gibt es noch weitere Ladungen q‘, q‘‘, ... müssen wir die Felder der einzelnenLadungen addieren (vgl. Beispiel des elektrischen Dipols in ). Es gilt al-so das Superpositionsprinzip (Ursache dafür ist die Linearität der Gl. (25 - 4))

− Das Superpositionsprinzip gilt auch für magnetische Felder. !· elektrisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Punktladungen dq· magnetisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Stromelemente dI


53

Das StromelementdlI~dI ⋅ bewirkt

am Punkt )r(Pr

ein

Feld dH mit

2r1

I~dH ⋅

Dieses Feld zeigt die gleiche Abstandsabhängigkeit wie Gl. (25 - 4). Man mussaber noch die Richtung berücksichtigen, denn im Gegensatz zum elektrischenFeld ist

dlH ⊥r

und rHrr

⊥ (nicht ~ rr

!)

Es zeigt sich, dass gilt

3r4rdlI

dHπ

×⋅=

r(17)

Dies ist das Gesetz von BIOT-SAVART.

Mit dessen Hilfe kann man im Prinzip die Magnetfeldverteilung jeder beliebi-gen Stromanordnung (Spule, etc.) berechnen. !

29.8. Bewegte Bezugssysteme

− Gedankenexperiment:

Eine Ladung q bewegesich mit v

r im Laborsy-

stem.

Im Labor herrscht einhomogenes MagnetfeldBr

Beobachter A befindet sich im Labor, Beobachter B fliegt neben der Ladung her,d.h. er befindet sich in einem relativ zum Labor mit v

r bewegten Bezugssystem.

− Beobachter A: Die Ladung erfährt eine LORENTZ-Kraft

BvqFLrrr

×⋅=


54

− Beobachter B: Auch er mißt Br

, für ihn ist aber 0F 'Lrr

= , da die Ladung in sei-nem System ruht.

Er merkt natürlich auch, dass auf q eine Kraft wirkt, kann dieseaber nur als COULOMB-Kraft interpretieren

⇒ BvqF'Eq'Frrrrr

×⋅==⋅= (18)å â æ

(Beobachter B) Kraft muss (Beobachter A)ein und die-selbe sein!

Im bewegten Bezugssystem herrscht also ein elektrisches Feld 'Er

,das vom Magnetfeld im Laborsystem herrührt (vgl. b) in Gl. (20a)) !⇒ Bv'E

rrr×= (19)

− Wenn im Laborsystem außer dem Br

-Feld auch noch ein Er

-Feld existiert, sospürt dieses der bewegte Beobachter auch (vgl. a) in Gl. (20a)). !

ruhendes System mit vr

bewegtes System

elektrisches Feld Er

BvE'Errrr

×+= (20a)

â â

a) b)

magnetisches Feld Br

)Ev(c1

B'B2

rrrr×−= (20b)

â âc) d)

− Nun zum magnetischen Feld im bewegten Bezugssystem:

· Wenn es im Laborsystem ein Magnetfeld Br

gibt, spürt das der BeobachterB auch (vgl. c) in Gl. (20b)).

(Dass er keine LORENTZ-Kraft findet, liegt ja an vrel = 0! In dem Maße, indem sich die Ladung durch „seine“ COULOMB-Kraft zu bewegen beginnt,wirkt auch für ihn eine LORENTZ-Kraft auf die Ladung!)

· Es ist jedoch nicht überraschend, dass nicht nur ein 'Er

-Feld-Anteil aus Br

erwächst, nämlich, wie schon erwähnt,

Bv'Errr

×=

sondern auch ein 'Br

-Feld-Anteil aus dem Er

-Feld des ruhenden Systems.


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Es zeigt sich, dass dieser Anteil (Glied d) in Gl. (20b)) folgende Gestalt hat

)Ev()Ev(c1

'B 002rrrrr

×εµ−=×−=

− Also: Im bewegten System herrschen Er

und Br

des ruhenden Systems(Teile a), c)) und dazu noch ein 'E

r-Anteil aus B

r sowie ein 'B

r-Anteil

aus Er

(Teile b), d) der Gleichungen (20a) und (20b).

!

− Dies gilt für v

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