3. Das Magnetfeld - ate.uni-due.de · • Die magnetische Flussdichte B wurde über die Kraftwirkung des Magnet- feldes definiert (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Flussdichte

1

-168-

3. Das Magnetfeld

Grundlagen der Elektrotechnik GET 1

• Die magnetische Flussdichte

• Die magnetische Feldstärke

• Das Durchflutungsgesetz und Beispiele

• Kräfte und Momente im Magnetfeld

• Magnetfeld und Materie

• Der Magnetische Fluss und das Induktionsgesetz

• Grenzbedingungen für das Magnetfeld

• Energie und Kräfte im Magnetfeld[Buch Seite 143-257]

Kraftwirkungen bewegter Ladungen I

Phänomenologie der Effekte

• Bewegte Ladungen q, bzw. ein elektrischer Strom i rufen er-

neut eine Änderung des Zustands des Raumes hervor.

• Äussert sich durch eine erneute Kraftwirkung (Kraft F und/oder Drehmoment M).

• Fliesst in einem Leiter einStrom mit der Stromstärke i,so wird:

(a) Kraft auf magnetisierte Kör- per (Dauermagnete, Magnet-

ausgeübt.

(b) Kraft auf bewegte Ladun-gen und weitere stromführen-den Leiter(-schleifen) ausgeübt.

i q vD

P

F

M

• Metallkörper

• Magnetnadeln

• Dauermagnete

• Bewegte Ladungen

• Stromdurchflossener Leiter

r

(c) Ein Stromfluss in einer bewegten, geschlos-senen Leiterschleife induziiert.

(d) Fliesst ein veränderlicher Strom, so wird in einer geschlossenen Leiterschleife ein Strom induziiert, selbst wenn die Schleife in Ruhe ist.

-169-

2

Kraftwirkungen bewegter Ladungen IISchlüsse aus der Phänomenologie der Effekte

• Kräfte auf Dauermagneten Kräfte auf stromdurchflossene Leiterschleifen:Kraftwirkung in Dauermagneten beruht auf mikroskopischen Kreisströmen.

Erste Definition des Magnetfeldes: Über die beschriebenen Kraftwirkun-gen kann erneut ein Feld eingeführt werden – das Magnetfeld. Ursachedes Magnetfeldes (d.h. die Quellen) sind bewegte Ladungen; also elektri-sche Ströme. Seine Wirkungen sind die genannten Kräfte und die be-schriebene Induktionswirkung (ein weiterer Effekt der Kraftwirkung).

Elektrische

Ladungen

Kraft auf

Ladungen

Ladungsträger-

bewegung

Elektrischer

Strom

Magnetfeld

Kraft auf bewegte

Ladungen

Elektrisches

Feld

Zyklus

GeschlossenerZyklus elektro-magnetischerProzesse:

(Erster Hinweisfür eine einheit-liche elektro-magnetischeFeldtheorie)

-170-

Kraftwirkungen bewegter Ladungen III

Vorgriff: Beschreibung des Magnetfeldes

(1) Kraftwirkung:

Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes wird durch das Vektorfeld der magneti-schen Flussdichte B beschrieben. Damit entspricht die magnetische Flussdichteihre Definition nach der elektrischen Feldstärke im Bereich des elektrischen Feldes.

Merke: Für die magnetische Flussdichte wird gemäss DIN 1325 die Bezeichnung«magnetische Induktion» vorgeschlagen (aus historischen Gründen wird aber ander Verwendung der Bezeichnung «magnetische Flussdichte» festgehalten).

(2) Ursache:

Die Ursache des magnetischen Feldes ist der elektrische Strom. Zur Beschreibungder Verknüpfung des Magnetfeld mit seiner Ursache wird das Vektorfeld der

magnetischen Feldstärke H eingeführt. Damit entspricht die magnetische Feldstärke der elektrischen Flussdichte im Bereich des elektrischen Feldes.

B E

H D

-171-

3

Quelle

Leiter 4

i

i

i

Leiter 1 reibungsfreier Kontakt

Leiter 2

Leiter 3 Bewegungsrichtung

nF

B

B

Die magnetische Flussdichte I

Kraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife

(1) Versuchsanordnung:

F vD ,

F

F i

F = f n,B( )

(2) Beobachtung der Kraftwirkungen:

• Leiter 2 ist stromdurchflossen und beweglich, d.h. verschiebbar.• Leiter 1, 3 und 4 sind stromdurchflossen und starr montiert. • Alle Leiter befinden sich im Magnetfeld.

(Lage der Leiter- schleife im Mag- netfeld)

Drei Versuchs-Experimente

-172-

Die magnetische Flussdichte IIKraftwirkung auf eine stromführende Leiterschleife

(3) Abhängigkeit der Kraftwirkung auf Drehung der Leiterschleife:

Fmax,a = Fmax,b = Fmax,c = Fmax,d

Fazit:Betrag derKraft auf denLeiter 2 bleibtunverändert !

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

nmax

Drehrichtung

1

4

3

2

42

1 3

3 1

2 4

4

3

2

1

a) c)

b) d)

Fmax,a

Fmax,c

Fmax,b

Fmax,d

nmax

nmax nmax

-173-

4

Die magnetische Flussdichte III


(4) Abhängigkeit derKraftwirkung aufaxiale Drehungder Leiterschleife:

i

i

i

i

nmax

i

i

i

i

n = nmax

Drehrichtung

1 142

3 34 2

a) c)

b) d)

Fmax,a

Fmax,c

nmax

1

2

3

4

i

i

i

i

nmax

14

3

2

i

i

i

i

n

2

Fmax,b

n

n

Fmax,d

32

Fmax,a = Fmax,b =

= Fmax,c = Fmax,d

Fazit:Betrag derKraft auf denLeiter 2 bleibtunverändert !

(Drehrichtungparallel zuLeiter 2)

-174-

Die magnetische Flussdichte IV


(4) Abhängigkeit derKraftwirkung aufaxiale Drehungder Leiterschleife:

F cos n,nmax( )( )

Fazit:Betrag derKraft auf denLeiter 2 variertsinusförmig steht aber stetssenkrecht auf Leiter 2!

(Drehrichtungsenkrecht zuLeiter 2)

i

i

i

i

nmax

i

i

i

i

n = nmax

Drehrichtung

1 322

3 14 4

a) c)

Fmax,a

cmax,F

n

b)

nmax

n

1

i

i

i

i

Fmax,b = 0

2

3

4

d)

nmax

n

3

i

i

i

i

Fmax,d = 0

2

1

4

Fmax,c

F sin ,nmax( )( )bzw.

-175-

5

Die magnetische Flussdichte V

Formale Definition

B = lim0

i 0

Fmax

i

eB = nmax = eFmax e

B = B eB

B =F

i=Vs

m2 = T

F sin ,nmax( )( ) ,nmax( ) 0,[ ]

-176-

Die magnetische Flussdichte VI

Definition in Worten

Buch Seite 150: «Die magnetische Flussdichte B ist ein Vektorfeld, welchessenkrecht auf einer von einer stromführenden Leiterschleifeaufgespannten Ebene steht, wenn auf die stromführendenLeiter der Schleife in Abhängigkeit von der Flächennormalen-Richtung entsprechend der bisherigen Diskussion die maxi-male Kraft ausgeübt wird.»

«Der Betrag der magnetischen Flussdichte ist gleich demBetrag der maximalen Kraft Fmax auf einen Leiter der Leiter-schleife bezogen auf die Leiterlänge und die zugehörigeStromstärke i, falls sowohl als auch i beliebig klein werden.»

«Die Richtung der Kraft auf den stromführenden Leiter stehtsenkrecht zur Richtung des Leiters und senkrecht zur Rich-tung der magnetischen Flussdichte. Die Kraftrichtung ist derRichtung des Bezugspfeiles der Stromstärke i, bzw. der Rich-tung des Längenvektors und der Richtung der magnetischenFlussdichte B im Rechtsschraubensinn zugeordnet.»

-177-

6

Die magnetische Flussdichte VII

Kraftwirkung auf stromführenden Leiter

(1) «Makroskopische» Betrachtung:

F, ,B{ }

Aus der Definition (Folie 177):

B = lim0

i 0

Fmax

i

F = i B sin ,B( )( )B

B

F i,

i,

B

F

B

B

B F

F

F

i,

i,

i,

F = i B( )

: Die drei Grössensind einander imRechtsschraubensinnzugeordnet.

(vergleicheFolie 176)

Wir haben eine Beziehung zwischen den makro-skopischen Grössen der Kraft , des Stromsmit seiner Richtung und der magnetischenFlussdichte gefunden.

i( ) F

B

-178-

Die magnetische Flussdichte VIII

Intermezzo: «Rechtsschraubensinn»

B

F i,

i,

B

F

B

B

B F

F

F

i,

i,

i,

F = i B( )

(1) Ausgangsgleichung:

i( ), B, F{ }

(2) Grössen:

i( )

B

F

(3) Rechte-Hand-Regel:

-179-

7

Die magnetische Flussdichte IXKraftwirkung auf stromführenden Leiter

(2) «Mikroskopische» Betrachtung: Siehe hierzu Folie 131 zum Leiterstrom :

i = J n( ) A = nq q vD A

i = nq q A vD vD

i =Q vD= nq q

V = A

F = i B( )v vD

Mit:

Lorentz-Kraft

(3) Vergleich mit Coulomb-Kraft:

F =Q v B( ) F =Q E

Kraft auf bewegte Ladung

Kraft auf ruhende Ladung

F =Q v B( )

-180-

Die magnetische Flussdichte X

Beispiel: «Geladenes Teilchen im Magnetfeld»

(2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld geleistete Arbeit:

Wm = F ds = Q v B( )CC

ds

v

F

F

z

B

v

1

v

2

2r

0

x

Q

Q

F =Q v B( )

F = Q v B v B

Fz =m v

2

r0= : F

r0 =m v

Q B

(1) Bahnkurve:

Das Kräftegleichgewicht IF I = IFzIergibt eine konstant gekrümmteBahnkurve (Kreis mit Radius r0).

-181-

8

Die magnetische Flussdichte XI


(2) Durch den Ablenkvorgangvom Magnetfeld geleistete Arbeit:

Wm = F ds = Q v B( )CC

ds

= Qds

dtB

C

ds v

F

F

z

B

v

1

v

2

2r

0

x

Q

Q

a b( ) c = b c( ) a

= c a( ) b

Aus derVektor-analysis

Wm = Qds

dtB

C

ds = Q B dsds

dt

ds dsdt

= 0C

Wkin,1 =Wkin, 2

v1 = v2

-182-

Die magnetische Flussdichte XII


(3) Diskussion:

• Bei der Ablenkung leistet das Magnetfeld keine Arbeit.

• Ablenkrichtung aus Richtung der Teilchen-geschwindigkeit und der magnetischen Flussdichte im Sinne der Rechtsschraube.

• Für sehr grosse Werte der magnetischen Flussdichte wird der Bahnradius r0 sehr

klein, das heisst, das geladene Teilchen wird am Magnetfeld nahezu reflektiert.

• «Reflektorfunktion» kann im Sinne einer Ladungsteilchensperre verwendet werden,

um ein «Ladungsteilchengas» (Plasma) einzusperren.

• Man spricht in diesem Zusammenhang von sogenannten «Magnetflaschen».

v1

v1

Q B

«Reflektor»

-183-

9

Die magnetische Flussdichte XIII

Beispiel: «Plasma-Einschluss in Magnetflasche»

• Plasma: Viele freie Ladungsträger, «Ladungsträgergas».

• Fusionsszenario: Viele Träger bei hohen Temperaturen miteinander kollidieren lassen: heisses Plasma.

• Stellarator: So heisst die ring-förmige Magnetflasche (cf. Bild).

LadungsträgerbewegungToroidale «Flasche»

Stellarator Leiter

Plasma

-184-

Die magnetische Feldstärke I

Unteschiedliche Zugänge

(1) Zum Wesen der magnetischen Feldstärke:

• Die magnetische Flussdichte B wurde über die Kraftwirkung des Magnet- feldes definiert (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Flussdichte B).

• Bei der Definition magnetischen Feldstärke H wird nun ein umgekehrter Standpunkt eingenommen indem wir nach der Ursache des Magnetfeldes fragen (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Feldstärke H).

• Ursachen für ein Magnetfeld sind:

(A) Ein elektrischer Strom

(B) Ein magnetisierter Körper

(C) Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld.

• Ursache (A), d.h. der elektrische Strom, kann im Einklang mit Folie 169 als eine sehr allgemeine Quelle des Magnetfeldes betrachtet werden und eignet sich deshalb gut für die Definition der magnetischen Feldstärke H.

-185-

10

Die magnetische Feldstärke II


(2) Charakterisierung und Gestalt des Magnetfeldes:

Im geraden Leiterdraht fliesst einelektrischer Strom der Stromstärke i.

In der Umgebung des Leiterdrahts bildet sichein Magnetfeld aus, welches über die Kraftwir-kung in kleinen Leiterschleifen beschrieben wer-den kann.

Unter der Kraftwirkung werden Eisenfeilspäneentlang von kreisförmigen Linien ausgerichtet:Diese Linien können als Feldlinien des Magnet-feldes interpretiert werden.

Mittels einer kleinen Leiterschleife (Versuchaus Folie 176) kann gezeigt werden, dass diedargestellten Feldlinien parallel zur magneti-schen Flussdichte verlaufen (Eisenfeilspänerichten sich in Flussrichtung aus).

Anordnung «Magnetfeld um Stromleiter» soll fürDefinitionszwecke verbessert werden Spule.

-186-

Die magnetische Feldstärke III


(3) Das Magnetfeld in einer «langen» Spule:

Die Lage der Eisenfeilspäne deutet ein starkes, homogenes Magnetfeld im Innern derSpule an, welches parallel zur Spulenachse ausgerichtet ist (im Innern: Hauptfeld).

• Anzahl Windungen w

• Länge

• Durchmesser d

• Stromstärke i

• «Lange» Spule:

• Feldlinien bilden insich geschlosseneLinien (Ausserhalb:Streufeld).

10 d

-187-

11

Die magnetische Feldstärke IV


(4) Die «langen» Spule als Definitionsgrundlage der magnetischen Feldstärke:

• Messung der magnetischen Flussdichtemittels kleiner Leiterschleife (Folie 176).

• Magnetfeld im Innern Stromstärke i

• Magnetfeld im Innern Windungszahl w

• Magnetfeld im Innern

H =w i

H =A

m

i i

B

Hw

«Lange Spule» mit homogenem Hauptfeldeignet sich gut um die zweite, mit der Ur-sache des Magnetfeldes verknüpfte Feld-grösse zu definieren.

1

Die magnetische Feldstärke H einer«lange Spule» ist ein Vektorfeld dessenAbsolutbetrag entsprechend dem Expe-riment definiert wird. Die Richtung ver-läuft entlang der Spulenachse und stehtmit dem Bezugspfeil des Stromes imRechtsschraubensinn.

-188-

i i

Hi

w

Ha

Die magnetische Feldstärke V


(5) Die lokale Definition der magnetischen Feldstärke:

• Bei der «Definition» der magnetischen Feld-stärke auf Folie 188 handelt es sich eigentlichmehr um eine «Messvorschrift».

• Die Definition einer (magnetischen) Feldgrössemuss lokal geschehen, d.h. im Raumpunkt.

• «Messvorschrift» plus lokale Defintion ergebendas folgende Vorgehen:

(A) Verschwindend kleine lange Spule wird inein äusseres Magnetfeld Ha gebracht.

(B) Stromstärke i und die Spulenrichtung wer-den so lange verändert, bis ein Nullfeld imInnern der Spule resultiert (Kompensation).

(C) Der Betrag der elektrischen Feldstärke Ha

ist demnach gegeben und die Richtung entspricht derjenigen der Spulenachse.

Ha = lim0

i 0

w i

Der Richtungssinn des H-Feldesbildet mit dem Kompensationsstromein Linksschraubensystem.

-189-

12

Die magnetische Feldstärke VI


(6) Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte:

• Im Vakuum: Die magnetische Feldstärkeund die magnetsiche Flussdichte be-schreiben dasselbe Magnetfeld und sindim Vakuum zueinander proporional.

• Die Grösse 0 heisst magnetische Feld- konstante (ist wie 0 eine Naturkonstante).

• Im Material: Das Experiment zeigt eine veränderte Proportionaliät zwischen der magnetischen Feldstärke und der mag-

netischen Flussdichte im homogenen Material.

B = μ0 H

μ0 = 4 10 7 Vs Am

= 1.2566 10 6 Vs Am

B = μ0μr H = μ H

μr : Permeabilitätszahldes Materials

-190-

Das Durchflutungsgesetz I

Definition

(1) Experimentalanordnung:

H sC

=1

N

=wik( )s

s=1

N

cos H , s( )( )

• Unendlich langer Draht.

• Es fliesst ein Strom mit der elektrischen Strom-

stärke i.

• Frage: Wie gross ist die magnetische FeldstärkeH in Abhängigkeit derStromstärke i.

• Kleine Messspule gemäss Anordnung aus Folie 189.

• Spule längs geschlossenen Kurven C führen, die den Leiter umschliessen.

• Produkt bilden. H s

s :=

Folie 188

-191-

13

Das Durchflutungsgesetz II

Definition


H sC

=1

N

=w ik( )s

s=1

N

cos H , s( )( )

= w ik( )=1

N

cos H , s( )( ) =Experiment!

i

Folie 186: Je weiter wegvom Leiter, umso schwächerwird das magnetische Feld.

H s=1

N

längsC

= i

H dsC

= i

Je weiter wegvom Leiter, umsolänger ist C undumso grösser N.

+ : Summe bzw. Inte-gral konvergieren aufeinen (Strom-)Wert.

Summeist vomTyp Strom.

-192-

Das Durchflutungsgesetz III

Intermezzo: «Magnetfeldrichtung bei Stromleitern»

Rechte-Hand-Regel für Ströme:

i

H

-193-

14

Das Durchflutungsgesetz IV

Definition

(2) Das Durchflutungsgesetz:

H ds = i ==1

N

C

[ ]=A

Das Ergebnis aus Folie 192 kann zumsogenannten «Durchflutungsgesetz»verallgemeinert werden:

Das Linienintegral der magnetischenFeldstärke längs der geschlossenenKurve C ist die Summe der vom WegC umschlossenen elektrischen Stom-stärken. Diese Grösse heisst elektri-sche Durchflutung . Sie durchsetztdie von der geschlossenen Kurve Caufgespannte Fläche A.

Der Flächennormalenvektor steht zum Um-laufsinn von C steht im Rechtsschraubensinn(Folie 193). Ströme in Richtung der Flächen-normalen werden positiv gezählt: damit ist

= i1 i2 + i3.

-194-

• Leiter mit Radius 0.

• Der Strom der Stromstärke i entspricht einer konstanten

Stromdichte:

• In Anbetracht z.B. der Folie193 wird die magnetischeFeldstärke wie folgt angesetzt:

• Der Integrationsweg C sei einKreis mit Radius .

Das Durchflutungsgesetz V

Beispiele zum Durchflutungsgesetz

Beispiel #1: «Unendlich langer, zylindrischer Leiter»

J =i

A

Leiteranordnung

y

x

n

02

P Integrationsweg C

02

H

J

a) b)

H

i

e

Leiterquerschnitt

H = H e

-195-

15

y

x

n

02

P

Integrationsweg

C

a)

H

i

e

• Aussen, d.h. > 0:

Das Durchflutungsgesetz VI



Leiteranordnung

= H dsC

= H e dsC

=H dsC

= H 2 = i ds = ds e

H = H e =i

2e

H =i

2e > 0

• Stromrichtung ist dem Flächennormalenein-heitsvektor entgegengesetzt: i.

-196-

02

H

J

b)

• Innen, d.h. 0:

Das Durchflutungsgesetz VII



Leiterquerschnitt:

J =i

02 ez J =

i

02

H dsC

= H 2 =i

02

2

H =i

2 02

H =i

2 02 e 0

Kreisfläche innerhalbder Kontur C.

-197-

16

( )H

02

i

0 0 02 03

1

«Innen»

Das Durchflutungsgesetz VIII



«Aussen» Magnetische Feldstärke iststetig aber nicht differen-zierbar in 0.

H Innen( )

0

= H Aussen( )

0

-198-

i

H

Cn

iw=

w

0H

z

Das Durchflutungsgesetz IX


Beispiel #2 : «Ideale lange Spule»

• In der idealen langen Spule gibt es nur ein homogenes Haupt feld (Streufeld ist

vernachlässigbar):

• Homogen bedeutethier:

H Aussen( ) 0

H = H ez

= H dsC

= H ez ez = w i H =w i

ez

ds = ds ez (cf. empirisch gefundene Formel in Folie 188)

-199-

17

Das Durchflutungsgesetz X

Intermezzo «Feldbilder von kurzen Spulen»

(1) Die kurze Spule:

• «Röhren»: Verlauf der magnetischen Feldlinien (H-Feld).

• «Farbcode»: Intensität der magnetischen Flussdichte im Sinne eines

«heissen» Farbkonzeptes (rot: grosse Werte; blau: kleine Werte).

• Kurze Spule ergibt relativ grosses Streufeld, doch

auch ein bereits erstaunlich homogenes Hauptfeld.

-200-

Das Durchflutungsgesetz XI

Intermezzo «Feldbilder von kurzen Spulen»

(1) Die noch kürzere Spule (Chip-Spule):

• «Röhren»: Verlauf der magnetischen Feldlinien.

• «Farbcode» der Röhren: Intensität der magnetischen Feldstärke im Sinne eines

«heissen» Farbkonzeptes (rot: grosse Werte; blau: kleine Werte).

• Farbcode der Leiter: Potential entlang der verlust-behafteten Leiterspirale(rot: positiv; blau: negativ).

• Sehr inhomogenes Feld!

-201-

18

rm

ri

ri

lm

i

i

H

Das Durchflutungsgesetz XII


Beispiel #3 : «Ringspule» • Spule hat w Windungen.

• Mittlere Umfangslänge:

• Gesucht: Magnetische Feldstärke aufder mittleren Umfangslinie:

• Von Cm aufgespannte Fläche wird w-malvon der Stromstärke durchsetzt: = w·i.

m = 212 ra + ri( ) = 2 rm

= H ds = H 2 rm = w iCm

H =w i

2 rmH ds Cm

-202-

Das Durchflutungsgesetz XIII

Intermezzo «Rechte-Hand-Regel für Spulen»

-203-

19

Das Durchflutungsgesetz XIV


Beispiel #4: «Zwei parallele, unendlich lange, gerade Leiter»

(A) Gegensinniger elektrischer Strom:

- Feldlinien bilden Apollonische Kreise.

- In der Symmetrieebene (SE) zwischen den Leitern verläuft das H-Feld parallel.

H

0 0

i iii

H

(B) Geichsinniger elektrischer Strom:

- Feldlinien umschliessen sowohl einzelne als auch beide Leiter.

- Feldlienen sind senkrecht zur SE.

-204-

Das Durchflutungsgesetz XVBeispiele zum Durchflutungsgesetz


• Graphische Konstruktiondes magnetischen Feldes:

- Im Raumpunkt durch vektorielle Überlagerungder Einzelfelder.

- Einzelfeld mit Hilfe des Durchflutungssatzes

bestimmen (siehe hierzu Beispiel #1, Folie 196).

- Feldlinien der Einzel- felder sind konzentrische

Kreise um den Mittel-punkt des jeweiligen Leiters.

- Richtungssinn des Einzel-feldes gemäss Folie 193.

-205-

20

Das Durchflutungsgesetz XVIBeispiele zum Durchflutungsgesetz


H =i

2 xez

i

2 d x( )ez

=i d

2 x d x( )ez = Hz ez

H =i

2 d x( )ez

i

2 xez

=i 2x d( )2 x d x( )

ez = Hz ez

z = 0Feld ausserhalbder Leiter gilt:

Nullstellen sind nicht mehr in der

Leitermitte.

-206-

Das Durchflutungsgesetz XVII



i2 = 2 i1

• Die magnetische Feldstärke zweier Leiter mit zwei gegensinnigen Strömen

von jeweils unterschiedlicher Stromstärke:

-207-

21

i i e

x

y

ai

a

i

H

Innenleiter

Aussenleiter

Mantel

Dielektikum

Das Durchflutungsgesetz XVIII


Beispiel #5: «Koaxialleitung»

Bei der Koaxialleitung müssen vier Feld-bereiche unterschieden werden:

Innenleiter: [0, i ]

Zwischenbereich: [ i, ai ]

Aussenleiter: [ ai, a ]

Aussenbereich: [ a , [

Das Durchflutungsgesetzmuss in allen vier Berei-chen angesetzt werden,d.h. es sind entsprechen-de Konturen C zu wählen.

-208-

Das Durchflutungsgesetz XIX



Innenleiter: Wie beim geraden Leiter aus Folie 197.

H =i

2 i2 0, i[ ]

Zwischenbereich: Dieser Bereich entspricht dem Aussen-

bereich beim geraden Leiter aus Folie 196.

H =i

2 i , ai[ ]

i i e

x

y

ai

a

i

H

-209-

22

Das Durchflutungsgesetz XX


Beispiel #5: «Koaxialleitung» Aussenleiter: - Aus Gründen der Symmetrie sind die Feldlinien auch hier als konzentrische Kreise um den Leiter ausgebildet.

- Integrationskontur umschliesst Strom im Innenleiter und entgegengesetzten

Strom im Aussenleiter.

= ii

a2

ai2( )

Ja

2ai2( )

= 2 H ai , a[ ]

i i e

x

y

ai

a

i

H

H =i

21

2ai2( )

a2

ai2( )

Aussenbereich: H = 0 > a

-210-

Das Durchflutungsgesetz XXI



Bereich 1

Leiter

Bereich 2

Luft

Bereich 3

Leiter

Bereich 4

Luft

i ai a

1

H ( )

i

2i

i

2ai

Fällt stärker als mit 1/ ab!

Bietet sich als Kabeltypzum Energietransportan, wo grosse Ströme(ohne äusseres Magnet-feld) fliessen können.

-211-

23

Kräfte und Momente I

Kräfte zwischen zwei geraden, parallelen Leitern


• Ströme sind die Ur- sache der Kräfte

(Folie 169).

• Kräfte über die Bezie- hung zwischen der

magnetischen Fluss-dichte und dem elektrischen Strom(Folie 178) berechnen.

• Gedankenexperiment:Leiter 1 erzeugt mag-netisches Feld in wel-ches der stromführen-

de Leiter 2 einge- bracht wird.

22,BH

12F 21F

11,BH 22,BH11,BH

12F 21F

d d

d

x

y

z

c)

a) b)

1i

1i2i

2i

Das gewählteKoordinatensystem

Annahme: d >> 2· 0

Gleichsinniger Stromfluss Gegensinniger Stromfluss

-212-

d

x

y

z

c)

22,BH

12F 21F

11,BH

d

a)

1i

2i

Kräfte und Momente II


(2) Gleichsinniger Stromfluss:

• Das im Leiter 2 vorhandene Magnetfeld, welches vom Strom i1 im Leiter 1 erzeugt wurde (d >> 2· 0)

• Kraft des Leiter 1 auf ein Stück des Leiters 2 der Länge (cf. Folien 178, 179):

B1 =μ0 i12 d

ey

F21 = i2 2 B1( )= i2 ezμ0 i12 d

ey

F21 =μ0 i1 i22 d

ex

2 = ez

-213-

24

d

x

y

z

c)

22,BH

12F 21F

11,BH

d

a)

1i

2i

Kräfte und Momente III


(2) Gleichsinniger Stromfluss:

• Kraft des Leiter 2 auf ein Stück des Leiters 1 der Länge:

F12 = i1 1 B2( )= i1 ezμ0 i22 d

ey

F12 = +μ0 i1 i22 d

ex

1 = ez

Wäre auch über «actio = reactio»zu ermitteln ge-wesen!

Definition der Stromstärke 1 Ampère:Die beiden Leiter ziehen sich gegenseitig an!Abstand d = 1 m. Es fliesst genau 1 A, falls dieAnziehungskraft pro Abschnitt F = 2·10 7 N/m ist.

-214-

22,BH11,BH

12F 21F

d

b)

1i 2i

d

x

y

z

c)

Kräfte und Momente IV


(3) Gegensinniger Stromfluss:

• Das Vorgehen im Fall des gegensinnigenStromflusses ist analog zu demjenigen desgleichsinnigen Stromflusses.

• Die hier auftretende Kräfte sind denjenigen des vorhergehenden Beispiels (gleich-

sinniger Stromfluss) entgegengesetzt:

• Die beiden Leiter stossen sich gegenseitigab!

Fijgegensinnig( )

= Fijgleichsinnig( )

i, j = 1,2; j i

-215-

25

Kräfte und Momente V

Drehmoment an einer Leiterschleife im Magnetfeld

• Geschlossene, von der Stromstärke idurchflossene Leiterschleife.

• Magnetfeld in x-Richtung.

• Drehachse in y-Richtung.

• Gemäss Rechte-Hand-Regel (Folie 179)wirken die Kräfte in z-Richtung.

• Kräfte auf die beiden Leiter:

h

i i

z

y

x

2a

a)

xeBB =

F1 = i1 1 B( ) = i hey Bex( )= i h B ez

F2 = i2 2 B( ) = i +hey Bex( )= i h B ez

-216-

Kräfte und Momente VI


1F

2F

n

i

i

T

xy

z

b)

B

• Drehmoment auf die Leiterschleife:

T = T1 +T2 = a ex F1 +a ex F2 = a i h B ex ez + ex ez( )( )= 2 a i h B( ) ey = Ty ey

s1 = a ex s2 = +a ex• Hebelarme zur Erzeugung des Drehmoments:

-217-

26

Kräfte und Momente VII


2F2F

i°90

n

T

c)

B

1F1F

i

• Winkelabhängigkeit des Drehmoments, d.h. Abhängigkeit des Drehmoments T

zum Winkel zwischen der Flächen-normalen und B-Feld.

• Kräfte F1 und F2 bleiben konstant inRichtung und Betrag.

• Winkel zwischen Kräften (F1 und F2)und den zugehörigen Hebelarmen(s1 und s2) ändert sich mit 90° .

• Nur die Komponenten F1‘ und F2‘ leisten einen Beitrag zum Drehmoment.

• Mit wachsendem Argument 90° neh-men die Komponenten F1‘ und F2‘ abdoch treten zusätzliche Zug- und Druckkräfte in der Schleife auf.

T = 2 a h i B( ) sin ey

= Ty ( ) ey

(1) Drehmoment:

-218-

Kräfte und Momente VIII


2F2F

i°90

n

T

c)

B

1F1F

i

• «Neue Schreibweise» der Winkelab-hängigkeit des Drehmoments:

T = 2 a h i B( ) sin

= A i B( ) sin

= i A n B sin

= i A n( ) B =: m B

= n,B( )

T = m B m[ ] = Am2

(2) Magnetisches Dipolmoment:

Das magnetische Dipolmoment m einer ge-schlossenen Leiterschleife ist im Betrag gleichder Stromstärke mal der von der Leiterschleifeaufgespannten Fläche. Die Richtung ist gleichder Stromrichtung im Rechtsschraubensinnzugeordneten Flächennormalen.

m = 2 a h i n = i A n

-219-

27

Kräfte und Momente IX


(3) Darstellung der Winkel-abhängigkeit des Dreh-moments:

• Stabile Gleichgewichtslage für = 0: Dipolmoment undB-feld sind parallel.

• Labile Gleichgewichtslage für = : Dipolmoment und B-Feld sind antiparallel.

T = m B = Ty ( ) ey

0 2 3 2 2

Ty

«stabil» «labil»

-220-

Magnetfeld und Materie I

Mikroskopische Kreisströme

(1) Mikroskopische Modellannahmen zum magnetisierten Material:

i =dQ

dt=e

T=2

e• Bohr’sches Atommodell mit «kreisenden»

Elektronen Kreisstrom i.

• Kreisstrom i bewirkt elementares H-Feld.

-221-

28

Magnetfeld und Materie II

Mikroskopische Kreisströme

(2) Magnetisierbares Material im externen Magnetfeld:

• Die Gesamtheit der durch die atomaren Kreisströme erzeugten elemen-taren Magnetfelder beschreibt das magnetische Verhalten des Materials.

• Es ist eine semi-klassische Beschreibung: Der Drehimpuls des einzelnenElektrons (Spin) wird vernachlässigt, der Bahndrehimpuls der Elektronen-bahn sei quantisiert (nimmt bestimmte feste Werte ein).

• Das so beschriebene Material erscheint gegen Aussen als «magnetisch passiv», d.h. die Elementarfelder sind statistisch in alle Richtungen aus-

gerichtet und kompensieren sich in ihrer Gesamtheit.

• Wie reagiert ein so beschriebenes Material, wenn es in ein externes Magnetfeld gebracht wird?

• Es werden hier drei resultierende, physikalische Effekte betrachtet:Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus.

Bext = μ0 Hext

-222-

v

2

r0

B = 0

e

i1

v

1

i2

zr

Magnetfeld und Materie III

Diamagnetismus

(1) Vereinfachtes Modell:

• Das Material ist in sich «magnetisch passiv».

• Die elementaren Magnetfelder zugehörig zu den verschiedenen Elektronenbahnen des

Atoms kompensieren sich.

• Im vereinfachten Modell betrachten wir zwei,übereinanderliegende Elektronenbahnen.

• Die Umlaufrichtungen der beiden betrachte-ten Elektronenbahnen ist entgegengesetzt.

• Quantenmechanische Voraussetzung: die Bahndrehimpulse («Drall» der Elektronen-

kreisbewegung) sind quantisiert, d.h. sie können unter allen Umständen nur bestimm-

te, feste Werte einnehmen.

• Wir bringen das Atom in ein externes B-Feld.

B = 0v1 = v2

i1 = i2

-223-

29

• Im externen Magnetfeld erfahren die Elek-tronen eine nach aussen oder innen gerich-tete Lorentzkraft (Folie 180):

• Im Gleichgewichtsfall müssen diese Kräfte durch die Zentrifugalkräfte der Elektronen kompensiert werden.

• Bahndrehimpuls ist quantisiert (fester Wert), d.h. die Bahnradien r0 bleiben konstant.

• Elektronen müssen daher ihre Bahnge-schwindigkeit ändern ( v1, v2), damit das Gleichgewicht erhalten bleibt.

• Kreisströme ändern sich auch ( i1, i2).

v

2

F

m2

r0

F

m1

B

e

i1

v

1

i2

zr

Magnetfeld und Materie IV

Diamagnetismus

(2) Das Atom im externen Magnetfeld:

Fmi = e vi B( )

B 0v1 v2

i1 i2

-224-

Magnetfeld und Materie V

Diamagnetismus

(3) Klärung eines vermeintlichen Widerspruchs:

Folie 224: Bahndrehimpuls der Elektronenbahnbleibt konstant. Elektronengeschwindigkeitmuss sich im externen B-Feld aber ändern.

• Das Elektron kann zusätzlich Geschwindigkeit aufnehmen, ohne dass der Bahndrehimpiuls

verändert wird, indem eine «anders gerichtete» Drehbewegung überlagert wird.

• Diese «anders gerichtete» Drehbewegung kann in der Form einer Präzession des Atoms«implementiert» werden.

• «Drall» der Elektronenbahn bleibt konstant,obwohl das Elektron von Aussen besehen dieGeschwindigkeitsänderung v erfahren hat.

-225-

30

v

2

F

m2

r0

F

m1

B B

e

i1

v

1

i2

zr

r0

v

1

v

2

i2

i1

• Annahmen: Das externe Magnetfeld sei schwach.Präzessionswinkel ist daher klein. Die Änderungen v und i sind klein gegenüber den Werten v und i.

Magnetfeld und Materie VI

Diamagnetismus

(4) Berechnung der resultierenden Änderungen:

• Beobachtung:Änderungensind gleichge-richtet!

-226-

Kräftegleichgewicht:

Magnetfeld und Materie VIIDiamagnetismus

(4) Berechnung der resultierenden Änderungen (Elektron #1):

v1 = v1 e = v1 e v2 = v2 e = v2 e( ) B = B ez

v1 = v1 e e ez = er

ze2

4 0r02 er e v1 + v1[ ] e B ez( ) +

m

r0v1 + v1( )

2er = 0

Coulombkraft Lorentzkraft Zentrifugalkraft

ze2

4 0r02 e B v1 + v1( ) +

m

r0v12+2v1 v1 + v1

2( ) = 0

v12+ 2v1

e B r0m

v1e B r0 v1

m= 0

ze2

4 0r02 =

m

r0v12

ungestörtesAtom

-227-

31

Quadratische Gleichung

Magnetfeld und Materie VIIIDiamagnetismus


v12+ 2v1

e B r0m

v1e B r0 v1

m= 0

Lösung unter Vernachlässigung kleiner quadratischer Terme:

v12+

e B r02m

2

v12 v1

2 e B r02m

2

v1e B r02m

v1e B r02m

eDie Geschwindigkeit v1 wird um denBeitrag v1 vergrössert (siehe hierzuauch die Beobachtung aus Folie 226)

i1v1= 1 r0 v1 e

2 r0i1

e2B

4 m1 =

v1r0

e B

2m

Larmor-Präzession(Folie 225)

-228-

Kräftegleichgewicht:

Magnetfeld und Materie IXDiamagnetismus


v2 = v2 e = v2 e( ) v2 = v2 e( ) B = B ez e ez = er

ze2

4 0r02 er e v2 + v2[ ] e( ) B ez( ) +

m

r0v2 + v2( )

2er = 0

Coulombkraft Lorentzkraft Zentrifugalkraft

v22+ 2v2 +

e B r0m

v2 +e B r0 v2

m= 0 Quadratische Gleichung

v2e B r02m

v2 =e B r02m

e( ) i2 =v2

2 r0

e2B

4 m

-229-

32

B

r0

i2

v

2

v

1

i1

i

• Wie bereits in Folie 226 vermutet wurde, sind die Geschwindigkeitsänderungen ( v1, v2) gleichgerichtet.

• Dadurch sind auch die Änderungen der jeweili-gen Kreisströme ( i1, i2) gleichgerichtet.

• Die Bezugspfeilrichtungen der Stromänderungensind (trotzt der entgegengesetzten Kreisströme)gleich und positiv.

• Man darf also annehmen, dass das B-Feld imMaterial einen zusätzlichen Kreisstrom i erzeugt hat:

Magnetfeld und Materie X

Diamagnetismus

(5) Der gesamte Magnetisierungseffekt:

i = i1 + i2 =e2B

2 m

-230-

• Der resultierende Kreisstrom i erzeugt wieder-um ein magnetisches Dipolmoment m. B,H

m2

i1 i1

i2 i2

m1

n m

Magnetfeld und Materie XI

Diamagnetismus


m = i A n = i A n =e2B

2 mr02( ) n

=e2Br0

2

2mn =

e2μ0 r02

2mH n

• Der Vektor des H-Feldes ist dem Normalenvektor(und dadurch auch m) entgegengesetzt:

m =e2μ0 r0

2

2mHNormalenvektor n bzw. m stehen

im Rechtsschraubensinn zu i.

MagnetischesDipolmomentschwächt das er-zeugende H-Feld.

-231-

33

• Es sei nA die Anzahl Atome pro Volumeneinheit eines diamagnetischenMaterials.

• Die magnetische Dipoldichte heisst Magnetisierung M und hat die Einheit der magnetischen Feldstärke H.

Magnetfeld und Materie XII

Diamagnetismus


M = nA m M =

1m3Am2

= A m

Die Magnetisierung M ist gleich dem magnetischen Dipolmoment pro Volu-meneinheit (magnetische Dipoldichte), das in einem Material unter Einflusseines externen Magnetfeldes ausgebildet wird oder dort permanent vorhan-den ist (Permanentmagnet). Die Magnetisierung M ist gleichzeitig ein Massfür die vom Material beim Anlegen desMagnetfeldes gegenüber dem Fall desVakuums zusätzlich aufgebrachte mag-netische Feldstärke (cf. Schwächung).

B = μ0 H +M( )

magnetische Dipoldichte

-232-

B = μ0 H +M( ) = μ0 1+ m( )μr

H = μ0 μr

μ

H = μ H

μ = μ0μr

μr = 1+ m

• Wie auch aus Folie 231 hervorgeht, ist beim Diamagnetismus die Magneti-sierung proportional zur (lokalen externen) magnetischen Feldstärke.

Magnetfeld und Materie XIII

Diamagnetismus

(6) Die magnetische Suszeptibilität m:

M = m H Folie 231

m =e2μ0 r0

2

2mnA

MagnetischeSuszeptibilität

• Die im diamagnetischen Material auftretende Flussdichte B ist daher:

: Permeabilität des Materials; : magnetische Feldkonstante

: Permeabilitätszahl des Materials (Diamagnetismus: < 1)

μ0

-233-

34

Beim Diamagnetismushat die MagnetisierungM eine schwächendeWirkung auf das externeMagnetfeld. Die Magneti-sche Suszeptibilität m

ist daher negativ.

Magnetfeld und Materie XIV

Diamagnetismus

(6) Die magnetische Suszeptibilität m:

mModell( ) =

e2μ0 r02

2mnA

mreal( )

e2μ0 r02

6mZ nA

Mittelung über Atomorientierungen,mittlerer Radius via Quantenmechanik,Annahme schwacher Dipolwirkungen.

-234-

Magnetfeld und Materie XV

Paramagnetismus

(1) Material mit nichtverschwindenden magnetischen Dipolmomenten:

(a) Statistisch in alleRichtungen weisendesDipolmoment führt zumagnetisch passivemMaterialverhalten.

(b) Anlegen eines ex-ternen Magnetfeldeserzeugt ein Drehmo-ment auf die Dipolmo-mente und lässt diesein Richtung des exter-nen Magnetfeldesdrehen: Verstärkungdes externen Magnet-feldes.

z.B. ungleicheKreisströme

-235-

35

Magnetfeld und Materie XVI

Paramagnetismus

(2) Magnetische Suszebtilität m beim Paramagnetismus:

• Der Verstärkungseffekt des externen Magnetfeldes beim Paramagnetismus drückt sich im positiven Wert der magnetischen Suszeptibilität m aus.

• Auch beim Paramagnetismus gilt näherungsweise die Proportionalität:

M = m H

μr = 1+ m >1

• Die statistische Ausrich-tung der Dipolmomentebei fehlendem externenMagnetfeld ist ein Effektder Temperaturbewegung.

• Der Wert von m ist dahertemperaturabhängig.

-236-

180°-Wand

90°-Wand H = 0

Magnetfeld und Materie XVII

Ferromagnetismus

Weiss’scheBezirke

• Auch ohne Anlegen eines externen Feldes existieren Bereiche mit spontan, parallel ausgerichteten Dipolmomenten (Weiss’scheBezirke), welche durch sog. Blochwände abgegrenzt sind.

• Die resultierenden magnetischen Dipolmo-mente aller Weiss’schen Bezirke sind statistisch in alle Richtungen ausgerichtet, so dass keine Magnetisierung von aussenfestgestellt werden kann (magnetisch passiv).

• 90°- bzw 180°-Blochwände bezeichnen diedie Richtungswechsel des magnetischen

Dipolmomentes in den beiden durch dieBlochwand abgegrenzten Bezirke.

• Was geschieht nun durch Anlegen eines externen Magnetfeldes?

-237-

36

180°-Wand

90°-Wand H = 0

a) b) c)

H H

Magnetfeld und Materie XVIII

Ferromagnetismus

Weiss’scheBezirke

• Blochwände verschieben sich so, dass Bezirke mit ähnlicher Ausrichtung der Magnetisierung zum

externen Feld vergrössert werden.

• Magnetisierung wird weiter zum Feld hin gedreht.

(1) Anlegen einer zunehmendenmagnetischen Feldstärke:

-238-

Magnetfeld und Materie XIX

Ferromagnetismus

• Der Magnetisierungsprozesses des ferromagnetischen Materials im externen Feld ist wesentlich komplizierter geworden, da die Verschiebung der Blochwände einen irreversiblen Prozess darstellen.

• Die Magnetisierung hängt deshalb von der «magnetischen Vorgeschichte» des Materials ab.

• Der Zusammenhang zwischen der Magnetisierung M und dem H-Feld, bzw. zwischen dem B-Feld und dem H-Feld ist die jeweilige Hysterese-Kurve (hier die Funktion g bzw. f).

• Der Zusammenhang zwischen dem M-, dem B- und dem H-Feld ist kompliziert und nichtlinear geworden und lässt sich nicht mehr mittels Proportionalität beschreiben:

Für ferromagnetische Materialien kann keine Permeabilitätszahl r mehr definiert werden.

(2) Zusammenhang zwischen B-Feld und H-Feld:

M = g H( ) B = μ0 H +M( ) = f H( )

-239-

37

Magnetfeld und Materie XX

Ferromagnetismus

Koerzitivfeldstärke Hk :

(3) Die Hysterese-Kurve M(H):

Mmax = Ms eH

M = M eM

Hysterese H = H eH

Mr = Mr eM

Hk = Hk eH( )

RemanenteMagnetisierung Mr :

Sättigungs-magnetisierung Ms :

(in Richtung des exter-nen H-Feldes, Folie 238)

Hk gross:magnetisch hart.

Hk klein:magnetisch weich.

-240-

Steigung

B= μ0 H +M( )

B

B

s

B

r

B

r B

s

B= μ0 H

Bs = μ0 Ms

Br = μ0 Mr

μ0 H

(Folie 239)

Magnetfeld und Materie XXI

Ferromagnetismus

(4) Die Hysterese-Kurve B(H):

-241-

Documents

3. Das Magnetfeld - ate.uni-due.de · • Die magnetische Flussdichte B wurde über die Kraftwirkung des Magnet- feldes definiert (Betrachtung: Leiterstrom Magnetfeld Flussdichte