Teilchenbewegung in elektrischen und magnetischen Feldern

Elektrisches Feld: eZeeqEqF ,,;

Magnetfeld: BqF

v Lorentzkraft

B B

+ 

     

in Feldrichtung: rechtsherum linksherum 

Elektron Ion

ece m

Be

ici m

BeZ

Reines (homogenes) Magnetfeld

Gyrationsfrequenz: Zentrifugalkraft = Lorentzkraft

rBqrm 2

Frequenz positiv, aber Vorzeichen der Ladung entscheidet über Drehsinn

Gyration im Magnetfeld

ece m

Be

ici m

BeZ Gyrationsfrequenz:

Fusionsplasmen: Ionen: 30 … 60 MHz (Kurzwelle) Elektronen: 100 … 150 GHz (mm-Wellen)

Technische Plasmen (0.1 T) Elektronen: 2.5 GHz (Mikrowelle)

Reines (homogenes) Magnetfeld

Gyrationsradius:

v

rrv ,

Be

mr e

Le v

BeZ

mr i

Li v

2 Freiheitsgrade in Senkrechtbewegung:

m

TkTk

m BB

2v,

2

v2

ece m

Be

Be

mr e

ge v

Gyration im Magnetfeld

Gyrationsradius:

• 10 keV Elektron im Erdmagnetfeld (5 10-5 T): 6.75 m

• Sonnenwind-Proton, v=300 km/s, 5 10-9 T: 626 km

• 1 keV He+ ion in Sonnenatmosphäre (5 10-2 T): 0.183 m

• 3.5 MeV He2+ in 8T Fusionsreaktor: 3.38 cm

• heutige Fusionsexperimente (2T, 1 keV): Elektronen: 53 m Ionen: 2.2 mm

BeZ

mr i

gi v

Be

mr e

ge v

BeZ

mr i

gi v

ece m

Be

ici m

BeZ

Reines (homogenes) Magnetfeld

Gyrationsfrequenz:

Gyrationsradius:

Elektron Ion

Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch

Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen

Temperaturmessung:

• wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz• Strahlung optisch dick T aus B(T)

Tkc

Tkh

c

hI B

Tk

h

B

B

3

2

03

3 8

1exp

8

Temperatur ~ Intensität

Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen

Temperaturmessung:

• wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz• Strahlung optisch dick T aus B(T)

Plasmaheizung:

Einstrahlen von Wellen bei ce oder ci (bzw. doppelte Frequenz), siehe Kapitel Plasmawellen

Teilchendriften

BvqFdt

vdm

Bewegungsgleichung:

Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr

“guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const)

gc rrr

BvqB

mrg

2

Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF

gc rrr

BvqB

mrg

2

Bewegungsgleichung für Führungszentrum:

BBvqFqB

vBdt

vd

qB

mv

dt

rdv c

c

22

1

BvqFdt

vdm

Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF

Führungszentrum: BBvqFqB

vvc

2

1

2||2 qB

BFvv

qB

BFvvc

2qB

BFvD

Umformen mit Vektor-Identität:

Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrechtzur Kraft und zum MF:

vBvBvBvBBBvBBv 22||

22

ExB-Drift:

E

B

Ionwird beschleunigt,

= größererGyroradius

Elektronwird gebremst,

= kleinererGyroradius

EqF

2B

BEvD

ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung!

ExB-Drift:

E

B

Ionwird beschleunigt,

= größererGyroradius

Elektronwird gebremst,

= kleinererGyroradius

BvD

Drift verschwindet im mitbewegten System

BvEE D

'

EE

B

BBE

B

BBEBv BE

D

22

2B

BEvD

0'E

ExB-Drift:2B

BEvD

Anwendung: Ionentriebwerk für interplanetare Missionen

B

+

-

E

v

Bsp: B=1T, H-Plasma, v=1000 km/s, E-Feld?m

V

B

vE D 610

Andere Kräfte senkrecht zum MF:

2qB

BFvD

Schwerkraft:

Zentrifugalkraft:

gmF

rmF

Für ladungsunabhängige Kräfte ist Drift von Elektronen undIonen in entgegengesetzte Richtung und führt zur Ladungstrennung!

Beispiele:

Beispiel Schwerkraft:

e

ieeieg m

Z

m

B

Bgnvvenj

2

2, eZB

Bgmv i

iD

2, eB

Bgmv e

eD

Beispiel Schwerkraft:

plasma B

2, eZB

Bgmv i

iD

2, eB

Bgmv e

eD

-+

g

.

E

2B

BEvD

F

Drift im inhomogenen Magnetfeld

höheres Feld:kleinerer Gyroradius

kleineres Feld:größerer Gyroradius

grad B

• “guiding centre” Ansatz problematisch, außerLr

BB

Kraft auf geladenes Teilchen im inhomogenen MF: BF

Drift im inhomogenen Magnetfeld

BF

B

E

B

mv

qB

mv

m

qBqrqIA kin

Lc

,

22

2

222

Magnetisches Moment: IALr

qvI

2 Lcrv

2

LrA

2cq

I

m

qBc

qB

mvrL

Drift im inhomogenen Magnetfeld

BF

BBqB

mv

qB

BFvD

3

2

2 2

B

mv

2

2

Krümmungsdrift

Wegen

folgt aus endlichem Gradienten von B auch eine Krümmung

BB eBeBB )(0

Bewegung parallel zu gekrümmten Feldlinien, relevante Kraft: Zentrifugalkraft

cc

z RR

vmrmrmF

2

2||2

Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: 0 B

0: Rc BRan

Krümmungsdrift

Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: 0 B

0: Rc BRan

r

z

B

RR

RB

RB

110

In 2D:

RB

1~

B

Be

R R

1Allgemein:

cRB

1~

Krümmungsdrift

BRR

mv

qB

BFv c

cD

2

2||

2

B

Be

R cRc

1

BBqB

mvvD

3

2||

cc

RR

vmF

2

2||

Be

mr e

ge v

BeZ

mr i

gi v

ece m

Be

ici m

BeZ

Reines (homogenes) Magnetfeld

Gyrationsfrequenz:

Gyrationsradius:

Elektron Ion

Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch

Teilchendriften

BvqFdt

vdm

Bewegungsgleichung:

Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr

“guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const)

gc rrr

BvqB

mrg

2

Zusammenfassung Teilchendriften

2qB

BFvD

Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrechtzur Kraft und zum MF:

2B

BEvD

ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung!

Drift im inhomogenen Magnetfeld BBqB

mvvD

3

2

2

BBqB

mvvD

3

2||Krümmungsdrift

Anwendung: Driften in ringförmigen Magnetfeldern

BBvvqB

mvD

22||3 2

1B- und Krümmungsdrift:

Ladungstrennung durch B- und Krümmungsdrift führt auf E-Feld,ExB-Drift transportiert Teilchen nach außen

Adiabatische Invarianten

Wiederholung aus Mechanik: Invarianten bei periodischer Bewegung

.constdqp

Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn Bdt

dB

r

BB c

g

,

• p und q: kanonisch konjugierter Impuls und Ort

LpqH ii

i potkin EEH potkin EEL

• nach periodischer Bewegung Energieänderung =0:

0LH

• Invariante der Bewegung:

0qpt

Adiabatische Invarianten

Aus Mechanik findet man für periodische Bewegung: .constdqp

Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn Bdt

dB

r

BB c

g

,

Elektron im elektromagnetischen Feld: Aevmp

vdt

qd

Verwende Zylinderkoordinaten (r,,z) und :zeBB

eAmvpdtvdq

Adiabatische Invarianten

Elektron im elektromagnetischen Feld:

Zylinderkoordinaten (r,,z) und :zeBB

eAmvpdtvdq

homogenes Bz-Feld:

2/2/ mvmvBermvp L

AB

zz erArr

A

1

drrBrA z zBrrA 2

2

1

eB

mvrL

Adiabatische Invarianten

Elektron im elektromagnetischen Feld:

cdqp Magnetisches Moment ist adiabatische Invariante!

mvBermvp g 2

32/

dtvmvdqmvdqp 2

3

2

3

drdtv L

d

eB

mvmvdrmv L

2

3

2

3

cB

mv

e

m

2

3

Magnetischer Spiegel

Reflexion eines Teilchens im Gebiet höheren Magnetfeldes

Invarianz des magnetischen Moments:B

mv

2

2

bei gleichzeitiger Energieerhaltung führt zu sinkender Parallel-Energiebei Bewegung in Gebiete mit steigendem B, bis zu v||=0 (Reflektion)

Spiegelbedingung: )(2

))()((2 max

2min

2||min

2 Bvm

BvBvm

Magnetischer Spiegel

)(2

)(2 min

2

min

maxmax

2 Bvm

B

BBv

m

min

min2

max

max2 )()(

B

Bv

B

Bv

min

max

min2

min2||

)(

)(1

B

B

Bv

Bv

)(2

))()((2 min

2

min

maxmin

2||min

2 Bvm

B

BBvBv

m

Spiegelbedingung:

Magnetischer Spiegel

1)(

)(

min

max

min2

min2|| B

B

Bv

Bv

Bmax Bmin >>

u.U. Reflektion!Spiegelmaschine

Spiegelmaschinen zum Einschluß heißer Plasmen?

     

        

v

v||

Verlustkegel

eingeschlosseneTeilchen

Auffüllung durch Stöße !

spontanerVerlust

 

Teilchen mit hoher Parallelenergie gehen verloren!(im thermischen Plasma wird “Verlustkegel” durch Stöße immer wieder aufgefüllt)

Spiegelbedingung unabhängig von Masse und Ladung, aber Elektronen haben höhere Stoßfrequenz -> Elektronen gehen schneller verloren

die in Heizzone den Elektronen zugeführte Senkrechtenergie wird vollständig (B1>>B2) in Parallelenergie der Ionen umgesetzt.

                 

Heizzone

zu behandelndesSubstrat (Wafer)

B1

B2

>>

 

Magnetischer Spiegel zur Oberflächenbehandlung

Van-Allen-Gürtel

„Faszination Polarlicht“

Formen- und Farbenvielfalt

Vorhang

ruhiger Bogen

Bänder

bewegende „Wolken“

Van-Allen-Gürtel

• Erdmagnetfeld: 3 10-5 T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld)

• B-Drift der Elektronen und Ionen

B

B

BxB

Ionenwestwärts

Elektronenostwärts

Van-Allen-Gürtel

• Erdmagnetfeld: 3 10-5 T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld)• isotrope Verteilung von 1keV Protonen und 30 keV Elektronen• n=107m-3 an r=5 Rerde

• B-Drift der Elektronen und Ionen (Krümmungsdrift hier vernachlässigt, aber eigentlich auch relevant)

T

RrrB 3

5

/

103)(

TRrB 7104.2)5(

B

B

qB

mvv B

2

2

rB

B 3

smvion /39.0 smvelektron /1017.1 4

Elektronen umrunden Erde in ca. 5 Stunden, Stromdichte: 1.9 10-8 A/m2

R=6380 km

Höhere adiabatische Invarianten

constdsJ ||v2. Invariante:

mittlere Parallelgeschindigkeit in einem (geschlossenen) magnetischen Spiegel ist konstant

Bsp: Drift im Erdmagnetfeld, Magnetfeld ist nicht streng axisymmetrisch (Sonnenwind)!

Sonnenwind und Erdmagnetfeld Magnetosphäre

Teilchenstrahlung aus Sonnenkorona

Elektronen, Protonen 86%, Heliumkerne 13%

Zeitlich stark variabel

Teilchenbewegungen im Magnetfeld

und elektrischen Feld

Bugstoß-welle

Sonnenwind

Sonnenwind

Sonnen-

wind

Plasmaschicht

Höhere adiabatische Invarianten

constdsJ ||v2. Invariante:

Frage: Kommt ein im Magnetfeld der Erde gefangenes Teilchen zwischen Umkehrpunkten wieder an die gleiche Stelle, obwohl Feld nicht exakt axisymmetrisch ist?

• wegen Energieerhaltung (v2=const) und =const. (v

2/B=const) am Umkehrpunkt B= const.

• Da wegen J=const. die Länge der Feldlinien zwischen 2 Umkehrpunkten gleich bleibt, muss Teilchen immer wieder an gleichen Ort zurückkehren

Höhere adiabatische Invarianten

3. Invariante:

.2 consteRAdt

dmRp

Rdpdqp

In Axialsymmetrie bleibt verallgemeinerter Impuls erhalten

Beispiel:

• Drift im Erdmagnetfeld: Fluss umschlossen von Teilchenbahn bleibt konstant

• im axisymmetrischen Tokamak können Teilchen stoßfrei nicht verloren gehen

Bahnkurven energiereicher Teilchen

“guiding-centre”-Ansatz nicht mehr gerechtfertigt (Gyrationsradius nicht mehr klein gegen Krümmungsradius der Feldlinien)

“Störmer-Bahnen”

Polarisationsdrift

Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )

BtE

)(

2B

BEvD

BB c

Bewegungsgleichung in x-Richtung:

BvqFdt

vdm

zxy

xzyx

Bqvvm

qEBqvvm

xxxzyx EqBv

m

qEqBvqvm

z

22

Polarisationsdrift

Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )

BtE

)(

2B

BEvD

BB c

Bewegungsgleichung in x-Richtung:

xzxx EqBvm

qvm 2

2

Mittelung über Gyrationsbewegung: 0xvm

xz

x EqB

mv

2

Polarisationsdrift

Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )

BtE

)(

2B

BEvD

dt

Ed

B

m

B

BdtEdm

dt

vdmF D

2

/

Polarisationsdrift:dt

Ed

qB

mpol

2v

bewirkt Polarisationsstrom (entgegengesetzte Drift für Elektronen und Ionen)

BB c

dt

Ed

B

mnvvne eipol

2j

Betrachte: Kondensator mit magnetisiertem Plasma gefüllt

0/ DED frei

Polarisation verringert E-Feld

Maxwell-Gleichung: t

DjH frei

t

Dj frei

gebfreifrei jjjD

jgeb:Polarisationsstrom

Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas

Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas

gebfreifrei jjjD

jgeb:Polarisationsstrom

Freier Strom=Gesamtstrom für D=0 E

t

Ej

0

020

EB

nmED

ti

Polarisationsstrom

Mit folgt: ED

0 20

1B

nmi

00

2 1

c

20

2

1B

nmc i i

Anm

Bv

0

2

2

1Av

c

t

Dj frei

Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas

2

2

1Av

c

• wegen c>>vA: elektrische Felder in Plasmen sehr gut abgeschirmt

• Ausnahme: Felder mit hohen Frequenzen

Diamagnetische Drift

Keine Massenbewegung, aber Strom:

Kraft auf Teilchen hervorgerufen durch endlichen Druckgradienten:

npF /

2qnB

BpvD

2B

BpjD

-Pinch

Bz

nT>0

r

ZylindrischePlasmasäulein Bz-Feld

j=j

z

“diamagnetischer” Strom reduziert von außen angelegtes Magnetfeld

Diamagnetische Ströme

B

Elektronen-Nettobewegung nach unten

Te=const

ne

r

jdia

Druckgradient erzeugt Ströme senkrecht zum MF

B

Elektronen-Nettobewegung nach unten

ne=const

Te

r

jdia Gyro-Radius ~ T1/2

-Pinch

Bz

nT>0

r

ZylindrischePlasmasäulein Bz-Feld

j=j

z

Plasmaeinschluss: Bjp

p(r)

B(r)

0

p(r)

B(r)

r0

Kaum Änderung des von außen angelegten Feldes“niedrig-ß”-Fall

Starke Änderung des von außen angelegten Feldes“hoch-ß”-Fall (ß=1 falls B=0)