Lineare Funktionen - hattendoerfer.de · 3.3 Anleitung zum Zeichnen des Graphen ... 1 Proportionale Funktionen 1.1 De nition Eine Zuordnung mit der ... wenn mnegativ ist gehen wir

8C Mathe (ht)Bergstadt-Gymnasium

Lineare Funktionen 2008-12-1121. Januar 2012

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Lineare Funktionen

Inhaltsverzeichnis

1 Proportionale Funktionen 31.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Steigungsdreieck 3

3 Lineare Funktionen 43.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Anleitung zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion . . 4

4 Lage der Geraden zueinander 5

5 Probe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt 5

6 Gerade durch zwei Punkte 5

7 Ubungen - Teil I 67.1 Graphen zeichnen; Lage beschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 weitere Aufgaben zur Ubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7.2.1 Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.2 Seite 74 - Aufgabe 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.3 Seite 74 - Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.4 Seite 78 - Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.5 Seite 81 - Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.6 Seite 81 - Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.7 Seite 81 - Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2.8 Seite 91 - Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7.1 Losungsskizzen (Graphen zeichnen; Lage beschreiben) . . . . . . 67.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.2 Losungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Ubung . . . . . . . 77.2.1 Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.2.2 Seite 74 - Aufgabe 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2.3 Seite 74 - Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2.4 Seite 78 - Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.2.5 Seite 81 - Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.2.6 Seite 81 - Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2.7 Seite 81 - Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2.8 Seite 91 - Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1



8 Geraden durch Punktwolken 11

9 Schnittpunkte von zwei Geraden 129.1 zwei Handy-Vertrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.2 Schnitt von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.3 Beispiel-Aufgabe: Schnitt von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Ubungen - Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.4.1 Seite 116 - Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.4.2 Seite 116 - Aufgabe 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.4.3 Seite 118 - Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.5 Losungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Ubung . . . . . . . 149.5.1 Seite 116 - Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.5.2 Seite 116 - Aufgabe 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.5.3 Seite 118 - Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Achtung! die Losungen sind z.T. wirklich nur Losungsskizzen undkeine vollstandigen Losungen!

Falls ihr Fehler entdeckt: Bitte schicht mie eine Mail ([email protected])

2



1 Proportionale Funktionen

1.1 Definition

Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung

y = m · x (1)

heißt eine proportionale Funktion.Die Definitionsmenge ist Qm heißt sowohl Proportionalitatsfaktor, als auch Steigung.

1.2 Eigenschaften

Proportionale Funktionen erkennt man an einer der folgenden Eigenschaften:

• die Funktionsgleichung lautet : f(x) = y = m · x

• der Graph ist eine Ursprungsgerade

• wenn man den x-Wert verdoppelt (verdreifacht, ..., halbiert, drittelt, ...usw), so wird auch der y-Wert verdoppelt (verdreifacht, ..., halbiert, drit-telt, ... usw).

• zusammengehorende Wertepaare sind quotientengleich, d.h. yx hat im-

mer den gleichen Wert m

2 Steigungsdreieck

Die Gerade zu der Funktion mit derGleichung x = m · x

• steigt, wenn m positiv ist

• fallt, wenn m negativ ist

• ist steiler als die Winkelhal-bierende des Quadranten. wenn|m| > 1 ist.

• ist flacher als die Winkelhal-bierende des Quadranten. wenn|m| < 1 ist.

Man nennt m die Steigung der Geraden.Die Steigung kann man mit Hilfe der Steigungsdreiecks berechnen:

m =∆y

∆x=y2 − y1x2 − x1

(2)

Die Koordinaten sind die von zwei (gegebenen oder abgelesenen) Punkten

3



3 Lineare Funktionen

3.1 Definition

Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung

y = m · x+ b (3)

heißt eine lineare Funktion.Die Definitionsmenge ist Qm heißt Steigung, b heißt Achsenabschnitt (auch y-Achsenabschnitt)

3.2 Eigenschaften

Lineare Funktionen erkennt man an einer der folgenden Eigenschaften:

• die Funktionsgleichung lautet : f(x) = y = m · x+ b

• der Graph ist eine Gerade

• die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt P (0|b)

• wenn x um 1 vergroßert (verkleinert) wird, vergroßert (verkleinert) sich yum m

3.3 Anleitung zum Zeichnen des Graphen einer linearenFunktion

Gegeben ist die Funktionsgleichungf(x) = y = m · x+ b(Beispiel: m = 3

2 und b = −2, alsof(x) = y = 3

2x− 2)Eine Gerade ist durch zwei Punkte ein-deutig bestimmt; es reicht also zweiPunkte zu ermitteln.

• Der Punkt P1(0|b) (im Beispiel:P (0| − 2)) liegt auf dem Graphen

• vom Punkt P1(0|b) gehen wir eineEinheit nach rechts und m Ein-heiten nach oben und erhalteneinen zweiten Punkt (im Beispiel:P2(1| − 0.5))

Wir zeichnen die Gerade durch diese beiden Punkte.

Anmerkungen

• wenn m negativ ist gehen wir eine Einheit nach rechts und |m| Einheitennach unten.

• meist liegen P1 und P2 so dicht zusammen, dass sich die Gerade in derPraxis nur recht ungenau zeichnen lasst. Man wiederholt das Verfahrenmit dem Steigungsdreieck mehrmals (im Beispiel: P3(2|1); P4(3|2, 5)

4



4 Lage der Geraden zueinander

Zwei Geraden konnen:

• parallel sein: Man erkennt dies daran, dass m bei beiden gleich ist.

• identisch sein : m und b sind gleich

• sich schneiden: die beiden Funktionsgleichungen haben verschiedene Wertevon m

Anmerkung: Ist nur b gleich, so ist P (0|b) der Schnittpunkt.

5 Probe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt

Um zu prufen, ob der Punkt P1(x1|y1) auf der Geraden mit der Gleichungy = m · x+ b liegt, setzen wir x1 und y1 ein, und prufen, ob y1 = m · x1 + b ist.

Beispiel:Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y = 2

3x+ 4.Teste, ob die Punkte P1(−9| − 2) und P2(3|5) auf der Geraden liegen!

P1: 23 · (−9) + 4 = −6 + 4⇔= −2

P2: 23 · 3 + 4 = 2 + 4⇔= 6 6= 5

P1 liegt auf der Geraden, P2 nicht

6 Gerade durch zwei Punkte

Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Wenn die Koordinaten der bei-den Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2) bekannt sind, kann man die zugehorigeFunktionsgleichung rechnerisch bestimmen.

(Beispiele: Die Gerade gp ist durch die Punkte P1(−3| − 3) und P2(4|11) ,die Gerade gp durch die Punkte Q1(−3|2) und Q2(4| − 2) gegeben

1. Schritt: Bestimmung der Steigung mDie Steigung wird durch

m =y2 − y1x2 − x1

(4)

bestimmt.

gp: m =11− (−3)

4− (−3)=

14

7= 2

gq: m =−2− 2

4− (−3)=−4

72. Schritt: Bestimmung des Achsenabschnittes bDer fur m ermittelte Wert und die Koordinaten eines Punktes werden in die

Funktionsgleichung eingesetzt. in dieser ist dann nur noch b unbekannt. Sie wirdnach b aufgelost.

gp: (mit P2) 11 = 2 · 4 + b⇔ 11 = 8 + b⇔ b = 3

gq: (mit Q1) 2 =−4

7· (−3) + b⇔ 2 =

12

7+ b⇔ b = 2− 12

7=

2

7also:gp: y = 2x+ 3

gq: y =−4

7x+

2

7

5



7 Ubungen - Teil I

7.1 Graphen zeichnen; Lage beschreiben

Jede der Gleichungen beschreibt eine lineare Funktion. Zeichne jeweils die beidenGraphen in ein Koordinatensystem und beschreibe ihre Lage zueinander!

1. g1 : y =2

3x− 2 g2 : y =

3

2x− 2

2. g1 : 2y − 4x = 8 g2 : y = 2x+ 3

3. g1 : y = −5

3x+ 3 g2 : y = −4

3x+ 3

4. g1 : 2y = 3x+ 3 g2 : 4y = 6x+ 3

7.2 weitere Aufgaben zur Ubung

7.2.1 Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c

7.2.2 Seite 74 - Aufgabe 9







7.1 Losungsskizzen (Graphen zeichnen; Lage beschreiben)

7.1.1

Verschiedene Steigung; gleicher Achsenabschnitt; Schnittpunkt S(0| − 2)Punkte auf g1: (−6| − 6); (0| − 2); (3|0); (6|2)

Punkte auf g2: (−4| − 8); (0| − 2); (11

3|0) ;(6|7)

7.1.2

Die Gleichung zu g1 sollte zuerst in die Normalform gebracht werden:g1 : 2y − 4x = 8⇔ y − 2x = 4⇔ y = 2x+ 4g2 : y = 2x+ 3Gleiche Steigung; verschiedene Achsenabschnitte; keine gemeinsamen Punk-

tePunkte auf g1: (−6| − 8); (−2|0);(0|4); (2|8)

Punkte auf g2: (−6| − 9); (−2

3|0);(0|3); (2|7)

6



7.1.3

Verschiedene Steigung; gleicher Achsenabschnitt; Schnittpunkt S(0|3)

Punkte auf g1: (−3|8); (0|3); (14

5|0); (6| − 7)

Punkte auf g2: (−3|7); (0|3); (21

4|0); (6| − 5)

7.1.4

Die Gleichungen sollten zuerst in die Normalform gebracht werden:

g1 : 2y = 3x+ 3⇔ y =3

2x+

3

2

g2 : 4y = 6x+ 3⇔ y =3

2x+

3

4Gleiche Steigung; verschiedene Achsenabschnitte; keine gemeinsamen Punk-

te

Punkte auf g1: (−5| − 6); (−1|0);(0|32

); (5|9)

Punkte auf g2: (−41

2| − 6); (−1

2|0);(0|3

4); (3

1

2|6)

7.2 Losungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Ubung

Losungen zu den folgenden Aufgaben werde ich hier am Sonnabendeinstellen.

7.2.1 Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c

Aufgabe 9a:

Fur alle Wertepaare gilt:y

x= 1, 2 Die Wertetabelle gehort zu einer propor-

tionalen Funktion. Die Funktionsgleichung lautet: y = 1, 2 · xAufgabe 9c:

x y yx

4 3,2 0,83 2,4 0,82 1,6 0,81 0,4 0,4

Nicht alle Wertepaare sind quotientengleich; es liegt keine proportionaleFunktion vor.

Daran andert auch nichts, dass fast alle gleich sind; es mussen wirklich allegleich sein.

7




Abbildung 1: Seite 74 - Aufgabe 9

(die in den Aufgaben angegebenen Stucke sind dicker gezeichnet)


a: y =1

2· x Bereiche A und E

b: y = −2 · x Bereiche C und Gc: y = 2 · x Bereiche B und F

d: y = −3

4· x Bereiche D und H

8




Als Hilfsmittel stelle ich zuerst die Wertetabelle auf:t in h 0 1 2 3 5 7 10 12 15 17 17,5

l in cm 21 19,8 18,6 17,4 15 12,6 9 6,6 3 0,6 0


b: y = 21− 1, 2 · y = −1, 2 · x+ 21c: entweder dem Graphen entnehmen: 15 cm [12 cm; 6 cm]oder mit der Funktionsgleichung berechnen:f(5h) = −1, 2 · 5cm = 15cmf(5h) = −1, 2 · 7, 5cm = 12cmf(5h) = −1, 2 · 12, 5cm = 6cmd:entweder dem Graphen entnehmen: 14,3 Stundenoder mit Hilfe der Funktionsgleichung:

3, 8 = −1, 2 · x+ 21 |+ 1, 2x− 3, 8

⇔ 1, 2x = 17, 2 | : 1, 2

⇔ x = 14, 3

e:entweder dem Graphen entnehmen: 17,5 Stundenoder mit Hilfe der Funktionsgleichung:

0 = −1, 2 · x+ 21 |+ 1, 2x

⇔ 1, 2x = 21 | : 1, 2

⇔ x = 17, 5


Im rechtwinkligen Dreieck ist - wie auch in jeden anderen Dreieck - die Winkel-summe 180◦. Sei o.B.d.A. γ der rechte Winkel. Dann ist:

9



α+ β + 90◦ = 180◦ (5)

α+ β = 90◦ (6)

α = −β + 90◦ (7)

(8)



a: verschiedene Steigungen - schneiden sich

b: 2y + 3x = −4⇔ y = −3

2x− 2; 3y + 4, 5x = 21⇔ y = −1, 5x+ 7

gleiche Steigung; Achsenabschnitt verschieden; parallelc: y − x = −19⇔ y = x− 19; y − 1

3x = 15⇔ y = 13x+ 15

verschiedene Steigungen - schneiden sich

d: 1, 5y + x = 0, 5⇔ 3

2y = −x+

1

2⇔ y = −2

3x+

1

3;

3y = 1− 2x⇔ y =1

3− 2

3x

gleiche Steigung; Achsenabschnitt gleich; identisch


a: y = 3x+ 2b: y = mx− 6 mit m < 0, also z.B. y = −7x− 6c: zuerst muss ich den Abschnitt auf der x -Achse bestimmen:0 = 3x− 6⇔ 6 = 3x⇔ x = 2nun muss gelten:

0 = m · 2 + b⇔ b = −2m oder m = − b2

man kann entweder m oder aber b vorgeben.falls wir m vorgeben: y = m · x− 2m , also z.B. (fur m=2) y = 2x− 4

falls wir b vorgeben: y = − b2· x+ b , also z.B. (fur b=2) y = −x+ 2

10




Man sieht an der Graphik, dass es eine Gerade durch den ersten, den dritteund den vierten Punkt gibt. Der zweite Punkt liegt nicht auf ihr.

Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen wahle ich den ersten und denvierten Punkt (vgl. Seite 89).

m =y4 − y1x4 − x1

=238, 6− 271, 1

106− 101=

12, 5

5= 2, 5 (9)

Diesen Wert setze ich ein:

y1 = 2, 5 · x1 + b (10)

271, 1 = 2, 5 · 101 + b (11)

b = 18, 6 (12)

Die Gerade hat also die Gleichung: y = 2, 5x+ 18, 6. Setze ich hier fur x denWert x2 = 102, 4 ein, so erhalte ich y2 = 274, 6.

8 Geraden durch Punktwolken

In der letzten Ubungsaufgabe hatten wir den Fall, dass ein Punkt durch einenAbschreibefehler nicht auf der Geraden lag. In der Praxis ist es meist so, dassbei Experimenten die Werte nur

”ungefahr“ eine Gerade beschreiben, und eine

”moglichst gut passende “ Gerade gefunden werden muss.

Ein Beispiel dazu findest Du in der Einstiegsaufgabe auf Seite 90.Graphisch ergibt sich - etwa - folgendes:Zuerst werden die Punkte zu den Messwerten (rot) eingetragen; dann zeich-

net man die Ausgleichsgerade (blau). Auf ihr wurden zwei Punkte (grun) mar-kiert, die moglichst weit auseinander liegen.

Diese Punkte haben die Koordinaten P1(16|90) und P2(31|210). Damit er-rechnet man die Gleichung der Geraden:

m =y2 − y1x2 − x1

=210− 90

31− 16=

120

15= 8 (13)

11



Diesen Wert setze ich ein:

y1 = 8 · x1 + b (14)

90 = 8 · 16 + b (15)

b = −38 (16)

y = 8x− 38 (17)

Anmerkung : eine”richtige“ Regressionsanalyse liefert:

y = 7, 93x− 36, 56 (18)

9 Schnittpunkte von zwei Geraden

9.1 zwei Handy-Vertrage

Claudia hat die Auswahl zwischen zwei Handy-Vertragen. Beim Hobby-Tarifzahlt sie 9,95 ¤Grundgebuhr sowie 12 cent fur die Minute; Im Profi-Tarif 29,95¤bzw. 0,08 ¤.

Bei wie viel Minuten zahlt sie das gleiche?Beide Tarife lassen sich durch lineare Gleichungen beschreiben:

Hobby-Tarif: ph = 0, 12 ·m+ 9, 95 (19)

Profi-Tarif: pp = 0, 09 ·m+ 29, 95 (20)

Wenn Claudia bei beiden Tarifen das gleiche bezahlt, ist ph = pp; die linkenSeiten der beiden Gleichungen sind gleich. Dann mussen auch die rechten Seitengleich sein:

12



0, 12 ·m+ 9, 95 = 0, 09 ·m+ 29, 95 | − 0, 09 ·m− 9, 95 (21)

0, 03 ·m = 20, 00 | : 0, 03 (22)

m = 666, 6 (23)

Bei 666, 6 Minuten (11 h 6 2/3 min) muss man bei beiden Tarifen das gleichebezahlen.

Um zu ermitteln, wie viel sie dann zahlt setzen wir m in die beiden Anfangs-gleichungen ein:

ph = 0, 12 · 666, 6 + 9, 95 = 89, 95 (24)

pp = 0, 09 · 666, 6 + 29, 95 = 89, 95 (25)

Der letzte Schritt ist bereits die Probe. Da wir fur beide Tarife die gleichenKosten berechnet haben, muss m richtig bestimmt worden sein.

9.2 Schnitt von Geraden

Gleichwertig zur obigen Aufgabe ist die Frage, in welchem Punkt sich die beidenzu den Gleichungen gehorigen Geraden schneiden.

Hier ist offensichtlich, das die graphischen Losung zwar anschaulicher ist,aber nur ein ungefahres Ergebnis liefern kann, wahrend die rechnerische Losungein exaktes Ergebnis liefert.

9.3 Beispiel-Aufgabe: Schnitt von Geraden

Gesucht ist der Schnittpunkt zu den Geraden mit den Gleichungen:

g1 : y = 3x− 2 (26)

g2 : y =1

2x+ 3 (27)

Auch diese Aufgabe losen wir graphisch und rechnerisch:

13



3x− 2 =1

2x+ 3 | · 2 (28)

6x− 4 = x+ 4 | − x+ 6 (29)

5x = 10 | : 5 (30)

x = 2 (31)

y1 = 3 · 2− 2 = 6− 2 = 4 (32)

y2 =1

2· 2 + 3 = 1 + 3 = 4 (33)

9.4 Ubungen - Teil II




9.5 Losungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Ubung

Losungen zu den folgenden Aufgaben werde ich hier am Sonnabendeinstellen.

14




a)

• y − 2x = 0 ⇒ y = 2x; 2y − 6 = 2x ⇒ y = x+ 3

• Stefan hat bei der Geraden zur ersten Gleichnung das Vorzeichen derSteigung falsch

• L = {(3|6)}

b)

• y + x = 4 ⇒ y = −x+ 4; 2y − 4x = −2 ⇒ y = 2x+ 1

• Stefan hat bei der Geraden zur zweiten Gleichnung den Achsenabschnittfalsch (Vermutung: nicht alle Terme durch 2 dividiert)

• L = {(1|3)}

c)

• 3y + 2x = 6 ⇒ y = − 23x+ 2; 2y + x = −4 ⇒ y = − 1

2x− 2

• korrekt gezeichnet

• die Geraden sind nicht parallel; es gibt einen Schnittpunkt; es ist sinnvoll,ihn zu berechnen

•

−2

3x+ 2 = −1

2x− 2 | · 6 (34)

−4x+ 12 = −3x− 12 |+ 4x+ 12 (35)

24 = x (36)

y = −2

3· 24 + 2 = −14 (37)

y =1

2· 24− 2 = −14 (38)

• L = {(24| − 14)}


hier gibt nur Losungsskizzen! Insbesondere lasse ich die Zeichnungenweg; damit Du Deine Losungen kontrollieren kannst, gebe ich aberimmer zwei Punkte (P1; P2) an, die auf der Geraden liegen

Zur vollstandigen Losung gehort aber auch die Zeichnung!a)

• 6y − 3x = 9 ⇒ y = 12x+ 3

2 ; P1(0| − 32 ); P2(−3|0)

• −8y + 4x = −10 ⇒ y = 12x+ 5

4 ; P1(0| 54 ); P2(− 52 |0)

• Parallele Geraden; kein Schnittpunkt

15



b)

• 4x+ 2y = 5 ⇒ y = −2x+ 52 ; P1(0| − 5

2 ); P2(5|4)

• −2x− y = − 52 ⇒ y = −2x+ 5

2 ; P1(0| − 52 ); P2(5|4)

• identische Geraden

c)

• 2x+ y = 6 ⇒ y = −2x+ 6; P1(0|6); P2(3|0)

• 3x+ 2y = 8 ⇒ y = − 32x+ 4; P1(0|4); P2(2 2

3 |0)

• L = {(4| − 2)}

d)

• 3x− 6y = 2 ⇒ y =1

2x− 1

3; P1(0| − 1

3); P2(

2

3|0)

• −1.5x+ 3y = 1 ⇒ y =1

2x− 1

3; P1(0|1

3); P2(−2

3|0)


e)

• 3x− 6y = 9 ⇒ y =1

2x− 3

2; P1(0| − 3

2); P2(3|0)

• 4x− 9y = 12 ⇒ y =4

9x− 4

3; P1(0| − 1

1

3); P2(3|0)

• L = {(3|0)}

f)

• x− 9 = 0 ⇒ parallel zur y-Achse; P1(9|0); P2(9|9)

• 2x− 3y = 6 ⇒ y =2

3x− 2; P1(0| − 2); P2(3|0)

• L = {(9|4)}

g)

• 3u− v = 6 ⇒ v = 3u− 6; P1(0| − 6); P2(2|0)

• u− 3v = 6 ⇒ v =1

3u− 2; P1(0| − 2); P2(6|0)

• L = {(1 12 | − 1 1

2 )}

h)

• s+ 3t = 6 ⇒ t = 13s+ 2; P1(0|2); P2(6|0)

• 2s+ 6t = 9 ⇒ t = 13s+ 3

2 ; P1(0|1 12 ); P2(4 1

2 |0)


16




a)

4y = 3x− 4 (39)

4y = 5x− 20 (40)3x− 4 = 5x− 20 |+ 20− 3x (41)

16 = 2x | : 2 (42)

x = 8 (43)4y = 3x− 4 = 3 · 8− 4 = 20 (44)

y = 5 (45)

4y = 5x− 20 = 5 · 4− 20 = 20 (46)

y = 5 (47)

b)

1y = 4x− 6 | · 11 (48)

11y = 9x− 41 (49)11y = 44x− 66 (50)

11y = 9x− 41 (51)44x− 66 = 9x− 41 |+ 66− 9x (52)

35x = 25 | : 35 (53)

x =5

7(54)

y = 4x− 6 = 4 · 5

7− 6 =

20

7− 20

7= −22

7(55)

y == −31

7(56)

11y = 9x− 41 = 9 · 5

7− 41 =

45

7− 287

7= −242

7(57)

y = − 242

7 · 11= −22

7= −3

1

7(58)

(59)

e)

v = 3u− 4 | · 2 (60)

2v = 5u+ 3 (61)2v = 6u− 8 (62)

2v = 5u+ 3 (63)6u− 8 = 5u+ 3 |+ 8− 5u (64)

u = 11 (65)v = 3u− 4 = 3 · 11− 4 = 33− 4 = 29 (66)

2v = 5u+ 3 = 5 · 11 + 3 = 58 | : 2 (67)

v = 29 (68)

17



f)

6y = 3x− 2 (69)

2y = 2x+ 2 | cot 3 (70)6y = 3x− 2 (71)

6y = 6x+ 6 (72)3x− 2 = 6x+ 6 |+ 2− 6x (73)

−3x = 8 | : (−3) (74)

x = −8

3(75)

6y = 3x− 2 = −3 · 8

3− 2 = −8− 2 = −10 ⇒ y = −5

3(76)

y = −12

3(77)

2y = 2x+ 2 = −2 · 8

3+ 2 = −16

3− 10

3⇒ y = −5

3(78)

y = −12

3(79)

18

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Lineare Funktionen - hattendoerfer.de · 3.3 Anleitung zum Zeichnen des Graphen ... 1 Proportionale Funktionen 1.1 De nition Eine Zuordnung mit der ... wenn mnegativ ist gehen wir