3. Vektoren und Matrizen · 2020. 5. 13. · 1,p 2) ” weist“ der Ortsvektor p 1 p 2 hin“: Pfeil vom Nullpunkt 0 zum Punkt P. Schreibweise:! 0P = p 1 p 2 2 R2. Die Darstellung

Vektoren und Matrizen

3. Vektoren und Matrizen

n-Tupel: Praktisch zur Notation von LGS-Losungen!

Konzept hat große Bedeutung in vielen Bereichen, wie in der Physik zurBeschreibung gewisser physikalischer Großen:

I Temperatur: Beschreibung durch eine reelle Zahl, sog. Skalar.I Eine Kraft hat eine Richtung und Starke. Beschreibung durch ein

Tripel von Zahlen ! Vektor in R3.

Definition 3.1 (Vektor)

Ein n-Tupel von reellen Zahlen

~v :=

0

[email protected]

1

CA =: (v1, . . . , vn)> 2 Rn

heißt Vektor (in Rn). Die vi heißen Koordinaten oder Komponenten von ~v .

Der Nullvektor ~0 2 Rn hat alle Eintrage Null.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 53 / 270


Bemerkungen:

I Der Pfeil uber dem Vektorsymbol ~v ist ein suggestives Stilmittel.Manchmal sagen wir:

”Sei v ein Vektor“ und verzichten dabei auf ihn.

I Wieso Spaltenschreibweise? Antwort: Vertraglichkeit mitMatrizenkalkul (vgl. spater)! Wenn dieses nicht gebraucht wird, istZeilenschreibweise (v1, . . . , vn) tolerierbar!Unterscheide sprachlich Spalten- oder Zeilenvektoren!

I Platzsparende Schreibweise (v1, . . . , vn)> fur einen Spaltenvektorverwendet Symbol

”>“ fur transponiert.

I Vektoren im R2 bzw. R3 konnen bei Vorgabe von kartesischenKoordinatensystemen Punkte, aber auch Pfeile in einer Ebene bzw. imRaum bezeichnen. Punkte werden meist in Zeilenschreibweise notiert.I Ebene: Ebenenpunkt wird durch Angabe seiner x- und y -Koordinate

in der Form (x , y) eindeutig beschrieben.I Raum: Raumpunkt wird durch Angabe seiner drei Raumkoordinaten

(x-, y - und z-Koordinate) in der Form (x , y , z) eindeutig beschrieben.

G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 54 / 270


Definition 3.2 (Ortsvektor, Verbindungsvektor)

Auf den Punkt P = (p1, p2) ”weist“ der Ortsvektor

✓p1

p2

◆

”hin“: Pfeil vom

Nullpunkt 0 zum Punkt P . Schreibweise:

�!0P =

✓p1

p2

◆2 R2.

Die Darstellung von Vektorenals Pfeile darf an beliebigenPunkten starten.

0

y

x

1

1

2

3-3

PQ

Gegeneinander verschobene Pfeile haben also die gleiche mathematischeDarstellung! Der Pfeil von P = (p1, p2) nach Q = (q1, q2) heißtVerbindungspfeil, ofter aber Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt Q:

�!PQ :=

✓q1 � p1

q2 � p2

◆.

In anderen Dimensionen geht alles analog!G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 55 / 270


Definition 3.3 (Vektorgleichheit, Vektoraddition, Skalarmultiplikation)

Fur ~v =

0

[email protected]

1

CA , ~w =

0

[email protected]

1

CA aus Rn und c 2 R definiert man

~v = ~w genau falls vi = wi fur alle i = 1, . . . , n

~v + ~w :=

0

B@v1 + w1

...vn + wn

1

CA (Vektoraddition)

c · ~v :=

0

B@c · v1...

c · vn

1

CA (Skalarmultiplikation)

(Elemente c 2 R heißen Skalare.)



Geometrisch:

Addition:Pfeilaneinandersetzung,Skalarmulti. mit c 2 R:Streckung um |c | und fallsc < 0: Richtungsanderung.

Beispiel: Auf einem kostenpflichtigen Parkplatz liegt die Tagesgebuhr furPKWs bei 4 e und fur Busse bei 7 e. Parkaufkommen:

PKW BusseMontag 30 5Dienstag 25 5Mittwoch 35 15

Verwende Vektorrechnung, um eine Tabelle mit Gesamteinnahmen jew. furMontag, Dienstag, und Mittwoch zu erstellen. (Losung: (155, 135, 245)>)



Satz 3.4

Fur alle ~v , ~w , ~u 2 Rnund a, b 2 R gilt:

1. (~v + ~w) + ~u = ~v + (~w + ~u) (Assoziativgesetz)

2. ~v + ~w = ~w + ~v (Kommutativgesetz)

3. ~v +~0 = ~v (Neutrales Element)

4. Zu ~v ex. �~v := (�1) · ~v mit ~v + (�~v) = ~0 (Inverses Element)

5. a(b~v) = (ab)~v

6. 1 · ~v = ~v

7. (a+ b)~v = a~v + b~v (Distributivgesetz 1)

8. a(~v + ~w) = a~v + a~w (Distributivgesetz 2)

Definition 3.5 (R-Vektorraum)

Ist in einer Menge V eine Verknupfung”+“ von Elementen und eine

Skalarmultiplikation”·“ von reellen Zahlen mit Elementen aus V erklart,

die beide wieder Elemente aus V liefern, so heißt V ein R-Vektorraum,wenn (mit einem gewissen ~0 2 V ) in V die Aussagen des Satzes 3.4 gelten.



Beispiel 3.6 (R-Vektorraume)

I Rn,

I F(R,R) sei die Menge aller reellwertigen und auf ganz R definiertenFunktionen. Man schreibt diese symbolisch so: f : R ! R.Verwende als

”+“ die ubliche Addition von Funktionen f , g :

f + g ist die Funktion, die x 2 R den Wert f (x) + g(x) 2 R zuordnet:

(f + g)(x) := f (x) + g(x).

Verwende als”·“ die ubliche Multiplikation von � 2 R mit einer

Funktion f : �f ist die Funktion, die x 2 R den Wert � · f (x) 2 Rzuordnet:

(� · f )(x) := � · f (x).

Die Vektorraumnull ~0 ist hier die konstante Funktion f mit f (x) = 0.Man pruft problemlos alle 8 Eigenschaften eines Vektorraums, z.B.gilt die Gleichheit f + g = g + f (als Funktionen), weil fur alle x 2 Rauf Zahlenebene f (x) + g(x) = g(x) + f (x) gilt, etc.



Ein weiteres wichtiges Beispiel fur Vektorraume wird durch folgendeDefinition gegeben:

Definition 3.7 (Matrizen, Matrizenoperationen)

1. Eine (m ⇥ n)-(Zahl-)Matrix A ist ein rechteckiges Schema von Zahlenin m Zeilen und n Spalten

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

1

CCCA

Symbolisch (falls m, n klar oder unwichtig): A = (aij).

Rm⇥n := Menge aller reellen Matrizen vom Format (m ⇥ n).

Die Koordinaten aij werden auch Elemente der Matrix genannt.



Fur Matrizen gleichen Formats A = (aij), B = (bij) aus Rm⇥n definiere:

2. A = B :, aij = bij fur alle i , j .

3. A+ B 2 Rm⇥n entsteht durch elementweise Addition von A,B :

A+ B := (aij + bij)

4. A wird mit ↵ 2 R multipliziert, indem man dies elementweise tut:

↵A := (↵aij)

5. Eine (m ⇥ 1)-Matrix kann als Spaltenvektor aus Rm, eine(1⇥m)-Matrix als Zeilenvektor aus Rm aufgefasst werden.

Satz 3.8

Rm⇥nist ein R-VR. Also gilt all das fur Matrizen, was in Satz 3.4 fur

Vektoren zusammengestellt wurde. Dabei hat die nur Nullen enthaltende

Nullmatrix aus Rm⇥ndie Rolle des neutralen Elements.



Definition 3.9 (Matrizenmultiplikation)

A 2 Rm⇥n und B 2 Rn⇥p (d.h. Spaltenzahl A = Zeilenzahl B) lassen sichmiteinander multiplizieren. Das Produkt ist eine (m ⇥ p)-Matrix:

A · B := (cij) 2 Rm⇥p mit cij :=nX

k=1

aikbkj

d.h. cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj .

Das Element an Position ij des Produkts AB ergibt sich durchkomponentenweise Multiplikation der i-ten Zeile von A und j-ten Spaltevon B und anschließende Summation der n Produkte.



Beispiel 3.10 (Falk-Schema, Spezialfall Matrix-Vektormultiplikation)

1) Falk-Schema zur Berechnung eines Matrixproduktes: Links untensteht A, rechts oben B , rechts unten entsteht AB :

·

0

@1 3 22 0 15 4 0

1

A

✓1 2 30 4 1

◆ ✓20 15 413 4 4

◆

Beispielsweise: 20 = 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 5, 15 = 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 4.

2) BA laßt sich fur obige Matrizen nicht berechnen!

3) Matrix-Vektormultiplikation: A (m ⇥ n)-Matrix, ~v 2 Rn.

Fasse Spalten von A als Vektoren ~a1 bis ~an auf. Dann

A~v = v1 ~a1 + v2 ~a2 + · · ·+ vn~an. Animation

4) Man berechne Ab fur obiges A und b = (2,�1, 1)>.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 63 / 270


Beispiel 3.11 (LGS im Matrixschreibweise)

Das LGS in m Gleichungen und n Unbekannten (vgl. Def. 2.2) kann jetzt

in der Form A~x = ~b geschrieben werden, wobei

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

1

CCCA, ~x =

0

[email protected]

1

CA , ~b =

0

[email protected]

1

CA

(A Koe↵.matrix, ~x Vektor der Unbekannten, ~b Vektor der rechten Seiten.)

Mit Beispielzahlen:

5x � y = 6x + 3y = �1

)✓5 �11 3

◆✓x

y

◆=

✓6

�1

◆



Definition 3.12 (Quadratische Matrix, Diagonalmatrix, Einheitsmatrix)

1. Eine (n ⇥ n)-Matrix heißt quadratisch, die Elemente aii einerquadratischen Matrix A heißen Diagonalelemente. Sie bilden dieHauptdiagonale der Matrix.

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb derHauptdiagonalen 0 sind, nennt man Diagonalmatrix.

2. Die Diagonalmatrix, die nur Einsen auf der Hauptdiagonalen hat,heißt Einheitsmatrix En 2 Rn⇥n (manchmal kurz E oder gar I ).

Beispielsweise: E3 =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A.



Satz 3.13 (Rechenregeln fur Matrizen, Unterschiede zu Zahlen)

Fur einen Skalar c 2 Rund Matrizen A,B ,C (mit fur die Multiplikationen

passenden Formaten) gilt:

1. (AB)C = A(BC ) (Assoziativgesetz)

2. c(AB) = (cA)B = A(cB)

3. A(B + C ) = AB + AC (Distributivgesetz 1)

4. (A+ B)C = AC + BC (Distributivgesetz 2)

5. Das Produkt aus einer Matrix und einer Nullmatrix (oder umgekehrt)

ist eine Nullmatrix.

6. Das Produkt aus einer Matrix A und einer Einheitsmatrix E (oder

umgekehrt) ist wieder A. (Neutralelement bzgl. ·)7. I.a. gilt nicht die Kommutativitat, also: AB 6= BA.

8. I.a. gilt nicht die Nullteilerfreiheit, also:Aus AB = 0 folgt nicht A = 0 oder B = 0.



Beweis: Nachrechnen mittels Definitionen. Fur 7), 8) nehme man

beispielsweise A :=

✓0 01 0

◆, B :=

✓1 00 0

◆(vgl. Vorlesung).

Definition 3.14 (Transponierte Matrix)

Fur A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

1

CCCAheißt A

> :=

0

BBB@

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

.... . .

...a1n a2n · · · amn

1

CCCA

die zu A transponierte Matrix (aus Rn⇥m): i-te Zeile wird zur i-ten Spalteund umgekehrt.Gilt A = A

> fur eine (n ⇥ n)-Matrix A so heißt A symmetrisch.

Beispiel:

✓1 2 34 5 6

◆>=

0

@1 42 53 6

1

A.

0

@1 2 32 4 53 5 6

1

A ist symmetrisch.



Definition und Satz 3.15 (Inverse Matrix)

Sei A 2 Rn⇥n(d.h. quadratisch). Gibt es ein B 2 Rn⇥n

mit

AB = E oder BA = E

dann gelten sogar beide Gleichungen und das entsprechende B zu A ist

eindeutig. Man schreibt A�1 := B (Inverse zu A). A heißt invertierbar.

Beweis: Gultigkeit beider Gleichungen bei Gultigkeit einer Gleichung hierzu kompliziert.

Eindeutigkeit: Gelte E = AB = AC , also insb. auch CA = E .

Multipliziere nun E = AB von links mit C : C = (CA)B = EB = B . ⇤.



Beispiel 3.16 (Invertieren einer Matrix)

Wie findet man die Inverse? Lose Matrixgleichung AX = E !n LGSe zu gleicher Koe�zientenmatrix A. ) Simultanes Losen von n

LGSen (vgl. Beispiel 2.10). Hier optimal:

Erweiterung”Gauß-Jordan“-Algorithmus:

1. Gaußscher Algorithmus zur Erzielung einer gesta↵elten Form.

2. Dividiere jede markierte Zeile durch den am weitesten links stehendenvon Null verschiedenen Koe�zienten und schreibe alles in ein neuesSchema. Hat eine Zeile in der ZSF links vom Strich nur Nullen, dannist die Matrix nicht invertierbar!!!

3. Nun von rechts nach links die Spaltenelemente uber den entstandenenEinsen mit elementaren Umformungen auf 0 setzen.

4. Nach richtiger Sortierung in ZSF erhalt man links von Strich dieEinheitsmatrix, rechts vom Strich die Inverse.

Vorlesungsbeispiele: A =

✓2 �1

�4 2

◆, B =

0

@�2 1 01 �1 25 �5 11

1

A.

Durchfuhrung fur A in der Vorlesung, fur B auf der nachsten Seite:G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 69 / 270


Durchfuhrung fur A in der Vorlesung . . . . Fur B :

�2 1 0 1 0 0k 1 �1 2 0 1 0 2 � 5

5 �5 11 0 0 1k �1 4 1 2 0k 1 0 �5 1(Umsortieren und fuhrende Einsen erzeugen!)

1 �1 2 0 1 01 �4 �1 �2 0

k(3) 1 0 �5 1 4 � 21 �1 0 0 11 �2

k(2) 1 0 �1 �22 4 1k(1) 1 0 0 �1 �11 2

Lese in Reihenfolge der Indizes an Strichen: B�1 =

0

@�1 �11 2�1 �22 40 �5 1

1

A .



Satz 3.17

Fur c 2 R, c 6= 0 und invertierbare Matrizen A,B gilt

1. (A�1)�1 = A,

2. AB invertierbar mit (AB)�1 = B�1

A�1

.

Beweis: (ggfs. in der Vorlesung.)

Oft hat man es mit Vektorraumen in Vektorraumen zu tun. Diese lassensich im Vergleich zu 3.4 schnell identifizieren:

Definition 3.18 (Untervektorraum)

Sei V ein R-VR. U ⇢ V heißt Untervektorraum (UVR), wenn gilt

1. U 6= ;,2. ~v , ~w 2 U ) ~v + ~w 2 U,

3. ~v 2 U, c 2 R ) c~v 2 U.



Satz 3.19

Jeder UVR ist ein VR, enthalt also insb. einen Nullvektor.

Beweis: Prufe leicht die 8 VR-Eigenschaften (vgl. Satz 3.4).

Beispiel 3.20 (Untervektorraume)

Welche dieser Mengen sind UVRe von R2?

U1 := {(x , x)> | x 2 R}, U2 := {(x , y)> | x , y � 0}.

Definition und Satz 3.21 (Linearkombination, Spann)

Sei V ein R-VR und ~v1, . . . , ~vn 2 V .

1. Eine mit Skalaren �1, . . . ,�n 2 R gebildete Summe

�1~v1 + . . .+ �n~vn

heißt Linearkombination der Vektoren ~v1 bis ~vn.Die �i heißen Koe�zienten. Animation



2. Die Menge aller Linearkombinationen von ~v1 bis ~vn

h~v1, . . . , ~vni := sp(~v1, . . . , ~vn) := {�1~v1 + . . .+ �n~vn | �1, . . . ,�n 2 R}

ist ein UVR von V : der von ~v1 bis ~vn aufgespannte Raum, kurz Spann.

Losungsmengen von LGSen sind”verschobene“ UVRe oder leer:

Satz 3.22 (Struktur der Losungsmengen von LGSen)

1. Die Losungsmenge eines homogenen LGS A~x = ~0 in n Unbekannten

ist ein UVR von Rn, daher auch Losungsraum genannt.

2. Ist ~u0 eine Losung des LGS A~x = ~b, so erhalt man alle Losungen ~v in

der Form

~v = ~u0 + ~u

wobei ~u den Losungsraum des zugehorigen homogenen LGS A~x = ~0durchlauft (

”Homogen/Inhomogen-Prinzip“).

Eine spezielle Losung ~u0 nennt man auch partikulare Losung.



Beweis:

Zu 1. Sei L die Losungsmenge des homogenen Systems A~x = ~0.

I Homogenes LGS hat auf jeden Fall Losung ~0, d.h. L ist nicht leer.

I ~v , ~w 2 L ) A~v = ~0,A~w = ~0 ) A(~v + ~w) = A~v + A~w = ~0 +~0 = ~0.Also ~v + ~w 2 L.

I Sei ~v 2 L. Fur c 2 R: A(c~v) = c(A~v) = c ·~0 = ~0 ) c~v 2 L.

Zu 2. Es gelte A~u0 = ~b.

I Sei ~v weitere Losung von A~x = ~b, d.h. also A~v = ~b. DannA(~v � ~u0) = A~v � A~u0 = ~b � ~b = ~0. Damit ist ~u := ~v � ~u0 Losungdes zugehorigen homogenen Systems, also ~v darstellbar als~v = ~u0 + ~u mit dieser “homogenen Losung” ~u.

I Umgekehrt liefert jede homogene Losung ~u eine Losung ~v = ~u0 + ~udes inhomogenen Systems A~x = ~b, dennA(~u0 + ~u) = A~u0 + A~u = ~b +~0 = ~b.



Beispiel 3.23

Suche alle (x1, . . . , x4) mit

x1 + x4 = 0x1 + 2x3 + x4 = 2

Neue Schreibweise: A :=

✓1 0 0 11 0 2 1

◆, ~x = (x1, . . . , x4)>, ~b = (0, 2)>.

Suche alle Vektoren ~x 2 R4 mit A~x = ~b.Losungen lauten (verwende Gauß-Algorithmus):

~x = (��2, �1, 1, �2)>, �1,�2 2 R.

Unter Ausnutzung von Vektoraddition und Skalarmultiplikation:Trenne additiv in Teile ohne Parameter, in solche mit Parameter �1 undsolche mit Parameter �2:

~x = (0, 0, 1, 0)> + (0,�1, 0, 0)> + (��2, 0, 0,�2)

>.



Ziehe nun die freien Parameter als Skalare vor die Vektoren:

~x =

0

BB@

0010

1

CCA

| {z }~u0

+�1

0

BB@

0100

1

CCA+ �2

0

BB@

�1001

1

CCA

| {z }~u

, �1,�2 2 R.

Eine partikulare Losung ist (setze �1 = �2 = 0) z.B. ~u0.

”Rest“ ~u ist stets eine Linearkombination aus zwei gewissen Vektoren, liegtalso in einem von diesen aufgespannten UVR. Lost man das zum LGSA~x = ~b gehorende homogene LGS A~x = ~0, so erhalt man alsLosungsraum gerade diesen UVR (selbst rechnen!)

Kann man durch geschickte Wahl der Koe↵s. �i eine Linearkombination�1~v1 + . . .+ �n~vn von vorgegebenen Vektoren ~v1 . . . , ~vn ”

auf 0“ setzen?

Einfachlosung: Setze alle �i auf 0! Gibt es weitere Moglichkeiten?G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 76 / 270


Definition 3.24 (Lineare Abhangigkeit, lineare Unabhangigkeit)

Sei V ein R-Vektorraum und ~v1 . . . , ~vn 2 V .

1. ~v1, . . . , ~vn heißen linear abhangig (l.a.), wenn es Koe�zienten�1, . . . ,�n gibt, die nicht alle 0 sind und so dass gilt:

�1~v1 + . . .+ �n~vn = ~0.

2. Sind ~v1 bis ~vn nicht linear abhangig, so heißen sie linear unabhangig(l.u.).

D.h.: �1~v1 + . . .+ �n~vn = ~0 gilt nur genau falls alle �i = 0.

Satz 3.25

1. Kann der Vektor ~v als Linearkombination von n vorgegebenen l.u.

Vektoren dargestellt werden, so sind die Koe�zienten dabei eindeutig:

~v = �1~v1 + . . .+ �n~vn = µ1~v1 + . . .+ µn~vn

) �i = µi , i = 1, . . . , n.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 77 / 270


2. n vorgegebene Vektoren sind genau dann l.a., wenn wenigstens einervon ihnen sich als Linearkombination der anderen darstellen laßt.

3. Zwei Vektoren ~v , ~w sind genau dann l.a., wenn ~v ein Vielfaches von~w oder umgekehrt ist.

Geometrisch: Sie haben gleiche oderumgekehrte Richtung (= kollineareVektoren).

Blau/grun bzw. rot/gelb kollinear, nichtaber rot/blau!

4. Geometrische Deutung bei 3 Vektoren: Drei Vektoren ~v , ~w , ~u sindgenau dann l.a., wenn sie in einer Ebene liegen. Animation

(= komplanare Vektoren).

Beweis:

Zu 1. vgl. Vorlesung.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 78 / 270


Zu 2. Sind ~v1 . . . , ~vn l.a., so gibt es eine Darstellung �1~v1 + . . .+ �n~vn = ~0wobei ein �k 6= 0. Es folgt:

~vk = ��1

�k· ~v1 � . . .� �k�1

�k· ~vk�1 �

�k+1

�k· ~vk+1 � . . .� �n

�k· ~vn.

Bei einer Darstellung ~vk = µ1~v1 + . . .+ µk�1~vk�1 + µk+1~vk+1 + . . .+ µn~vnfolgt umgekehrt sofort die L.A. der Vektoren ~v1 . . . , ~vn .

Zu 3./4. Einfache Folge von 2.

Aufgabe:

1. Man untersuche folgende Vektorssysteme in R3 auf lineareUnabhangigkeit.

a)

0

@111

1

A ,

0

@101

1

A ,

0

@10

�1

1

A, b)

0

@100

1

A ,

0

@010

1

A ,

0

@000

1

A.



c)

0

@12

�1

1

A ,

0

@110

1

A ,

0

@�12

�3

1

A

Bemerkung: Linear unabhangig oder nicht? Bei c) sollte aufgefallensein: Test auf L.U./L.A. von Vektoren ~v1 . . . , ~vn 2 Rn ist als homogenesLGS formulierbar ! Gauß-Algorithmus. Zu betrachten ist die Gleichung

�1~v1 + . . .+ �n~vn = 0

Bildet man eine Matrix A mit den Spalten ~v1 bis ~vn, so ist die Gleichungnach Beispiel 3.11 als LGS notierbar:

A ·

0

B@�1...�n

1

CA = 0

Hat dieses LGS nur die triviale Losung ~0, dann sind die Vektoren l.u..



Beispiel 3.26

Sind die Vektoren f , g 2 F(R,R) mit f (x) := x , g(x) := x2 l.u.? f , g sind

ja Funktionen: sie stammen aus dem Funktionenraum F(R,R). Der

”Nullvektor“ in diesem Raum ist die 0-Funktion.Der Test auf L.A. beginnt wie ublich: f , g sind genau dann l.a., wenn esa, b 2 R mit (a, b) 6= (0, 0) gibt, so dass

h := a · f + b · g = 0-Funktion.

Konnen also a, b 2 R, nicht beide 0, gefunden werden, so dass fur alleArgumente x 2 R gilt:

h(x) := a · f (x) + b · g(x) = ax + bx2 = 0

Nein, das ist nicht moglich, denn wenn a, b nicht beide 0 sind, ist h(x)o↵ensichtlich ein Polynom 1. Grades oder gar 2. Grades. Solche Polynomehaben bekanntlich nur genau eine bzw. max. zwei, aber jedenfalls nichtunendlich viele Nullstellen. Damit sind f , g mit f (x) = x , g(x) = x

2 l.u.



Definition 3.27

Sei V ein R-Vektorraum. Dann heißt eine Auswahl von Vektoren~v1, . . . , ~vn 2 V eine Basis von V , wenn folgende zwei Aussagen gelten:

1. Jedes ~b 2 V ist als Linearkombination von ~v1, . . . , ~vn darstellbar, d.h.V = sp(~v1, . . . , ~vn): die ~v1, . . . , ~vn :::::::

spannen:::V

:::auf bzw.

::::::::erzeugen V .

2. ~v1, . . . , ~vn sind:::l.u..

Damit sind die Koe�zienten in der Darstellung

~b = �1~v1 + . . .+ �n~vn

eines ~b 2 V eindeutig (vgl. Satz 3.25, 1.).

Beispiel 3.28

I Die Standardbasis fur Rn lautet:

~e1 := (1, 0, ..., 0)>, ~e2 := (0, 1, 0, ..., 0)>, ... , ~en := (0, ..., 0, 1)>.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 82 / 270


I Eine “Nicht-Standardbasis” fur R3 ist z.B.

~a1 := (1, 1, 1)>, ~a2 := (1, 0, 1)>, ~a3 := (1, 0,�1)>.

Warum Basis? 1) L.u. Vektoren! Vgl. Aufgabe 1 vier Seiten zuvor.2) Jeder Vektor ~b 2 R3 ist als Linearkombination der ~ai dargestellbar,wie man durch Anwendung des Gauß-Algorithmus sieht:

Suche namlich �1,�2,�3 2 R mit �1~a1 + �2~a2 + �3~a3 = ~b.Gleichbedeutend: Suche Losungen fur das LGS A~x = ~b mit~x = (�1,�2,�3)> und A als Matrix mit den Spalten ~a1, ~a2, ~a3. Also:

1 1 1 b1

k 1 0 0 b2 �1 �11 1 �1 b3

0 1 1 b1 � b2

k 0 1 �1 b3 � b2 �1k 0 0 2 b1 � b3



Damit ist das LGS eindeutig losbar (von unten nach oben kommt injeder Zeile genau eine Unbekannte hinzu!). Fur ~b = 0 haben wirubrigens damit nochmals die L.U. der Vektoren ~a1, ~a2, ~a3 verifiziert.

I Gesucht ist eine Basis fur den UVR der symmetrischen 2⇥ 2-Matrizen

U := {A 2 R2⇥2 | A = A>}.

(Ausfuhrung in der Vorlesung!)

Fur ein und den selben Vektorraum kann man unterschiedliche Basenangeben. Eine Eigenschaft ist aber allen Basen gemeinsam:

Definition und Satz 3.29

Hat der R-VR V eine Basis aus n Vektoren, dann besteht auch jede

andere Basis von V aus n Vektoren. Die invariante”Basislange“ nennt

man die Dimension von V . Symbol: dim(V ) = n .



Gilt dim(V ) = n, so sind

1. m > n Vektoren aus V sind stets l.a. .

D.h. dim(V ) ist die maximale Anzahl l.u. Vektoren in V .

2. m < n Vektoren aus V konnen nie ganz V aufspannen.

D.h. dim(V ) ist die minimale Anzahl von Vektoren mit derEigenschaft, ganz V aufzuspannen.

3. n l.u. Vektoren aus V bilden stets eine Basis von V .

Beweis der Invarianz der Basislange und der Aussagen 1-3: oh.D.!

Satz 3.30

Fur einen UVR U ⇢ V gilt dimU dimV und die

Dimensionsgleichheit genau falls U = V .

Beweis: Sei ~u1, . . . , ~um Basis von U. Dies sind m l.u. Vektoren aus V , alsodimU = m dimV nach Satz 3.29, 1. Ist dimU = dimV , so ist eineBasis von U nach Satz 3.29, 3. eine Basis fur V , also U = V .



Beispiele und Bemerkungen:

1. dimRn = n, denn Standardbasis hat die Lange n, vgl. Beispiel 3.28.2. Seien ~v1 . . . , ~vk l.u. Vektoren eines VRes V . sp(~v1, . . . , ~vk) ist dann

ein k-dimensionaler UVR von V .3. Ein Sonderfall ist der VR {0}, der nur aus dem Nullelement besteht.

Ihm ordnet man die Dimension 0 zu und sagt, dass die leere Mengeeine Basis ist. Dies sind aber kunstliche Zusatzdefinitionen!

4. Jeder VR hat eine Basis. Der Beweis ist sehr anspruchsvoll!Manchmal kann die Basis unendlich lang sein, d.h. dimV = 1. Dannmuss die Basisdefinition etwas modifiziert werden.

Beispielsweise ist F(R,R) unendlichdimensional, aber auch schon derdarin liegende UVR R[x ] aller Polynome:

R[x ] := {p : R ! R | p ist Polynom}.

Das ist ein UVR von F(R,R), denn R[x ] ist naturlich nicht leer undsowohl die Summe zweier Polynome als auch das �-fache einesPolynoms sind Polynome.



Bekanntlich haben Polynome (d.h. Elemente aus R[x ]) das Aussehen

p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + . . .+ an · xn.

Sie sind also mittels der Koe�zienten ai linear kombiniert auseinfachen Bausteinen, den Monomen pk : R ! R mit

pk(x) = xk , k 2 N0 .

Hiervon gibt es unendlich viele und sie erzeugen R[x ], wobei man furjedes Polynom immer nur endlich viele Monome braucht.Endlich viele dieser Bausteine sind auch stets l.u., denn ein ausMonomen kombiniertes Polynom ist ja genau dann die Nullfunktion,wenn alle verwendeten Koe�zienten 0 sind: ware einer von 0verschieden, so hatte das Polynom ja nur endlich viele Nullstellen!

Dem Beispiel folgend definiert man eine Basis eines unendlichdimensionalen VRs als Menge unendlich vieler Vektoren, so dassI jedes Elemente des VRes als Linearkombinationen endlich vieler dieser

Basisvektoren gewonnen werden kannI und endlich viele Basivektoren jeweils l.u. sind.



Neues, aber verwandtes Thema: Mit wie vielen signifikantenGleichungen hat man es bei einem homogenen LGS wirklich zu tun?

So haben z.B. die Gleichungen

x + 2y = 0

�2x � 4y = 0

eines LGS den gleichen Aussagegehalt. Eine der beiden Gleichungen istdamit entbehrlich. Genauso ergibt sich die dritte Gleichung in

x + 2y + z = 0

�2x � y + z = 0

3y + 3z = 0

durch zweimaliges Hinzuaddieren der ersten zur zweiten Gleichung. Sie istentbehrlich. Es ist genau der Gauß-Algo bei LGSen der dafur sorgt, dasswir uns nur mit den signifikanten Informationen beschaftigen.



Der folgende Begri↵ beschreibt die Zahl der signifikanten Gleichungen ineinem LGS:


Sei A 2 Rm⇥nund

a1⇤, . . . , am⇤ die Zeilen von A (aufgefasst als Vektoren) und

a⇤1, . . . , a⇤n die Spalten von A (aufgefasst als Vektoren).

a) Die Dimension des Spanns ha1⇤, . . . , am⇤i heißt Zeilenrang von A.

b) Die Dimension des Spanns ha⇤1, . . . , a⇤ni heißt Spaltenrang von A.

Es gilt:

1. Andert man eine Matrix A, indem man den Gauß-Algorithmus auf

ihre Zeilen anwendet, so bleibt der Zeilenrang dabei erhalten.

2. Der Zeilenrang von A ist gleich der Anzahl der von 0 verschiedenen

Zeilen, nachdem man A per Gauß auf Zeilenstufenform gebracht hat.

3. Zeilenrang von A = Spaltenrang von A =: RangA



Zu 1./2. Elementare Umformungen lassen den Spann der Zeilenvektorenunverandert. Das ist klar fur Vertauschungen und sofort einzusehen furMutiplikationen von Zeilen (d.h. erzeugenden Vektoren) mit � 6= 0: Z.B.

h~v1, ~v2, . . .i = h�~v1, ~v2, . . .i, falls � 6= 0

Prufe weiter leicht nach:

h~v1, ~v2, . . .i = h~v1,�~v1 + ~v2, . . .i.

Der Rang einer Matrix in Zeilenstufenform ist aber die Anzahl der von 0verschiedenen Zeilen, da die entsprechenden Zeilenvektoren wegen derTreppenform o↵ensichtlich l.u. sind.

Zu 3. (skizziert): Die Zahl der”Nicht 0“-Zeilen der ZSF fur ein LGS

Ax = 0 mit A 2 Rm⇥n (also n Unbekannten) ist r := Zeilenrang A. DieAnzahl der freien Parameter ist gleich n � r , denn in jeder der r

”Nicht

0“-Zeilen wird beim Ruckwartseinsetzen nach genau einer neuenUnbekannten aufgelost. Die anderen n � r erhalten freie Parameter.

Das LGS Ax = 0 schreibt sich so (vgl. Beispiel 3.10 (3)):G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 90 / 270


x1a⇤1 + x2a⇤2 + . . .+ xna⇤n = 0.

Ohne Einschrankung darf man sagen, dass die letzten n � r Unbekanntenfreie Parameter seien: xr+1 = �1, . . . , xn = �n�r . Indem man jeweils ein �i

hiervon gleich 1, die anderen aber gleich 0 setzt, sieht man, dass dieletzten n � r Vektoren a⇤r+1 bis a⇤n durch die ersten r Vektoren a⇤1 bisa⇤r linear kombiniert werden konnen. Damit:

SpaltenrangA r = ZeilenrangA. (1)

Wenn man statt A die Transponierte A> betrachtet, erhalt man analog

SpaltenrangA> ZeilenrangA>. (2)

Wegen SpaltenrangA> = ZeilenrangA undZeilenrangA> = SpaltenrangA folgt aus (2) aber

ZeilenrangA SpaltenrangA. (3)

Aus (1) und (3) folgt nun ZeilenrangA = SpaltenrangA.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 91 / 270


Satz 3.32

Definiere fur das LGS mit m Zeilen und n Unbekannten

A~x = ~b, A 2 Rm⇥n, ~b 2 Rm

die erweiterte Koe�zientenmatrix A|~b 2 Rm⇥(n+1)durch Anhangen

der”rechten Seite“ ~b an die Koe�zientenmatrix A als (n + 1)-te Spalte.

Dann gilt:

1. A~x = ~b losbar , RangA = RangA|~b.2. Das zugehorige homogene LGS A~x = ~0 hat einen Losungsraum der

Dimension n � RangA.

Dabei ist n � RangA die Anzahl der beim Gauß-Algorithmus

eingefuhrten freien Parameter.



Beweis:

Zu 1. Man bringt mit dem Gauß-Algorithmus A|~b in Zeilenstufenform.Dabei liefern die ersten n Spalten die Zeilenstufenform fur A.

A|~b �!

Nun gilt

RangA 6= RangA|~b , Zeilenstufenform von A|~b hat Stufe

mehr wie die von A

, Ex. Zeile (0, . . . , 0, b) mit b 6= 0

Satz 2.8, LGS unlosbar.



Zu 2. (nur skizziert) Bereits im Beweis zu 3. von Satz 3.31 wurdeerlautert, dass n � RangA die Anzahl der beim Gauß-Algorithmuseingefuhrten freien Parameter ist. Schreibt man die Losung des homogenenLGS wie in Beispiel 3.23 auf, so erkennt man, dass die zu den freienParametern gehorenden Vektoren, die den Losungsraum aufspannen, l.u.sind. Damit hat der Losungsraum die Dimension n � RangA.

Beispiel: Betrachte das LGS A~x = ~b bzw. A~x = ~c fur

A :=

0

@1 1 3 21 0 1 0

�1 1 1 2

1

A und ~b :=

0

@201

1

A bzw. ~c :=

0

@101

1

A.

Der Gauß-Algorithmus liefert

1 1 3 2 2 1k 1 0 1 0 0 0 �1 1

�1 1 1 2 1 11 2 2 2 1

k 1 2 2 1 1 �1k 0 1 0



Fur A|~b bzw. A|~c ergeben sich die ZSFen

1 0 1 0 01 2 2 1

0 1

1 0 1 0 01 2 2 1

0 0

Sofort erkennbar: RangA = 2, RangA|~b = 3, RangA|~c = 2, also ist dasLGS mit rechter Seite ~b nicht losbar, wohingegen es mit rechter Seite ~closbar ist und 4� RangA = 4� 2 = 2 freie Parameter in der Losung zusehen sein werden. D.h.: Das zugehorige homogene LGS hat einenzweidimensionalen Losungsraum. Zur Losung: Setze x3 = �1, x4 = �2 .

Aus 2. gestrichener Gl. folgt: x2 = 1� 2�1 � 2�2 . Aus 1. gestrichener Gl.

folgt x1 = �x3 = ��1 . Insgesamt:0

BB@

x1

x2

x3

x4

1

CCA =

0

BB@

��1

1� 2�1 � 2�2

�1

�2

1

CCA =

0

BB@

0100

1

CCA+ �1

0

BB@

�1�210

1

CCA+ �2

0

BB@

0�201

1

CCA .

An den letzten beiden Komponenten zu sehen: Vektoren an den freienParametern l.u.. Losungsraum des hom. LGS ist also 2-dimensional.



Definition und Satz 3.33 (Lineare Abbildungen)

Aus A 2 Rm⇥nund ~v 2 Rn

lasst sich A · ~v 2 Rmbilden.

So entsteht eine Abbildung L : Rn ! Rmmit L(~x) := A · ~x .

Fur diese gilt (nach Satz 3.13)

L(~x + ~y) = L(~x) + L(~y) (Additivitat) (1)

L(� · ~x) = � · L(~x), � 2 R (Homogenitat). (2)

Ganz allgemein heißt eine Abbildung L : V ! W zwischen zwei

Vektorraumen V und W , die (1), (2) erfullt, linear.

Fur diese gilt:

1. L(~0V ) = ~0W

2. Zwei lineare Abbildungen L : V ! W , L : V ! W sind schon dann

gleich, wenn L(~vi ) = L(~vi ). fur alle Vektoren ~vi einer Basis von V gilt.

3. Zu einer linearen Abbildung L : Rn ! Rmgibt es genau ein

A 2 Rm⇥nmit L(~x) = A~x .



4. Bild L = sp(L(~v1), . . . , L(~vn)), falls ~v1, . . . , ~vn Basis von V .

5. Die Mengen

Kern L := {~x 2 V | L(~x) = 0} ⇢ V ,

Bild L := {L(~x) 2 W | ~x 2 V } ⇢ W

sind UVRe von V bzw. W und heißen Kern bzw. Bild von L.

6. Fur L : Rn ! Rm mit L(~x) := A~x gilt

dimBild L = RangA,

dimKern L = n � RangA.

Hieraus folgt durch Addition die Dimensionsformel:

dimKern L+ dimBild L = n.

Diese gilt auch allgemein fur lineare Abbildungen L : V ! W :

dimKern L+ dimBild L = dimV .G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 97 / 270


Beweis: 1. L(~0V ) = L(0 ·~0V ) = 0 · L(~0V ) = ~0W .

2. vgl. Vorlesung.

3. Bilde eine Matrix A 2 Rm⇥n aus den Spaltenvektoren L(~e1), . . . , L(~en).O↵ensichtlich ist A~ej die j-te Spalte von A, also L(~ej). Daher stimmen dielinearen Abbildungen L und L mit L(v) := Av auf einer Basis und folglichwegen 2. ganz uberein. Da die j-te Zeile der Matrix gleich L(~ej) sein muss,ist die Matrix auch eindeutig.

4. Bild(L) = {L(~x) | ~x 2 V } = {L(�1 ~v1 + . . .+ �n ~vn) | �1, . . . ,�n 2 R}.Wegen L(�1 ~v1 + . . .+ �n ~vn) = �1L(~v1) + . . .+ �nL(~vn) wird letztereMenge aufgespannt von den L(~vi ), i = 1, . . . , n.

5. Das Bild ist nach 4. ein Spann, also nach 3.21 ein UVR. Die dreiUVR-Eigenschaften des Kerns rechnet man leicht nach.

6. Ist ~e1, . . . ~en die Standardbasis fur Rn, so spannen nach 4. also dieA~e1, . . . ,A~en das Bild von L auf. Diese Vektoren sind aber die Spalten vonA, deren Spann gerade die Dimension RangA hat.

Nach Satz 3.32 ist n � RangA die Dimension des Kerns von L(~x) = A~x .G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 98 / 270


Beispiele: Zur Definition von Abbildungen mit Argumenten aus Rn wahltman die Kurznotation

L(x1, . . . , xn) := L

0

B@

0

[email protected]

1

CA

1

CA .

Seien a, b 2 R, A 2 Rl⇥m.

linear: nicht linear:

L : R2 ! Rm, L(x , y) := ~0 L : R2 ! R, L(x , y) := 1L : R2 ! R2, L(x , y) := (y , 2x)> L : R2 ! R2, L(x , y) := (y2, 2x)>

L : R2 ! R, L(x , y) := ax + by L : R2 ! R, L(x , y) := xy

L : Rm⇥n ! Rl⇥n, L(X ) := A·X L : Rn⇥n ! Rn⇥n, L(X ) := X2

L : F ! R , L(f ) := a · f (1) L : F ! R , L(f ) := f2(1)

Eine Beweisform der Linearitat eines L : Rm ! Rn ist z.B. die Angabeeiner Matrix B mit L(~v) = B~v . So gilt zB fur L(x , y) := (y , 2x)> :

L(x , y) =

✓0 12 0

◆ ✓x

y

◆.



Wann sind LGSe eindeutig losbar, wann existieren Inverse? Hierfur und furmetrische Aufgaben wie die Volumenbestimmung bedeutsam:


Es gibt eine Funktion det : Rn⇥n ! R, die jeder quadratischen Matrix

A eine reelle Zahl

detA =a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

2 R ,

die Determinante von A, zuordnet und folgende vier Eigenschaften besitzt:

1. “Additivitat in jeder Zeile der Matrix”:

a11 · · · a1n...

.

.

.

ai1 + ai1 · · · ain + ain...

.

.

.

an1 · · · ann

=

a11 · · · a1n...

.

.

.

ai1 · · · ain...

.

.

.

an1 · · · ann

+

a11 · · · a1n...

.

.

.

ai1 · · · ain...

.

.

.

an1 · · · ann



2. “Homogeniat in jeder Zeile der Matrix”:

a11 · · · a1n...

.

.

.

�ai1 · · · �ain...

.

.

.

an1 · · · ann

= � ·

a11 · · · a1n...

.

.

.

ai1 · · · ain...

.

.

.

an1 · · · ann

, � 2 R

3. “Alterniertheit”: Vertauscht man zwei Zeilen in A und erhalt

dadurch A, so gilt: detA = � det A.Kurz: Zeilentausch andert das Vorzeichen der Determinante.

4. “Normiertheit”: |En| = 1.

1.+2. bedeuten: “Linearitat in jeder Zeile der Matrix”. Zusammen mit der

“Alterniertheit” (3.) und “Normiertheit” (4.) legen diese Eigenschaften die

Determinantenfunktion eindeutig fest: Es kann nur eine Funktion mit den

Eigenschaften 1.-4. geben.

Beweis: oh.D.G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik fur Chemiestudierende I WS 2019/2020 101 / 270


Beispiel 3.35

1. Determinante einer 1⇥ 1-Matrix: Wegen 2. und 4. ist

det(a11) = a11.

(Schreibweise | . . . | in diesem Fall aus naheliegenden Grunden unpassend.)

2. Determinante einer 2⇥ 2-Matrix: Aus den Eigenschaften 1.-4.folgern wir in der Vorlesung:

det

✓a b

c d

◆= ad � bc .

Satz 3.36

Sei A 2 Rn⇥n.

1. Hat A zwei gleiche Zeilen, so ist detA = 0.



2. Addiert man das �-fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so bleibtdie Determinate unverandert:

��

a11 · · · a1n...

...ai1 · · · ain...

...an1 · · · ann

��=

��

a11 · · · a1n...

...ai1+�aj1 · · · ain+�ajn

......

an1 · · · ann

��, i 6= j

Bem.: Hiermit und mit 2./3. des vorherigen Satzes weiss man nun genau, wie

elementare Umformungen (vgl. Satz 2.6) auf Matrizen wirken.

3. Sind die Zeilen von A linear abhangig, so ist detA = 0.

4. Fur die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix gilt:��

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n.... . .

. . ....

0 . . . 0 ann

��= a11 · . . . · ann.

Gleiches gilt fur untere Dreiecksmatrizen.Bem.: Gute Moglichkeit, um mit Gauß-Algorithmus Determinante zu berechnen.



Beweis:

1. Die Vertauschung der beiden gleichen Zeilen andert A nicht.Andererseits andert sich durch sie das Vorzeichen von detA, d.h.detA = � detA, also detA = 0.

2. Wegen 1./2. des letzten Satzes��

a11 · · · a1n...

...ai1+�aj1 · · · ain+�ajn

......

an1 · · · ann

��=

��

a11 · · · a1n...

...ai1 · · · ain...

...an1 · · · ann

��+ � ·

��

a11 · · · a1n...

...aj1 · · · ajn...

...an1 · · · ann

��.

Bei der Matrix im 2. Summand sind die i-te und j-te Zeile gleich, also istder Summand 0 nach Aussage 1.

3. Wegen der L.A. lasst sich eine der Zeilen als Linearkombination deranderen darstellen. Wir durfen annehmen, dies sei die 1. Zeile (andereFalle analog). Also gibt es Zahlen �2, . . . ,�n mit

(a11, . . . , a1n) = �2 · (a21, . . . , a2n) + . . .�n · (an1, . . . , ann).



Nutzt man die Linearitat der Determinante in der 1. Zeile, dann folgt also��

a11 · · · a1na21 · · · a2n...

...an1 · · · ann

��= �2 ·

��

a21 ··· a2na21 · · · a2n...

...an1 · · · ann

��+ . . .+ �n ·

��

an1 ··· anna21 · · · a2n...

...an1 · · · ann

��

Die Matrizen, deren Determinanten auf der rechten Seite der Gleichungauftauchen, haben alle jeweils zwei gleiche Zeilen. Damit sind alleDeterminanten in der Summe rechts gleich 0.

4. (Skizze) Sei ein aii = 0. Dann ist leicht einzusehen, dass die Spalten 1bis i , also auch alle Zeilen der Dreiecksmatrix l.a. sind. Daher ist ihreDeterminante gleich 0, ebenso wie das Produkt a11 · . . . · ann. Sei keinaii = 0. Dann kann die Dreiecksmatrix alleine durch “Addition einesVielfachen einer Zeile zu einer anderen” auf Diagonalgestalt gebrachtwerden, wobei die ursprunglichen Diagonalelemente unverandert bleiben.Die Transformation andert die Determinante nach 2. nicht. DieDeterminante der Diagonalmatrix ist aber gleich a11 · . . . · ann (nutzeHomogenitat und detE = 1).



Satz 3.37

detA = detA>.

Folge: Im Zusammenhang mit Determinanten gilt alles, was fur Zeilen vonMatrizen formuliert wurde, analog fur Spalten. Beispiele: a) Addieren von� einer Spalte kann zu anderer Spalte addiert werden, ohne dass sich dieDeterminante andert. b) Determinante in jeder Spalte einer Matrix linear.c) Spaltenvertauschung fuhrt zum Vorzeichenwechsel der Determinante.

Beweis: oh.D.

Es gibt einen Weg, die Determinante einer (n ⇥ n)-Matrix durch n

Determinanten bei ((n � 1)⇥ (n � 1))-Matrizen zu berechnen:

Definition 3.38

Sei A 2 Rn⇥n. Der Kofaktor Aij zum Platz (i,j) ist die Determinante der((n � 1)⇥ (n � 1))-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und derj-ten Spalte aus A hervorgeht, multipliziert mit (�1)i+j .



Beispiel: A =

✓ 0 1 4 12 3 7 91 �2 0 �52 �3 8 �6

◆=) A23 = (�1)2+3

| {z }�1

·��0 1 11 �2 �52 �3 �6

��.

Fur die Vorfaktoren (�1)i+j merke man sich das Muster0

BBB@

+ � + . . .� + � . . .

+ �. . .

......... . . . +

1

CCCA.

Satz 3.39 (Laplacesche Entwicklung nach der i-ten Zeile)

��

a11 · · · a1n...

.

.

.ai1 · · · ain...

.

.

.an1 · · · ann

��= ai1Ai1 + · · ·+ ainAin .

Auf analoge Weise kann man auch nach der i-ten Spalte entwickeln.

Beweis: vgl. Ubung.



Beispiel 3.40

1. Entwickle eine (3⇥ 3)-Matrix nach der 1. Zeile:

a b c

d e f

g h i

= a · e f

h i� b · d f

g i+ c · d e

g h

Bsp.3.35(2.)= aei � afh � bdi + bfg + cdh � ceg

= aei + bfg + cdh � ceg � afh � bdi

a bd e fg h i

a bd eg h

- - -+ + +c

Dies ist die beruhmte und graphisch guteinpragsame Sarrus-Regel zur Berechnungvon Determinanten bei (3 ⇥ 3)-Matrizen.Eine vergleichbare visuelle Merkregel giltauch bei einer (2⇥ 2)-Determinante.In Russland lehrt man manchmal diewenigstens ebenso suggestive

”Davidstern“-

Methode (vgl. Vorlesung).Warnung: Fur Formate

”> (3⇥ 3)“ gibt es keine ahnliche Regel.



3. Die Laplace-Entwicklung ist nur dann e↵ektiv, wenn nachZeilen/Spalten entwickelt wird, die (moglichst viele) Nullen enthalten(dann mussen zugehorige Kofaktoren gar nicht berechnet werden).Man scha↵e durch Add. geeigneter Vielfacher von Zeilen bzw. Spaltenzu anderen Zeilen bzw. Spalten solch eine gunstige Situation. Beispiel:

1 2 0 13 �2 1 00 6 3 �22 4 3 1

(1)=

0 0 0 13 �2 1 02 10 3 �21 2 3 1

(2)= �

3 �2 12 10 31 2 3

(3)= �

3 �2 117 0 84 0 4

(4)= � 2

17 84 4

(5)= �2 (17 · 4� 8 · 4) = �8(17� 8) = �72

(1) Ziehe 4. Spalte von erster und zweimal von zweiter Spalte ab. (2) Entwicklung nach 1.Zeile. (3) Addiere 1. Zeile funfmal zu zweiter, einmal zu dritter (Alternative: Sarrus!).(4) Entwicklung nach 2. Spalte. (5) Ausrechnen der Determinante mit der (2⇥ 2)-Formel).



Satz 3.41

1. detAB = detA · detB .Folge: Wenn A

�1existiert, so gilt: detA�1 = 1

detA .

2. Seien A 2 Rn⇥n, B 2 Rn⇥m

, C 2 Rm⇥m. Hieraus kann man in

sinnverstandiger Weise eine (n +m)⇥ (n +m)-Blockmatrix✓A B

0 C

◆bilden und es gilt

det

✓A B

0 C

◆= detA · detC .

Beweis: Zu 1. oh.D. Zu 2. Es gilt:✓

A B

0 C

◆=

✓En 00 C

◆·✓

A B

0 Em

◆

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz erhalt man leicht, dass dieDeterminanten der Faktoren rechts gleich detC bzw. detA sind.



Was haben Determinanten mit der Losungstheorie von LGSen zu tun?

Satz 3.42

Sei A 2 Rn⇥n. Folgende Aussagen sind aquivalent:

1. Die Zeilen bzw. Spalten von A sind l.u.,

2. Rang A = n (d.h. A hat Maximalrang),

3. das LGS A~x = ~b ist eindeutig losbar,

4. A ist invertierbar,

5. detA 6= 0.

Beweis: Wir zeigen 1) ) 2) ) 3) ) 4) ) 5) ) 1) , wonach man also

von jeder Aussage 1) - 5) zu jeder anderen Aussage 1) - 5) wechseln kann.

1) ) 2) klar! 2) ) 3) Es ist Rang A = Rang A|b = n. Nach Satz 3.32 istdas LGS A~x = ~b dann eindeutig losbar. 3) ) 4) Die n LGSe in AX = E

sind eindeutig losbar und damit existiert eine Inverse. 4) ) 5): Nachletztem Satz ist detA�1 · detA = 1, also detA 6= 0. 5) ) 1): Waren dieZeilen von A l.a., so ware detA = 0 nach Satz 3.36.



Zusatz: Fur invertierbare A 2 Rn⇥n ist das LGS A~x = ~b eindeutig losbar.Die eindeutige Losung ~x ergibt sich formelmaßig aus der CramerschenRegel:

xi =1

detA·�� A1, . . . ,Ai�1, ~b,Ai+1, . . . ,An

��

Hierbei bezeichnet Ai die i-te Spalte von A.

Zur Berechnung von xi tausche man also in A die i-te Spalte durch ~b aus,berechne die Determinante der modifizierten Matrix und dividiere diesedurch detA.

Diese Formel ist wichtig fur die Erkenntnis, dass die Losungen solcherLGSe A~x = ~b analytisch von A und ~b abhangen. Sie ist aber i.d.R. furn � 3 ungeeignet fur eine schnelle Berechnung von Losungen.



Beweis: Sei ~x die eindeutige Losung. Betrachte fur i 2 {1, . . . , n} dieMatrix X

(i) =�~e1, . . . , ~ei�1, ~x , ~ei+1, . . . , ~en

�, also z.B. fur n = 4 und i = 3

X(3) =

0

BB@

1 0 x1 00 1 x2 00 0 x3 00 0 x4 1

1

CCA

Mit Laplace (nach Spalten entwickeln!) rechnet man leicht detX (i) = xi

nach. Andererseits ergibt sich leicht mit Falk

A · X (i) =⇣A1, . . . ,Ai�1, ~b,Ai+1, . . . ,An

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Nach dem Determinatenproduktsatz folgt daher

det(A · X (i)) = detA · xi =�� A1, . . . ,Ai�1, ~b,Ai+1, . . . ,An

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3. Vektoren und Matrizen · 2020. 5. 13. · 1,p 2) ” weist“ der Ortsvektor p 1 p 2 hin“: Pfeil vom Nullpunkt 0 zum Punkt P. Schreibweise:! 0P = p 1 p 2 2 R2. Die Darstellung