4.2 Gleichstromkreise - at-web.physik.uni-wuppertal.deat-web.physik.uni-wuppertal.de/~kampert/BI/kap42/Kap42.pdf · K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 167 Charakteristische

167K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001

Charakteristische Größen zur Beschreibung von Stromkreisen:

Werden Ladungen transportiert, so fließt ein elektrischer Strom I

I tdQ

dt( ) =

Einfachster Fall: Gleichstrom; Strom fließt in gleicher Richtungmit konstanter Stärke.

I t constQ

t( ) = =

Stromleiter setzen dem Ladungstransport einen Widerstand entgegen.Das Ohmsche Gesetz verknüpft diesen elektrischen Widerstand mitdem Strom und der Spannung.

• Stromstärke I• Spannung U

• Ohmscher Widerstand R• Kapazität C• Induktivität L

I[ ] = =Cs

ABei 1 A fließen etwa6·1018 Elektronenpro Sekunde !

4.2 Gleichstromkreise


Definition der StromrichtungDefinition der Stromrichtung

Technische Definition der Stromrichtung:Stromrichtung ist definiert als Bewegungsrichtung des Flusses derpositiven Ladungen.

Beachte: In Metalldrähten bewegen sich nur die Elektronen;d.h. die gewöhnliche Stromrichtung ist entgegengesetzt zurBewegungsrichtung der Ladungen, in diesem Fall die Elektronen.(Physikalische Definition der Stromrichtung ist daher umgekehrt!)

Strom fließt von „+“ nach „-“

+-U R

Gleichstromkreismit Stromrichtung undWiderstand;Widerstand der Zuleitungwird vernachlässigt.


Das Ohmsche GesetzDas Ohmsche Gesetz

Man findet experimentell folgendenZusammenhang zwischen derStromstärke I und demSpannungsabfall U am Widerstand R

+-U R+-U R

I

IU

R= Einheit des el. Widerstands: [R] = W (Ohm)

= V/A

Eselsbrücke: U=RI (Schweizer Kanton)


Spezifischer Widerstand & LeitfSpezifischer Widerstand & Leitfäähigkeithigkeit

Der elektrische Widerstand eines Körpers ist abhängig vomMaterial und seiner Geometrie.

lA

Rl

A= ⋅ρ

r : spezifischer elektrischen Widerstand (Resistivität)s=1/r: spezifische elektrischen Leitfähigkeit (Konduktivität)

ρ[ ] = ⋅ = ⋅Ω Ωmm

m2

allg. in Tabellen: mm

m

2

ρ[ ] = ⋅Ω

Bsp: Kupfer: r = 0.017 Ω·mm2/mEisen: r = 0.1 Ω·mm2/mdest. Wasser: r = 5·105 Ω·mm2/mBernstein: r = 1016 Ω·mm2/m


TemperaturabhTemperaturabhäängigkeit des ngigkeit des elektrelektr. Widerstands. Widerstands

In Analogie zum spezifischen Widerstand definiert man dieelektrische Stromdichte:

jI

A= =

StromQuerschnittsfläche

Am2

Elektrische Widerstände sind i. allg. Temperaturabhängig.Als Bezugspunkt wählt man die Raumtemperatur T0 = 20 ° C

→ = ⋅ + ⋅ −( ) R T R T T( ) ( )0 01 α mit

Temperaturkoeffizient

R R T0 0==

( )

αBei den meisten Metallen steigt der Widerstand unterhalb ~ 200 °Clinear mit der Temperatur an.

R T R T T( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅( )021 α β∆ ∆ a b

Ag, Cu 0.004 0.7·10-6

Fe 0.007 6·10-6

Für noch höhere Temperaturen findet man:


TT-Abh-Abhäängigkeit des ngigkeit des elektrelektr. Widerstands (2). Widerstands (2)

Übersicht: Temperaturkoeffizient a für verschiedene Materialien

r

T

Metaller

T

Halbleiter r

T

Supraleiter

Bsp: Wird Kupfer von 20°C nach 60°C erwärmt, so steigt der Widerstand um 16 % an.

Beachte: Das Ohmsche Gesetz gilt streng nur für Metalle und Elektrolyte bei konstanter Temperatur!

→ = ⋅ + ⋅ −( ) R T R T T( ) ( )0 01 α


Strom-Strom-Spannungs Spannungs KennlinieKennlinie

Nach dem Ohmschen Gesetz U = R·I finden wir:

I

U

Metalle (I=U/R)NTC

PTCDas Ohmsche Gesetz istalso nur ein einfacherSpezialfall !

Differentieller Widerstand: rdU

dI=

V: T-Abh. von Widerständen

NTC: Widerstand nimmt mitzunehmender Temperatur ab

PTC: Widerstand nimmt mitzunehmender Temperatur zu

Gasentladung

Gasentladung: Spannungsabfallnimmt mit zunehmenderStromstärke ab


Parallel und Serienschaltung von Widerständen(Kirchhoffsche Gesetze)

Grundidee der Kirchhoffschen Gesetze folgt aus der (a) Ladungserhaltung und (b) Energieerhaltung

(a) Ladungserhaltung Knotenregel:

Die einem Stromknoten zugeführten Ladungensind gleich den abgeführten Ladungen.

Iii

n

=∑ =

1

0 zufließender Strom: I > 0abfließender Strom: I < 0


Kirchhoffsche Gesetze (2)

(b) Energieerhaltung Maschenregel:

In einem geschlossenen Stromkreis istdie Summe aller treibenden SpannungenUi gleich der Summe allerSpannungsabfälle URi

U UQi

n

Rj

m

i j

= =∑ ∑=

1 1

D.h.: In einem geschlossenen Stromkreisist die Summe aller Spannungen Null

Vorzeichen der Spannungsquellen ist hierbei zu beachten !

Zeichnungoben:

U U U UQ Q R R1 2 1 20− + + =

U U I R I RQ Q1 2 1 2 0− + ⋅ + ⋅ =I

U U

R RQ Q=

−+

1 2

1 2


Parallel- und Serienschaltung von WiderstParallel- und Serienschaltung von WiderstäändenndenAus den Kirchhoffschen Gesetzen kann man die Gesetze fürParallel- und Serienschaltungen von Widerständen undSpannungsquellen ableiten:


Parallelschaltung

I I I= +1 2 (Knotenregel)

U R I

R I

R I

= ⋅= ⋅= ⋅

1 1

2 2

→ =→ =→ =

I U R

I U R

I U R

1 1

2 2

/

/

/= ⋅ +( )R I I1 2

= ⋅ +( )R U R U R/ /1 2

⇒ = + 1 1 1

1 2R R R

Serienschaltung

I U R= /

(Maschenregel)

U R I

U R I1 1

2 2

= ⋅= ⋅

U U U= +1 2

⇒ = = + = ⋅ + ⋅ I

U

R

U U

R

R I R I

R1 2 1 2

⇔ = + R R R1 2


Parallelschaltung

I I I= +1 2 (Knotenregel)

U R I

R I

R I

= ⋅= ⋅= ⋅

1 1

2 2

→ =→ =→ =

I U R

I U R

I U R

1 1

2 2

/

/

/

Serienschaltung

I U R= /

U R I

U R I1 1

2 2

= ⋅= ⋅

⇔ = U

U

R

R1

2

1

2

⇔ = I

I

R

R1

2

2

1

Ströme verhaltensich umgekehrtzu denWiderständen

Spannungsabfälleverhalten sich wie dieWiderstände

I R I R1 1 2 2⋅ = ⋅ U R U R1 1 2 2/ /=


Parallel- und Serienschaltung von Spannungsquellen

Obige Überlegungen gelten auch für Spannungsquellen (z.B. Batterien)

Serienschaltung von Batterienbewirkt Spannungserhöhung:

U U

2·U

Parallelschaltung von Batterienbewirkt Stromerhöhung:

U

2·I

U

R

U U

2·I

U U

R

2U Spannungs- undStromverdoppelung


BspBsp. einer komplexen Schaltungen. einer komplexen Schaltungen

A: Reihenschaltung von 7, 8

B: Parallelschaltung von 9, A

R R RA = +7 8

1 1 1

9R R RB A

= + ⇔ = ⋅+

RR R

R RBA

A

9

9

C: Parallelschaltung von 1,2,3,41 1 1 1 1

1 2 3 4R R R R RC

= + + +

D: Reihenschaltung von B, 6, 5, C

R R R R R RD ges B C= = + + +6 5

Einfachster Fall:Alle Widerstände sind gleich

R RA = 2

R RB = 23

R RC = 14

R Rges = + +

⋅2

23

14

= ⋅21112

R


UQ Ri

Reale Spannungsquellen und InnenwiderstandReale Spannungsquellen und Innenwiderstand

Bei Belastung mit einem äußeren Widerstand Ra wird die Spannungsquellevom gleichen Strom I durchflossen wie der äußere Stromkreis.

der Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle muss bei der Berechnung des Stroms berücksichtigt werden

Ra

I

Reale Spannungsquelle:UQ: Quellenspannung (Spannung ohne Stromfluss)Ri : Innenwiderstand

UK UK : Klemmenspannung (verfügbare Spannung am Verbraucherwiderstand Ra)R R Rges i a= +

U U I RK Q i= − ⋅

IU

RK

a

= =+

U

R RQ

i a

Innenwiderstand Ri von Batterien kann also bestimmtwerden, wenn Ra, UQ, UK, oder UQ, UK, I bekannt.

R RU

Ui aQ

K

= −

1 RU U

IiQ K=

−


Bsp: Innenwiderstand einer Batterie

Aus einer 9 V Batterie werden bei Belastung mit einemArbeitswiderstand 20 mA Strom entnommen.Die Spannung an der Batterie sinkt dabei auf 8.8 Volt.

Innenwiderstand: RU U

IiQ K=

−

= −⋅ −

9 8 820 10 3

V V A

.

= 10 Ω


Strom- und SpannungsmessgerStrom- und Spannungsmessgeräätete

Auch hier spielen Innenwiderstände eine sehr wichtige Rolle.

R

I

I

Innenwiderstand Ri des Strommessgerätessollte möglichst klein sein, damit dievolle Spannung über R abfallen kann.

R

I

U

Innenwiderstand Ri des Spannungs-messgerätes sollte möglichst groß sein,damit möglichst wenig Strom durch dasVoltmeter, und damit der ganze Stromüber R fließt.

RiA ` R

RiU p R

Strommessung

Spannungsmessung


Wheatsonsche Wheatsonsche BrBrüückeckeBei sehr genauen Messungen von Widerständen:

Rx: zu bestimmender WiderstandRN: bekannter NormwiderstandK: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand

Verschiebung von K ändert R1, R2

mit R1 + R2 = const.Verhältnis der Widerstände ist durchdie rechts- und linksseitigenDrahtlängen gegeben.Vorgehensweise: A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!)

Verschiebe K solange, biskein Strom mehr überA fließt.

Das heißt: R

R

R

RX

N

= 2

1

R RR

RX N= ⋅ 2

1

Draht mit homogenemspezifischen Widerstand:

R Rl

lX N= ⋅ 2

1

D.h. gleicher Spannungsabfallzwischen RX und RN wiezwischen R2 und R1.

V: Wheatst. Brücke


WheatstonscheWheatstonsche Br BrüückeckeBei sehr genauen Messungen von Widerständen:

Rx: zu bestimmender WiderstandRN: bekannter NormwiderstandK: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand

Verschiebung von K ändert R1, R2

mit R1 + R2 = const.Verhältnis der Widerstände ist durchdie rechts- und linksseitigenDrahtlängen gegeben.Vorgehensweise: A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!)

Verschiebe K solange, biskein Strom mehr überA fließt.

Das heißt: R

R

R

RX

N

= 2

1

R RR

RX N= ⋅ 2

1

Draht mit homogenemspezifischen Widerstand:

R Rl

lX N= ⋅ 2

1

D.h. gleicher Spannungsabfallzwischen RX und RN wiezwischen R2 und R1.

V: Wheatst. Brücke


PotentiometerPotentiometer

Obiger Draht kann auch als Potentiometer benutzt werden:

U0

UX

XR1 R2

U UR

R RX = ⋅+0

2

1 2

V: Potentiometer


Entladung eines KondensatorsEntladung eines KondensatorsQuasistationärer Stromkreis:

Kondensator sei zu Beginn aufgeladen mitder Ladung: Q0=CU0

Unmittelbar nachdem der Schalter geschlossenwird, fließt ein Strom:

IU

R00= =

⋅Q

C R0

Ladung auf dem Kondensator nimmt nun ab.

Messbarer Strom I entspricht der Ladung, die über den Widerstand R vonder einen Platte zur anderen Platte des Kondensators fließt.

I tdQ

dt( ) = −

Maschenregel: Summe aller Spannungen ist zu jedem Zeitpunkt NullQ t

CI t R

( )( )− ⋅ = 0 → + ⋅ =

Q t

C

dQ

dtR

( )0 ⇔ = −

⋅ dQ

dt R CQ t

1( )

Differentialgleichung 1. Ordnung


Entladung eines Kondensators (2)Entladung eines Kondensators (2)

dQ

dt R CQ t= −

⋅1

( ) Lösung: Q t Qt

RC( ) exp= −

0 τ = RC ; Zeitkonstante

U t Ut

RC( ) exp= −

0

Q t C U t( ) ( )= ⋅ →

I t Q t( ) ˙( )= − → I t It

RC( ) exp= −

0

V: Kondensatorentladung


Elektrische LeistungElektrische Leistung

Erinnere: Verschiebung von Ladungen im elektrischen Feld erfordert Arbeit: W = U·Q ñ U=W/Q

Zwischen zwei Punkten eines metallischen Leiters liegt eineSpannung von 1 Volt, wenn beim Transport der Ladung1 Coulomb eine Energie von 1 Joule umgesetzt wurde.

Für die Leistung P erhält man daher:

PW

t= = ⋅U Q

t= ⋅U I

= ⋅R I 2U R I= ⋅

= U

R

2 IU

R=

Kap. 4.3

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