1

3b KinematikBewegungen in einer Dimension

2

Was vom Tage übrig bleibt

Warum die Tage länger werdenJahrtausendealte Aufzeichnungen von Sonnen- und Mondfinsternissen belegen: Unser Globus dreht sich immer langsamer. Grund ist die Gezeitenreibung, deren Einfluss aber durch andere Faktoren abgemildert wird.

Richard Stephensen, Oktober 2007

3

Zusammenfassung

tx

ttxx

avg ΔΔ

=−−

=12

12v xdtdx

tx

t&==

ΔΔ

=→Δ 0

limv

tttaavg Δ

Δ=

−−

=vvv

12

12 xdtd

ta

t&&==

ΔΔ

=→Δ 2

2

0

xvlim

Mittlere Geschwindigkeit Momentane Geschwindigkeit

Mittlere Beschleunigung Momentane Beschleunigung

0v

==a

const

positivaconsta

==

negativaconsta

==

( )

( )ii

i

xxa

attxx

txx

at

f

f

f

−+=

++=

++=

+=

2vv21v

vv21

vv

2i

2f

2i

fi

ifGeschwindigkeit als

Funktion des Zeit

Position als Funktion von Geschwindigkeit und Zeit

Position als Funktion der Zeit

Geschwindigkeit als Funktion des Position

Konstante Beschleunigung

4

Mittlere Geschwindigkeit

Schallgeschwindigkeit 330 m/s: Daumenregel Entfernung pro Kilometer drei Sekunden

Sieht man zuerst den Blitz und hört dann den Donner weil die Augen weiter vorn im Gesicht sind?

Ich vermute, die Schallgeschwindigkeit ist einfach höher als die Lichtgeschwindigkeit. Der Ton oft schneller da ist als das Bild, wenn man den Fernseher einschaltet.

5

Top Fuel Dragster

6

Top Fuel Dragster

In 5.06 Sekunden auf 444.55 km/hWie hoch ist die Beschleunigung?

7

Top Fuel Dragster

In 5.06 Sekunden auf 444.55 km/hWie hoch ist die Beschleunigung?

gt

a

at

5.2s²m51.24

5.06sm124v

sm0v

vv

0

0

====

⇓

=

+=

sm124v

3600s1h

km1000m

1h1km444.55

hkm444.55v

=

=

=

Weltrekord 12. November 2006 Tony Schumacher (Team US Army)

Viertelmeile in 4.428 s, Endgeschwindigkeit 527 km/h

8

AnwendungenEcholot

Mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals ist im Medium konstant (1484 m/s)

9

AnwendungRADAR

Venus

Mallegan Satellit

10

Konstante Beschleunigung

at+= 0vv

200 2

1v attxx ++=

Zeit t

20 2

1-v attxx +=

)(2vv 020

2 xxa −+=

( )txx 00 v-v21

+=

)( 0xx −

v

t

a

0v

Nicht benötigte VariableGleichungen

Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!

11

Graphische Analyse

positiv:vberaufnegativ:vbergab

NULL:vZiel

NULL:vStart

12

Hüpfender TennisballGraphische Darstellung eines Bewegungsablaufs

13

Fahrstuhlgraphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

14

Fahrstuhlgraphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 3 s bis 8 sxb(tb=3s)= 4 mxc(tc=8s)= 24 mKonstante Geschwindigkeit

sm4

s 3s 8m 4m 24v =

−−

=ΔΔ

=tx

2/202

/0/4va smss

smsmt

=−−

=ΔΔ

=

Zeitintervall 0.0s bis 3.0 sZur Zeit t1=0.0s ist v(t1)=0.0 m/sZur Zeit t2=3.0s ist v2(t2)=4.0 m/sKonstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 sZur Zeit t1=8.0s ist v(t1)=4.0 m/sZur Zeit t2=9.0s ist v2(t2)=0.0 m/sKonstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

2/489

/4/0va smss

smsmt

−=−−

=ΔΔ

=

.v konst=

15

Fahrstuhlgraphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

s²m2

s 0s 2m/s 0m/s 4v

=−−

=ΔΔ

=t

a

Zeitintervall 0 s bis 3 sva (ta=0s) = 0 m/svb (tb=3s) = 4 m/sKonstante positive Beschleunigung

.konsta =

16

Fahrstuhlgraphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 svc(tc=8 s) = 4 m/svd(td=9 s) = 0 m/sKonstante negative Beschleunigung

s²m4

8s9s4m/s0m/sv

−=−−

=ΔΔ

=t

a

.konsta =

17

Fahrstuhlgraphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

m/s4v =

2m/s2=a2m/s2positiv gungBeschleuni

=a

2m/s4negativ gungBeschleuni

−=a

2m/s4−=a

2m/s2=a

2m/s4−=a

??? Bin ich in einem Fahrstuhl ???Ernstgemeinte Frage aus der Relativitätstheorie

schwerer leichter

18

How do you feel ?Extreme Beschleunigungen

19

Extreme Beschleunigungen

20

325 m

35 m

( )²x-x2

²21vx-x

0

o0

ta

att

=

+=

384000 km

( ) s²m4.75

3.84s35m2

gungBeschleuni

2 =⋅

=ETa

Eifelturmkabine Start 17.186 sSpitze des Turms 21.023 s, Δt=3.84sMondbahn 384000 km

Extreme Beschleunigungen

2.5h8940s

s²m4.75

m103.82sm18.243.84s

s²m4.75v

Mondbahnder Erreichen

8

≈=⋅

==

=⋅==

axt

atmit diesen Beschleunigungswerten

21

325 m

( ) ( )g

tdaEM

EMMB 660000

s²m106.48

10.89sm103.8422 62

8

2 =⋅=⋅

==384000 km

Eifelturmkabine Start 310 m 17.186 sSpitze des Turms 325 m 21.023 s Δt=3.84Mondbahn 384000 km 31.909 s Δt=10.89

Extreme Beschleunigungen

380000 km

Ziemlich beeindruckend Clarke Kent

11 Sekunden

22

Schiefe EbeneBewegung mit konstanter Beschleunigung

2

0v0x

200

21x

21vxx

00

at

att

=

⇓

++=

==

Position nach 1s

Positionnach 2s

xΔ

Ergebnis aus der letzten Vorlesung

xΔxΔ

xΔxΔ4TEST TEST TEST

Ergebnis unabhängig von der BeschleunigungVariation der Beschleunigung durch Änderung der Neigung

23

Freier Fall

24

Messung der Fallbeschleunigung

sm 0.0v

Ruhein Versuchs desBeginn zu Kugelm .00

man wähltingungAnfangsbed

0

0

=

=y

y

m 0.00 =y

2

2²21

tyaaty =⇒=

200 2

1v attyy ++=

Ausgangsgleichung

Damit reduziert sich die Gleichung auf TEST

25

Messung der Fallbeschleunigung

sm 0.0v

m 0.0ingungenAnfangsbed

0

0

=

=y

ya

t

ta

aty

2

2

y

²21

=

⇓

=

=

c

²22A

aa

A

BAxy

=⇒=

+=

c

Wie auftragen in Grafik? Beschleunigung aus Steigung ermitteln

Geradengleichungen

Allgemeine Geradengleichung

y(t)

t(y)

Reaktionszeit

26

Freier Fall0 v,0

²21v

00

00

==

++=

y

gttyy

22 1

sm81.9

21

⋅⋅=y

22 2

sm81.9

21

⋅⋅=y

22 3

sm81.9

21

⋅⋅=yMan könnte vielleicht auch den Ball mit 29.4 m/s nach oben werfen!

27

Wurf nach ObenZeitumkehr

sm4.29 v,0

²21v

00

00

==

−+=

y

gttyy

22 1

sm81.9

211

sm4.29 ⋅⋅−⋅=y

22 2

sm81.9

212

sm4.29 ⋅⋅−⋅=y

22 3

sm81.9

213

sm4.29 ⋅⋅−⋅=y

m 39.124sm81.9

214

sm4.29 2

2 =⋅⋅−⋅=y

... und nach 4 Sekunden ?

28

Beispiel Relativität

Ein Körper wird ein Jahr lang mit 9.81 m/s² beschleunigt. Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit?

gtv =

Die Rechnung liefert ein unphysikalisches Ergebnis Die Endgeschwindigkeit ist höher als die Lichtgeschwindigkeit

sm /1014.2c 8⋅=

Erst die Relativitätstheorie liefert das richtige Ergebnis

sm103.09s103.15

s²m9.81

h3600s

tgh 24

a tg365

s²m9.81v 87 ⋅=⋅⋅==

2

1

v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

cat

at

m/s102.99c 8⋅=

71% der Lichtgeschwindigkeit

29

Freier Fall

Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in Richtung des Erdzentrums mit der gleichen konstanten

Beschleunigung, unabhängig von ihrer Masse. Die Beschleunigung erfolgt aufgrund der Gravitation

²m/s81.9=gIn Abhängigkeit vom Längen- und

Breitengrad, der Topologie und geologischen Formationen variiert g

zwischen 9.78 bis 9.83 m/s²

Mittlerer Wert der Gravitationsbeschleunigung

Nordpol 9.832 m/s²Äquator 9.780 m/s²

Mond 1.600 m/s²Mars 3.700 m/s²

Galileis MethodeNaturgesetze finden durch Experiment und Beobachtung

Vater der modernen Naturwissenschaften

30

Freier Fall ohne Luftwiderstand

Galileo Galilei (1564-1642)

31

Freier Fall ohne Luftwiderstand

David Scott: Well, in my left hand, I have a feather; in my right hand, a hammer. And I guess one of the reasons we got here today was because of a gentleman named Galileo, a long time ago, who made a rather significant discovery about falling objects in gravity fields. And we thought where would be a better place to confirm his findings than on the Moon.

And so we thought we'd try it here for you. The feather happens to be, appropriately, a falcon feather for our Falcon. And I'lldrop the two of them here and, hopefully, they'll hit the ground at the same timeHow about that! Which proves that Mr. Galileo was correct in his findings.

Joe Allen: Superb

Aluminiumhammer 1.32 kgFalkenfeder 0.03 kg

32

BeschleunigungenMagnetschwebebahn

Höchstgeschwindigkeit 550 km/h~150 m/s

Fahrzeugbeschleunigung: 0,85 m/s²

Fahrzeugverzögerung: 1,2 m/s²

Wie schnell wird der Transrapid auf der Strecke von Shanghei-Flughafen

nach Innenstadt (2x=4.2 km)?

hkm215

sm602100m

s²m0.8522v

)(2vv 020

2

==⋅==

−+=

ax

xxaFrage:

Wie schnell könnte er maximal auf der Strecke fahren?