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5.4 Wechselstrom 705
positiv (H < 0 und dB < 0) und schließlich die Fläche (D) negativ (H < 0 und dB > 0) zu zäh-len. Insgesamt ist eine Energie pro Periode zum Ummagnetisieren erforderlich, die proportio-nal zur Fläche ist, die die Hystereseschleife einschließt. Diese Energie wird in Wärme umge-wandelt, geht also der Sekundärseite verloren. Die Hystereseverluste betragen somit
∫−
==
schleifeHysterese
KernH
H BBHfVT
WP d)( . (5.506)
Um die Hystereseverluste klein zu halten, werden Transformatorenkerne aus weich-magnetischen Werkstoffen hergestellt, die eine möglichst kleine Hysterese aufweisen.
5.4.4 Elektrische Maschinen Elektromotoren dienen als Konverter von elektrischer Energie in mechanische Arbeit, Gene-ratoren wandeln dagegen mechanische Arbeit in elektrische Energie um. Beide beruhen darauf, dass bewegte Ladungsträger im Magnetfeld die Lorentzkraft (5.252) erfahren.
Ein einfacher Elektromotor ist eine Anordnung wie in Abb. 5.107 (a), dabei soll die Strom-zuführung zu dem beweglichen Leiterstück durch zwei feste Leiter, die einen Abstand l von-einander haben, erfolgen. Der Strom I wird durch eine Spannungsquelle U0 angetrieben, den Gesamtwiderstand von Zuführung und beweglichem Leiterstück fassen wir in R zusammen. Das Magnetfeld mit der Feldstärke B soll homogen sein.
Abb. 5.205 Einfaches Modell eines Elektromotors mit gradliniger Bewegung (Linearmotor).
Befindet sich das Leiterstück zunächst in Ruhe, so erfährt es nach Einschalten der Spannung U0 eine Kraft F gemäß (5.256) in x-Richtung. Sobald das beschleunigte Leiterstück jedoch eine von null verschiedene Geschwindigkeit erreicht hat, so wird eine Spannung (5.346) induziert, die U0 entgegengerichtet ist, so dass der Strom I entsprechend reduziert wird. Damit wirkt nur noch die Kraft
IBlF = , mit R
BlvURUI
−== 0 Bl
RBlvU
F−
= 0 . (5.507) ⇒
706 5 Elektrizität und Magnetismus
Diese Kraft und ggf. noch weitere, in x-Richtung wirkende Kräfte, z. B. Reibungskräfte, beschleunigen das bewegliche Leiterstück der Masse m. Sind diese der Kraft F entgegenge-richtet, so nennen wir sie Lastkräfte FLast.
maFBlR
BlvUFF LastLast =−
−=− 0 . (5.508)
Das bewegliche Leiterstück wird beschleunigt, bis die antreibende Kraft F – FLast = 0 ist, dann hat es die maximale Geschwindigkeit vm erreicht. Diese beträgt
00 =−−
Lastm FBl
RBlvU
⇒ Lastm FBlR
BlU
v 20
)(−= , (5.509)
wobei der Strom
BlF
BlRF
BlU
RBl
RU
RBlvU
I LastLastm =−−=−
= ))(
( 2000 (5.510)
fließt.
Der Verlauf von vm in Abhängigkeit der Last FLast ist linear fallend, die Steigung ist umgekehrt proportional zu B. Diese Kennlinie kann durch Veränderung von U0 bzw. B variiert werden. Eine Änderung von U0 bewirkt eine Parallelverschiebung, durch Variation von B wird die Stei-gung verändert. Bei kleinen Lasten wirkt eine Verkleinerung von B geschwindigkeitssteigernd, da weniger Spannung induziert wird. Oberhalb einer bestimmten Last kehrt vm sein Vorzeichen um, die Last zwingt das Leiterstück zu einer Bewegung entgegen der antreibenden Kraft F.
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20F Last →
max
. Ges
chw
indi
gkei
t
m/s
N
↑
B , U 0
B , 2U 0
2B , U 0
½B , U 0
Abb. 5.206 Erreichbare Maximalgeschwindigkeiten vm des bewegten Leiterstücks in Abb. 5.205 in Abhängigkeit von der Last FLast bei verschiedenen Spannungen U0 und Feldstärken B.
5.4 Wechselstrom 707
Die elektrische Leistung, die der Spannungsquelle entnommen wird, beträgt mit (5.510)
LmLastLast
mel vFBl
FUvIUP ,00. )( === , (5.511)
wobei vm,L = vm(FLast = 0) = U0/(Bl) die Leerlaufgeschwindigkeit ohne Einfluss äußerer Kräf-te darstellt. Der Motor gibt dabei die mechanische Leistung
mLastmech vFP =. (5.512)
ab. Die Differenz
RIBl
RFFvvFPPP Last
LastmLmLastmechel2
2,.. )()( ==−=−=Δ (5.513)
ist die elektrische Leistung, die am Widerstand R in Wärme umgesetzt wird.
Wirkt die externe Kraft in Richtung von F, so wird vm gegenüber der Leerlaufgeschwindig-keit gesteigert. Ist der Strom in (5.507) im Leerlauffall null, da induzierte Spannung und Quellenspannung sich aufheben, so überwiegt nun die induzierte Spannung, die Stromrich-tung kehrt sich um und der Motor wirkt als Generator. Besonders interessant ist der Fall U0 = 0. Der Strom, den die induzierte Spannung (5.346) verursacht, beträgt – BlvmR.
Gleichstrommaschinen Für viele Anwendungen werden Motoren benötigt, die eine Rotationsbewegung ausführen. Wir haben gesehen, dass eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld ein Dreh-moment (5.268) erfährt, das proportional zum Strom durch die Leiterschleife ist. Dieses Drehmoment ist u. a. abhängig vom Sinus des Winkels zwischen Feldrichtung und dem ma-gnetischen Moment (5.270), so dass seine Komponente in Feldrichtung mit jeder halben Umdrehung seine Richtung wechselt. Bei konstantem Strom bewegt sich die Leiterschleife vom labilen Gleichgewicht (Magnetisches Moment und Feldrichtung antiparallel) zum stabi-len Gleichgewicht, in dem beide Richtungen parallel sind.
Damit die Bewegung nicht beendet wird, muss diese Stellung durch Umkehrung des Stromes und damit des magnetischen Momentes in eine labile Gleichgewichtslage umgewandelt wer-den. Diese Aufgaben haben so genannte Stromwender oder Kommutatoren1. Diese bestehen aus zwei Lamellen, die auf einem Rad, das auf der Welle der Leiterschleife angebracht ist, befestigt sind und den Umfang des Rades in zwei gleich große Segmente unterteilen. Die Stromzufuhr erfolgt über so genannte Bürstenkontakte, die nicht mitrotieren, so dass pro Umdrehung die Stromrichtung in der Schleife umgekehrt wird.
Damit der zeitliche Verlauf des Drehmomentes gleichmäßiger wird als in Abb. 5.208, wer-den auf der Welle mehrere, zueinander verdrehte Leiterschleifen zum so genannten Rotor angeordnet. Die Drehmomente der einzelnen Schleifen, die um den entsprechenden Winkel zeitlich versetzt verlaufen, addieren sich zum Gesamtdrehmoment. 1 Commutare, lat. vertauschen.
708 5 Elektrizität und Magnetismus
180 270 360 450 540
Drehwinkel →
M/M
max
°
↑
Abb. 5.207 Rotationsmotor mit einer Leiterschleife und Kommutator. Die momentanen Stromrichtungen durch die „Stäbe“ der Leiterschleife, die immer senkrecht zur Flussdichte stehen, sind durch ⊗ (in die Zeichenebene) und (aus der Zeichenebene heraus) gekennzeichnet.
Abb. 5.208 Verlauf des Drehmomentes eines Motors aus Abb. 5.207, ausgehend vom labilen Gleichgewicht bei einem Drehwinkel von 180° der Leiterschleifennormale gegen die Feldrichtung.
Die Stromzuführung erfolgt auch hier durch einen Kommutator, jede Leiterschleife hat dabei zwei gegenüberliegende Lamellen. Damit nur zwei Bürsten benötigt werden, trennt man die die Leiterschleifen auf und verschaltet die Stäbe, das sind die Leiterstücke, welche immer senk-recht zur Feldrichtung stehen, anders. Dies hat keine Auswirkung auf die Drehmomente der Leiterschleifen, da die Kräfte, welche die Drehmomente bewirken, nur durch den Strom durch die Stäbe verursacht werden. Es muss nur gewährleistet sein, dass die Ströme von zwei auf dem Rotor gegenüberliegenden Stäben entgegengesetzt gerichtet sind. Abb. 5.210 zeigt ein mögli-ches Verdrahtungsschema für einen Rotor mit zwei um 90° verdrehten Leiterschleifen.
Das gesamte Drehmoment eines Rotors mit n zueinander um gleich große Winkel δ verdreh-ten Leiterschleifen der Fläche A beträgt mit (5.268)
∑∑−
==δ−+ϕ=δ−+ϕ=
1
01|)1()(sin(||)1()(sin(|
n
i
n
iitIABitIABM ,
IBkIABkM =≈ Σ , (5.514)
dabei ist ϕ (t) der momentane Drehwinkel. Der Betrag ergibt sich aus der Stromwenderfunktion des Kommutators. Bei hinreichend großer Zahl von Leiterschleifen ist die Summe näherungs-
5.4 Wechselstrom 709
Abb. 5.209 Verlauf des Gesamtdrehmomentes von Rotationsmotoren mit (a) zwei um 90°, (b) drei um 60° und (c) vier um 45° verdrehten Leiterschleifen.
Abb. 5.210 (a) Verdrahtungsschema eines Rotors mit zwei um 90° verdrehten Leiterschleifen (4 Stäbe). Es ist die Abwicklung des Rotors und des Kommutators dargestellt. (b) dto. nach einer Vierteldrehung. Die Stromrichtung in den Stäben Ia und Ib ist umgekehrt worden.
710 5 Elektrizität und Magnetismus
weise konstant mit dem Wert kΣ, diese fassen wir mit A zur Motorkonstanten k zusammen. Die Stromversorgung erfolgt über eine Quelle mit der Spannung U0, allerdings wird durch die Rota-tion in die Leiterschleifen gemäß (5.345) eine Spannung
∑∑==
δ−+ϕϕ=δ−+ϕ−=n
i
n
iind iBA
tiBAU
11. |))1(sin(||
d))1(cos(d| ,
mit ϕ=ω ⇒ ω=ω≈ Σ BkAkBU ind (5.515)
induziert, so dass die den Strom treibende Spannung nur die um die induzierte Spannung verminderte Quellenspannung ist. Vergleichen wir (5.514) und (5.515) mit (5.507), so ent-spricht die Kraft F des Linearmotors dem Drehmoment M des Rotationsmotors, die Ge-schwindigkeit v entspricht der Winkelgeschwindigkeit ω, die Länge l des beweglichen Lei-terstücks im Linearmotor entspricht der Motorkonstanten k. In Anlehnung an (5.509) ergibt sich der Zusammenhang zwischen einem Lastdrehmoment MLast und der Winkelgeschwin-digkeit ωm, die der Motor dabei erreicht zu
Lastm MBk
RBkU
20
)(−=ω . (5.516)
Ein positives Lastdrehmoment MLast ist einer positiven Winkelgeschwindigkeit ωm entgegen-gerichtet. Der Widerstand R ist der gesamte Ohmsche Widerstand aller Leiterschleifen sowie der Stromzuführung. Der Verlauf (5.516) der erreichten Winkelgeschwindigkeit bei gegebe-nem Lastdrehmoment entspricht dem Verlauf (5.509) der Geschwindigkeit eines Linearmo-tors bei gegebener Last (siehe Abb. 5.206). Variationen von U0 und B wirken sich in gleicher Weise aus: Eine Veränderung von U0 hat eine Parallelverschiebung der Kennlinien zur Fol-ge, bei unterschiedlichen Flussdichten B ändert sich die Steigung. U0/(Bk) = ωm,L ist die Leer-laufwinkelgeschwindigkeit des Motors ohne Einfluss äußerer Drehmomente. Der Motor nimmt die elektrische Leistung
)(0. mel IUP ω= , (5.510) ⇒ Bk
MI Last
m =ω )( ⇒
LmLastLast
el MBk
MUP ,0. ω== (5.517)
auf, die er in mechanische Leistung
mLastmech MP ω=. (5.518)
und Wärme umwandelt. Hieraus ergibt sich ein Wirkungsgrad
BkURM
BkU
BkRM
BkU
PP Last
Last
Lm
m
el
mechMotor
00
20
,.
. 1)( −=−
=ωω
==η . (5.519)
5.4 Wechselstrom 711
Dieser sinkt mit wachsendem Lastdrehmoment bis auf null, dann ist die Last so groß gewor-den, dass ωm = 0 ist. Negative η bedeuten, dass durch die Last die Drehrichtung des Motors gegenüber dem Leerlauf umgekehrt wurde und damit durch die Bewegung der Last keine Leistung abgegeben, sondern aufgenommen wird.
Wie der Linearmotor arbeitet der Rotationsmotor im Generatorbetrieb, wenn durch eine negative Last bzw. einen externen Antrieb die Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem Leer-laufwert gesteigert wird. Ohne äußere Spannungsquelle treibt die induzierte Spannung den Strom durch den Widerstand der Leiterschleifen (Wicklungswiderstand) und einem Lastwi-derstand, an dem die elektrische Energie abgegriffen wird, an.
Abb. 5.211 Generator im Stromkreis mit Wicklungswiderstand und Lastwiderstand.
Bei gegebener Winkelgeschwindigkeit ωm wird eine Spannung Uind. = Bkωm induziert, die im Stromkreis I = Uind./R = Uind./(RG + RL) antreibt. Die elektrische Leistung, die der Quelle mit der Spannung Uind. entnommen wird, beträgt
LG
m
LG
indindel RR
BkRR
UIUP
+ω
=+
==22
..
)(. (5.520)
Zum Antrieb des Generators ist gemäß (5.516) (U0 = 0) ein (negatives) Lastdrehmoment oder ein positives Antriebsdrehmoment MA
AmLG
Last MRR
BkM =ω+
=−2)( (5.521)
erforderlich. Die mechanische Leistung
22
.)(
mLG
mAmech RRBkMP ω
+=ω= (5.522)
712 5 Elektrizität und Magnetismus
entspricht der elektrischen Leistung, allerdings kann einem Verbraucher mit dem Wider-stand RL nur
2
2
2
2.2
)()(
)( LG
mL
LG
indLLNutz RR
BkR
RRU
RIRP+ω
=+
== (5.523)
zur Verfügung gestellt werden. Entsprechend beträgt der Wirkungsgrad des Generators
LG
L
mech
NutzGenerator RR
RPP
+==η
.
, RG << RL ⇒ L
GGenerator R
R−≈η 1 . (5.524)
Bei den bislang betrachten Motoren bzw. Generatoren sind wir davon ausgegangen, dass die Flussdichte B für jeden Betriebszustand konstant ist. Dies ist immer der Fall, wenn das Mag-netfeld durch einen Permanentmagneten erzeugt wird. Diesen Teil der Maschine, der sich nicht bewegt, bezeichnet man auch als Stator. Um die Flussdichte B an den Stäben des Ro-tors zu erhöhen, besteht dieser üblicherweise aus Material mit hoher relativer Permeabilität. In diesen Körper sind die Stäbe eingelassen. Zur Vermeidung von Wirbelströmen besteht der Rotor in der Regel aus einem Stapel dünner Bleche. Näherungsweise ist die Flussdichte B am Ort der Stäbe konstant.
Abb. 5.212 Elektromotor, bei dem das Magnetfeld durch einen Permanentmagneten erzeugt wird.
Alternativ zum Permanentmagneten kann die Magnetfelderzeugung auch durch Elektromag-nete erfolgen. Dies ist bei größeren Maschinen von Vorteil, wenn Permanentmagnete in dem magnetischen Kreis von Stator und Rotor die erforderliche Flussdichte nicht mehr mit ver-tretbarem Aufwand erzielen können. Bei Motoren werden diese Statorwicklungen ebenfalls durch die externe Spannungsquelle versorgt. Grundsätzlich können Stator- und Rotorwick-lungen parallel oder in Reihe geschaltet werden. Im ersten Fall spricht man auch von einer Nebenschlussmaschine, im zweiten von einer Hauptschlussmaschine.
Nebenschlussmotor Der Strom I aus der Spannungsquelle teilt sich in die Ströme IS durch die Statorwicklung und IR durch die Rotorwicklung auf. Die Flussdichte B am Ort der Stäbe im Rotor ist proportional
5.4 Wechselstrom 713
zum Strom durch die Statorwicklung, dieser wird wiederum durch die Quellenspannung U0 und den Ohmschen Widerstand RS der Statorwicklung bestimmt.
SS IkB = , SS IRU =0 ⇒ S
S RU
kB 0= (5.525)
Setzen wir (5.525) in (5.516) ein, so erhalten wir den Zusammenhang zwischen Winkelge-schwindigkeit ωm und dem Lastdrehmoment MLast.
200
0
)( kRU
k
RM
kRU
k
U
SS
RLast
SS
m −=ω ⇒ LastS
SR
S
Sm M
kUkRR
kkR
20
2
)(−=ω (5.526)
(5.526) zeigt wie (5.516) einen linearen Zusammenhang zwischen ωm und MLast. Zu beachten ist, dass der magnetische Kreis von Rotor und Stator nicht die Sättigungsmagnetisierung erreicht. In diesem Fall würde die Flussdichte nicht mehr mit kS proportional zum Strom IS sein, sondern geringer, so dass die Winkelgeschwindigkeit ebenfalls absinkt. Außerhalb der Sättigungsmagnetisierung kann die Winkelgeschwindigkeit bei gegebener Last durch die Versorgungsspannung U0 oder den Statorwiderstand RS geregelt werden. In letzterem Fall wird mit der Statorwicklung ein regelbarer Widerstand in Reihe geschaltet.
Durch geeignete Wahl der Parameter kann die Kennlinie ωm(MLast) sehr flach verlaufen, so dass bei Lastschwankungen die Drehzahl nur wenig verändert wird. Daher werden Neben-schlussmotoren bevorzugt dort eingesetzt, wo es auf möglichst geringe Drehzahlschwankun-gen ankommt, so z. B. als Antrieb von Werkzeugmaschinen.
0
50
100
150
-10 -5 0 5 10 15M Last →
ωm
1/s
Nm
↑
U 0, R S
2U 0, ½R S
2U 0, R S
½U 0, R S
2U 0, 3R S
Generator Motor
Abb. 5.213 Schaltbild eines Nebenschlussmotors. Abb. 5.214 Maximale Winkelgeschwindigkeit in Abhän-
gigkeit von der Last MLast bei einer Nebenschlussma-schine (verschiedene Kombinationen von Spannung U0 und Statorwiderstand RS. Bei negativen Lasten arbeitet die Maschine als Generator.
714 5 Elektrizität und Magnetismus
Hauptschlussmotor Hier fließt der Strom I aus der Spannungsquelle sowohl durch die Stator- als auch durch die Rotorwicklung. Die Flussdichte ist proportional zum Strom durch den Stator, B = kSI. Der Strom I lässt sich aus der Maschengleichung von Abb. 5.215 berechnen.
IRRUU RSind )(0 +=− , mit mind BkU ω= und IkB S= ⇒
mSRS kkRRU
Iω++
=)(
0 (5.527)
In Anlehnung an (5.510) ergibt sich der Zusammenhang
BkM
I Lastm =ω )( ⇒ IBkM Last = , mit IkB S= ⇒ 2IkkM SLast = . (5.528)
Abb. 5.215 Elektromotor, bei dem Rotor und Stator in Reihe geschaltet sind.
-25
0
25
50
75
100
0 10 20 30 40 50
M Last →
ωm
Hauptschlussm.Nebenschlussm.max. Drehmoment
1/s
Nm
↑
Abb. 5.216 Verlauf der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Lastdrehmoment. Zum Vergleich die Kennlinie eines Nebenschlussmotors mit den gleichen Betriebsbedingungen. Negative Winkelgeschwindigkeit bedeutet, dass die Last den Motor in die entgegengesetzte Richtung dreht.
5.4 Wechselstrom 715
Lösen wir (5.528) nach I auf und setzen dies in (5.527) ein, so erhalten wir die Winkelge-schwindigkeit in Abhängigkeit vom Lastdrehmoment.
mSRSS
Last
kkRRU
kkM
ω++=
)(0 ⇒
S
RS
LastSm kk
RRMkk
U +−=ω 0 (5.529)
Die Kennlinie ωm(MLast) verläuft beim Hauptschlussmotor gekrümmt, bei geringen Lasten steigt die Winkelgeschwindigkeit stark an und wird nur durch Reibung im Motor begrenzt. Große Lastdrehmomente können bei sehr kleinen Winkelgeschwindigkeiten erreicht werden, daher werden Hauptschlussmotoren gern als Anlasser für Verbrennungsmaschinen eingesetzt.
Wechselstrommaschinen Die in den vorigen Seiten beschriebenen Maschinen können, als Motoren eingesetzt, auch mit Wechselstrom betrieben werden. Wird das Magnetfeld durch einen Permanentmagneten erzeugt und der Wechselstrom dem Rotor über Schleifringe, also ohne Umpolung, zugeführt, so ist ein antreibendes Drehmoment möglich, wenn die Winkelgeschwindigkeit der Kreisfre-quenz des Wechselstroms entspricht. Dies gelingt allerdings nur, wenn der Motor mit der richtigen Drehzahl angeworfen wird. Diese wird für unterschiedliche Lastdrehmomente beibehalten.
Auch Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren eignen sich für den Wechselstrombetrieb, da die Richtung des Statorfeldes (nahezu) gleichzeitig mit der Richtung des Rotorstromes wechselt. Bei der Behandlung der Gleichstrommaschinen haben wir die Induktivität der Rotorwicklungen nicht berücksichtigt. Sie bewirkt, dass der Strom der antreibenden Span-nung nacheilt, so dass das Drehmoment verkleinert wird. Wird dagegen der Rotor mit einem Wechselstrom durchflossen, dessen Frequenz groß gegen die Drehzahl ist, so können wir die Induktivität des Rotors nicht mehr vernachlässigen. Der Hauptschlussmotor, bei dem die Induktivitäten im Rotor und Stator klein gehalten sind, wird häufig als „Universalmotor“ eingesetzt, wenn die Anforderungen an das Lastdrehmoment nicht besonders groß sind wie z. B. bei Haushaltsgeräten.
Diese Nachteile hat der Induktionsmotor oder Asynchronmotor nicht. Bei ihm wird der Strom durch die Leiterschleifen des Rotors durch induzierte Spannungen bewirkt. Dem In-
Abb. 5.217 Starre Leiterschleife im Magnetfeld. Eine Spannung kann induziert werden, wenn sich die Feldstärke oder die Orientierung der Schleife zum Feld ändert.
716 5 Elektrizität und Magnetismus
duktionsgesetz (5.343) sind sie gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife. Diese Änderung kann durch Änderung der magnetischen Feldstär-ke, der Größe der von der Leiterschleife eingeschlossenen Fläche oder der Orientierung der Leiterschleife zur Feldrichtung bewirkt werden.
Wird mit einer Wechselspannungsquelle das Statorfeld aufgebaut, so ändert sich mit deren Frequenz ωF die Feldstärke wie )cos(ˆ)( tBtB Fω= . Nach (5.344) wird in die Leiterschleife eine Spannung induziert, die einen zu ihr phasenverschobenen Strom verursacht. Dieser Phasenwinkel ϕIU beträgt mit (5.446) und dem Ohmschen Widerstand RR und der Induktivi-tät LR der Leiterschleife
22 )(coscos
RFR
RUIIU
LR
R
ω+=ϕ=ϕ (5.530)
Die Leiterschleife, deren Flächennormale einen Winkel α zur Feldrichtung einschließt, erfährt ein Drehmoment (5.268), das sich zeitlich ändert und die Leiterschleife in Drehung versetzt.
ˆsin cos( ) sinindind R F R
R
UM I BA B t A
Z= α = ω α , (5.344) ⇒
ˆˆsin( )cos cos( )sin
| |R
F F IU R FR
A BM t A B t
Z= ω ω + ϕ α ω α (5.531)
Dabei ist 2 2( )R F RRR LZ = + ω der Scheinwiderstand und AR die Fläche der Leiterschleife.
Allerdings ist wegen <sin α cos α > = 0 der Mittelwert von M über eine volle Drehung null.
Daher wird beim Asynchronmotor durch ein rotierendes Magnetfeld in den Windungen des Rotors ein Strom induziert. Ein Drehfeld kann leicht durch die Überlagerung von zwei zu-einander senkrecht verlaufenden Feldern, deren Feldstärken sich harmonisch mit der glei-chen Frequenz ändern, erzeugt werden. Beide Felder müssen dann eine Phasenverschiebung von π/2 aufweisen. Dieser Fall entspricht der Überlagerung von zwei linearen harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz und Phasenverschiebung π/2, deren Auslenkungsrichtun-gen senkrecht zueinander verlaufen. Der zeitliche Verlauf der resultierenden Auslenkung beschreibt als Lissajous-Figur einen Kreis, der Oszillator rotiert mit der Kreisfrequenz der Schwingungen. Statt zwei senkrecht zueinander schwingenden Feldrichtungen werden in der Regel drei um jeweils 120° zueinander verdrehte und um 120° phasenverschobene Feldrich-tungen verwendet, diese werden mit Drehstrom aus dem Netz gespeist.
Hat die Leiterschleifennormale in Abb. 5.217 den Winkel a zur momentanen Feldrichtung, so wird dem dritten Term in (5.344) zufolge eine Spannung
αα=α−= sind
cosdRRind BA
tBAU (5.532)
5.4 Wechselstrom 717
induziert, die periodisch ist. Dabei ist α die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das Feld gegen die Leiterschleifennormale dreht. Diese verursacht in der Leiterschleife einen Strom, der phasenverschoben zur induzierten Spannung ist. Diese Phasenverschiebung (5.446) wird u. a. bestimmt durch die (momentane) Kreisfrequenz α , mit der sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ändert. Damit erfährt die Leiterschleife ein Drehmoment (5.268).
αϕ+αα
=α= sin)sin(||
)(sin
2
IUR
RRind Z
BABAIM ,
)sinsincoscos(sin||
)( 22
IUIUR
R
ZBA
M ϕαα+ϕαα
= ⇒
>ϕαα
=<>< α IUR
R
ZBA
M cossin||
)( 22
(5.533)
Befindet sich die Leiterschleife anfangs in Ruhe, so entspricht α der Winkelgeschwindig-keit, mit der das Feld rotiert. Das (mittlere) Drehmoment versetzt die Leiterschleife in be-schleunigte Drehbewegung, dadurch sinken α und damit auch das Drehmoment. Wirkt auf die Motorwelle ein äußeres Lastdrehmoment, so beschleunigt die Leiterschleife bis zu einer mittleren Winkelgeschwindigkeit ωR. Dann hat sich auch eine mittlere Winkelgeschwindig-keit Sω=>α< : eingestellt, sie ist die Differenz zwischen ωF und ωR. Diese Winkelge-schwindigkeit ωS ist auch maßgeblich für die Impedanz ZR der Leiterschleife. Das Verhältnis ωS/ωF nennt man auch „Schlupf“ des Asynchronmotors.
Die momentanen Winkelgeschwindigkeiten nähern sich wie beim Gleichstrommotor umso besser dem zeitlichen Mittelwert an, wenn mehrere zueinander verdrehte Leiterschleifen den Rotor bilden. Dabei werden die senkrecht zur Feldrichtung verlaufenden Stäbe an ihren Enden durch Metallringe kurzgeschlossen. Wegen der Ähnlichkeit mit einem Käfig nennt man diese Konstruktion auch „Käfigläufer“. Der große Vorteil ist, dass kein Strom externer Quellen durch Schleifringe oder Kommutatoren in den Rotor transportiert werden muss.
Abb. 5.218 Käfig- oder Kurzschlussläufer.
718 5 Elektrizität und Magnetismus
Im Gleichgewicht mit einem Lastdrehmoment MLast erhalten wir aus (5.533) unter Beachtung von (5.446) einen Zusammenhang MLast(ωS).
IUR
SRLast Z
BAMM ϕ
ω==>< α cos
||)(
21 2
22
2
2222
2
)()()(
)(21
RSR
RSeff
RSR
R
RSR
SRLast LR
R
LR
R
LR
BAM
ω+ωΦ
=ω+ω+
ω= (5.534)
Hier haben wir ½(BAR)2 zum Quadrat des Effektivwertes des magnetischen Flusses durch die Leiterschleifen zusammengefasst. Lösen wir (5.534) nach ωS auf und berechnen die Winkelge-schwindigkeit des Motors ωR = ωF – ωS, so erhalten wir die Kennlinie des Asynchronmotors.
Der Verlauf MLast(ωS) in (5.534) weist ein Maximum bei ωS = RR/LR auf, das maximale Drehmoment, mit dem der Asynchronmotor belastet werden kann, beträgt Φeff
2/(2LR). Bei noch höherer Belastung ist keine Rotation mehr möglich, ωS (MLast) wird komplex, der Motor bleibt stehen. Daher nennt man das maximale Drehmoment auch „Kippmoment“, den dazu-gehörenden Schlupf „Kippschlupf“. Das Maximum ist umso ausgeprägter, je kleiner das Verhältnis RR/LR ist, mit wachsendem RR/LR wird das maximale Drehmoment bei größerem Schlupf, also kleineren Rotordrehzahlen, erreicht. Die Größe des maximalen Drehmomentes ändert sich jedoch nicht. Im Leerlauf bei MLast = 0 ist auch der Schlupf null, der Rotor dreht sich mit ωF, der Winkelgeschwindigkeit des Statorfeldes.
Die Kennlinie ωR(MLast) des Asynchronmotors hat vom Leerlauf bis zum Drehmomentmaxi-mum einen ähnlichen Verlauf wie der Nebenschlussmotor (siehe Abb. 5.214), ausgehend von der Winkelgeschwindigkeit ωF des Statorfeldes sinkt die Winkelgeschwindigkeit des Rotors mit steigender Belastung bis zum Erreichen des maximalen Drehmomentes. Wird die Belastung wieder zurückgenommen, so kann der Motor Zustände in der Kennlinie unterhalb des Drehmomentmaximums erreichen: Mit sinkender Belastung verringert sich die Drehzahl.
Abb. 5.219 Verlauf von MLast(ωS) und MLast(ωR) für verschiedene Verhältnisse RR/LR.
0
25
50
75
100
0 10 20 30
M Last →
ωS
1/s
Nm
↑
R R/L R = 50 100 200
ω F
0
25
50
75
100
0 10 20 30M Last →
ωR
1/s
Nm
↑
R R/L R =50
100
200
5.5 Elektromagnetische Wellen 719
Diese Zustände sind instabil und werden beim Anfahren des Motors aus der Ruhe durchlau-fen. Beim Starten muss daher das Lastdrehmoment MStart kleiner sein als MLast(ωR = 0) in Abb. 5.219. Der Motor beschleunigt dann unter Einfluss des Drehmomentes (5.533), ver-mindert um MStart, und erreicht schließlich einen Zustand im stabilen Bereich der Kennlinie oberhalb des Kippmomentes mit ωR(MStart).
Der instabile Bereich mit unter Umständen großen Winkelbeschleunigungen wird mit wach-sendem RR/LR kleiner, daher wird in der Praxis beim Anlassen RR vergrößert, indem man externe Widerstände in die Leiterschleifen des Rotors einfügt. Dafür werden die Rotorwin-dungen aufgetrennt und über Schleifringe Kontakte bereitgestellt, an die Anlasswiderstände angeschlossen werden können. Weiterhin kann durch Variation der Widerstände die Dreh-zahl geregelt werden. Allerdings hat der Einbau von Widerständen eine Reduktion des Wir-kungsgrades zur Folge, da ein Teil der in den Stator eingespeisten elektrischen Energie in Wärme umgewandelt wird und nicht mehr als mechanische Arbeit zur Verfügung steht.
Mit moderner Elektronik kann dieser Nachteil umgangen werden, indem die Frequenz des Statorfeldes variiert wird und so Ohmsche Verluste vermieden werden. Da der Asynchron-motor im Vergleich zu anderen Elektromotoren sehr einfach gebaut ist, hat er eine große Verbreitung gefunden. Durch elektronisch angepasste Ansteuerung kann er den unterschied-lichen Anforderungen genügen.
5.5 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Wellen, insbesondere als „Licht“, spielen in der Natur eine große Rolle. Schließlich hat die Erzeugung durch den Menschen als „Radiowellen“ der Informations-übertragung völlig neue Wege eröffnet. Wie wir in Kapitel 4.3 gesehen haben, breiten sich Wellen in einem „Medium“ aus, das an einer Stelle von einem Anregungszentrum aus sei-nem Gleichgewichtszustand gebracht wurde. Durch die Kopplung im Medium breitet sich diese Störung mit einer charakteristischen Geschwindigkeit aus, die abhängig ist von der Stärke der Kopplung und der Trägheit, mit der sich das Medium einer Zustandsänderung widersetzt.
Eine solche „Fernwirkung“ kann durch elektrische und magnetische Felder erreicht werden, die durch Ladungen bzw. bewegte Ladungen verursacht werden. Diese stellen das Anre-gungszentrum dar, während der Raum, der von den Feldern erfüllt wird, als Medium fungiert. Damit stellt sich auch die Frage nach der Geschwindigkeit, mit der sich ein Feld ausbreitet, wenn ein Körper aufgeladen oder ein Strom eingeschaltet wird. Diese Ausbreitungsgeschwin-digkeit spielte bislang in unseren Betrachtungen elektrischer und magnetischer Felder keine Rolle, da wir nur statische Ladungs- oder Stromverteilungen bei der Felderzeugung zugelas-sen haben oder bei Wechselströmen die Raumgebiete von Spulen und Kondensatoren so klein waren, dass die Felder praktisch zeitgleich mit ihrer Ursache auftraten. Aus dieser Tatsache können wir umgekehrt auf eine sehr hohe Ausbreitungsgeschwindigkeit schließen. Wir wer-den sehen, dass sie der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht.
