WS 2014/15 1

§6 Reale Feste und Flüssige Körper

€

rF =

r F i

r r i( )

i

∑

Kraft auf ein Atom:

Atomares Modell der Aggregatszustände

Þ potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab

€

rF = −grad E pot

Gaub

WS 2014/15 2

€

rr i = n1i

r a + n2i

r b + n3i

r c

Beschreibung des Festkörpers als Kristall:

Atomares Modell der Aggregatszustände

Ortsvektoren der Atome:

€

ra ,

r b ,

r c spannen die Einheitszelle auf.

Gaub

WS 2014/15 3

Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn:

Atomares Modell der Aggregatszustände

Þ Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie

€

Ekin =1

2k T

Kristall: Ekin << Bindungsenergie

Gaub

WS 2014/15 4

Phasenübergang ins Flüssige:

Atomares Modell der Aggregatszustände

Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer EnergieÞ Atome können Gitterplätze verlassen

Þ nur noch Aufenthaltswahr-scheinlichkeiten für Atome beschreibbar

Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell.

Þ Unordnung nimmt sprunghaft zu

Þ Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu

Gaub

WS 2014/15 5

Phasenübergang zum Gasförmigen:

Atomares Modell der Aggregatszustände

potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie

Þ Atome können sich frei bewegen

Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen.

Gaub

WS 2014/15 6

Deformierbare feste Körper

€

F = E ⋅q ⋅ΔL

L

Unterscheide:

Hooke‘sches Gesetz

elastische Körperplastische Körper

Kraft auf einen elastischen Körper:

€

σ =F

qDef.: Zugspannung:

Def.: Relativen Dehnung:

€

ε =ΔL

L

Þ Hooke‘sches Gesetz:

€

σ =E ⋅ε

€

ε <<1€

E[ ] =N

m2Elastizitätsmodul

Gaub

Hooke‘sches Gesetz

€

Epot r( ) = E0 + r − r0( )∂

∂rEpot

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟r=r0

+1

2r − r0( )

2 ∂ 2

∂r2Epot

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟r=r0

+1

6r − r0( )

3 ∂ 3

∂r 3Epot

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟r=r0

+ • • •

Þ Für kleine Auslenkungen ist F linear.

€

F r( ) = −grad E pot r( )

P ProportionalitätsgrenzeF FließgrenzeZ Zerreißgrenze

Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser:

€

E pot r( ) =r − r0( )

n

n!

∂ n

∂rnE pot

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

n= 0

∞

∑r= r0

Taylorentwicklung von E um

€

r0

ist Gleichgewichtslage

€

r0

Gaub

Hooke‘sches Gesetz

Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit.

Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich

Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen:

Gaub 8WS 2014/15

€

ΔV = d + Δd( )2⋅ L + ΔL( ) − Ld2

Querkontraktion

Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ:

€

d2

€

= d2 + 2dΔd + Δd2( ) ⋅ L + ΔL( ) − Ld2

€

=2dΔdL + Δd2L + d2ΔL + 2dΔdΔL + Δd2ΔL

€

≈2dΔdL + d2ΔL

€

ΔV

V≈

2dΔdL

V+

d2ΔL

V

€

=>ΔV

V≈ 2

Δd

d+

ΔL

L

€

μ =−Δd /d

ΔL / L

Definition der Querkontraktionszahl:

€

=ΔL

L1+ 2

Δd /d

ΔL / L

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Mit dem Hooke‘schen Gesetz:

€

=>ΔV

V=

σ

E1− 2μ( )

€

=>ΔV

V=

ΔL

L1− 2μ( )

€

0 < μ <1

2

Gaub 9WS 2014/15

€

p = −σDruck statt Zug auf Fläche:

Quer-“Kontraktion“ bei Druck

Þ ΔL, ΔV < 0Δd > 0=> µ>0Druck von allen

Seiten:=> Längenverkürzung durch Druck auf auf d2:

€

ΔL = −Lp

E

€

Δd = −dp

E

=> Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld:

€

ΔL = μ Lp

EQuer“kontraktion“ =>

€

Δd = μ dp

E

Quer“kontraktion“ =>

€

Δd = − dp

E

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1 − 2 μ( )

zwei Seitenpaare!

=> Gesammtänderungen:

€

ΔL = − Lp

E

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1 − 2 μ( )

€

ΔV

V=

ΔL

L+

2Δd

d= −

3p

E1− 2μ( )=> Für kleine Dehnungen:

Kompressionsmodul

€

=−p1

K

€

=−p κ

Kompressibilität

€

κ =1

K=

3

E1 − 2 μ( )

Gaub 10WS 2014/15

Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche

Scherung und Torsionsmodul

€

τ =F

d2Scherspannung:

Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:

€

τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G

Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden:

€

E

2 G= 1 + μ

€

=>2 G

3 K=

1 − 2 μ

1 + μ

€

κ =1

K=

3

E1 − 2 μ( )mit

Gaub 11WS 2014/15

Gaub 12WS 2014/15

13

SW carbon-nanotubes

Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ.

Beispiel: Torsion eines Drahtes

Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:

€

τ = Grϕ

L=

dF

dA

€

α ≈rϕ

L

€

= Grϕ

L2πr dr

€

=>dF = Gr ϕ

LdA

€

=>dD = r dF =2πr 3 ϕ G

Ldr

€

D ϕ( ) =2πr 3 ϕ G

Ldr

0

R

∫ =π R4 G

2 Lϕ

€

=Drϕ

€

=>Dr =π R4 G

2 LRichtmoment

Gaub 14WS 2014/15

Biegung eines Balkens

Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet.

Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden.

Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser).

Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um:

€

Δl = z ϕ = zl

rFür diese Längenänderung nötige Zugspannung:

€

σ = EΔl

l= E

z

r

Biegung eines Balkens

Þ Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist :

€

dF = σ b dz =b E

rz dz

Dementsprechend wirkt das Drehmoment:

€

dD = z dF =b E

rz2 dz

Þ Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich:

€

D =b E

rz2 dz

−d2

d

2

∫ =b E

r

d 3

12

dzz = 0

b

z

Gaub 16WS 2014/15

17

Biegung eines Balkens

Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:

€

D = F0 L − x( )

Þ Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind:

€

−b E

r

d3

12= F0 L − x( )

Die Krümmung am Ort x ist also:

€

1

r= −

12 F0

b E d3L − x( )

Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal.

€

σmax =E d

2r=

6 F0 L

d2 b

=> Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn smaxdie Zerreissspannung des Materials überschreitet

Biegung eines Balkens

In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt:

€

z′ x( ) <<1

€

a = −12 F0

b E d3

€

=>z′′ x( ) =1

r= a L − x( )

Zweimalige Integrationmit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0

€

=>z′ x( ) = a L x −1

2a x2

Þ Das Balkenende x=L biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten:

€

s = z L( ) =1

3a L3 = −

4 F0

b E

L3

d 3

€

=>z x( ) =1

2a L x2 −

1

6a x3

Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner):

€

1

r=

z′′ x( )

1+ z′ x( )2

( )

3

2

z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens

Gaub 18WS 2014/15

Biegung eines BalkensDie Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt)analog behandeln:

Quader: €

A = dy dz∫∫

€

B = z2 dy dz∫∫

€

B = z2 dyy=−

b2

b

2

∫ dzz=−

d2

d

2

∫ =1

12d 3 b

Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch:

€

s = −L3

3 E BF

Andere Beispiele:

Def. Biegemoment:

x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche:

Gaub

WS 2014/15 20

Biegung eines Balkens

Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s:

€

s = −L3

4 E d 3 bF

Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2

Þ s wird um den Faktor 16 kleiner!

Gaub

WS 2014/15 21

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε.Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt.

Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B).

Þ elastische Hysterese

Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.

Gaub

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet.

Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W:

€

W = F dL0

ΔL

∫

€

= q σ dL0

ΔL

∫

€

= q σ L dε0

ε

∫

€

= V σ dε0

ε

∫

Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt:

€

σ =E ε

€

=>Welast =1

2E V ε 2

Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt:

€

σ dε∫ ≠ 0

pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit

=> Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

WS 2014/15 23

Die Härte eines Festkörpers

Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an.

Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.

Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.

Þ Mohshärte

Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren

Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen

Gaub