Zentral bong I

Zu Eigen wert problem en :

Sei V ein Vektorraum und f : V → Vein linear er Endomorphism us

Frage : Gibt es Untervektorroiome UCV,

auf derren die Wir kung

auf f mosglichst ein Each ist ?

dh.

Betrachte die Ab bildung f - II v for te K bzwbetrachte

.

Kern ( f - + Iv )

Die Element e im Kern Cf - a Itv mennen wir damn Eigenvector en

von f zum Eigen Wert X.

Kern I f - r Irl ist nor nicht trivial,

falls f - + Iv nicht

inverter bar ⇒ det If - +14 to

Bsp f : Rs → R'

f = ¥Is84 )

7 O

det I f - r Iv ) = deff - s - s o 1=14--412+-4 htt )O O U - a

⇒ Eigen - er te : -2,

-7, 4

Eigen vektoren : EeV : f8 = tv

↳ II ÷ Ill Elio → ⇐III

analog : E = I } ) E -- fo:/

Basis transformation en

Ange nom men , F war in der Standard basis angegeben ,wie

sie ht es in der Basis von Eigenvektoren aus ?

I -- Sfs

"

,wobei die Matrix S -

- Cee , et , ee )

s -- I I

-

I :/ ⇒ s- '

=/ ! I It ⇒ s- '

fs -. II

.IE/BasisonabhangigeGrEpenTrCII--TrCS-7fSl=TrCfS5/=Tr ( f I

detIII -

- detfs- Tfs ) -

- det ( ft

Direkte Somme

Wenn ein Vgegeben ist,

V -- U of W

,U

,WCV

⇒ V -- Wt U and W n 0=0

Bsf f : V - s V f - A ⑦ B wobei A :O → U B : W - SW

C- =/ -

F- -

÷:

) ¥da!?! dim loot wt -. dimutdimw

Tensor prodokt .

U und W sind Vektorrciume und JEU,

I c- W

J I e U ⑦ W

⑦ It =/°

Niv ) ⑦ ( %; F- I = ¥.

aipjfuiowj )

Bsp A c- End Cvl,

B E End C w )

to B -- faa?:}

an B . . .

)

A -- I 341 ,

B -- 1181 ⇒ AaB -

- / }! !! )

dim ( to B) = dim A - dim B

det C A B) = def (A)dim

def (B)dim w

Tr I AE B) = Tr C At Tr C B )

Gegeben seinen Zwei System e Hn, Hz

wie sie ht der Hilbert room des Gesamt systems aus ?

Ages = H,

of Ha

Ein Hilbert raum ist ein roll stand iger Vektorraum mit

Skalarprodukt e .

,. the

Projekt oren :

Ange nom men ich habe ein V= U ① W und P : V → V

- P ist idempotent l P ? P ). P ist linear

• Im ( P ) = U, Kern I P ) = W

⇒ P ist ein Projekt or von V auf U

⇒ I - P ist Projekt or von V auf W

Bsp ( noof ) ist Projekt or auf x - Rich tong in R2

18812=1681 1881 -- fol

PA

( I- P ) ( I - p ) = I - p -p t P

'

= I - p

Hamilton Formalisms I in Bezog auf Quan tenmechanik )

gegeben : L = ( ai , Iiit )

Bewegung sgleichongen att I¥1 -- Ff

It -- II dip ;

- L pi-

- fat

Bewegung sgleichongen : Gi = ftp..fi . - IGHT

Sei I klassische Observable

IF Effi Hftff

ft,

Btc ] - =fA , DF tf A CF

£ A, BCF = Bf A. Cft FA ,

B ] - C

tf As BT-cfttfB.CI ,AT - tffc , AI

, 137=0

in Quantenmechanik

f I -→ I ] I ABI : - AB - BA

F → I

[ I , RI = ?

dd¥=[ E. HI tddo

Zen frat bong 2

Bra - Ket Notation

Die Zostoinde in der Q M sind Vek toren im Hiberfraom te.

I 47 EH → Ket - Vektor

Der Dual raum zu H,

wird H*

genannt*

141 c- H - s Bra - Vektor

Dual raum

Sei V ein Vektorraom,

damn ist V* gegeben durch die

line are Ion ktionale auf V,

f -

. V → Kl

f- Cvl → KEK

For einen Vektorraum mit inner en Produkt L .

, .tv, gibt

2.,

. Su

einen Isomorphism us zwischen V und V*.

Sei Lwt der zo Iws do ale Vektor,

damn giltw I v1 = Cw

, v >✓

tf VE V

Bsp I E) ER'

damn ( 7 O 21 der do ale Vektor

(§) . (E) = at 2C C - 02 ) ( § I = at 2e

Deswegen wahlen wir dies e suggestive Notation

Ive 7, Ivey c- H

Lvn It uz 7 = Ever,

Va > se

Ext ernes Produkt

I 47 = $ ci e a

Lux = let, . . . .ci/

Ein Projekt or hat die Form 14×41 .

wie sie ht 14×41 konkret aus ?

I cat . . .⇒t÷÷÷÷÷÷:Bsp I 42 =/ ? )

171 in oil -- I &!

-

itUnser H ist der Raum der Polarisation srichtongen

Iv >

Iv > = ( 81 1h 7=1911h >

Pv=wxvI=ff81 Prelhxhl -- ( 89 )

4'

¢§,↳ Projekt or auf den

↳ Projekt or auf . ..

/ =Unter room ,

der von

Iv 's aufgespant wird

Pr . I 1181=181

Projekt ionssatz

Sei I ein It - Room und Mc H Unter v. r .von H .

t hell exist

ierteine Zerlegung h = mtmtwobei melt

,

mt E Mt und dieseterlegung ist eindeotig :

"Mt=HIM

"

¥ In Xml = I f In > I - Basis vektorenM " Kerl Put

-II." Fifi munition .

rlv >

r 'T> tiny IT > = cos Eiht tsin o Iv >.

IT > = sine 1h > + cost Iv >.

OTs

tht

I - - I 14¥ = alvitplh > =L Is )

Pv -- Iv Xv 1=1391

Pr 14¥ = Iv Xv I ( Ktv > t Pl htt

=Alu > 74¥

1381151=104I - SHI PT = 15×51 =

= ( cos 01h > t sin flirt ) ( cost# Lhltsinftcv 4) =

Eos 't lhxhltsinocosoflhxvltlvxhlltsinolvxvtto to lo

1%4 198118%1 1881

= (sin -0

coso-sinocoso-ss.nocosy) ( OF

PINK @o-lhxhltscclhxvltlvxhlltsyvxvdalvt-xsclhxtszxlv7-f%7E.no

.

151=12Is.no/--Ht#tI-stIPn14nIt--lhxh1lxsclh7trs'1vY---xsino-coso-

1h >