ii

ii

ii

ii

9 Flaumlcheninhalte vonVierecken

91 Wiederholung

Gebaumlude in der ganzen Welt weisenviereckige Strukturen auf Egal ob essich um das strohgedeckte Dach ei-ner Tempelanlage auf der Insel Balihandelt um die Verglasung eines oumls-terreichischen Wintergartens oderum ein Ziegeldach wie man es fastweltweit finden kann

In diesem Kapitel1 wiederholen wir die besonderen Vierecke und2 uumlberlegen wie man Formeln zur Berechnung ihres Flaumlcheninhal-

tes gewinnen kann3 die wir dann verwenden um verschiedene Sachprobleme zu

loumlsen

881 BesondereVierecke sindVierecke diebesondereEigenschaftenhinsichtlich Lageund Laumlnge derSeiten und derDiagonalen habenund damit auchhinsichtlich derWinkel

881I3)H4K1 Erinnere dich an die 2 Klasse Was versteht man unter besonderen Vierecken

In welcher Hinsicht koumlnnen Vierecke besonders sein

882 TempeldaumlcherTrapezdazwischenRechteckeWintergartenVerglasungTrapeze undRechteckeHolztraumlgerRechtecke undParallelogrammeZiegeldach Trapezund Rechtecke

882I3)H4K1 Betrachte die drei Bilder oben im gruumlnen Rahmen ganz genau Welche besonderen

Vierecke kannst du erkennen

883I3)H4K1 Arbeite gemeinsam mit deiner Nachbarindeinem Nachbarn Zeichnet jeweils ein

(1) Parallelogramm (2) Deltoid (3) Trapez (4) Rhombus (5)) Quadrat Achtet daraufdass die wesentlichen Eigenschaften der Figur richtig dargestellt sind Beschriftet dieVierecke Vergleicht anschlieszligend eure Ergebnisse

884 Trapez884 Beschrifte im nebenstehenden Viereck Ecken SeitenDiagonalen und WinkelUm welches besondere Viereck handelt es sich

ii

ii

ii

ii

156 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

92 Parallelogramm921 Wiederholung

Parallelogramm und Rhombus

Ein Viereck bei dem gegenuumlberliegende Seiten je-weils parallel sind heiszligt ParallelogrammAB ∥ CD und AD ∥ BC

Ein Parallelogrammmit vier gleich langenSeiten heiszligt Rhombus oder Raute

885I2)H2K1 Skizziere mindestens 3 unterschiedliche Parallelogramme und

3 unterschiedliche Rhomben Beschrifte zumindest in einer der Figuren die EckpunkteSeiten und Winkel

922 Flaumlcheninhalt des Parallelogramms

Immer wenn es darum geht den Flaumlcheninhalt von Figuren zu berechnen fuumlr die mannoch keine Formel hat sollte man versuchen in schon bekannte Figuren zu zerlegenoder zu bekannten Figuren zu ergaumlnzen

25 mm

58 mm25 mm

58 mm

11 m

m11

mm

36 m

m36

mm

Berechne den Flaumlcheninhalt der L-foumlrmigen FigurMethode 1 Zerlegen in bekannte FigurenWir zerlegen die L-foumlrmige Figur in 2 Rechtecke und setzendaraus die gesuchte Flaumlche zusammenA = 58 sdot 11 + (36 minus 11) sdot 25 = 1236 mm2

Methode 2 Ergaumlnzen zu bekannten FigurenWir ergaumlnzen zu einem groszligen Rechteck und ziehen jeneRechtecksflaumlche die zu viel ist abA = 58 sdot 36 minus (36 minus 11) sdot (58 minus 25) = 1236 mm2

886 (3) Die beidenDreiecke sindkongruent (4) DasRechteck und dasParalleogrammsind daherflaumlchengleich(5) A = a sdot ha

886diams Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsWir kombinieren nun die beiden Methoden Zerlegen in bekannte Figuren und Ergaumlnzenzu bekannten Figuren um eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms zugewinnen(1) Zeichne ein Parallelogramm und beschrifte seine Eckpunkte und Seiten(2) Zeichne im Parallelogramm die Houmlhe auf die Seite a durch den Eckpunkt D ein undbeschrifte sie mit ha Bezeichne den Fuszligpunkt der Houmlhe mit E(3) Verlaumlngere die Seite AB uumlber B hinaus und zeichne die Houmlhe durch den EckpunktC ein Bezeichne den Schnittpunkt dieser Houmlhe und der verlaumlngerten Seite AB mit FWelche Aussage laumlsst sich uumlber die Dreiecke AED und BFC treffen(4) Wie haumlngen daher der Flaumlcheninhalt des Parallelogramms ABCD und der Flaumlchen-inhalt des Rechtecks EFCD zusammen(5) Versuche nun eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms anzugeben

ii

ii

ii

ii

92 Parallelogramm 157

Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe

A = a sdot ha = b sdot hb

887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4

K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt

888 a) 208 cm2

b) 195 cm2

c) 3072 mm2

d) 088 dm2

e) 012 m2 f) 06 m2

888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms

a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m

889 119025 m2

230 m

450

m

889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden

die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen

890 a) 1591 cm2

b) 583 dm2

c) 50 cm2

d) 30 cm2

890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm

891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang

891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und

ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen

892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2

(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb

892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm

(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg

893 2244

893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das

Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird

ii

ii

ii

ii

158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

894 a) 2240 m2

b) 13 760 m2

c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen

894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert

895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten

895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden

Umkehraufgaben

896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm

896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm

897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) b) c) d)

A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2

a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm

ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm

898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm

898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe

Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher

a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung

rdquodividiert durch bldquo liefert hb =

asdothab

und damit hb =69sdot42644

= 45hb = 45 cm

a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 159

899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras

899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-

nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha

2 undf 2 = (a minus x)2 + ha

2

900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2

b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2

c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2

d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2

900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-

gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm

93 Deltoid931 Wiederholung

Deltoid

Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal

901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ

901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel

932 Flaumlcheninhalt des Deltoids

902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =

esdotf2

902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids

(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

156 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

92 Parallelogramm921 Wiederholung

Parallelogramm und Rhombus

Ein Viereck bei dem gegenuumlberliegende Seiten je-weils parallel sind heiszligt ParallelogrammAB ∥ CD und AD ∥ BC

Ein Parallelogrammmit vier gleich langenSeiten heiszligt Rhombus oder Raute

885I2)H2K1 Skizziere mindestens 3 unterschiedliche Parallelogramme und

3 unterschiedliche Rhomben Beschrifte zumindest in einer der Figuren die EckpunkteSeiten und Winkel

922 Flaumlcheninhalt des Parallelogramms

Immer wenn es darum geht den Flaumlcheninhalt von Figuren zu berechnen fuumlr die mannoch keine Formel hat sollte man versuchen in schon bekannte Figuren zu zerlegenoder zu bekannten Figuren zu ergaumlnzen

25 mm

58 mm25 mm

58 mm

11 m

m11

mm

36 m

m36

mm

Berechne den Flaumlcheninhalt der L-foumlrmigen FigurMethode 1 Zerlegen in bekannte FigurenWir zerlegen die L-foumlrmige Figur in 2 Rechtecke und setzendaraus die gesuchte Flaumlche zusammenA = 58 sdot 11 + (36 minus 11) sdot 25 = 1236 mm2

Methode 2 Ergaumlnzen zu bekannten FigurenWir ergaumlnzen zu einem groszligen Rechteck und ziehen jeneRechtecksflaumlche die zu viel ist abA = 58 sdot 36 minus (36 minus 11) sdot (58 minus 25) = 1236 mm2

886 (3) Die beidenDreiecke sindkongruent (4) DasRechteck und dasParalleogrammsind daherflaumlchengleich(5) A = a sdot ha

886diams Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsWir kombinieren nun die beiden Methoden Zerlegen in bekannte Figuren und Ergaumlnzenzu bekannten Figuren um eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms zugewinnen(1) Zeichne ein Parallelogramm und beschrifte seine Eckpunkte und Seiten(2) Zeichne im Parallelogramm die Houmlhe auf die Seite a durch den Eckpunkt D ein undbeschrifte sie mit ha Bezeichne den Fuszligpunkt der Houmlhe mit E(3) Verlaumlngere die Seite AB uumlber B hinaus und zeichne die Houmlhe durch den EckpunktC ein Bezeichne den Schnittpunkt dieser Houmlhe und der verlaumlngerten Seite AB mit FWelche Aussage laumlsst sich uumlber die Dreiecke AED und BFC treffen(4) Wie haumlngen daher der Flaumlcheninhalt des Parallelogramms ABCD und der Flaumlchen-inhalt des Rechtecks EFCD zusammen(5) Versuche nun eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms anzugeben

ii

ii

ii

ii

92 Parallelogramm 157

Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe

A = a sdot ha = b sdot hb

887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4

K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt

888 a) 208 cm2

b) 195 cm2

c) 3072 mm2

d) 088 dm2

e) 012 m2 f) 06 m2

888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms

a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m

889 119025 m2

230 m

450

m

889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden

die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen

890 a) 1591 cm2

b) 583 dm2

c) 50 cm2

d) 30 cm2

890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm

891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang

891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und

ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen

892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2

(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb

892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm

(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg

893 2244

893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das

Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird

ii

ii

ii

ii

158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

894 a) 2240 m2

b) 13 760 m2

c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen

894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert

895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten

895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden

Umkehraufgaben

896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm

896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm

897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) b) c) d)

A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2

a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm

ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm

898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm

898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe

Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher

a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung

rdquodividiert durch bldquo liefert hb =

asdothab

und damit hb =69sdot42644

= 45hb = 45 cm

a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 159

899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras

899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-

nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha

2 undf 2 = (a minus x)2 + ha

2

900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2

b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2

c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2

d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2

900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-

gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm

93 Deltoid931 Wiederholung

Deltoid

Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal

901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ

901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel

932 Flaumlcheninhalt des Deltoids

902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =

esdotf2

902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids

(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

92 Parallelogramm 157

Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsFuumlr ein Parallelogramm mit den Seiten a b und den Houmlhen ha hb giltFlaumlcheninhalt = Seite mal zugehoumlrige Houmlhe

A = a sdot ha = b sdot hb

887 Die Methodeaus Aufgabe 886funktioniertgenauso wennman mit b und hbanstelle von a undha arbeitet887I3)H4

K2 In Aufgabe 886 findest du eine Anleitung die Flaumlcheninhaltsformel A = a sdot ha desParallelogramms herzuleitenBegruumlnde warum auch A = b sdot hb gilt

888 a) 208 cm2

b) 195 cm2

c) 3072 mm2

d) 088 dm2

e) 012 m2 f) 06 m2

888I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Parallelogramms

a) a = 65 cm ha = 32 cm b) a = 156 cm ha = 125 cmc) b = 64 mm hb = 48 mm d) b = 11 dm hb = 08 dme) a = 04 m ha = 03 m f ) b = 12 m hb = 05 m

889 119025 m2

230 m

450

m

889I3)H2K2 In einer neuen Parkgarage werden

die Stellflaumlchen in jedem Parkdeck miteiner anderen Bodenfarbe gestrichenFuumlr wie viele m2 benoumltigt man pro Park-deck Bodenfarbe wenn die Stellflaumlchenwie rechts abgebildet parallelogramm-foumlrmig sind und pro Parkdeck 115 Stellflaumlchen zur Verfuumlgung stehen

890 a) 1591 cm2

b) 583 dm2

c) 50 cm2

d) 30 cm2

890 Berechne den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsAchte auf die Einheitena) a = 43 cm ha = 37 mm b) a = 11 dm ha = 53 cmc) b = 01 m hb = 5 cm d) b = 100 mm hb = 03 dm

891 (1) DieFlaumlcheninhalte sindgleich (2) DasQuadrat hat denkleinsten das blaueParallelogrammden groumlszligtenUmfang

891I3)H4K3 In der Figur sind zwei Parallelogramme und

ein Quadrat dargestellt Welche Aussage kannstdu (1) uumlber ihre Flaumlcheninhalte (2) ihre Umfaumlngemachen ohne in der Zeichnung zu messen oderzu rechnen

892 (1) a) ha asymp 38cm hb asymp 54 cm Aasymp 268 cm2 b) ha asymp35 mm hb asymp 89mm A asymp 3303 mm2

(2) Zeichen- bzwMessungenauigkeitbei der Ermittlungvon ha und hb

892I3)H4K2 Konstruiere das Parallelogramm

(1) Miss die Laumlnge der beiden Houmlhen ha und hb und berechne damit den Flaumlcheninhaltauf zwei Arten(2) Erklaumlre warum die beiden Ergebnisse fuumlr den Flaumlcheninhalt geringfuumlgig voneinanderabweichen koumlnnena) a = 7 cm b = 5 cm α = 50deg b) a = 95 mm b = 37 mm β = 70deg

893 2244

893I3)H2K2 Ein Wohnzimmer soll mit Parkett ausgelegt werden Die Parketthoumllzer haben das

Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm und der Houmlhe h = 5 cm DasWohnzimmer ist 6 m lang und 340 m breit Wie viele Parketthoumllzer werden benoumltigtwenn 10 Verschnitt beruumlcksichtigt wird

ii

ii

ii

ii

158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

894 a) 2240 m2

b) 13 760 m2

c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen

894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert

895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten

895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden

Umkehraufgaben

896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm

896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm

897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) b) c) d)

A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2

a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm

ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm

898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm

898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe

Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher

a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung

rdquodividiert durch bldquo liefert hb =

asdothab

und damit hb =69sdot42644

= 45hb = 45 cm

a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 159

899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras

899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-

nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha

2 undf 2 = (a minus x)2 + ha

2

900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2

b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2

c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2

d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2

900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-

gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm

93 Deltoid931 Wiederholung

Deltoid

Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal

901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ

901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel

932 Flaumlcheninhalt des Deltoids

902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =

esdotf2

902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids

(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

158 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

894 a) 2240 m2

b) 13 760 m2

c) Weil keinegroszlige zusammen-haumlngende Flaumlchemehr vorliegtsondern nur 2kleinere Flaumlchen

894 Eine Umfahrungsstraszlige wird gebaut Durchdie 200m lange und 80m breite rechteckige Acker-flaumlche verlaumluft ein parallelogrammfoumlrmiges Stra-szligenstuumlck wie rechts dargestellta) Wie viel m2 der Ackerflaumlche gehen durch denStraszligenbau verlorenb) Wie groszlig ist die verbleibende Ackerflaumlchec) Warum verliert die Ackerflaumlche abgesehen vom Flaumlchenverlust zusaumltzlich an Wert

895 (1) 261 PlattenAPlatte = 0162 m2Dachflaumlche =4214 m2 (2) 300Platten

895diams Ein Dach wird mit parallelogrammfoumlrmigen Plattendie 45 cm lang und 36 cm hoch sind eingedeckt(1) Wie viele solcher Platten benoumltigt man fuumlr eine recht-eckige Dachflaumlche die 98 m lang und 43 m breit istwenn man die Uumlberlappung nicht beruumlcksichtigt(2) Erfahrungsgemaumlszlig sollten 15 mehr Platten fuumlr Uumlber-lappung Verschnitt und eventuellen Bruch besorgt wer-den Wie viele dieser Platten muumlssen daher tatsaumlchlichgekauft werden

Umkehraufgaben

896 a) ha = 45 cmb) ha = 23 mmc) hb = 53 cmd) hb = 305 mm

896 Von einem Parallelogramm kennt man den Flaumlcheninhalt und eine Seite Berechnedie zugehoumlrige Houmlhea) A = 387 cm2 a = 86 cm b) A = 1 035 mm2 a = 45 mmc) A = 4823 cm2 b = 91 cm d) A = 20435 mm2 b = 67 mm

897 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) b) c) d)

A 5151 cm2 1 4645 cm2 65024 cm2 7425 cm2

a 303 cm 505 cm 512 cm 99 cm

ha 170 cm 290 cm 127 cm 75 cm

898a) hb = 682 cmb) ha = 25 mm

898 Von einem Parallelogramm kennt man die beiden Seitenlaumlngen und eine HoumlheBerechne die zweite Houmlhe

Parallelogramm a = 69 cm b = 644 cm ha = 42 cmFuumlr den Flaumlcheninhalt A des Parallelogramms giltsowohl A = a sdot ha als auch A = b sdot hb und daher

a sdot ha = b sdot hbDie Aumlquivalenzumformung

rdquodividiert durch bldquo liefert hb =

asdothab

und damit hb =69sdot42644

= 45hb = 45 cm

a) a = 124 cm b = 100 cm ha = 55 cm b) a = 150 mm b = 50 mm hb = 75 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 159

899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras

899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-

nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha

2 undf 2 = (a minus x)2 + ha

2

900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2

b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2

c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2

d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2

900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-

gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm

93 Deltoid931 Wiederholung

Deltoid

Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal

901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ

901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel

932 Flaumlcheninhalt des Deltoids

902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =

esdotf2

902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids

(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 159

899 Es entstehenrechtwinkligeDreiecke mit derlaumlngeren Kathete(a+x) bzw (a-x)der kuumlrzerenKathete ha und derHypotenuse e bzwf In diesenrechtwinkligenDreiecken gilt derSatz desPythagoras

899I3)H4K2 ⋆ Erklaumlre anhand der Skizze dass fuumlr die Berech-

nung der Diagonalen des Parallelogramms gilte2 = (a + x)2 + ha

2 undf 2 = (a minus x)2 + ha

2

900a) (1) x asymp 134 cme asymp 450 cmf asymp 205 cm(2) A = 360 cm2

b) (1) x asymp 452 cme asymp 1802 cmf asymp 1038 cm(2) A = 8640 cm2

c) (1) x asymp 343 cme asymp 1090 cmf asymp 647 cm(2) A = 3416 cm2

d) (1) e asymp 654 cmf asymp 397 cm(2) A = 1169 cm2

900I3)H2K2 ⋆ Berechne mit Hilfe der Uumlberlegungen aus Auf-

gabe 899(1) die Laumlnge der Diagonalen (2) den Flaumlcheninhalt des ParallelogrammsTipp Berechne zuerst die Laumlnge von xa) a = 30 cm b = 18 cm ha = 12 cm b) a =120 cm b = 85 cm ha = 72 cmc) a = 56 cm b = 70 cm ha = 61 cm d) a = 45 cm b = 30 cm hb = 39 cm

93 Deltoid931 Wiederholung

Deltoid

Ein Deltoid ist ein aus zwei gleichschenkligen Drei-ecken bestehendes Viereck die entlang der gleichlangen Basis zusammengesetzt sindDie Diagonalen stehen aufeinander normal

901 Seiten a = db = c DieDiagonalen stehenaufeinandernormal e halbiert fDie Diagonale e istSymmetrieachseundWinkelsymmetralevon α und γ β = δ

901 Partnerinnen-Arbeit(1) Jeder von euch zeichnet 3 unterschiedliche Deltoide(2) Vergleicht eure Ergebnisse und uumlberlegtWelche besonderen Eigenschaften hat jedes Deltoid Beruumlcksichtigt Seiten Diagonalenund Winkel

932 Flaumlcheninhalt des Deltoids

902 (1) mdash (2)A = e sdot f (3) DerFlaumlcheninhalt desDeltoids ist halb sogroszlig wie jener desRechtecks (4)ADeltoid =

esdotf2

902I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Deltoids

(1) Ergaumlnze das Deltoid wie in der nebenstehenden Skizzebegonnen zu einem Rechteck(2) Gib eine Formel fuumlr den Flaumlcheninhalt des entstandenenRechtecks an(3) Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Deltoids mit dem desRechtecks zusammen Beschreibe in Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhaltsdes Deltoids an

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

160 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

903 Im Rhombusstehen dieDiagonalen normalaufeinander es istein Deltoid mit 4gleich langenSeiten

903 Erklaumlre warum man den Rhombus als Spezialfall des Deltoids auffassen kann

904 Ja denn einQuadrat ist einDeltoid mit 4gleich langenSeiten und 4rechten Winkeln

904 Sara meintrdquoEin Quadrat ist eigentlich auch ein Deltoidldquo Hat sie Recht Erklaumlre

905 A = d sdotd2

905 Schon lange kennst du die Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat A = s2 Gib einezweite Flaumlcheninhaltsformel fuumlr das Quadrat anTipp Verwende die Uumlberlegungen aus Aufgabe 904

Flaumlcheninhalt des DeltoidsFuumlr den Flaumlcheninhalt eines Deltoides mit den Diagonalen e und f gilt

A =e sdot f2

Diese Formel gilt fuumlr alle Vierecke deren Diagonalen normal aufeinander stehenwie z B Rhombus oder Quadrat Denn diese Figuren koumlnnen als Spezialfall einesDeltoids betrachtet werden

Spezialfall Quadrat A =d sdot d2

=d2

2

906a) A = 294 cm2

b) A = 20335 cm2

c) A = 12685 mm2

d) A = 2418 mm2

906 Berechne den Flaumlcheninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e und fa) e = 105 cm f = 56 cm b) e = 83 cm f = 49 cmc) e = 43 mm f = 59 mm d) e = 78 mm f = 62 mm

907 a) 02 m2 b) Erhat den Verschnittund Kleberaumlndernichtberuumlcksichtigt

907 Paula und Paul Kuddelmuddel lassen sich von der achtjaumlhrigen Nachbarstochteruumlberreden Flugdrachen fuumlr die Geburtstagsfeier des Maumldchens herzustellen Die beidenbeschlieszligen Staumlbe von 80 cm und 50 cm Laumlnge fuumlr die Diagonalen des Drachens zuverwenden Da 8 Drachen hergestellt werden sollen kauft Paul 16 m2 Folie eina) Berechne wie viel m2 Folie man fuumlr einen solchen Flugdrachen mindestens brauchtb) Erklaumlre welchen Denkfehler Paul beim Folienkauf gemacht hat Verrechnet hat ersich naumlmlich diesmal nicht

908 unendlichviele A = 12 cm2

908 Zeichne drei Deltoide mit den Diagonallaumlngen e = 6 cm und f = 4 cm Wie vielesolcher Deltoide gibt es Wie groszlig ist jeweils ihr Flaumlcheninhalt

909a) A = 2645 mm2

b) A = 10125 mm2

c) A = 098 dm2

d) A = 0405 dm2909 Wie groszlig ist der Flaumlcheninhalt des Quadrats wenn die Laumlnge seiner Diagonalea) d = 23 mm b) d = 45 mm c) d = 14 dm d) d = 09 dmbetraumlgt

910 a) s asymp 163 mmb) s asymp 318 mmc) s asymp 10 dmd) s asymp 06 dm 910 Verwende die Angaben aus Aufgabe 909 Welche Seitenlaumlnge hat ein Quadrat mit

der jeweils gegebenen Diagonallaumlnge

911a) A = 9805 cm2

b) A = 2982 cm2

911 Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e und fa) e = 53 cm f = 37 cm b) e = 84 cm f = 71 cm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

93 Deltoid 161

912 a) A =e sdot f

2sdot 12sdot 2 = esdotf

2b) e = x + yA = f sdotx

2+ f sdoty

2=

f sdot 12sdot (x + y) = esdotf

2

912 Verwende die Methode Zerlegen in bekannte Figuren um die FlaumlcheninhaltsformelA = esdotf

2fuumlr das Deltoid herzuleiten

a) Zerlege entlang der Diagonale e in zwei kongruente Dreieckeb)⋆ Zerlege entlang der Diagonale f in zwei gleichschenklige Dreiecke

Umkehraufgaben

913 a) f = 2sdotAe

b) e = 2sdotAf

913 Von einem Deltoid kennt man den Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge der Diagonalea) e b) f Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Diagonale an

914 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige

Deltoid a) b) c) d)

Flaumlcheninhalt A 1862 cm2 4895 cm2 2548 cm2 100 cm2

Diagonale e 76 cm 110 cm 98 cm 153 cm

Diagonale f 49 cm 89 cm 52 cm 131 cm

915 a) s asymp 367 cmd asymp 520 cmb) s asymp 639 cmd asymp 904 cmc) s asymp 46 cmd asymp 66 cmd) s asymp 53 cmd asymp 75 cm

915 Von einem Rhombus sind die Laumlngen der beiden Diagonalen gegeben Wie lang ist(1) die Seitenlaumlnge (2) die Diagonale eines flaumlchengleichen Quadratsa) e = 60 mm f = 45 mm b) e = 115 mm f = 71 mmc) e = 72 cm f = 6 cm d) e = 69 cm f = 81 cm

916 Berechne jeweils die fehlende Groumlszlige des Rhombus

Rhombus a) b) c) d)

Seite a 55 cm 83 cm 61 cm asymp 94 cm

Houmlhe ha 27 cm 52 cm 35 cm 68 cm

Diagonale e 66 cm 100 cm asymp 97 cm 122 cm

Diagonale f 45 cm asymp 86 cm 44 cm 105 cm

917HinweisBerechnung in 2Schritten a) (1)e asymp 59 cm (2)A asymp 148 cm2

b) (1) e asymp 66 cm(2) A asymp 139 cm2

917⋆ (1) Berechne mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Laumlnge der Diagonale e desDeltoids Vorsicht Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken(2) Berechne dann den Flaumlcheninhalt des Deltoidsa) a = 35 cm b = 43 cm f = 5 cm b) a = 28 cm b = 52 cm f = 42 cm

918 ha = 18 cmwegen f = a

918 Ein Deltoid mit e = 36 cm f = 24 cm und ein Rhombus mit a = 24 cm sindflaumlchengleich Berechne die Houmlhe ha des Rhombus und erklaumlre warum in diesem Fallha =

e2ist

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

162 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

94 Trapez941 Wiederholung

Besonders bei Daumlchern findet sich uumlberall aufder Welt haumlufig die Form eines Trapezes (ver-gleiche S 155) Das wohl beruumlhmteste Beispielin Oumlsterreich ist das Goldene Dachl in Inns-bruck (siehe Foto)919 b) Ein Trapez

ist ein Viereck mitzwei parallelenSeiten c) Imrechten Trapez giltb = d es wirddaher alsgleichschenkligesTrapez bezeichnet

919 Wiederholt zu zweita)I3)H2

K1 Beschriftet die beiden abgebildeten Trape-ze

b)I3)H4K1 Durch welche besonderen Eigenschaften zeichnet sich ein Trapez aus

c)I3)H4K1 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem rechten und dem linken Trapez

Welche spezielle Bezeichnung hat daher das rechte Trapez

Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mitzwei parallelen Seiten (a ∥ c)Die Seiten b und d heiszligen Schenkeldes Trapezes

Sind die beiden Schenkel des Trapezes gleichlang (b = d) nennt man es eingleichschenkliges Trapez

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

94 Trapez 163

942 Der Flaumlcheninhalt des Trapezes

920 (1) einParallelogramm(2) A = (a + c) sdot h(3) DerFlaumlcheninhalt desTrapezes ist dieHaumllfte desFlaumlcheninhalts desParallelogramms(4) A = (a+c)sdoth

2

920I3)H4K2 Flaumlcheninhalt des Trapezes

(1) In der Zeichnung sind zwei deckungs-gleiche Trapeze zusammengelegt Wel-che Figur ist insgesamt entstanden(2) Gib eine Formel zur Berechnung desFlaumlcheninhalts dieser Figur an(3)Wie haumlngt der Flaumlcheninhalt des Tra-pezes mit dem Flaumlcheninhalt der entstandenen Figur zusammen Beschreibe und erklaumlrein Worten(4) Gib nun eine Formel fuumlr die Berechnung des Flaumlcheninhalts des Trapezes an

Flaumlcheninhalt des TrapezesFuumlr ein Trapez mit den Parallelseiten a und c und der Houmlhe h gilt fuumlr die Berechnungdes Flaumlcheninhalts

A =(a + c) sdot h

2=

12sdot (a + c) sdot h

921a) A = 4136 mm2

b) A = 2675 mm2

c) A = 36505 cm2

d) A = 2261 cm2

921I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt des Trapezes von dem die Laumlngen der Parallelseiten a

und c und die Houmlhe h gegeben sinda) a = 100 mm c = 76 mm h = 47 mm b) a = 65 mm c = 42 mm h = 50 mmc) a = 89 cm c = 60 cm h = 49 cm d) a = 64 cm c = 55 cm h = 38 cm

922 (1) h asymp 91 m(2) A = 17876 m2

922I3)H2K2 diams Die Querschnittsflaumlche eines Kanals hat die Form

eines gleichschenkligen Trapezes(1) Zeichne die Querschnittsflaumlche im Maszligstab 1200 undentnimm deiner Zeichnung die Houmlhe des Kanals(2) Berechne den Flaumlcheninhalt der Querschnittsflaumlche

923 (1) Ja da dieParallelseiten unddie Houmlhe jeweilsgleich lang sind(2) Nein denn dienicht parallelenSeiten sind nichtgleich lang

923I3)H4K3 Partnerinnen-Arbeit ndash uumlberlegt zu zweit

Haben die drei dargestellten Trapeze (1) denselben Flaumlcheninhalt (2) denselben Um-fang Erklaumlrt und begruumlndet eure Antwort genau

924 3420 cm2924I3)H2K1 Ein Lampenschirm besteht aus 4 trapezfoumlrmigen Glasplatten

Die beiden Parallelseiten der Glasplatten sind jeweils a = 32 cm undc = 25 cm lang Die Houmlhe einer Platte betraumlgt 30 cm Berechne auswie viel cm2 Glas der Lampenschirm besteht

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

164 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

925 a) Flaumlche aus2 Trapezen oder1 Rechteck und1 DreieckzusammensetzenA = 31824 m2

b) 823446 euro

925I3)H2K2 Eine Hauswand (siehe Abbildung) soll eine Waumlrme-

daumlmmung bekommena) Fuumlr wie viele m2 muss Material besorgt werden Berech-ne dazu den Flaumlcheninhalt der Wand auf zwei Artenb) Die Kosten fuumlr diese Waumlrmedaumlmmung setzen sich ausdem Quadratmeterpreis und einem Aufschlag von 15 fuumlrMaterialanlieferung Baustelleneinrichtung etc zusammenWelche Kosten fallen insgesamt an wenn der Preis pro Quadratmeter 2250 euro betraumlgt

Umkehraufgaben

926 h = 2sdotAa+c

926 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt und die Laumlngen der beiden Paral-lelseiten Gib eine Formel zur Berechnung der Houmlhe h des Trapezes an

927 a) h = 17 mmb) h = 49 cmc) h = 103 cmd) h = 89 mm

927 Berechne die Houmlhe des Trapezes von demman die Laumlngen der beiden Parallelseitena und c und den Flaumlcheninhalt A kennta) a = 46 mm c = 28 mm A = 629 mm2 b) a = 98 cm c = 56 cm A = 3773 cm2

c) a = 124 cm c = 88 cm A = 10918 cm2 d) a = 108 mm c = 76 mm A = 8188 cm2

928 a = 2sdotAhminus c

bzw c = 2sdotAhminus a

928 Von einem Trapez kennt man den Flaumlcheninhalt die Houmlhe und die Laumlnge einerParallelseite Gib eine Formel zur Berechnung der Laumlnge der zweiten Parallelseite an

929 Richtigsind (3) und (4) richtig falsch

(1) a = 2Aminusch

times

(2) a = 1114100Ahminus c1114103 sdot 2 times

(3) a = 2Ahminus c times

(4) a = Ahsdot 2 minus c times

929 Zur Berechnung des Flaumlcheninhaltseines Trapezes gilt die Formel A = a+c

2h

Mit welchen beiden Formeln kann mandaher die Laumlnge der Seite a berechnenKreuze an

930 a) a = 56 mmb) a = 91 cmc) c = 17 mmd) c = 9 cm

930 Berechne die Laumlnge der zweiten Par-allelseite des Trapezesa) A = 1995 mm2 c = 39 mm h = 42 mm b) A = 8450 cm2 c = 78 cm h = 10 cmc) A = 6615 mm2 a = 32 mm h = 27 mm d) A = 9240 cm2 a = 12 cm h = 88 cm

931 (2)aminusc2= 15 cm (3)

d2 = 1114100 aminusc211141032+ha2 asymp

34 cm(4) u = 197 cmA = 195 cm2

931⋆ Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die Parallelseiten a = 8 cm undc = 5 cm und die Houmlhe h = 3 cm(1) Zeichne das Trapez(2) Zeichne die Houmlhe ha durch den Eckpunkt D ein und bezeichne ihren Schnittpunktmit der Seite a mit F Wie lang ist die kuumlrzere Kathete des entstandenen rechtwinkligenDreiecks AFD(3) Berechne mit dem Satz von Pythagoras die Laumlnge der Seite d(4) Berechne den Umfang und den Flaumlcheninhalts des Trapezes

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

95 Exercises und Ausblick 165

95 Exercises und Ausblick951 Exercises

vocabularyarea Flaumlcheperimeter Umfangsquare Quadratparallelogram Parallelogrammrhombus Rhombustrapezium Trapezkite Deltoidequal gleich (lang)

932 a) 0328 dm2

b) 21805 mm2

c) 3185 cm2

932 Calculate the area ofa) a parallelogram with a = 08 dm ha = 041 dmb) a trapezium with a = 56 mm c = 33 mm h = 49 mmc) a kite with e = 91 cm f = 70 cm

933 Fill in diagonals (2x) ndash formula ndash right ndash equal

A rhombus has four equal sides and its diagonals bisect each

other at right angles

The area of the rhombus is given by the following formula where e and f

are the lengths of the diagonals of the rhombus A =e sdot f2

934 a) A = 18 cm2

b) asymp 192 cm

934 a) Find the area of the trapeziumb)⋆ Find also the perimeter of the trapezium

935 asymp 64 cm935 The length of the diagonal of a square is 9 cm Howlong is the side of this square

936 f = 51 cm936 The area of a kite is A = 1938 cm2 The length of thediagonal e is 76 cm What is the length of the diagonal f

937 h = 29 cm937 The area of a trapezium is A = 116 cm2 The length of the side a is 48 cm and thelength of the side c is 32 cm What is the length of the height h

952 Ausblick

Es gibt noch andere Einteilungsmoumlglichkeiten von Vierecken z B in solche die einenUmkreis haben (Sehnenvierecke) und in solche die einen Inkreis haben (Tangentenvier-ecke) Versuche die Vierecke die du kennst danach einzuteilen Welche gemeinsamenEigenschaften haben sie jeweilsBei den Vierecken die wir bis jetzt betrachtet haben liegen beide Diagonalen innerhalbdes Vierecks Man nennt diese Vierecke konvex Liegt hingegen genau eine Diagonaleauszligerhalb so hat das Viereck eine konkave Ecke Versuche ein dolches zu zeichnen

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm

ii

ii

ii

ii

166 9 Flaumlcheninhalte von Vierecken

96 Mathe fit und kompetent ndash Kompetenzcheck938 Richtigist (2)

938I3)H2K1 Mit welchen beiden Bestimmungsstuumlcken kann man den Flaumlcheninhalt eines

Parallelogramms berechnen Kreuze an

(1) Der Laumlnge der beiden Seitentimes (2) Der Laumlnge einer Seite und der dazugehoumlrigen Houmlhe (3) Der Laumlnge der beiden Diagonalen (4) Der Laumlnge einer Seite und einer Diagonale

939I3)H2K1 Berechne den Flaumlcheninhalt der angegebenen Vierecke

(1) Parallelogramm a = 89 mm ha = 45 mm A = 4005 mm2

(2) Deltoid e = 56 cm f = 80 cm A = 224 cm2

(3) Quadrat d = 57 mm A = 16245 mm2

(4) Trapez a = 78 cm c = 40 cm h = 52 cm A = 3068 cm2

940 sieheMatheFit3 S 159bzw Loumlsung vonAufgabe 912

940I3)H4K2 Begruumlnde die Flaumlcheninhaltsformel A=

esdotf2

fuumlr das DeltoidVerwende wahlweise die Methode Zerlegen in bekannte Figuren oder Ergaumlnzen zu be-kannten Figuren

941 (1) Ja weilman die Groumlszlige derWinkel kennt(rechte Winkel)(2) Nein denn esist keine Aussageuumlber die Groumlszlige derWinkelvorhanden

941I3)H4K3 Von einem (1) Rechteck (2) Parallelogramm sind der Flaumlcheninhalt und die Laumlnge

einer Seite gegeben Ist das (1) Rechteck (2) Parallelogramm damit eindeutig festge-legt Begruumlnde deine Antwort

942 Da die Houmlheund auch dieSumme derBasislaumlngen beiallen drei Fi-guren gleich ist 942I3)H4

K2 Erklaumlre ohne zu rechnen warum die drei dargestellten Figuren denselben Flaumlchen-inhalt haben

3 4

236

943I3)H2K2 Berechne die fehlende Groumlszlige des Parallelogramms

a) a = 108 mm ha = 67 mm A = 7236 mm2

b) A = 2844 cm2 ha = 36 cm a = 79 cm

944 a) 8225 cm2

b) Ein Rhombuskann als speziellesDeltoid betrachtetwerden damit istdie Formel fuumlr dasDeltoid anwend-bar Bzw A = esdotf

2gilt in jedemViereck in dem dieDiagonalenaufeinandernormal stehenund das ist beimRhombus derFallc) A = a sdot haSeitenlaumlnge undHoumlhe muumlssengegeben sein

944I3)H2K1 a) Berechne den Flaumlcheninhalt des Rhombus mit den Diagonalen e = 47 mm und

f = 35 mmb)I3)H4

K1 Erklaumlre warum die Flaumlcheninhaltsformel A = esdotf2

fuumlr den Rhombus gilt

c)I3)H2K2 Welche zweite Moumlglichkeit gibt es den Flaumlcheninhalt eines Rhombus zu berechnen

Welche Bestimmungsstuumlcke muumlssen dafuumlr gegeben sein

945 a) f = 65 cmb) e = 91 mm

945I3)H2K1 Von einemDeltoid sind der Flaumlcheninhalt A und die Laumlnge einer Diagonale gegeben

Berechne die Laumlnge der zweiten Diagonalea) A = 4225 cm2 e = 13 dm b) A = 2548 cm2 f = 56 mm