การเคลอนทแบบหมน (Rotation)

www.dekphysics.com

ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบหมน ความสมพนธเชงเสนและเชงมม สมการการเคลอนทแบบหมน

ทอรก การ cross vector

โมเมนความเฉอยรอบแกนหมน โมเมนตมเชงมม กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม

พลงงานจลนของการหมน การกลง

การเคลอนทแบบหมน

www.dekphysics.com

การหมน : เปนการเคลอนทรอบแกน แกนนนอาจจะตรงอยกบท เชน การหมนของวตถแขงเกรงหรอใบพดลม แกนนนมการเคลอนทแบบเลอนไปดวย เชน การกลงวตถทรงกลมลงพนเอยง

ปรมาณการเคลอนทแบบหมน

www.dekphysics.com

ใบพดหมนท าใหจด A เคลอนทแบบวงกลม การเคลอนทแบบวงกลม

s

R

s: ความยาวสวนโคงทรองรบมม [m]

: มมทศนยกลาง [rad]

นยาม: ในหนวย เรเดยน เปน อตราสวนของความยาวตามสวนโคง ตอรศม

R : รศมของเสนโคง [m]

s R

R

s

Rs ต าแหนงเชงมม

ต าแหนงเชงเสน

v: อตราเรวเชงเสน [m/s]

t

t

sv

: อตราเรวเชงมม [rad/s]

Rv อตราเรวเชงเสน

อตราเรวเชงมม

s

R

v

R

v

T

R

t

sv

2

T

2

T: เวลาในหนงรอบ เรยก “คาบ”

f : รอบตอเวลา เรยก “ความถ”

fT

1

R

t

uv

t

va

t

: ความเรงเชงเสนในแนวสศนยกลาง (centripetal) [m/s2] c

a

u

v

cat

a

: ความเรงเชงเสนในแนวเสนสมผส (tangent) [m/s2] t

a

RR

R

R

va

c

2

22 )(

Rtt

RR

t

uv

t

va

t

: ความเรงเชงมม [rad/s2]

Rat

การใชกฎมอขวาหาทศ

www.dekphysics.com

: ต าแหนงเชงมม (angular position) : การกระจดเชงมม(angular displacement)

12

t

“ทศความเรวเชงมม ดจากทศการกระจดเชงมม”

ทศการหมน

ทศความเรวเชงมม

ทศการหมน

ทศการกระจด

การใชกฎมอขวาหาทศความเรงเชงมม

www.dekphysics.com

“ก าลงหมนเรวขน” “ก าลงหมนชาลง”

“ความเรวและความเรงเชงมมทศเดยวกน” “ความเรวและความเรงเชงมมทศตรงขาม”

ปรมาณเชงเสนและปรมาณเชงมม

www.dekphysics.com

atuv

tvu

s ]2

[

2

2

1atuts

asuv 222

2

2

1atvts

ปรมาณเชงเสน

t

t]2

[

2

2

1tt

222

2

2

1tt

ปรมาณเชงมม

v

s

u

t

a

t

ทอรก (Torque)

www.dekphysics.com

การ cross vector เปน ผลคณเวกเตอรของเวกเตอร ใหผลลพธเปน ปรมาณเวกเตอร

สญลกษณ แทนผลคณเวกเตอรของเวกเตอร และ A

B

BA

0 180มมระหวางเวกเตอรทงสองคอ ตองมคาระหวาง ถง เสมอ

A

B

A

BBsinB

y

ขนาดของ มคาเทากบผลคณของขนาด กบ ซงเปนองคประกอบของ BA

A

B

ขนาดของ จงมคาเทากบ BA

Bsin

ABsin

นยามผลคณเวกเตอร เวกเตอรทงสองนจะอยในระนาบหนง โดยผลคณเวกเตอรใหเปนเวกเตอร ทมทศตงฉากกบระนาบน ตงฉากทง และ

BA

C

A

B

BAC

ขนาดของผลคณเวกเตอร

ถา และ ขนานกน หรอสวนทางกน จะได C = 0 A

B

“ ผลคณเวกเตอรของเวกเตอรทขนานกนเปนศนยเสมอ”

“ ทศของหวแมโปงแทนทศของ ” สวนนวทงสแทนทศการหมน BA

“ เรยกวา กฏมอขวา ”

ABsinC

0 180

ทอรก

www.dekphysics.com

แรงใดมแนวโนมทจะคลายเกลยวสลกแนนไดมากสด ?

aF

bF

cF

“มทอรกมากสดเพราะแขนของคานมขนาดมากสด” “มทอรกนอยเพราะแขนของคานมขนาดนอย”

“มทอรกเปนศนยเพราะแนวแรงผานจดอางอง ไมหมน”

ปรมาณทใชวดแนวโนมทแรงท าใหเกดการเคลอนทแบบหมนวา “ทอรก”

นกฟสกสใชค าวา “ทอรก” ขณะทวศวกรมกใชวา “โมเมนต”

*** การเรยกทอรกตองบอกวา ทอรกของแรง F เทยบหรอรอบจดใดดวย เชน รอบจด O

การใชกฏมอขวาเพอหาทศของทอรก

www.dekphysics.com

วงแหวนหมนในระนาบ XY รอบแกนหมน Z

“ ทอรก ทกระท าตอมวล m มคาเทากบ ผลคณแบบเวกเตอรของแรงกบการกระจดทวดจากจดหมน”

Fr

sinrF

ทอรกและโมเมนตความเฉอย

www.dekphysics.com

Fr

sinrF

rF 90;

)(t

mar

)( rmr

2mr

สมการเวกเตอรของทอรก สมการขนาดของทอรก

I : โมเมนตความเฉอย (moment of inertia)

I“ทอรกและความเรงเชงมมมทศเดยวกน”

โมเมนความเฉอยรอบแกนหมน

www.dekphysics.com

ความยาวรศมมากตานการหมนมากมความเฉอยมาก

ในทางฟสกสมปรมาณทใชบอกความเฉอยในการหมนเรยกวา “ โมเมนความเฉอย” มวลมากตานการหมนมากมความเฉอยมาก

โมเมนความเฉอย (moment of inertia)

www.dekphysics.com

“ โมเมนความเฉอยของมวลสามชน”

2

33

2

22

2

11rmrmrmI

n

iii

rmI1

2

“ โมเมนความเฉอยของมวลหลายชน”

โมเมนความเฉอยรปทรงตางๆ รอบแกนหมนสมมาตร

www.dekphysics.com

กลมตน กลมกลวง กระบอกกลวงบาง กระบอกตน กระบอกกลวง

แทงวตถเลก แทงวตถเลก (แกนหมนปลาย) แผนสเหลยม แผนสเหลยม (แกนตามขอบ)

ทฤษฏแกนขนาน

www.dekphysics.com

แทงวตถเลก (แกนหมนทปลาย)

วตถใดๆ ไมไดมโมเมนตความเฉอยเพยงคาเดยว จรงๆ มหลายคาเพราะมแกนทวตถหมนรอบ ไดมากมายหลายแกน หากจะหาคาโมเมนตความเฉอยของการหมนของวตถใดๆ รอบแกนใดๆ โดยแกนหมนทงสองจะตองขนานกนเรยกวา “ ทฤษฏแกนขนาน ”

2MdIIcmp

pI

cmI

M

d

: โมเมนตความเฉอยรอบแกนใดๆ

: โมเมนตความเฉอยรอบแกนผานจด CM

: มวลของวตถ : ระยะหางระหวางแกนทงสอง

pI cm

I

d

2

22

2

3

1

)2

(12

1

MLI

LMMLI

MdII

p

p

cmp

โมเมนตมเชงมม

www.dekphysics.com

vmP

การหมนของวตถรอบแกน Z P

v

m

: โมเมนตมเชงเสนในแนวเสนสมผส

: ความเรวเชงเสนในแนวเสนสมผส : มวล

ความสมพนธแบบเวกเตอร ตามกฎมอขวา

IL

mrL

rrmL

rmvL

rpL

rpL

2

sin

โมเมนตมเชงมม Angular momentum

L

prL

โมเมนตมเชงมมและทอรก

www.dekphysics.com

สมการโมเมนตมเชงมมทเปนเวกเตอร

IL

)(

IL

พจารณาโมเมนตมเชงมมทเปลยนไป เมอ I คงตว

สมการของทอรก

ถามทอรก กระท ากบวตถจะสรปไดวา n

,...,21

t

L

t

Ln

ii

1

“ผลรวมของทอรกเนองจากแรงภายนอกเทากบอตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมม”

t

pF

I

)(

IL

t

L

tI

LI

กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม

www.dekphysics.com

ถาทอรกหรอผลรวมทอรกเนองจากแรงภายนอกทกระท ากบวตถทก าลงหมนเทากบศนย ท าใหโมเมนตมของวตถมคาคงตว เรยก “ กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม ”

t

Ln

ii

1

01

n

ii

0

t

L

0L

21LL

21LL

แสดงวา

พลงงานจลนของการหมน

www.dekphysics.com

n

iiik

vmE1

2

2

1

สมการพลงงานจลนรวมของมวลยอย 22

22

2

11

2

1...

2

1

2

1nnk

vmvmvmE

n

iiik

rmE1

2)(2

1

2

1

2

2

1

n

iiik

rmE

2

2

1IE

kสมการพลงงานจลนของการหมน

2

2

1mvE

k

งาน พลงงานและก าลงในการหมน

www.dekphysics.com

ทฤษฎบทงาน-พลงาน

kEw

22

2

1

2

1

IIw

)(2

22

Iw

)2(2

I

w

Iw

wงานของการหมน

ก าลงของการหมน t

wP

tP

P

Fsw

FvP

การเคลอนทแบบกลง

www.dekphysics.com

การเคลอนททงแบบเลอนทและแบบหมนไปดวย เรยกวา การกลง(Rolling motion)

พลงงานจลนการกลง = เลอนท + หมน

หมน

เลอนท

22

2

1

2

1

cmcmkImvE

cmv : ความเรวของจดศนยกลางมวล

cmI : โมเมนตความเฉอยเทยบแกน CM

การหมนของวตถรอบแกนซงเคลอนท

www.dekphysics.com

Slipping (การไถล) Rolling (การกลงแบบไมไถล)

Rolling (การกลงแบบไมไถล) : เปนธรรมดาส าหรบรถยนต Rvcm

ถารถไถลไปบนน าแขงลอจะหมนเรวมาก สงผลให Rvcm

ถาคนขบรถเบรกจนท าใหลอรถไถล ลอจะหมนชาเกนไป Rvcm

การกลง : จดศนยกลางมวลจะเดนทางเปนเสนตรง แตจดบนขอบวตถเปน cycloid

สรปปรมาณการเคลอนทเชงเสนและเชงมม

www.dekphysics.com

ปรมาณเชงเสน ปรมาณเชงมม

t

sv

t

maF I

mvP IL

t

PF

t

L

2

2

1mvE

k 2

2

1IE

k

Fsw w

FvP P