Moth. Nachr. 141 (1989) 343-350

Abschatzmgen zum maximalen k-ten Potenzteiler, Teil I Von G ~ ~ N T E R HORN in Jena

(Eingegangen am 17.7. 1987)

1. Einleitung

Fur natiirliche Zahlen n und k = 2,3, ... sei 1 , ?b ist k-frei 0, sonst

&(?a) := mas ( t ; tk/n} und pk(n) := 9

und wir betrachten fur Y > 0 die zahlentheoretische Funktion

worin p die ubliche Mosms-Funktion darstellt. Aus der eneugenden Funktion

ergibt sich nach der Fomel von PERBON fur die Partialsumme

c W n ) = Bk.”(Z) + d,,.(z) n l z

mit dem hier nicht weiter interessierenden Hauptteil Hk.,(x) und dem Restglied

dk,.(z) < zz“, e 2 0, wobei e = 0 der R m m s c h e n Vermutung entspricht.

von

1

Die Erfahrung sagt, daB man von e = 0 weit entfernt ist und bei einer Untersuchung

T,,.(2, I t ) := 6gn) , A = 0 ( 2 ) , z C n S z + h

(1)

in kunen Intervallen (5, x + ia), A = o(x), ldeine e > 0 oder sogar ,o kann.

0 erwarten

Fiir (1) folgt durch Anwendung der Emmschen Summenformel mit dem Parameter u, 1 2

x‘ << u < x, 0 < E < 1, der Funktion y(z) := z - [z] - - und den Festlegungen 1 -

(2) E := z E - ~ , z := e k + l

344 * ' Moth. Nnchr. 141 (1989)

worin

I r i - I

~ < k - 1 .

2. Auibereitung von R

X

u Fur R aus (5) gilt mit (3), w < -, E > 0 und einem y = y(vJ E ) > 0

R = C p(Z) t' + 2, = R, + 2 c PV) t' r < r l k t * S z t h rs iv (;)Ilk ( 5 ; h ) l i X l*>u.rSw <llS -

1*> U

Horn, Abschiitzungen 345

de fur die Teiledunktion d(n) bekanntlich

giltJ wenn nur n hinreichend groS ist. Also gilt fur beliebiges e > 0

(7)

Fiir R, gilt nun

R = R1 + o(h) + o

(9)

Der letzte O-Term erlaubt auch das Eingreifen zweidimensionaler Abschatzungen von KR~TZEL [I 1, was spiiter in einem Teil ,II behandelt werden sol].

3. Triviale Absehiitzung und Folgerungen

Schiitzt man SIJ S, aus (4) und die beiden letzten Summen in (9) trivial ab, so ergibt sich

v + l

E K i , O < v < k (10) lm < I & l < S(5') := E log E , v = k /i j Y > k

346 Math. Neohr. 141 (1989)

und damit fiir (9) die Abschiitzung

1 - und mit w := xkfl

Im Fall 0 < v < k ergibt sich daraus mit u := z*, E > 0

fur O < V < - E > O k '

Der Fall v > k verdient keine weitere Aufmerkssmkeit, da die entsprechende triviale Abschiltzung (10) von S, aus (4) bereits'scharf ist.

Im Fall v = k murde in [3] fur S ( f ) aus (10) -

hergeleitet, und rnit (S), (B), (2) und (11) folgt sofort fiir die Summe der maximalen k-ten Potenzteiler in kunen Intervallen (z, z + h), h = o(z), der

Satz 1. Fur v = k in (1) und E > 0 gilt

Es ergibt sich also insgesamt, daD kleine Y > 0 von besonderem Interesse sind. Die weiteren Untenuchungen beschriinken sich somit auf 0 < v < k mit der trivialen Ab- schatzung (12).

4. Das Zingreifen eindimensionaler Abschiitzungen

Wir betrachten & ( E ) , & ( E ) in (4) und in (9)

und erhalten durch AsELsche Summation mit E, z aus (2) und noch featzulegenden Parametern zl, w1

Horn, Abechiitzungen 347

Fur die Abschatzung der y-Summen benutzen wir nachstehende bekannte Hilfssiitze (siehe etwa K R Z T D L [2]).

1

Eilfssatz 1. Id t tz, (p, q) ein Exponentenpaar, daa sich durch Anwendung eines A-Prozassee auf ein Exponentenpaar (a, a) ergeben hat, und iat 2q I 2pk + 1, so gi l t

1

P (19)

Bemerkungen. Die fur das Exponentenpaar (p , q) geforderte Relation 29 S; 2.pk + 1 hat wegen

1 2

a = - = l + - 1--P ~ 1 + - ~ 1 + - 5 k k + l .

a 1 - (2(” + 1)’ 2 +,(a + 1)

(PJ 9) = A(a> b, =

die Relation b sich fur a = a(%) die Abschiitzung

ak fur das Exponentenpaw (a, b) zur Folge. Da - 5 b 1, ergibt

l - b 1 k P a 2a 2b -

Aua bekannten Ergebnismn fdgt :

Wegen (- -) = A (7, --) ist a = - wiihlbar fur k = 2, 2 13 2 4 5 ia ’ 18 2

4 33 1 1 11 wegen (c, --) = (AB)a Aa (y, F) ist a = 4 mahlbar fiir k = 3,

megen (A, z) = A2 (i, i) ist a =’3 mahlbar fur k 2 4.

(20)

Die Abschiitzung folgt aus bekannten Ergebnissen mit dem Exponentenpartr A

348 X'ath. Nachr. 141 (1989)

silt

Den Werten k = 2,3 ,4 entsprechen die 2-Werte E = 2,1, E = 1,86 . . ., E = 1,625. Beweis. Nach Lemma 6.9 von K ~ T Z E L [2] gilt

worin das Exponentenpaar ( p , q ) das Ergebnis eioes A-Prozesses ist und die Bedin- gungen (23) 2q - 1 > 2pk und (2q - 1) k > 2p

erfiillt sein miissen. Wir wiihlen fiir (22) das Exponentenpaar

Die zweite Bedingung in (23) liefert k(2x+1 - x - 2) > 1, was fiir x 2 2 und aUe k erfullt ist (k = 2,3,4, ...).

(25)

Die erste Bedingung in (23) liefert 2(21- 1) > k + x

und schlieBlich ist mit (24) 2"+1 - x - 1

2 h l - 1 - - x

2 (P + 4 - +) = 1 - 2x+1 - moglichst klein zu machen, und zwar so, daB (25) nokh erfiillt ist. Dies ergibt (21) und (22), was zu zeigen war.

Wir betrachten nun (16) und (17), und wir erhelten mit z aus (2) und 2 -

(26) z1 :s p + 2

durch Anwendung der Hilfssiitze 1 und 2 die Abschatzungen

woraus mit Rucksieht auf (9)

Horn, Abschitzungen 349

mit

(30) 3k + 2 - 2a k + 1

Y. := - 3 k + a

4k - 2 9

folgt, wenn nur v. 2 - , also

5ka + 17k + 6 10k + 4 (31) U S

erfiillt ist. (31) ist fiir die unter Eilfssatz 1 genannten a erfiillt. Fiir k = 2, u = - gilt hierbei daa Gleichheitszeichen. 2 Das Integral in (18) spalten wir wie folgt auf:

5

W wa W

... = J -.. + J ..., wain 101 WLtl W %

Auf das erste Integral wenden wir Hilfssatz 2, auf das zweite Integral den Hilfssatz 3 an. Uber (18) erhalten wir dann

Wird nun in (9) die letzte Summe trivial abgeschiitzt und uber die Abschltzung von S, + S; aus (29) mit 6 aus (2) noch summiert, 80 folgt mit E aus (21) und mit (33)

5?+2 2 4

u k fiir - < v < - 3 5

(35)

und fiir k 2 3 mit a aus (19) und (31) - v 1

k + l a u k fur O < Y < - -

k f a k

I"" 2 5 k + 2 f i r Y. d v < k , worin v. aus (30).

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d*.Y(Z) <‘ (38)

Aus (34) und (36) ergeben sich die optimalen Parameter

2 x m fiir O < V ~ -

3

2 4 f u r - < c v < - 5

Z T 3

4 ZV2

0v+5 - 15u+E

k f l a 5 kfl Fli t o < v < - -

k + a k

v 1 D-- + -

Der zmeite Term rechts in (34) mit E itus (21) wird fur kein k wirksam, da stets E > F. Fur k = 2 , 3 , 4 ergeben sich die folgenden F-Werte (E-Werte) :

F = 2 ( E = 2,1), P = 1,66 ... (E = 1,86 ...), F = 1,5 ( E = 1,625).

Literatur

[ 1 J E. KRATZEL, Zweifache Exponentialsummen und dreidimeneionnle Gitterpunktprobleme. Bannch Center Publications, Volume 17, PWN-Polish scientific Publishers Warsaw 1985

[2] -, Lattice points, VEB Deutscber Verleg der Wissenschaften Berlin (im Druck) [3] 0. HORN, Ein Teilerproblem, Math. Nachr. 116 (1984)

Seektion dlathematik Friedrich-Schiller- Universitiil U&vers&itahoch?uzua DDR - Jena 6900