' M&. Nachr. 147 (1990) 167-173

Abschatzungen zum ma.ximalcn k-ten Potenzteiler

Teil I1 17on GUNTER HORN in Jena

(Eingegangen am 20. 8. 1987)

1 . Einloitung

Jjbr ~iaturhche Zahlen n und k = 2, 3, . . . wurde in Teil I &(a) := 1nax j f ; t"n)

und genaner die summatorische Funktion

(1)

fur Y > o und kurze Intervalle ( 5 , ~ + I t , ) , h = o ( x ) , betrachtet. Fiir ( 1 ) ist

(2)

woriii der Hauptteil H E , ~ ( s , h) in (6), Teil I , dargestellt ist. Die triviale Abschatzung des Restgliedes d,,,(s) ist fur kleine 1' = E > o entspreche~ld (12) am Teil 1

Tk,"(T, h) := 2 a;(??), h = o ( x ) r<nS.r+h

Y 1 k . Y ( 5 , 7 L ) = I I k . v ( X , ] I ) + A k , " ( X ) ,

und kann bei Gultigkeit der RIEMANNSC~~II Vermutung nicht wesentlich besser sein als

1

(B) dk,,(S) -g G. Fiir kleine 1' = E > o wurde mit (38), (39) und (40) aus Satz 2, Teil 3 ,

nachgewiesen unter Verwe~idung eindimensionaler Abschiitzungsmethoden. Dieses Er- gebnis wird mit den nachstehenden Untersuchungen, die in sa tz 3 in schwacherer Form zusammengefafit sind, verbessert zu

168

worin

d(x, u) := , (43)

Math. Nschr. 147 (1990

\

k + l a k + a k

v l - +- xk+l k+alogz fur - - I v < v ,

5v+2 - x 5 k + 2 fiir v, sv < k.

(El ,4:= ( X - 4) 7/30, X = 6, 7,8, ..., 3 . 2'-' - x + 2 5 k 5 3 . 2"-' - x .

Hierbei gilt genauer fiir o < 7' < k und mit (Q), (34), (35) und (36) aus Teil I mit Erg&. nissen aus [2]

worin fiir E = 2

2 uk fiir o < v 2 -

3

4 5 -

1 z- log x fiir - 2 v < k

und fur E 2 3 mit a aus (19) und v. aus (30), Teil I,

Schatzt man die verbliebene Summe in (41) trivial ab, so erhalt man Satz 2 in Teil I und damit auch obiges Ergebnis (C).

2. Das Eingreifen zwoidimensionaler Abscbltzungsmetboden

Zur Abschatzung der Summe in (41) benutzen wir jetzt

achem Ebene, x > 0, k > o und Hilfssatz 4 . Es sei (TQ, L,) ein durch die Paramder e , p vorgegebener Punkt der euklidl-

(45) / ( 1 , 2 ) := x t - k Z - k , 2, 1 > 0 .

I

Horn, Abschatzungen 169

Dann exlsdllert ein 6 > 0, so dap tiir abs Gebtet

(46) D& 1 ) : T , < t I (1 + 6) T,, L, < 1 I (1 + 6) L,,

1w _r XI, xf+l 5 xk

a& fur Uitterpunkte ( t , Z ) 1 3 K - n - k 3 K - 2 - k - - ~ 2 y ( f ( l , 1 ) ) < x3X--IT 3 K - 1 L 3K--1 log z

U J ) € D P , , (47)

g iU, umin R := 2x-2 und x = 2, 3 ,4 , ... Beweis. Es kommt Satz 2 bei KRATZEL [l] zur Anwendung fur die spezielle Funk-

tion f in (45). f und die partiellen Ableitungen von f erfullen die dort formulierten Vor- aussetzungen. Der Nachweis hierfiir entspricht der Beweisfuhrung zum anwendungs- orientierten Hilissatz 5 bei KRATZEL [ 13 fur die allgemeinere Funbtion

f ( t , 2 ) = z ~ l u ~ ~ - - l w ~ - u l w , u., 0, w h 1 ,

Im obigen Hilfssate ist lediglich die Summationsbedingung D,,, modifiziert, was noch nachstehende Bemerkungen notwendig macht.

Fur die Anwendung von Satz 2 bei KRATZEL ist

X X L<- T<<-

TkLk ' Tk Lk (48)

nachzuweisen fur T = T, und L = L,, aus der Summationsbedingung D,,,,. Van dort ist

I 1 X - TkLk < x1 d. h. - TkLk < x sowie T << x: , L Q x:

XI

ablesbar. Hinreichend fur (48) ist also

und fur (49) ist schlielllich hinreichend

was wegen xf+l 5 xk aus der Summationsbedingung DQ,,, erfullt ist. Weiter mu8 fur die Randkurven 1 = r(Z) von DP.,,

1 - r(2) = const., r(Z) = x: Z - ' ,

die Bedingung

170 Math. Nachr. 147 (1990)

erfullt sein, was wegen

auch erfiillt ist.

Schlieblich ld3t sich analog zum Beweis von Hilfssatz 5 bei KRATZEL [ 13 die Hessesche Determinan te

mit

so nach unten abschatzen, da13 die erhaltene untere Schranke, also auch H , posit,iv ist, wenn die Relation

k + x - 1 k + l k + x - 2 k

( 1 + ( x - 1) 8)4k+ZX < .-

fur ein positives b erfullt werden kann. Dies ist offensichtlich der Fall, und 6 > o dient der FestJegung des Gebietes I)@,,. Allerdings nur notwendig in bezug auf die 1-Variable, auf die WEYLsche Schritte angewandt werden. Die Festlegung des l-Intervalls ist der Symmetrieeigenschaft von j ( t , I) und der nachfolgenden Anwendung angepabt. Der Beweis ist somit abgeschlossen.

Wir betrachten nun die verbliebene Summe in (41) und beabsichtigen die Anwendung von (47). Dies geschieht, fiir 1 5 t direkt und fur 1 > t durch Vertauscheri von T, und L, in (47), d. h. im zweiten Teilgebiet werden die WEvLschen Schrithe auf die 1-Variable angewandt. Ohne Ueschrankung der Allgemein heit betrachten wir deshalb die Summa- tionsbedingung der Summe in (41) unter der zusatzlichen Bedingung 1 _I t , woraus

l Z k 5 - folgt. Wir wiihlen dann fur 5

W in Hilfssatz 4

1 (”)”. (1 + 8)-1, T, := ( i ) G . (1 + S ) Q L p : = w

5

Ul 5 1 := - , x 5 W k + l

und erfassen das Summationsgebiet der Summe in (41) fur 1 5 t 5 dk durch Summation iiber die ganzzahligen Parameter p, e , wobei mit den Randparametern p r , pr und put die sich aus

- L,, = ,L , 1 -

T,, = t f und 1 -

LPY = u k

Horn, Abschatzungen 17 1

ergeben, insgesamt gilt:

Inax (p , , 0) < p I p u , -p 5 e < min ( p , e,) . Da fur hinreichend groBe t sowohl p , < o als auch e , > p gilt, bezogen auf (41) mit (47),

W 1*> u.PS1

1 3 K - 2 - k 3 K - x - k

<< x3K--1 -2 L T 2 T F log z B e (z) k 3 K - I +z 3 x

k f 2 - - 3 K 3 K - x - k 1 3 K - 2 1 2--x -- -

log zf (1 + 6 f o l c - 1 (1 + B f 3 x - - 1 . p = 1 --cSe<p

Fur (41) ergibt, sich folglich mit k + x 5 3K, x > 2

1 3K-2 1 2--x i -- --

+ (2)i uj& ( E ) k 3K--1 2k 3 K - I log2 x

mit d(z, u) am (42 ) und (43), E aus (44), k + x 3K und h' := 2*-2 mit x = 3 ,4 , 6 , , . . Der Vergleich der beidcri letzten Terme in (53) liefert .

1 2 K - 4 - Y

(54) u) := x ( G K - - O k + 1 2 K - 4 - n , k + x 5 3 K ,

und es ist wir erforderlich 7 d i 1 2 z. Weiter ist

Der Exponent rechts in (55) nimmt sein hlinimuni bei x = 5(k 5 19) an. Fur jedes vorgegehene x 2 3 gilt bezhglich der zugehorigen k

3 . 2%-3 - + 2 5 x. =( 3.2"-2 - %. (56) Fur x 2 6 schiitzen wir nun den Exponenten rechts in (55) rnit (56) nach oben ah:

OK - X

6K - x

(OK - 4) k + 12k - 4 - x

( (; ) 3 . 2"-' - 2% + 6))' 5 k + 2 + - - 2 6 . 2 x - 2 - x

g ( E + 2 + (; - 2 ) 7 / q 1

I - ( k + 37/15)-l.

172

(62) 4 4 4 < *

Math. Nmhr. 147 (lQQo)

‘ D ” + i k.+ 1 u o < v < - -

k + u k

I v < v . k + l u k + n k -

2 F k ,

r 1

X i T i + r+o log 2 , - - 5r+ 2 -

2 5 k + 2 , v , , s v < k

D a j t ergibt sich

1 1

(67) (z)T w < XE worin

1 + 37/16k fur k > 10.

Hieraus folgt im Vergleich mit d(x, u) aus (43)

k 43a-k-87 - 44k4-87 fur k 5 19

~a k+37/15 fur k > 19. k e-37/15 --

(59) u :=

Wir betrachten nun noch den zweiten Term rechts in (41) mit E aus (44). Zu einem dort vorgegebenen Exponenten n 2 2 gehoren alle k 2 2 mit

Mjt (60) folgt durch einfache Rechnung, dab stets E > F . Wir haben also den

Gatz 3. Fur daa Restglied i n (2) g i l l fur k = 2

und jiir k 2 3 mi1 v, aus (30), bi am (19), Teil 1,

Horn, Abschltzungen 173

w i n F am (68) und

k i - 87 k + a 1 ,..s .-.- 44k + 87 k + 1 a

fii. k > 19. 37/16 k + a 1

k + 37/16 k + 1 a .-.-

(63) I) :=

Literatur

[I] E. KR~TZEL, Zweifache Exponentialsummen und dreidimensionale Gitterpunktprobleme, Banach Center Publications, Volume 17, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsaw 1986, 337 - 389

[2] -, Lattice Points, VEB Dt. Verl. d. Wiss., Berlin 1988

Seklion Mathematik Friedrich-&hiller- Universilrit Universitdshochhaua DDR - Jena 6900