Symmetriearten

• Achsensymmetrie• Punktsymmetrie• Drehsymmetrie• Schubsymmetrie• Schubspiegelungssymmetrie

Gibt es schubsymmetrische Figuren?

Bandornamente, die als unendlich zu betrachten sind, sindschubsymmetrisch.

Bandornamenteaus verschiedenenKulturen

Dieses Bandornament ist nicht nur achsensymmetrisch und schubsymmetrisch, sondern auch schubspiegelungssymmetrisch.

Muster in der Fläche

Parkettieren

= vollständiges lückenloses, überlappungsfreies Auslegen der Ebene mit Figuren

Dreiecksparkette

Abgeleitete Figuren

„Nicht-normale“ Parkette aus Quadraten …

„Nicht-normale“ Parkette aus Rechtecken

Ein Parkett aus einem allgemeinen Viereck erstellen

Parkette aus Vierecken …

Parkett aus konkavem Viereck

Parkett aus konkavem Viereck

Gegenbeispiel

Notwendige Passbedingungen beim Parkettieren

• Beim „normalen“ Parkett stoßen die Figuren an einer Ecke zusammen:Der Gesamtwinkel muss genau 360°betragen.

• Aneinander stoßende Seiten müssen hier gleich lang sein.

Innenwinkelsumme S im n-Eck

Kernidee:Zerlegen in Dreiecke

Im Fünfeck:3x180°

Jedes weitere hinzukommende Eck bedeutet ein weiteres Dreieck, also + 1x180°

Allgemein:S = (n-2) x 180°

Innenwinkelsumme S im n-Eck

Kernidee:Zerlegen in Dreiecke

Im Fünfeck:5x180° - 360°

Allgemein:S = nx180° - 360° =nx180° - 2x180° =(n-2) x 180°

Archimedische Parkette• Sie enthalten zwei oder mehr

Sorten regelmäßiger Vielecke• An jeder Ecke gibt es von

jeder Vieleckssorte die gleiche Anzahl

• Jede Seite eines Vielecks ist Seite eines weiteren Vielecks; insbesondere sind alle Seiten gleichlang

• Zu je zwei Ecken P und Q des Parketts gibt es Drehungen, Verschiebungen oder Spiegelungen, die P auf Q und das Parkett auf sich abbilden

Zählweise bei archimedischen Parketten

Innenwinkel in regelmäßigen n-Ecken

1512109865

90°460°3Winkeln-Eck

171 3/7°42165°24162°20160°18156°15150°12

147 3/11°11144°10140°9135°8

128 4/7°7120°6108°590°460°3

Innenwinkel in regelmäßigenn-Ecken

Die Passbedingungen sind hier zunächst erfüllt. Jedoch lässt sich die Ebene nicht mit dem Typ 10,5,5 parkettieren

Parkettieren mit mindestens zwei Sorten regelmäßiger Figuren:

Bei einem archimedischen Parkett sind alle Ecken vom gleichen Typ.

Hier 3,3,3,4,4

bzw. 4,3,4,3,3

Typ: 4,3,4,6

10

10

4

3

2

2

1

1

Summe360°

12-Eck150°

8-Eck135°

6-Eck120°

4-Eck90°

3-Eck60°

Entstehung weiterer Parkette