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stellung zwischen den deterministisch in polynomialer Zeit ent- scheidbaren und den NP-vollstindigen Problemen einnimmt.

Aufgrund seiner theoretischen Orientierung ist das Buch vor- wiegend fi i r Spezialisten auf dem Cebiet der algorithmischcn Kompliziertheitstheorie geeignet.

Berlin TH. FISCHER

Rockafellar,R. T., The Theory of Subgrad ien t s and Its Appl ica t ions t o P rob lems of Opt imiza t ion . Con- vex and Nonconvex Functions. Berlin, Heldermann Verlag 1981. 114 S., DM 28,-. ISBN 3-88538-201-6 (Research and Education in Mathematics 1)

Dar hier vorgelegte 1. Band der Reihe ,,Research and Educa- tion in Mathematics“ beinhaltet Vorlesungen, die vom Autor des Buches 1978 an der Universitiit von Montreal gehalten wur- den. Der Inhalt basiert auf Forschungsergebnissen der 70er Jahre, die hicr in straffer Form dargestellt werden und vor allem auf CLARKE, HIBIART-URRUTY, MIQNOT und den Autor selbst zuruckgehen. Bei der Darstellung wurden Beweise oft durch entsprechende Literaturangaben ersetzt.

Kapitel 1 (Nondifferentiable Functions in Optimization) gibt anhand mehrerer Beispiele eine gute Motivation fur das zu ent- wickelnde Konzept fur nichtkonvexe, nichtdifferenzierbare Funktionen in der mathematischen Optimierung. I n Kap. 2 (Tangent Cones and Normal Vectors), Kap. 3 (Subderivatives and Subgradients) und Kap. 4 (Lipschitzian Cases; Subgradients as Limits) entwickelt der Autor den Subdifferentialbegriff fur nicht notwendig konvexe Funktionen, wobei auch Beziehungen zu anderen abgeschwiichten Differenzierbarkeitsbegriffen unter- sucht werden. Kap. 5 (Stationary Points and Subdifferential Calculus) umfaBt Modifikationen fur stationiire Punkte, wobei sich die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelte Theorie als tragfiihiges Instrument cur Beschreibung eignet. Wiihrend die Kapitel 2 bis 5 vorrangig dem nichtkonvexen Fall gewidmet sind, reduzieren sich die Anwendungen in Kap. 6 (Duality and Marginal Functions) und Kap. 7 (Monotonicity of Subgradient Multifunctions) fast ausschliefllich auf bekannte konvexe Fro- blemstellungen und Resultate. Auch wenn alle Untersuchungen nur fur Funktionen auf dem endlichdimensionalen euklidischen Raum durchgefiihrt wurden, werden vom Leser doch genauere Kenntnisse der konvexen Analysis vorausgesetzt. Diese nutzt der Autor rnit didaktischer Meisterschaft, um den gegenwlirtigen Stand und offene Fragestellungen bei der theoretischen Unter- suchung nichtkonvexer Optimierungsprobleme darzulegen.

Ein breiter Leserkreis der auf dem Gebiet der mathematischen Optimierung tiitigen Mathematiker und Studenten wird mit diesem Heft angesprochen. Es darf angenommen werden, daD es zusammen mit dem Buch von DEM’JANOV/VASIL’EV: Nicht- differenzierbare Optimierung ; Nauka 1981 (russ.) eine neue Entwicklungsetappe in der Theorie der nichtkonvexen, nicht- diffeknzierbaren Optimierungsprobleme eroffnet.

Ilmenau R. NEHSE

Al-Moajil, A. H. / Benharbit,A., Basic Mathemat ics . A Precalculus Course for Science and Engineering. Dhahran University of Petroleum and Minerals & Chichester, John Wiley & Sons 1981. XII, 308 S., t: 6.50. ISBN 0-471-27942-0

Dieser Vorkurs zur Analysis ist fiir angehende Ingenieure gedacht und bringt in seinem Hauptteil das spiiter nicht mehr benutzte elementare mengentheoretisohe Vokabular, reelle und komplexe Zahlen, die elementaren Funktionen, das Rechnen mit ihnen und ihre Graphen, Kegelschnitte und schliefllich den Limesbegriff nebst allem ubungsmaterial.

REDAKTION

Dunning-Davies, J., Ma themat i ca l Methods f o r Ma- t h e m a t i c ia n s P h y s i c a1 S c i e n t i s t s a n d Engineers. Chichester, Ellis Horwood Ltd. t New York-Brisbane-Chi- Chester-Toronto, J. Wiley & Sons 1982. 416 S., f 19.50/8.50 P/B .

This book contains a collection of mathematical methode, basic theorems and formulas representing necessary tools not

only for students and teachers in mathematics, physics or engineering but also for scientists working in biology, chemistry, economy etc and needing mathematical methods for their research. It covers the main parts of real analysis (functions of one and several variables, integration with many examples, infinite and Fourier series), some basic properties of matrices and determinants, vector algebra and analysis including the classical Green’s and Stokes’ theorems, line, surface and volume integrrtle and some results on tensors. Much is said about ordi- nary differential equations, especially linear equations and Laplace transforms are treated in details. The most important types of partial differential equations for applications are pre- sented, too. Further there is some material on special functions, complex numbers and functions of a complex variable. All material is well presented and essential results are proved, there are many instructive exercises. All in all the book can be re- commended to those mentioned above.

Berlin H. WEINERT

Hanna, J. R., Bburier Series a n d In t eg ra l s of Boundary Value Problems. New York, John Wiley & Sons 1982. XI, 271 S., S 23.66. ISBN 0-471-08129-9

Das vorliegende Buch gibt eine gute und ubersichtliche Ein- fiihrung in spezielle Randwertprobleme bei partiellen Differen- tialgleichungen, die insbesondere mit Hilfe der Fourierschen Methode behandelt werden konnen. Zur Grundlegung der Fou- rierschen Methode ist die Theorie der Fourier-Reihen, - Inte- grale und -Transformationen ausfiihrlich dagelegt. Diem Zu- sammenstellungen iiber Definitionen, wichtige Eigenschaften und Vorzuge konnen auch unabhiingig vom Ggenstand des Buches genutzt werden. In weiteren vorbereitenden Abschnitten werden Grundbegriffe und wichtige Fakten von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen und von orthogonalen Funktionensystemen angefuhrt.

Im Hauptteil werden anhand von speziellen Randwertpro- blemen die Losungsmoglichkeiten mittels der Fourierschen Me- thode erliiutert. Behandelt sind Differentialgleichungen fi i r klassische Probleme, z. B. Schwingungen von Ketten und Mem- branen, Wiirmeleitungen, Laplacegleichungen. Neben der Rer- leitung der Anfangs- und Randwertprobleme aus den physika- lischen Aufgabenstellungen werden Losungen fur verschiedene Fille und bei unterschiedlichen Randbedingungen angegeben. Am Ende folgen zwei Kapitel rnit ebenfalls einfiihrendem Cha- rakter uber Definitionen und Eigenschaften von Bessel-Funktio- nen und Legendre-Polynomen sowie deren Verwendung zur Behandlung von Randwertproblemen.

Das Buch ist als Anleitung zum Kennenlernen der Problematik durch seine Vbersichtlichkeit, unkomplizierte Darstellung und Erliuterung aller Schritte rnit einer Vielzahl von Beispielen gut geeignet und zu empfehlen. Da der Inhalt uber Standard- aufgaben nicht hinausgeht, kann es dem Fachmann allerdings kaum Unbekanntes bieten.

Berlin H. B b m B I c ~ i

Hammerlin, B. (ed.), Numer ic a1 In tegra t ion . Proceed- ings, Oberwolfach 1981. Basel-Boston-Stuttgart 1982. Birk- hiiuser Verlag. 276 S., DM 58,-. sFr. 62.-. ISBN 3-7643- 1264-8 (ISNM 57)

Die in diesem Bericht zugrunde liegende internationale Ta- gung ist eine Fortfiihrung der ersten, drei Jahre zuriickliegenden Konferenz in Oberwolfach zum Thema numerische Integration. In diesem Band sind 24 Ausarbeitungen der gehaltenen Vortriige zu finden. Auflerdem ist ein Abschnitt rnit offenen Problemen enthalten. Es wurden eine Vielzahl verschiedener Fragestellun- gen bei ein- und mehrdimensionalen Integralen behandelt, bei denen sich folgende Schwerpunkte erkennen lassen. Im Falle der numerischen Integration in n Dimensionen treten Fragen der Optimalitiit, der Behandlung singuliirer Integrale und auch der Konstruktion und Implementierung von Formeln fur spezielle Integrationsgebiete in den Vordergrund. Im Falle einer Dimen- sion wird ebenfalls an optimalen Formeln und singuliiren Inte- granden gearbeitet. AuBerdem stehen hier weiterhin Fragen der Fehlerschranken sowie Integrationen fur speziellere Funktions- klassen, wie konvexe Funktionen und auch allgemeinere theo-