algorithmen in akustik und computermusik Piotr Majdak - …iem.at/~majdak/alg/VO/nonlin.pdf · 2007-03-27 · Volterra Series Expansion ... • W. J. Rugh. Nonlinear System Theory

nichtlineare signalverarbeitungPiotr Majdak - [email protected] in akustik und computermusik

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Inhalt Nichtlineare Systeme Voltera Reihenexpansion Statische quasi-nichtlineare Systeme Dynamikprozessoren

• Kontrollparameter• Anwendungen

Frequenzabhängige nichtlineare Systeme Signalverfremdung Messparameter 27.3.2007


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Allgemein LTI:

Nichtlinear TI:

Asin T Bsin T H Z

Asin T Bsin T

∑n

Bnsin n⋅Tn

n∈ℕ


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Definition Lineare Systeme:

Nichtlineare Systeme: • Systeme, die die obere Gleichung NICHT

erfüllen• keine Einheitliche Definition für alle nichtlineare

Systeme!• verschiedene Systemklassen: viele

verschiedene Definitionen

T {a⋅x t b⋅y t }=a⋅T {x t }b⋅T { y t }


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Polynomiale Systeme Klasse der polynomialen Systeme:

ist ein Polynom der i-ter Ordnung Superposition verschiedener Polynome Polynomiales System des Grades p

y n=∑i=0

p

f i { x n , x n−1 , , x n−N ,

y n−1 , y n−2 , , y n−M }

f i { }


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Bilinearer Filter Idee:

rekursiver Anteil Erweiterung eines linearen IIR-Filters

y n=∑i=0

N 1

ai xn−i ∑j=1

N 2

b j y n− j ∑i=0

N 3

∑j=0

N 4

cij x n−i y n− j

x , y , x⋅y y n


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Quadratischer Filter Idee:

System 2-ter Ordnung Keine Rückkopplung Erweiterung eines linearen FIR-Filters

• h1 ... Impulsantwort

• h2 ... Kernfunktion

x , x2 y n

y n=∑i=0

N 1

h1 x n−i ∑i=0

N 2

∑j=0

N 2

h2i , j ⋅x n−i ⋅x n− j


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Homogene Gleichung Polynomiales System:

Übergang: Homogene Gleichung:

y n=∑i=0

p

f i { x n , x n−1 , , x n−N ,

y n−1 , y n−2 , , y n−M }

f i { }=∑v1∑

v 2

∑vN

hv1, v2, , vN x n−v1 x n−v2x n−vN

y= f { x , y } y= f { h , x }

Kernfunktion


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Volterra Series Expansion

für leicht nichtlineare Systeme besonders gut geeignet (Ordnung p ist klein)

y n=∑i=1

p

f i n

=∑v1=0

h1v1 x n−v1

∑v1=0

∑v2=0

∑v p

h pv1,v2, , v p

x n−v1 x n−v2 x n−v p

∑v1=0

∑v2=0

h2v1, v2 x n−v1 xn−v2


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Volterra System: Factored Kernels Faktorisierung der Kernfunktionen:

hi v1, v2, , v i=hif v1⋅hi

f v2⋅⋅hif v i

y n=∑v1=0

h1f v1 xn−v1

∑v2=0 h2f v2 xn−v2

2

∑v N=0hN

f vN x n−vN N


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Statische nichtlineare SystemeFür Systeme ohne Speicher:

• Kern wird zu einem Skalar:

• Der Ausgang kann durch ein Polynom beschrieben werden:

Allgemein:

hif vi

hi n1,n2, , ni=Ai⋅u n

y n=∑i=0

Ai xi n

y n= f [ x n ]


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Verstärkungskennlinie Für statische nichtlineare Systeme genügt

eine Kennlinie:

y n= f [ x n ]

y n

x n


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Dynamikprozessoren Veränderung der Einhüllenden laut

Parametrierung Harmonische Verzerrung so gering wie nur

möglich

in dB:

y n= f [ xn]

y n=x n⋅g n

Y n=X nG n


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Verstärkungskennlinie Zusammenhang: Y(n) und X(n)


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Verstärkungskennlinie - Parameter Kompressionsfaktor:

Slope Factor:

R= XY

S=1−Y X

S=1− 1R S= 11−S

X

Y {


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Control Parameter Envelope Follower:

• Spitzenwert• RMS

Attack/Release Time


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Spitzenwert Attack time : Release time :

AT=1−e−2.2T S /t AT

RT=1−e−2.2T S / tRT

t AT

t RT

T SAbtastperiode


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Effektivwert Average time :

Andere Formen:• Cepstrum• Hilbert-Transformation

t AVR TAV=1−e−2.2T S / t AVR

T SAbtastperiode


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Attack Timet AT Attack Time

Zu kurz:• Dynamikfluktuation • Verzerrungen

tieffrequenter Signale Zu lang:

• Clipping-Gefahr

Bereich: 0 - 100ms


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Release Time Release Time

Zu schnell:• Chopping

Zu langsam:• Atmen/Pumpen

Bereich: 100ms - 3s

t RT


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Attack / Release Time Control Struktur:

f = f n−1− f n Richtung f , Schwelle

Umschaltung zw.Attack und Release

K

g n=K⋅f n y n−1⋅1−K


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Dynamikprozessoren


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Limiter Möglichst keine Dynamikveränderung Kontrolle der Spitzenwerte Parameter:

Side chain:

S L=1 RL=∞

F=−S L⋅X −LT

−S L


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Limiter Thr=0.5

t RT=5mst AT=100 usf s=44.1kHz


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Kompressor / Expander Parameter:

0SC1

F C=−SC⋅X −CT

−∞S E0

F E=−S E⋅X −ET


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Kompressor / Expander Hard vs. Soft Knee:

Alternative Struktur:

Expander Linear Kompressor


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Noise Gate Parameter:

• Hold time• Depth of Cut, Floor or Ratio Control


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Vergleich Kompressor

Expander


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De-esser Reduktion der Zischgeräusche Unterschied zum Kompressor:

Frequenzabhängige Verarbeitung


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Let's rock Verzerren der Signale einer el. Gitarre Ursprünglich: Röhrenverstärker Jetzt: meist digital, mit simulierten Kennlinien Effekte:

• Overdrive• Distortion• Fuzz


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Overdrive Soft Symmetrical Clipping


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Distortion Harte symmetrische Übersteuerung


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Fuzz Asymmetrische Kennlinie Beispiel (Tube Distortion):

f x= x−Q1−e−d x−Q

Q1−edQ

Q=−0.2d=8

Q≠0, x≠Q


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(Sub)-Harmonische


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Exciter Betonung best. Frequenzbereiche um

Klangeveränderungen hervorzurufen Beispiel: APHEX Aural Exciter


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Klirrfaktor k Total Harmonic Distortion (THD):

Total Harmonic Distortion + Noise (THD+N):

Signal In Noise And Distortion (SINAD)• THD+N in dB

k= ∑n=2

An2

A12∑

n=2An2

THDN= Eout−Ein

Eout

k= A2

∑n=1

An2 =1,2 ,N k=k 2

2k32k N

2

X out f =X in f ⋅H notch f


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THD Beispiel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

f in Hz THD=0.55296%

amp

in d

BAmp1_ch01amp0.0freq1000.0_adc0.wav

signalsearch for peak rangepeak foundmax of noisethreshold of peak energybins above threshold


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Weiterführende Literatur• W. J. Rugh. Nonlinear System Theory. The Johns Hopkins

University Press, Baltimore and London, 1981, ISBN: 0-8018-2549-0

• M. Schetzen. The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Robert Krieger Publishing 1980

• G.W. McNally. Dynamic range control of digital audio signals. J. Audio Eng. Soc., 32 (5): 316 – 327, Mai 1984

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