Systemanalyse und Modellbildung

Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften

Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes

6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen:

6.1.1 Autonome nichtlineare Modelle

• Die allgemeine Form der Differentialgleichung )),(

~(

)(~

ttVgdt

tVd = zeigt, dass die

Funktion g explizit und via die Systemvariable implizit von der Zeit abhängen.

• Kann die äußere von der inneren Relation getrennt werden, erhalten wir für allgemeine Form die spezielle Form: ))(

~()(

)(~

tVftRdt

tVd +=

Beispiel: Logistisches Wachstumsmodell NNpk

dttdN

)()( = wobei für kp(N) eine Funktion gewählt wird, die von einem

maximalen Wert bei N=0 linear abnimmt und für Nmax null wird, d.h. N

N

Npkpk )

max1(0 −= .

Aus NN

Npk

dttdN

)max

1()( −= ergibt sich die allgemeine Lösung:

00

0max

0

max)(

Ntpk

eNN

NNtN

+−

−

=

���� � ∑ ������! �� � ���� Taylorreihe

6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen:

6.1.2 Fixpunkte autonomer nichtlinearer Modelle mit einer Systemvariable

Lineare eindimensionale Modelle haben nur einen Fixpunkt, nichtlineare Modelle können jedoch mehrere Fixpunkte haben. Voraussetzung bei eindimensionalen autonomen Modellen: Die äußere Relation ist konstant, da sonst keine Fixpunkte existieren, d.h. die äußere Relation wird implizit in die vereinfachte Veränderungsfunktion wie folgt aufgenommen:

))(~

()(

~tVg

dttVd = mit k Nullstellen, für die gilt: 0)

~( =∞

iVg bzw. ki

iVdt

Vd,...,1,0

~

~==

∞, beim

Erreichen des Fixpunktes.

Formal wird die Stabilität in der Umgebung der Fixpunkte über die Entwicklung einer Taylorreihe für kleine Änderungen der Variablen gezeigt (siehe Seite 132 bei Imboden, Koch 2004). Uns genügt das Ergebnis formal und in graphischer Form:

0~

~<

∞iVdt

Vd stabiler Zustand 0~

~>

∞iVdt

Vd instabiler Zustand, 0~

~=

∞iVdt

Vd höhere

Ableitung sind zu betrachten

6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen:

6.1.3 Fixpunkte nichtautonomer nichtlinearer Modelle mit einer Systemvariable

Annahme: Die externe Relation lasse sich explizit von der internen Relation trennen. Folglich erfüllen die stationären Zustände des Systems die Bedingung:

kifürtRiVf ,...,1)(~

)~

( =−=∞ beim Erreichen des Fixpunktes. Voraussetzung ist, dass R(t) zumindest für eine gewisse Zeit einen konstanten Wert R(t) =R0 annimmt. Beispiel: Fischteich mit logistischem Wachstum

Fische wachsen mit der logistischen Wachstumsfunktion. Gleichzeitig wird pro Zeiteinheit eine bestimmte Anzahl an Fischen abgefischt. ���� � ���� �1 � ������ � �� � ���� � �� ≡ ���, wobei f(N) die

logistische Wachstumskurve sei

In der folgenden Grafik sieht man, falls �� > �"#$� gibt es keine Fixpunkte mehr und die Fische sterben aus.

6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen:

6.1.4 Hysterese bei nichtlinearen Modelle mit einer Systemvariable

Bei nichtlinearen Modellen existieren zu einer konstanten Relation mehrere stationäre Zustände. Wird die äußere Relation adiabatisch (d.h. genügend langsam) geändert, tritt das Phänomen der Hysteresis auf. Fixpunkte sind durch folgende Bedingung definiert: ��%$�� ���, �ü(* � 1,… , � Wenn f(V) eine stetige Funktion ist und die Gerade (-J) mindestens einmal schneidet, dann muss f(V) abwechslungsweise einmal von oben und einmal von unten durch die Gerade (-) gehen, d.h.:

• Im ersten Fall ist die Steigung negativ, also der Fixpunkt stabil. • Im zweiten Fall ist die Steigung positiv, also der Fixpunkt instabil. • Im dritten Fall ist die Steigung wieder negativ, also der Fixpunkt

wieder stabil. • Die stabilen und instabilen Voraussetzung ist, dass R(t) zumindest

für eine gewisse Zeit einen konstanten Wert R(t) =R0 annimmt. Die Funktion f(V) sei ein Polynom dritten Grades (siehe Abbildung): ��%� � �%�% � ��% � ,� Dann haben wir ein lokales Minimum an der Stelle VA (mit Wert fA < 0) und ein lokales Maximum an der Stelle VB(mit Wert fB > 0) hat. Wir erhalten also Bereiche mit stabilen Fixpunkten und einen Bereich, die von unterschiedlichen Sprungstellen aus übersprungen werden. Dieses Phänomen wird Hysterese genannt. (mehr Details auf Seite 138 und 139).

Koerzitivkraft

Remanenz

Sättigung: Maximale Ausrichtung

Magnetisierung

Angelegte Feldstärke

Remanenz-Kurve

Feldstärke

Analogie: Hysterese-Kurve für magnetisierbares Material

6. Nichtlineare Modelle 6.1 Nichtlineare Modelle mit einer Systemvariablen:

Beispiel: Nichtlineares Phosphormodell

Die Phosphor-Einlagerung ins Sediment ist jetzt nicht mehr lineare Funktion des mittleren Phosphor Gehaltes (ksC). Die Phosphor-Sedimentationsrate nimmt mit wachsender Konzentration ab und kann sogar negativ werden. Aus der dynamische Gleichung �-�� � �./$ � �./ � �0�/�/,1*234(54(4*6� 7ℎ2469:6�2*;6�0 � <"=� �ü( ->-?@AB-C-?@AB , d.h.

erhalten wir zunächst: �-�� � �./$ � �./ � <"=-� �ü( ->-?@AB-C-?@AB.

• Der nichtautonome Inputterm kw C ist im allgemeinen Fall zeitlich

nicht konstant; also werden keine stationären Zustände erreicht.

• Dennoch ist es nützlich, fiktive stationäre Zustände in Abhängigkeit

einer konstant angenommenen Inputkonzentration zu analysieren.

Wir suchen nach einem statischen Modell mit: /�*D29:6�2*;65;6�/$�, welches implizit im dynamischen

Modell steckt.

• Das Modell besteht eigentlich aus der Überlagerung von zwei

linearen Modellen, eine sogenannte Superposition von den zwei

Fixpunktgeraden:

/��/$� � E/$ �.�. + �0 ≡ /G��ü(/� < /"#$�/$ ≡ /I��ü(/� ≥ /"#$� Die Fixpunktgerade A in der nachstehenden Abbildung hat die

Steigung: "K"KL"=.

Die Fixpunktgerade B hat die Steigung 1.

Anpassungsvorgang:

• Cin sei erst so klein, dass die stationäre Konzentration /G� < /"#$� ist.

• Wächst Cin langsam, erreicht diese Konzentration bei einer

Inputkonzentration C* den kritischen Wert, wo er von der

Fixpunktgerade A auf die obere Fixpunktgerade B springt::

/G��/∗� � �.�. + �0 /∗ � �.�. + �0 �. + �0�. /"#$� � /"#$� • Bewegt sich umgekehrt das Modell von großen Konzentrationen

auf der Fixgerade B abwärts, wird es nicht bei /$ � /∗auf die

Fixgerade A springen.

Ergebnis:

1.Das Modell hat kritische Zustände, in denen kleinste

Veränderungen des Inputs (äußere Relation) zu großen

Veränderungen der Systemvariablen führen.

2.Es gibt einen Bereich der Inputgröße, in dem das Verhalten des

Systems von der Vorgeschichte abhängt (Hysterese).

3.Bei nichtlinearen Modellen treten Synergismen auf, d.h. die

Wirkung von Einzelereignissen auf die Systemvariable ist nicht

gleich deren Summenwirkung.

6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: 6.2.1 Die Jacobi Matrix

• Mehr Vielfalt, aber eingeschränkte Lösbarkeit der nichtlinearen

Differentialgleichungen.

• Meist sind nur nummerische Lösungsverfahren möglich.

• Die Konzentration liegt deshalb darauf, wie das System sich in der

Nähe eines Stationär Zustandes verhält.

• Ausgang ist folgendes System von n dimensionale

Differentialgleichungen: 3%$32 � $�%$ , … , %�,* � N1,… , 6O

• Fixpunkte oder Stationäre Zustände sind q Lösungen des n-

dimensionalen gewöhnlichen, aber nichtlinearen

Gleichungssystems: 0 � $Q%R" , %S"$ , … , %"T,� � N1, … , UO* �N1,2, … , 6O. • Das System befindet sich in der Nähe eines Fixpunktes k, bedeutet

formal bzw. als Vektor geschrieben folgendes: %$ � %$" + W$ ,* � N1, … , 6O,�X.Z � Z" + [ • Da am Fixpunkt selbst alle Veränderungsfunktionen gi null sind,

können diese in der Umgebung von Z" durch folgende

Taylorreihe approximieren, wobei nach dem ersten Term

abgebrochen wird und der senkrechte Strich bedeutet, dass die

partiellen Ableitungen am Fixpunkt zu berechnen sind:

$�Z� � $QZ" + WT �\]^ $^%_`_�R a

Z?W_ * � �*, … , 6�

• Da Z" konstant ist gilt 3%$ 32⁄ � 3W$ 32⁄ , wird die allgemeine

Gleichung näherungsweise zu einem n-dimensionalen linearen

System mit der Abweichungsvariablen W$:

3c$32 �\d$,_QZ"T_�R W_ ,* � N1,… , 6O,1*2d$,_QZ"T� \]^ $^%_`

_�R a

Z?

Letzteres kann auch als Matrix geschrieben werden:

eQZfT � ghijkilk ijkilm ⋯ijmilk ijmilm ⋯⋮ ⋮ ⋱q

rssZ?

und wir erhalten in Matrixform

geschrieben:

3t32 � e�Z"�t

• Die Stabilisierungsuntersuchung erfolgt über die Eigenwerte.

• Für ein System mit zwei Variablem erhalten wir in Analogie zum

linearen System folgende grafisch dargestellten

Stabilitätseigenschaften für das nichtlineare System:

6.2.2. Charakterisierung der Stationären Zustände im zweidimensionalen Modell a)Stabiler Stern b)Instabiler Stern c)Sattelpunkt (instabil) d)Stabiler Stationärzustand

mit Oszillation e) Instabiler Stationärzustand

mit Oszillation f) Ungedämpfte Oszillation:

Zentrum

6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: 6.2.3 Räuber-Beute-Modelle

Beispiel 1: Räuber-Beute Modell von Lotka-Volterra (1926)

1.Eine Population von Beutetieren B vermehrt sich mit Nettorate k1.

2.Eine Population von Räubern R stirbt mit einer spezifischen

Nettorate k2.

3.Die Beutetiere werden von den Räubern gefressen, was zu einer Vermehrung der Räuber und einer Verminderung der Beutetiere um den Betrag k3BR führt.

Mathematische Beschreibung: �I�� � �Rd � �udv �w�� � ��Sv + �udv

Neben den trivialen Fixpunkten dR� � 0, vR� � 0 existieren die zwei Fixpunkte: dS� � �S�u ,vS� � �R�u

Formaler Test der Stabilität (statt mit der einfachen Methode über

die Jacobi-Matrix) erfolgt durch die wie folgt definierten

Abweichungen der Populationsgrößen von diesen

Stabilitätszuständen: xI � d � dS�,xw � v � vS�

Beute Räuber

k1B k3BR k2R

Da die beiden Fixpunkte konstant sind, erhalten wir 3xI32 � 3d32 :63 3xw32 � 3v32

Nach einigen algebraischen Umformungen erhält man folgende

Differentialgleichungen mit den neuen Variablen: 3xI32 � ��Sxw � �uxwxI ,3xw32 � �RxI � �uxwxI

Die Methode der Linearisierung besteht darin, nur kleine

Abweichungen zuzulassen, d.h. das Produkt von kleinen Größen, xIxw, wird weggelassen. Also gilt: 3xI32 � ��Sxw ,3xw32 � �RxI

Nachstehende Abbildung zeigt die beiden Geschwindigkeitskurven

des Modells, dessen Eigenwerte rein imaginär sind, weil die Matrix

des linearen Gleichungssystems folgende Form hat

y � z 0 �R��S 0 { und deren charakteristische Gleichung lautet

μS + �R�S � 0,�X. μS � ��R�S mit der Lösung: } �±*��R�S�R S� .

Das Modell könnte drei verschiedene Verhaltensmuster haben:

1.Es bewegt sich auf den Fixpunkt zu

2.Es bewegt sich vom Fixpunkt weg, oder

3.Es kreist auf einer geschlossenen Bahn um den Fixpunkt.

Das Lotka-Volterra-Model hat das dritte Merkmal.

6. Nichtlineare Modelle 6.2 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: 6.2.3 Räuber-Beute-Modelle

Beispiel 2: Räuber-Beute Modell mit Selbstwechselwirkung

1.Bei größeren Beutepopulationen können sich diese behindern oder

gar auffressen, was durch einen weiteren Term der Form

berücksichtigt wird: ����dS� 2.Eine Population von Räubern R stirbt mit einer spezifischen

Nettorate k2.

3.Die Beutetiere werden von den Räubern gefressen, was zu einer Vermehrung der Räuber und einer Verminderung der Beutetiere um den Betrag k3BR führt.

Mathematische Beschreibung: 3d32 � �Rd � �udv � ��dS 3v32 � ��Sv + �udv

Neben den trivialen Fixpunkten: dR� � 0, vR� � 0, ergeben sich für

die nicht trivialen Fixpunkte folgende leichte Änderungen:

dS� � �S�u ,vS� � �R�u � W�u 1*2W� �� �S�u

Ohne näher darauf einzugehen, lauten dann die approximierten

linearen Gleichungen: 3xI32 � ��Sxw � cxI ,3xw32 � ��R � W�xI

Sei: W ≪ �R, dann erhalten wir folgende Eigenwerte mit einem sehr

kleinen, negativen Realteil, der allerdings zu einem stabilen

Fixpunkt führt: }$ ≈ � �S± *�,� � ��R�S

Das dynamische Verhalten zeigt nachstehende Abbildung:

6. Nichtlineare Modelle 6.2. Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen: 6.2.3 Räuber-Beute-Modelle

Beispiel 3: Räuber-Beute Modell von Holling-Tanner

1.Wechselwirkung zwischen Beute B und Räuber R in der ersten der

beiden nachstehenden Differentialgleichungen, wobei der erste

Term das logistische Wachstum der Beute und BK die

Gleichgewichtsbedingung der Beute ist, wenn es keine Räuber

gibt.

2.Der zweite Term in der ersten Gleichung simuliert die

Dezimierung der Beute durch den Räuber, allerdings mit

beschränkter Fresslust, welche für B>> KB den von B

unabhängigen Wert von (-wR) erreicht.

3.Die zweite Gleichung beschreibt das Wachstum der Räuberpopulation, welches nur positiv ist, falls JR/B < 1, d.h. R < B/J ist. Die Räuber können nur dann wachsen, falls mindestens J Beuten pro Räuber zu Verfügung stehen.

3d32 � (d z1 � dd"{ � X dvd + �I �1� 3v32 � D z1 � � vd{v1*2(, D, X, �, d" , �I > 0�2�

• Das Modell führt ebenfalls zu periodischen Schwankungen von

B und R um einen Gleichgewichtswert; es ist aber – im

Gegensatz zum von Lotka-Volterra-Modell – strukturell stabil.

• Neben den trivialen (B=R=0) und dem halbtrivialen Fixpunkt

(R=0, B=BK) besitzt das Modell den nichttrivialen Fixpunkt: �d�, v��, der sich dem Schnittpunkt einer Parabel und einer

Geraden ergibt.

• Für dB/dt=0 und dR/dt=0 erhält für die Parabel und Gerade aus

den Gleichungen (1) bzw. (2) folgende Gleichungen, aus denen

der nichttriviale Fixpunkt bestimmt wird:

v� � (X ]1 � d�d" ` �d� + �I��3� v� � d�� �4�

• Die Lösungen sind geschlossene Kurven um den nichttrivialen

Fixpunkt. Die Trajektorien bewegen sich auf eine

Attraktionskurve zu und folgen ihr dann. Eine solche Kurve

nennt man Grenzzyklus.

Bei nichtlinearen Modellen mit drei und mehr Variablen können

chaotische Zustände sich einstellen.