Analysen und ~berlegungen zum deutschen Einkommensteuertarif

Verfahren flit den ~bergang vom gegenwiirtigen auf einen durchgehend progressiven Tarif

Hans Laux und Hans-Jftrgen Wohlrabe (Ludwigsburg)

I. U b e r b l i c k

Die Einkommensteuerpolitik der letzten Jahre, insbesondere hinsichtlich des Ein- kommensteuertarifs, legt die Vermutung nahe, dab dabei nicht einmal eine mittel- fristige Planung zugrunde liegt, sondem es sich um ein Instrument handelt, mit dem auf kurzfristige Erfordernisse der Konjunktur-, Finanz- und Haushaltspolitik reagiert wird. So ist die Lebensdauer der jeweils geltenden Einkommensteuertarife zu- nehmend kiirzer geworden: Fiir den Einkommensteuertarif 1979 [1] *) betrug sie gerade noch 2 Jahre; seit dem 1.1. 1981 gilt ein neuer Tarif. Es ist nun sicherlich nicht Aufgabe des Mathematikers, politische Kritik zu iiben. Nachfolgend soil lediglich versucht werden, mit Hilfe der zur Verfiigung stehenden mathematischen Methoden einen ,,gerechten" und dauerhaften Tarif zu konstruieren und einen realisierbaren Weg zu diesem Tarif aufzuzeigen. Der Analyse des Ein- kommensteuertarifs 1981 in Abschnitt II folgen deshalb in Abschnitt III ein allgemeines Konstruktionsverfahren (unter Verwendung kubischer Spline-Funktionen), in Ab- schnitt IV ein Verfahren fiir den Obergang auf den konstruierten Tarif und in Abschnitt Vein konkretes Anwendungsbeispiel.

II. A n a l y s e des E i n k o m m e n s t e u e r t a r i f s 1981

I. Neuerungen

Der allgemeine Tariffreibetrag in H6he von 510 DM (Grundtabelle) wurde aufge- hoben und insofem beim neuen Tarif beriicksichtigt, als der Grundfreibetrag von bisher 3690 DM auf 4212 DM (= 3690 + 510 + 12) erh~Sht wurde. Der Rundungsbetrag yon 12 DM ist erforderlich, damit der Grundfreibetrag entsprechend der neuen Ab- stufung der Einkommensteuertabelle durch 54 teilbar ist. Dabei ist zu beachten, dab die Wirkungsweise von Tariffreibetrag und Grundfreibetrag unterschiedlich ist: Ein Freibetrag, der das zu versteuernde Einkommen verringert, wirkt sich entsprechend dem Grenzsteuersatz aus, w~ihrend sich aus der Erh6hung des Grundfreibetrags eine gleichm~iBige Verringerung der Steuerschuld entsprechend dem Eingangs-Grenzsteuer- satz ergibt. Die untere Proportionalstufe, die bislang bis zu einem zu versteuernden Einkommen von 16000DM reichte, wurde bis 18000DM ausgedehnt. Die Werte der Grenzsteuer- funktion liegen im anschlieBenden Bereich unter den bisherigen Grenzsteuers~itzen. Von einem zu versteuemden Einkommen von 60000 DM an stimmen die jetzigen und bis- herigen Grenzsteuers~itze iJberein. Hier wird demnach die maximale (absolute) und nachfolgend konstante Steuerentlastung erreicht.

*) Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit.

141

Die Abstufung der Einkommen- und Jahreslohnsteuertabellen wurde einheitlich auf 54 DM festgelegt. 54 ist der gr613te Betrag zwischen den bisherigen Abstufungen 30 und 60 DM, der bei Teilung durch 360 (fiir die Umrechnung auf Tages-, Wochen- und Monatslohnsteuertabellen) eine nichtperiodische rationale Zahl ergibt.

2. Grundtabelle

Der Einkommensteuertarif 1981 ist im Einkommensteuergesetz [2] wie folgt festgelegt:

s (x) = 0 fiir x ___ 4212

s (x) = 0,22 x - 926 fiir 4213 6 x ___ 18000

s (x) = {[(3,05 y - 73,76) y + 695] y + 2200} y + 3034

fiir 18001 _~ x ~_ 59999 mit y := 10 4 ( x - 18000)

s (x) = {[(0,09 z - 5,45) z + 88,13] z + 5040} z + 20018

fiir 6 0 0 0 0 _ x ~ 1 2 9 9 9 9 mit z :=10- ' (x - 60 000)

s (x) = 0,56 x - 14837 fiir x ~ 130000.

Dabei ist x das zu versteuernde Einkommen, abgerundet auf die n~ichste durch 54 teilbare ganze Zahl. Aussagekr~iftiger als die absolute H6he der Steuerschuld s (x) sind die Werte der Durchschnittssteuerfunktion d ( x ) = s ( x ) : x und der Grenzsteuerfunktion s'(x). Die entsprechenden Graphen sowie einige Zahlenwerte sind den Figuren 2 und 3 sowie den Tabellen 2, 4 und 5 - jeweils Spalte (2) - in Abschnitt V zu entnehmen. Beim Vergleich mit dem Einkommensteuertarif 1979/80 ist stets zu beriicksichtigen, dab einem zu versteuemden Einkommen x im Jahr 1981 ein zu versteuemdes Ein-

% l Grenzsteuersatz

5040 ~1////////''- Einkommensteuertorif (Grundtabelte)

30

20 1

,~ t Zu versfeuerndes Einkommen lb: o io do 1 ,o

Figur 1. Grenzsteuersiitze nach dem Einkommensteuertarif 1981 (Grundtabelle) und nach den Lohnsteuerklassen V und VI

142

Tabelle 1. Grenzsteuers~itze in den Lohnsteuerklassen V und VI

Zu versteuerndes Grenzsteuer- Zu versteuemdes Grenzsteuer- Einkommen satz Einkommen satz

(1) (2) (1) (2)

DM % DM %

14 418 22,0 60 480 63,0 15 120 25,1 65 880 62,5 17 280 33,8 71 280 62,2 19 440 41,8 76 680 62,1 21 600 49,0 82 080 62,0 23 760 55,6 87 480 61,9 25 920 58,5 92 880 61,5 28 080 60,7 98 280 61,0 30 240 62,4 103 680 60,4 32 400 63,8 109 080 59,7 34 560 64,8 114 480 59,1 36 720 65,5 119 880 58,5 38 880 65,9 125 280 58,0 41 040 66,0 130 680 57,6 43 200 65,9 136 080 57,2 45 360 65,7 141 480 56,9 47 520 65,2 146 880 56,6 49 680 64,8 152 280 56,4 51 840 64,3 157 680 56,3 54 000 63,9 163 080 56,1 56 160 63,5 168 480 56,1 58 320 63,2 173 394 56,0

kommen x ' = x - 510 in den Jahren 1979/80 entspricht (Wegfall des Tariffreibetrags), also nicht yon nominell gleichen zu versteuernden Einkommen auszugehen ist. Ein wirklich realer Vergleich miiBte sogar noch Ver~inderungen anderer einkommen- steuerrechtlich relevanter Gr6Ben und die Geldentwertung miteinbeziehen. Die sich aus den genannten Neuerungen ergebende allgemeine Steuerentlastung wird dadurch relativiert.

3. Lohnsteuerklassen V und VI

Das besondere Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Jahreslohnsteuer 1 (x) in den Lohnsteuerklassen V und VI, n~imlich

1 (x) = max {g (2,5 x) - g (1,5 x); 0,22 x}

= max {2 [s (1,25 x) - s (0,75 x)]; 0,22 x}

(mit g = Steuerfunktion fiir die Splittingtabelle),

lenkt das Interesse auf die Grenzsteuers~itze

l '(x) = 2,5 �9 s'(1,25 x) - 1,5 �9 s'(0,75 x)

(bzw. 1' (x) = 0,22, sofern das Maximum 0,22 x in der Definition yon I (x) eingreift).

143

Der Verlauf dieser Grenzsteuerfunktion sowie einige Zahlenwerte sind in Figur 1 sowie in Tabelle 1 aufgefiihrt. Das zu versteuernde Einkommen x ergibt sich aus dem Jahresarbeitslohn durch den Abzug von 1044 DM (= 480 DM Arbeitnehmer-Frei- betrag + 564 DM Werbungskosten-Pauschbetrag) ffir die Lohnsteuerklasse V und von 18 DM for die Lohnsteuerklasse VI. (Dieser Rundungsbetrag ist wegen der einheit- lichen Abstufung der Jahreslohnsteuertabellen erforderlich, da die jeweiligen Sum- men der fiir die einzelnen Lohnsteuerklassen I bis V in die Lohnsteuertabellen ein- gearbeiteten Frei- und Pauschbetr~ige = 18 mod 54 sind.) Bis zu einem (gerundeten) zu versteuernden Einkommen von 14418 DM betr~igt der Grenzsteuersatz 22%, da 1,25 x und 0,75 x in die untere Proportionalstufe der Grund- tabelle fallen. Bei zu versteuernden Einkommen von mehr als (gerundet) 173394 DM bel~iuft sich der Grenzsteuersatz auf 56% (1,25 x und 0,75 x fallen in die obere Pro- portionalstufe). Die allgemeine Senkung der Grenzsteuers~itze (Grundtabelle) hat zwar auch die Grenzsteuers~itze in den Lohnsteuerklassen V und VI bereichsweise verringert. Andererseits hat jedoch in anderen Bereichen der durch die Erweiterung der unteren Proportionalstufe bewirkte steilere Anstieg der Grenzsteuerfunktion (Grundtabelle) im Bereich bis 60000 DM eine Erh6hung der Grenzsteuers~itze ffir die Lohnsteuer- klassen V und VI verursacht. Insbesondere liegt das Maximum mit 66% (ffir x = 41288) um rd. 2,6 Prozentpunkte fiber dem bisherigen Maximum.

III. A l l g e m e i n e s K o n s t r u k t i o n s v e r f a h r e n

1. Grundlagen

Fiir den Mathematiker ist ein zu konstruierender Einkommensteuertarif zun~ichst einmal lediglich eine Funktion

s: [0, ~ ) --, [0, ~ ) .

Alle weiteren Eigenschaften mfissen vom Steuertheoretiker oder vom Politiker vor- gegeben werden. Zu den sinnvollen Eigenschaften allgemeiner Art geh6ren sicherlich die folgenden: A. Bis zu einem gewissen Existenzminimum b (Grundfreibetrag) sollen keine Steuern

zu zahlen sein, d. h. s (x) = 0 fiir x e [0, b). B. Bei wachsendem zu versteuernden Einkommen (oberhalb des Grundfreibetrags)

soil auch die Steuerschuld ansteigen. C. s soil stfickweise differenzierbar sein (sofern praktische Rundungen unberiick-

sichtigt bleiben) mit der Eigenschaft s ' (x)= K < 1 ffir x __ c > 0 (obere Pro- portionalstufe).

Eigenschaften spezieller Art resultieren nicht aus einer ,,Tarif~isthetik", sondern ent- sprechen bestimmten Vorstellungen fiber leistungsgerechte Besteuerung. Hierzu z~hlen: D. Der Tarif soil ,,durchgehend progressiv" sein; dies bedeutet, dab s im Intervall

(b, c) streng konvex nach unten ist (die manchmal in der Literatur [3] genannte Definition, da6 der sogenannte Progressionsgrad [= Ableitung der Durchschnitts- steuerfunktion d (x) = s (x) : x] oberhalb des Grundfreibetrags positiv sein soil, ist schw~icher; sie folgt aus der Konvexit~t der Steuerfunktion).

E. Der Tarifaufbau soil harmonisch sein, worunter hier verstanden werden soil, dab die Grenzsteuerfunktion s' im Intervall (b, c) konvex nach oben ist.

144

,,Harmonischer Tarifaufbau" bedeutet also insgesamt, daB in (b, c) sowohl s (nach B und D) als auch s' streng monoton wachsend und (streng) konvex (nach unten bzw. nach oben) verlaufen. Desgleichen gilt auch ffir die Durchschnittssteuerfunktion d, dab sie oberhalb yon b streng monoton wachsend und konvex nach oben ist. B eweis: Die strenge Montonie folgt sofort aus der strengen Konvexit~t von s. Aus der Monotonie von d und der aus C folgenden Eigensehaft lira d (x) = K ergibt sich, daB

d hSchstens in Teilintervallen nicht konvex nach oben verlauft. Sei (r, t) ein solches Teilintervall; es gibt dann insbesondere ein Teilintervall (~, t) c (r, t), in dem d streng konvex nach unten ist. Seien xl, x2 e (L t) mit xl < x 2; es gilt dann

d ( x 0 < X l d ( x 2 ) , also ~<d(x0 d(x~) X2 Xa X2

Ferner ist d' in (~, t) monoton wachsend, also

d (x,) d (x2) d' (xx) + < d' (x2) + -

X1 X2

Wegen s' (x) d (x) s' (x0 s' (x2)

d' (x) = - - folgt - - < X X X 1 X z

Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Konvexitat (nach oben) von s'. Somit ist d konvex nach oben; dies bedeutet insbesondere, dab d" (x)___ 0 gilt fiir x > b. Ist s' sogar streng konvex nach oben, so ist auch d streng konvex nach oben und d" (x) < 0 fast fiberall ffir x > b; man spricht in diesem Fall von ,,verzSgerter Progression" (bezo- gen auf den Progressionsgrad nach D). Zu diesen den Tarif direkt betreffenden Eigenschaften kSnnen noch weitere hinzu- kommen, die sich auf den Vergleich zum bestehenden Tarif beziehen, z. B., dab der Saldo der Steuermehr-/-mindereinnahmen hSchstens einen vorgegebenen Betrag aus- macht oder die Grenzsteuersiitze nicht fiber den geltenden Grenzsteuersiitzen liegen.

2. Spline-Funktionen

Die geforderten Eigenschaften k6nnen ansatzweise in der Festlegung diskreter Werte der Grenzsteuerfunktion Ausdruck finden. Danach ist die Konstruktion des Ein- kommensteuertarifs ein Interpolationsproblem, d.h., die Grenzsteuerfunktion stellt sich als interpolierende Funktion dar. (Aus der Grenzsteuerfunktion ergibt sich dann in Verbindung mit dem Grundfreibetrag die Steuerfunktion durch Integration.) Will man fiir die Steuerfunktion jeweils auf Teilintervallen Polynome 4. Grades - wie sie sich beim deutschen Einkommensteuertarif ,,eingebfirgert" haben - beibehalten, so liegt es nahe, die genannten diskreten Werte nach MSglichkeit ffir die Intervallgrenzen zu w~ihlen und die Grenzsteuerfunktion durch kubische Spline-Interpolation zu be- stimmen. Bekanntlich hat eine kubische Spline-Funktion S den Vorzug, daB sie auf dem ge- samten Interpolationsintervall - obwohl sie sich aus mehreren kubischen Polynomen zusammensetzt - durchgehend zweimal stetig differenzierbar ist und unter den ver- gleichbaren interpolierenden Funktionen mit dieser Eigenschaft den kleinstmSglichen

C

Wert ffir die ,,Gesamtkrfimmung" ~ IS" (x) ]2 dx aufweist, sich also am ,,glattesten" b

den vorgebenen Interpolationswerten anpal3t.

145

3. Berechnung der Spline.Funktion

Sei zuniichst {b = Xo < Xl < "'" < xn = c} eine Zerlegung des Bereichs zwischen dem Grundfre ibet rag b und dem zu versteuernden E inkommen c, von dem an die obere Porportionalstufe mit e inem konstanten Grenzsteuersatz beginnt (vgl. Ziffer 1, C). Bezeichnet S die gesuchte Spline-Funktion, so soil gelten:

S (xj) = yj (j = 0, 1 . . . . . n ) . (1)

Fiir die Angabe der Spline-Funktion S geniigt die Ermittlung der , ,Momente" [4]

Mj := S" (xj) (j = 0, 1, . . . , n ) . (2)

Aus (1) erh~ilt man n - 1 Gleichungen fiir die n + 1 Unbekannten M0, M1 . . . . . Mn:

pj Mj_I + 2 Mj + 2j Mj+I = dj (j = 1 . . . . . n - 1) (3) mit

Xj -- Xj_ 1 Xj+ 1 -- Xj pj :: , 2j := 1 - / l j , (4)

X j + I - Xj-1 X j + I - Xj-1

6 (YJ+I--YJ YJ--YJ-1 / dj := - - . (5)

Xj+ 1 - Xj_ 1 Xj+ 1 - Xj Xj Xj_I/

Aus der zus~itzlichen Forderung

S' (c) = 0 (6)

(die sinnvoll ist, da der Grenzsteuersatz vom zu versteuernden E inkommen c an konstant ist) ergibt sich die weitere Gleichung

Mn-1 + 2 Mn = d~ (7) mit

6 y~ - y=-i d ~ : = . (8)

Xn-- Xn--1 Xn-- Xn--1

W~ihrend es nun iiblich ist, durch Angabe einer letzten Gleichung (z. B. S' (b) = Yo) zu einem System von n Gleichungen mit nichtsingul~irer Matrix zu gelangen, soll hier statt dessen die Forderung

Mj _ 0 (j = 0, 1 . . . . . n) (9)

gestellt werden. In Verbindung mit einer Zielfunktion (z. B. max Mn) erh~ilt man somit folgendes Opt imierungsproblem:

(P) max ( - 1). ( - M~)

unter den Nebenbedingungen

- / l j . ( - Mj_I) - 2 . ( - Mj) - 2j. ( - Mj+x) = dj (j = I . . . . . n - 1),

( - 1) �9 ( - Mn-~) - 2 " ( - Mn) = d n ,

- M j - ~ 0 0 = 0 , 1 . . . . . n) .

Die Maximierung von M~ hat den Sinn, M~ m/Sglichst nahe an null heranzubringen, aus dem gleiehen Grund wie bei der Forderung (6). Da es schwierig ist, ftir (P) i iberhaupt eine zul~issige AusgangslSsung anzugeben, geht man zum dualen Opt imie-

146

rungsproblem fiber:

(D)

unter den Nebenbedingungen

- - f i X Ul

- 2 U 1 - - • 2 U2

- 2j uj - 2 u j + i - #j+2 uj+2 ~ 0

- 2 ~ - 1 U n - i - 2 un ~ - 1

u~ . . . . . u~ unbeschr~nkt.

min ~ di ui i - 1

_~0

_~0

( j = l . . . . . n - 2 mit p n : : 1)

Das duale Problem (D) hat die zul~issige AusgangslSsung (U 1 . . . . . Url ) = (0 . . . . . 0 ) , n

Wenn ~ di ui auf der Menge der ffir (D) zul~issigen L6sungen beschr~inkt ist, besitzt i - 1

das primale Problem (P) bekanntlich eine optimale L6sung. Die Beschdinktheit l~iBt sich natfirlich nicht ffir jede Wahl der Paare (xj, yj) zeigen. F fir n = 3 - dies entspricht der bisher fiblichen Zerlegung von (b, c) - gilt jedenfalls: Wenn d3 21 - dl >- 0 und

(d3 21 - dl)/x2 + d 2 - 2 d3 >-- 0 , (10)

2

so ist ~ di ui beschr~inkt auf der Menge der zul~issigen LSsungen. ((10) kann aus den i - 1

Restriktionen von (D) hergeleitet werden und ist in der praktischen Anwendung durch eine eventuelle geringffigige Ver~inderung der yj zu erreichen.) Diese Abweichung vom normalen Konstruktionsverfahren ffir Spline-Funktionen hat den Vorteil, dab die Spline-Funktion S neben (1) und (6) noch folgende Eigenschaflen besitzt:

(a) S ist konvex nach oben.

B e w e i s : Es gilt: S ' ( x ) =< 0 ffir x e (Xo, xn) (denn die Beschr~inkung yon S" auf ein Teilintervall [xj, xj+l] ist jeweils eine lineare Funktion; also gilt wegen (9):

S[xj,xj+al (x) < 0 fiir x �9 [xj, Xj+l] (j = 0 , . . . , n - l ) .

In der Regel ist S sogar streng konvex, da M j = M j + I = 0 (und damit S[xj, xj+l] (x) = 0 ffir x �9 [xj, Xj+x]) fiir ein j e {0 . . . . . n - 1} nur in besonderen F~iIlen mSglich ist.

(b) S ist streng monoton wachsend.

Angenommen, es existieren t, [ �9 (x o, xn) m i t t < t u n d S (t) ~_ S ([), so folgt

S (t) - S (t) S (x~) - S (t) S ' ( t ) ~ > S'(x~) = 0. Wid.!

0 -~ t - t 1" x~ - - t Konv~exit~ t Konvexit~.t

und da M~-I = M~ = 0 wegen (7), (8) und Yn-1 < Yn

nicht m6glich ist

(c ) ~ S (x) d x + C ist streng konvex nach unten und streng monoton wachsend (folgt sofort aus (a) und (b)).

147

Setzt man nun S = s' und s = j s' (x) dx + C (wobei C so bestimmt wird, dab s (b) = 0 is O, so liegt ein harmonischer Tarifaufbau im Sinne yon E (aus Ziffer 1) vor.

IV. V e r f a h r e n fiir den U b e r g a n g a u f d en k o n s t r u i e r t e n T a r i f

Die Durchsetzung eines ,,gerechten" und dauerhaften Tarifs ist in der Vergangenheit oft an der H6he der erwarteten Steuerausf~.lle gescheitert. Es liegt daher nahe, einen solchen Tarif mittelfristig zu planen und auf ihn entsprechend den fiskalischen M6glichkeiten schrittweise iiberzugehen. Hierzu sind verschiedene Verfahren denkbar; im folgenden soil eine Methode n~iher erl~iutert werden: Es wird angenommen, dab der gewiinschte Tarif in k Schritten erreicht werden soil, wobei Vorgaben hinsichtlich der jeweiligen Veranderung des Steueraufkommens vorliegen. Bezeichnet so die Grenzsteuerfunktion des Einkommen- steuertarifs 1981 und s~ (j = 1 . . . . , k) die Grenzsteuerfunktion im j-ten Einfiihrungs- schritt (wobei s~ die konstruierte und auf die im Zeitpunkt des k-ten Einfiihrungs- schritts - prognostizierten - relevanten Daten abgestimmte Grenzsteuerfunktion be- deutet), so soil gelten:

sj = (1 - h)" so + h" s~, mit 0 = to < tl < "'" < tk = 1. (11)

Durch die Wahl der h kann die Ann~iherung an s~ gesteuert werden. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dal3 sich der Anderungsaufwand (auch etwa fiir Datenverarbeitungs- anlagen mit Lohn- und Einkommensteuerprogrammen) in Grenzen h~tlt.

Fiir die Steuerfunktionen sj bedeutet (11):

Sei bjder fiir sj vorgesehene Grundfreibetrag und

Cj := - ((1 - h) So + tj- s,) (bj), dann gilt:

sj = (1 - t j ) s O + h" s, + Cj. (12)

Die Steuerentlastung im (j + 1)-ten Schritt betr~igt dann

Sj -- Sj+I = (tj+l -- h) (So - s,) + (Cj - Cj+I). (13)

V. A n w e n d u n g s b e i s p i e l

Es soil ein Tarif mit folgenden Eigenschaften konstruiert werden:

(a) Der Tarif wird in vier j~ihdichen (und hinsichtlich der Grenzsteuerfunktion gleichm~Bigen) Schritten erreicht (Bezeichnung daher: s~).

(b) s~ ist durchgehend progressiv. (c) Der Grundfreibetrag wird schrittweise von 4212DM auf 4428/4644/4806/

5022 DM angehoben. (d) Der Eingangsgrenzsteuersatz fiir s, betr~igt 10%. (e) Der maximale Grenzsteuersatz betdigt 56% und wird bei einem zu versteuernden

Einkommen von 160002 DM erreicht. (f) Fiir alle zu versteuernden Einkommen wird eine spiirbare Steuerentlastung

bewirkt. (g) Der Tarifaufbau ist harmonisch. (h) Die Steuerausf~ille werden als finanzierbar angesehen.

148

FOr das in Abschni t t III geschilderte Berechnungsverfahren for die gesuchte Grenz- s teuerfunktion s~ werden dementsprechend folgende Wer te angesetzt:

xo = 5022 xl = 18 000 x2 = 60 000 x3 = 160 002 Yo = 0,10 Yl = 0,25 Yz = 0,476 ya = 0,56

Das Berechnungsverfahren liefert d ie Grenzsteuerfunkt ion s~ und somit auch die Steuerfunkt ion s4; sie hat folgendes Aussehen:

s , ( x ) = 0 for x -<5022

s,(x) = {[(- 7,194 w - 13,975) w + 629,34] w + 1000}w fiir 5023 ~ x ~ 18000 mi t w := 10- ' ( x - 5022)

s4(x) = {[(2,555 y - 51,32) y + 502,23] y + 2500} y + 2302

for 18 0 0 1 ~ x ~ 59 999 mit y : = 1 0 - ~ ( x - 1 8 0 0 0 )

s4(x) = {[(0,20999 z - 8,3997) z + 126] z + 4760} z + 18651

ftir 60000 -< x --< 160002 mi t z := 10 .4 (x - 60000)

s 4 ( x ) = 0 , 5 6 x - 17049 for x > 160002.

Setzt man in (12) von Abschni t t IV t~ = 0,25; t2 = 0,5; t3 = 0,75, so erh~ilt man auch die , ,Interimstarife" s~, s2 und s3. Der gleichm~il3igen Ver~inderung der Grenzsteuers~itze entspricht wegen der Erhiihung der Grundfreibetr~ige nicht eine gleichm~il~ige, sondern eine abnehmende Verr ingerung der Einkommensteuer: Nach (13) von Ab- schnitt IV ist

(Sj-1-- Sj) -- (Sj -- Sj+I) = ( C j _ l - Cj) - (Cj - Cj+l) > 0 .

Tabelle 2 enth~ilt einige Zahlenwerte ffir die Steuerfunkt ionen sj, Tabel le 3 die absoluten Steuerentlastungen sj+l - sj bzw. s4 - so sowie die entsprechenden relat iven Werte, Tabel le 4 die Durchschnittssteuers~itze dj und Tabel le 5 die Grenzsteuer-

%

5(3

, d o da

30 / ~ d 4

.,/r / / 20

I, a , , Zu versteuemdes, , Einkommen,

10 20 "0 60 80 100' 120 1/.0 160 "l'Ol~ Figur 2. Durchschnittssteuers~itze nach dem geltenden und dem vorgeschlagenen Tarif

149

Tabelle 2. Einkommensteuer nach dem geltenden Tarif und fiir den Obergang auf den vorgeschlagenen Tarif

Zu ver- Einkommensteuer steuerndes Einkommen so sl s2 % s4

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

DM DM DM DM DM DM

6 480 499 392 300 228 159 11 880 1 687 1 487 1 302 1 137 976 17 280 2 875 2 667 2 473 2 299 2 129 22 680 4 208 4 026 3 862 3 718 3 577 28 080 5 885 5 710 5 553 5 416 5 282 33 480 7 848 7 662 7 493 7 345 7 200 38 880 10 044 9 831 9 638 9 464 9 293 44280 12 422 12 174 11 946 11 737 11 531 49680 14 940 14 653 14 384 14 134 13 888 55 080 17 563 17 234 16 923 16 632 16 344 60 480 20 260 19 888 19 537 19 207 18 880 65 880 23 010 22 604 22 219 21 854 21 492 71 280 25 807 25 371 24 956 24 561 24 169 76 680 28 645 28 183 27 742 27 321 26 904 82 080 31 519 31 035 30 572 30 130 29 690 87 480 34 425 33 922 33441 32 979 32 521 92 880 37 359 36 840 36 342 35 865 35 390 98 280 40 316 39 783 39272 38 781 38 293

103 680 43 292 42 748 42 226 41 723 41 223 109 080 46 285 45 731 45 199 44686 44 177 114 480 49 289 48 727 48 187 47 667 47 150 119 880 52 302 51 735 51 188 50 662 50 138 125 280 55 321 54 749 54 198 53 666 53 138 130 680 58 343 57 768 57 214 56 679 56 147 136 080 61 367 60790 60 233 59 696 59 163 14I 480 64391 63 812 63 255 62 717 62 182 146880 67 415 66 836 66 278 65 739 65 205 152 280 70 439 69 860 69 302 68 763 68 228 157 680 73 463 72 884 72 326 71 787 71 252 160002 74 764 74 184 73 626 73 087 72 552

150

Tabelle 3. Absolute und relative Steuerentlastung beim Obergang vom geltenden auf den vorgeschlagenen Tarif

Zu ver- Entlastung (absolut und relativ) steuerndes Ein- sl gegeniiber s o s2 gegenfiber sl s3 gegeniiber s~ s 4 gegeniiber s3 s~ gegeniiber s o kommen

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

DM DM % DM % DM % DM % DM %

6 480 107 21,4 92 23,5 72 24,0 69 30,3 340 68,1 11 880 200 11,9 185 12,4 165 12,7 161 14,2 711 42,1 17 280 208 7,2 194 7,3 174 7,0 170 7,4 746 25,9 22 680 182 4,3 164 4,1 144 3,7 141 3,8 631 15,0 28 080 175 3,0 157 2,7 137 2,5 134 2,5 603 10,2 33 480 186 2,4 169 2,2 148 2,0 145 2,0 648 8,3 38 880 213 2,1 193 2,0 174 1,8 171 1,8 751 7,5 44280 248 2,0 228 1,9 209 1,7 206 1,8 891 7,2 49 680 287 1,9 269 1,8 250 1,7 246 1,7 1052 7~ 55 080 329 1,9 311 1,8 291 1,7 288 1,7 1219 6,9 60480 372 1,8 351 1,8 330 1,7 327 1,7 1380 6,8 65 880 406 1,8 385 1,7 365 1,6 362 1,7 1518 6,6 71 280 436 1,7 415 1,6 395 1,6 392 1,6 1638 6,3 76 680 462 1,6 441 1,6 421 1,5 417 1,5 1741 6,1 82 080 484 1,5 463 1,5 442 1,4 440 1,5 1829 5,8 87 480 503 1,5 481 1,4 462 1,4 458 1,4 1904 5,5 92 880 519 1,4 498 1,4 477 1,3 475 1,3 1969 5,3 98 280 533 1,3 511 1,3 491 1,3 488 1,3 2023 5,0

103 680 544 1,3 522 1,2 503 1,2 500 1,2 2069 4,8 109 080 554 1,2 532 1,2 513 1,1 509 1,1 2108 4,6 114 480 562 1,1 540 1,1 520 1,1 517 1,1 2139 4,3 119 880 567 1,1 547 1,1 526 1,0 524 1,0 2164 4,1 125 280 572 1,0 551 1,0 532 1,0 528 1,0 2183 3,9 130 680 575 1,0 554 1,0 535 0,9 532 0,9 2196 3,8 136 080 577 0,9 557 0,9 537 0,9 533 0,9 2204 3,6 141 480 579 0,9 557 0,9 538 0,9 535 0,9 2209 3,4 146 880 579 0,9 558 0,8 539 0,8 534 0,8 2210 3,3 152 280 579 0,8 558 0,8 539 0,8 535 0,8 2211 3,1 157 680 579 0,8 558 0,8 539 0,7 535 0,7 2211 3,0 160 002 580 0,8 558 0,8 539 0,7 535 0,7 2212 3,0

151

Tabelle 4. Durchschnittssteuers~itze nach dem geltenden Tarif und f/Jr den Obergang auf den vorgeschlagenen Tarif

Zu ver- Durchschnittssteuersatz steuemdes Einkommen do dl do d3 d,

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

DM % % % % %

6 480 7,70 6,05 4,63 3,52 2,45 11 880 14,20 12,52 10,96 9,57 8,22 17 280 16,64 15,43 14,31 13,30 12,32 22 680 18,55 17,75 17,03 16,39 15,77 28 080 20,96 20,33 19,78 19,29 18,81 33 480 23,44 22,89 22,38 21,94 21,51 38 880 25,83 25,29 24,79 24,34 23,90 44280 28,05 27,49 26,98 26,51 26,04 49 680 30,07 29,49 28,95 28,45 27,95 55 080 31,89 31,29 30,72 30,20 29,67 60 480 33,50 32,88 32,30 31,76 31,22 65 880 34,93 34,31 33,73 33,17 32,62 71 280 36,21 35,59 35,01 34,46 33,91 76 680 37,36 36,75 36,18 35,63 35,09 82 080 38,40 37,81 37,25 36,71 36,17 87 480 39,35 38,78 38,23 37,70 37,18 92 880 40,22 39,66 39,13 38,61 38,10 98 280 41,02 40,48 39,96 39,46 38,96

103 680 41,76 41,23 40,73 40,24 39,76 109 080 42,43 41,92 41,44 40,97 40,50 114 480 43,05 42,56 42,09 41,64 41,19 119 880 43,63 43,16 42,70 42,26 41,82 125 280 44,16 43,70 43,26 42,84 42,42 130 680 44,65 44,21 43,78 43,37 42,97 136 080 45,10 44,67 44,26 43,87 43,48 141 480 45,51 45,10 44,71 44,33 43,95 146880 45,90 45,50 45,12 44,76 44,39 152 280 46,26 45,88 45,51 45,16 44,80 157 680 46,59 46,22 45,87 45,53 45,19 160002 46,73 46,36 46,02 45,68 45,34

152

Tabelle 5. Grenzsteuers~itze nach dem geltenden Tarif und fiir den f2bergang auf den vorgeschlagenen 'Farif

Zu ver- Grenzsteuersatz steuerndes Einkommen s~ s~' s~ s~ s"

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

DM % % % % %

6 480 22,00 19,46 16,91 14,37 11,83 11 880 22,00 21,09 20,17 19,26 18,34 17 280 22,00 22,57 23,13 23,70 24,27 22 680 28,03 28,37 28,70 29,04 29,37 28 080 33,89 33,83 33,78 33,72 33,67 33 480 38,67 38,31 37,95 37,60 37,24 38 880 42,49 41,91 41,34 40,77 40,19 44280 45,46 44,75 44,04 43,33 42,62 49 680 47,71 46,93 46,16 45,39 44,62 55 080 49,34 48,57 47,81 47,05 46,29 60 480 50,48 49,79 49,10 48,41 47,72 65 880 51,38 50,78 50,19 49,59 49,00 71 280 52,19 51,67 51,16 50,65 50,13 76 680 52,90 52,46 52,02 51,58 51,14 82 080 53,53 53,16 52,78 52,40 52,03 87 480 54,08 53,76 53,44 53,12 52,80 92 880 54,56 54,28 54,01 53,73 53,46 98 280 54,95 54,72 54,49 54,26 54~2

103 680 55,28 55~8 54,89 54,69 54,50 109 080 55,54 55,38 55,21 55,05 54,89 114 480 55,73 55,60 55,47 55,34 55,21 119 880 55,86 55,76 55,66 55,56 55,46 125 280 55,94 55,87 55,79 55,72 55,65 130 680 56,00 55,95 55,89 55,84 55,79 136 080 56,00 55,97 55,94 55,91 55,88 141 480 56,00 55,99 55,97 55,96 55,95 146 880 56,00 56,00 55,99 55,99 55,98 152 280 56,00 56,00 56,00 56,00 56,00 157 680 56,00 56,00 56,00 56,00 56,00 160 002 56,00 56,00 56,00 56,00 56,00

153

%J

55

50

40

30

20

10

Zu vers~uerndes Einkommen i I I I I I I I 1 i l l

10 20 40 60 80 100 120 140 160 TOM

Figur 3. Grenzsteuersiitze nach dem geltenden und dem vorgeschlagenen Tarif

s~itze s~. In Figur 2 sind die Durchschnittssteuerfunktionen do sowie dr und in Figur 3 die Grenzsteuers~itze s o sowie s] dargestellt. Insgesamt wird folgender Riickgang des Lohnsteueraufkommens (gesch~itzt aufgrund der momentan zur Verfiigung stehenden Daten) bewirkt (in Milliarden DM):

s, s~ s3 s4 Summe Grundtabelle 2,57 2,34 2,07 2,02 9,00 Splittingtabelle 1,85 1,71 1,49 1,47 6,52

4,42 4,05 3,56 3,49 15,52

Die Verminderung des Steueraufkommens bei der Einkommensteuerveranlagung ist noch hinzuzusch~itzen. Aufgrund des gew~ihlten Berechnungsverfahrens und der angegebenen Zahlenwerte erfiillt der Tarif s4 die geforderten Eigenschaften (a) bis (h).

AbschlieBend zwei Nachbemerkungen: 1. Auch beim Tarif s, liegt infolge des festgelegten Berechnungsverfahrens (vgl.

Ziffer 3 in Abschnitt II) der Grenzsteuersatz in den Lohnsteuerklassen V und VI gr/SBtenteils oberhalb des maximalen Grenzsteuersatzes der Grundtabelle von 56%. Insgesamt ist jedoch der Verlauf giinstiger als beim geltenden Tarif; das Maximum liegt mit 64% um 2 Prozentpunkte unter dem des geltenden Tarifs und wird zudem bei einem weitaus h/Sheren zu versteuemden Einkommen (rd. 80000 DM gegeniiber rd. 40000 DM) erreicht.

2. Damit der Tarif st ,,dauerhaft" bleibt, kann eine Indexierung etwa folgender Art vorgenommen werden:

~, (x) := kr ' s t

wobei kr einen Index (z. B. Preisindex) des betrachteten Jahres r auf der Basis des Einfiihrungsjahrs fiir den Tarif s, bezeichnet.

154

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Laux, Hans und Wohlrabe, Hans-Jiirgen: Der Einkommensteuertarif 1979 und seine Durch- schnitts- und Grenzsteuers~itze, Bl~itter der DGVM, Band XIV, S. 487-496, 1980.

[2] BGBI I 1980, S. 1381 ft. [3] Petersen, Hans-Georg: Ein Vorschlag zur Reform des Einkommensteuertarifs 1978, Finanz-

archiv N.F. 35 Heft 1, S. 128-146. [4] Stoer, Josef" Numerische Mathematik I, Wiirzburg 1970.

Zusammenfassung

Mathematische Hilfsmittel k6nnen nicht nur zur Analyse eines Einkommensteuertarifs (z. B. fiir die Ermittlung der Grenzsteuers~itze) eingesetzt werden, sondern auch allgemein zur Konstruk- tion solcher Tarife. Die Konstruktion eines Einkommensteuertarifs l~il3t sich auffassen als Inter- polationsproblem, fiir das sich eine Variante der kubischen Spline-Interpolation als niitzlich er- weist. Ausgehend vom geltenden Tarif wird ein realisierbarer Weg zu einem durchgehend progressiven Tarif aufgezeigt.

Summary

Mathematical tools cannot only be used for the analysis of scales of Income Tax (e.g. for finding the marginal rates), but also generally for the construction of such scales. Such a construction represents a problem of interpolation for which a variant of the cubic spline interpolation is well suited. One solution is given starting from the present scale and leading to a scale which is progres- sive throughout.

155